Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 63
Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве
Лекция 5
Аналитическая геометрия.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ в пространстве
Предметом изучения аналитической геометрии является описание геометрических объектов на плоскости и в пространстве с помощью уравнений. Методы аналитической геометрии широко используются в современном естествознании и прикладных технических дисциплинах при построении математических моделей объектов и процессов. В лекции 5 рассматриваются наиболее простые объекты, описываемые уравнениями первой степени – плоскости и прямые. Приводятся различные виды уравнений плоскостей и прямых в пространстве, показывается, для какого типа задач тот или иной тип более уместен. Примеры иллюстрируют методы решения типичных задач.
5.1. Основы аналитической геометрии
5.1.1. Уравнение поверхности
5.1.2. Уравнения линии
5.2. Плоскость в пространстве
5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка.
Общее уравнение плоскости.
5.2.2. Неполные уравнения плоскостей
5.2.3. Уравнения плоскости «в отрезках»
5.2.4. Нормальное уравнение плоскости
5.2.5. Расстояние от точки до плоскости
5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
5.2.7. Угол между двумя плоскостями
5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
5.3. Прямая линия в пространстве
5.3.1. Векторное уравнение прямой
5.3.2. Параметрические уравнения прямой
5.3.3. Канонические уравнения прямой
5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
5.3.5. Общие уравнения прямой
5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых
5.4. Прямая и плоскость
5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости
5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости
5.1. Основы аналитической геометрии
5.1.1. Уравнение поверхности
Аналитическая геометрия ставит своей задачей изучение геометрических объектов с помощью аналитического метода. Геометрические объекты: точка, линия, поверхность.
Точка. Задается аналитически совокупностью чисел: одного - для точки на прямой; двух - для точки на плоскости; трех - для точки в пространстве. Эти числа называются координатами.
Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат, т.е. зададим начало координат 0, базис , оси Ox, Oy, Oz.
Декартовыми координатами точки М называются декартовы координаты ее радиус–вектора .
Более сложные геометрические объекты задаются уравнениями, связывающими координаты точек, принадлежащих данному объекту. Эти уравнения реализуют условия принадлежности точки данному геометрическому объекту.
Пусть задано уравнение: F (x, y, z) = 0 (*) и поверхность S. Поверхность S - есть геометрическое место точек, определяемое уравнением (*), если координаты любой точки поверхности S удовлетворяют уравнению (*), а координаты любой точки, не лежащей на ней, - не удовлетворяют.
Поверхность, определяемая в декартовой системе координат алгебраиче ским уравнением n–й степени, называется алгебраической поверхностью n–го порядка.
В аналитической геометрии каждая линия в пространстве рассматривается как пересечение двух поверхностей и определяется заданием двух уравнений.
Если F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 являются уравнениями двух поверхностей S1 и S2, пересекающихся по линии L , то линия L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, координаты которых удовлетворяют системе уравнений:
5.2. Плоскость в пространстве
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Возьмем на плоскости P произвольную точку. Выберем вектор , перпендикулярный плоскости (нормальный вектор). Пусть – произвольная точка плоскости . Точка принадлежит плоскости (записывается: ) тогда и только тогда, если => .
Так как то скалярное произведение
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид:
.
Раскрывая скобки и обозначая через , получим уравнение первой степени (так называемое общее уравнение плоскости):
.
Составим, например, уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .
Искомое уравнение примет вид:
,
.
Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны:
.
Если в общем уравнении плоскости отсутствуют какие-то слагаемые, то оно называется неполным.
Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени
.
|
D = 0: Ax + By + Cz = 0 |
- плоскость, проходящая через начало координат. |
Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю:
|
А = 0: By + Cz + D = 0 |
- ║YOZ → P ║ OX; |
|
B = 0: Ax + Cz + D = 0 |
- ║XOZ → P ║ OY; |
|
C = 0: Ax + By + D = 0 |
- ║XOY → P ║ OZ. |
Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ:
|
A = 0, B = 0: Cz + D = 0 |
- ║OZ → P ║ XOY; |
|
A = 0, C = 0: By + D = 0 |
- ║OY → P ║ XOZ; |
|
B = 0, C = 0: Ax + D = 0 |
- ║OX → P ║ YOZ. |
Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ:
|
A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0 |
- плоскость XOY; |
|
A = 0, C = 0, D = 0: By = 0 |
- плоскость XOZ; |
|
B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0 |
- плоскость YOZ. |
5.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках»
Пусть плоскость не проходит через начало координат. Преобразуем общее уравнение плоскости:
, , .
Уравнение называется уравнением плоскости «в отрезках».
Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.
Пусть, например, точка лежит на оси Оx и плоскости Р, т.е. . Тогда , откуда .
|
Пример: |
|
|
Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость 2x – 4y + 6z –12 = 0? Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»: . Отрезки, отсекаемые на осях, равны , , . Отрицательный знак перед показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось . |
Пусть Р – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, а – произвольная точка плоскости (), длина вектора , – единичный вектор нормали к плоскости, , .
Проекция радиус-вектора любой точки плоскости на направление, задаваемое вектором – величина постоянная, равная p: пр ,
пр.
Уравнение задает нормальное уравнение плоскости в виде
,
где - направляющие косинусы нормали к плоскости, а p – расстояние от плоскости до начала координат (длина нормали, опущенной на плоскость из начала координат).
Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду: . Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффици енты пропорциональны: .
Из условия , которому удовлетворяют направляющие косинусы вектора, следует, что.
Введем так называемый нормирующий множитель знак которого определяется из условия , т.е. должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.
Умножением на нормирующий множитель общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду:
1. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду позволяет узнать ее расположение относительно системы координат.
2. Введение нормирующего множителя соответствует замене произвольного вектора нормали в уравнении плоскости единичным вектором нормали .
Отклонением точки от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, взятое со знаком «-», если точка и начало координат находятся по одну сторону от плоскости, и со знаком «+», если по разные стороны.
Пусть дана точка . Спроектируем точку на нормаль к плоскости
Отклонение
пр
пр
пр,
.
Таким образом, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки.
Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки от плоскости вычисляется по формуле
.
Расстояние от точки до плоскости:
|
Пример: |
|
|
Найти расстояние от точки до плоскости . |
Пусть даны три точки , - текущая точка плоскости.
Рассмотрим три вектора:
,
,
.
Точка лежит в плоскости в том и только в том случае, если эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов , и определяет плоскость, проходящую через три данные точки: .
Пусть плоскости и заданы уравнениями:
Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами .
|
Пример: |
|
|
Найти угол между плоскостями Нормальные векторы плоскостей ,. . |
Плоскости и параллельны, если их нормальные векторы и коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны:
Плоскости и перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, следовательно, .
5.3. Прямая линия в пространстве
Рассмотрим некоторую прямую в пространстве. Пусть – фиксированная точка (). – произвольная точка (), – направляющий вектор прямой (любой вектор, лежащий на прямой либо параллельный ей). Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда и эти векторы пропорциональны: .
Так как , где - радиус–векторы точек и , то для произвольной точки на прямой имеем: – векторное уравнение прямой.
В координатном виде векторное уравнение прямой распадается на три:
- параметрические уравнения прямой.
Исключая параметр t, получим - канонические уравнения прямой, проходящей через фиксированную точку и имеющей направляющий вектор
Пусть даны две точки и .
В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор , и уравнение прямой примет вид:
Рассмотрим две плоскости:
Если , то плоскости параллельны. В противном случае плоскости пересекаются и соответствующие уравнения определяют прямую линию пересечения плоскостей.
5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
Пусть прямая L задана линией пересечения двух плоскостей:
Возьмем любые отличные от нуля числа и составим равенство
.
Это равенство определяет плоскость, которая проходит через прямую L. Совокупность всех плоско стей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Если положить , то уравнение
определяет все плоскости пучка, кроме второй из задающих прямую.
Пусть заданы направляющие векторы прямых
,.
Угол между прямыми принимается равным углу между направляющими векторами:
Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы и параллельны, т.е.
Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпенди кулярны, то есть, .
5.4. Прямая и плоскость
Пусть даны уравнения прямой и плоскости :
Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновре менно удовлетворять этим уравнениям. Перейдем к параметрическим уравне ниям прямой:
.
Подставляя их в уравнение плоскости , получим значение параметра t, равное подстановка которого в параметрические уравнения прямой даст координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Из рисунка видно, что если – угол между прямой и плоскостью, то
Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, т.е.
Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, т.е.
|
В результате изучения материала, изложенного в этой лекции,
способ преобразования одного вида в другой;
способ преобразования одного вида в другой;
(угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности этих объектов, расстояние от точки до плоскости, координаты точки пересечения прямой и плоскости). |
PAGE 64
Лекция 5