Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Последовательности.
В этой главе удобно (хотя бы частично) перейти на письменный язык математики
(Расшифровки, тем не менее, будут! При этом появится значок . Также этот символ поможет обозначить некоторые замечания.). Приводим используемые общеупотребительные кванторы: - квантор общности (переводится, в зависимости от контекста: «всякий», «каждый», «любой», «для всякого», «для каждого», «для любого»); - квантор существования («существует», «найдется», «есть»); - квантор существования и единственности («существует, причем единственный»). Кроме того, значок символизирует новое понятие
(определение) или теорему, - пример или задачу с решением, -
приглашение подумать самостоятельно.
Если задача помечена символом , это значит, что она включает некоторые
сведения, обычно сообщаемые на поздних этапах обучения в школе, например,
в выпускном классе (показательная, логарифмическая функции и т.д.). Иногда задание
допускает решение «обходным маневром», т.е. без использования сложных фактов.
Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.
Каждому номеру ставится в соответствие некоторое число, обозначаемое : ,
т.е. .
Обозначение последовательности: .
Чтобы не описывать каждую последовательность так, как это практикуется в тестах (вопрос: «Проследите заканомерность и продолжите числовой ряд...»), опишем два основных способа задания последовательностей: а) формула -го члена (формула для зависит только от ); б) рекуррентный способ (каждый член последовательности выражается через один или несколько предыдущих, при этом явно называются один или несколько (необходимое количество) начальных членов последовательности.
а) .
б) (Натуральный ряд. Узнали?) ; ;
( последовательность Фибоначчи) .
Т.к. последовательность – частный случай функции, то на последовательности автоматически переносятся понятия «ограниченность» и «монотонность». Итак:
Определение. 1) Последовательность называется ограниченной сверху, если
.
Ни один член последовательности не может «выскочить» за некоторую (фиксированную!) границу, «потолок».
2) Последовательность называется ограниченной снизу, если
.
3) Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху,
и снизу.
Внимание! Переформулировка определения 3):
3а) Последовательность называется ограниченной, если
.
Заметим, что в определении 3) последовательность могла быть ограничена сверху и снизу различными по модулю числами. Докажите, что 3) и 3а) задают один и тот же объект, т.е. из 3) следует 3а), и наоборот. (Учтите, что число М не обязано быть наименьшим возможным, говорится только о его существовании! Например, если число А ограничивает последовательность сверху, то число А+100 также ограничивает эту последовательность сверху.)
Постройте отрицание утверждений: «последовательность ограничена сверху»; «последовательность ограничена снизу»; «последовательность ограничена»,
т.е. сформулируйте определения следующих последовательностей: не ограниченной сверху; не ограниченной снизу; неограниченной.
Полезное замечание: если последовательность ограничена с некоторого номера, то она ограничена! Докажите.
Задание: исследовать данные последовательности на ограниченность: 1)
2) 3) ; 4) 5)
6) 7) ; 8) .
Решение.
Ответ: ограничена.
Ответ: ограничена снизу 0, сверху не ограничена.
; на убывает, тогда (по свойствам квадратичной
функции) . Ограниченность сверху видна. А если учесть то, что как угодно
далеко от 0 найдутся натуральные , и представить себе параболу «ветвями» вниз, то становится
очевидной неограниченность снизу .
Замечание: попробуем доказать неограниченность снизу по определению. Пусть задано
произвольное . Рассмотрим неравенство . (). Вспомним
структуру решений квадратичного неравенства. Если соответствующее квадратное уравнение
не имеет корней , то любое , а, значит, и любое является
решением неравенства; если же корни уравнения есть , то решение неравенства
имеет вид , а в любом множестве такого типа есть натуральные
числа.
Ответ: ограничена сверху(числом 1), снизу не ограничена.
; тогда , ; ограничена снизу,
например, числом 0. (Можно легко дать более точную оценку:
; тогда .)
Нетрудно заметить, что для натуральных верно неравенство . Тогда
, т.о. ограничена сверху, например, числом 3.
Ответ: ограничена.
2-й способ: найдем множество значений функции и убедимся, что при (напомним, в задании ) эта функция ограничена.
Что представляет собой запись ? Один скажет: «Это формула, задающая функцию переменной », и будет прав. А другой скажет: «Это уравнение относительно переменной с параметром ». Вторая точка зрения имеет право на существование! И поможет нам решить задачу. Домножим (аккуратно! Заметим, что , т.к. ) на . Переформулируем вопрос задачи: «При каких значениях параметра уравнение имеет решения, не меньшие 1 ?» а) При уравнение линейно, - решение. Далее воспользуемся теоремами о расположении корней квадратного трехчлена.
б) При (функция квадратичная, график – парабола) поставим условие (существование корней) и отбросим те случаи, когда все корни строго меньше 1, т.е. соответствующие параболы выглядят так:
, т.е. .
Получаем искомое множество значений .
Ответ: ограничена. (Заметим, что при решении 2-м способом получены более точные границы! Но достаточно было найти любые.)
(с натуральными абсциссами) на графике соответствующей функции . Итак,
.
Если бы вопрос был задан о функции , то ответ был бы таков: функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу. Но в случае последовательности ситуацию спасает то, что , а значит, не может быть очень близко к 7. По чертежу расшифровываем ситуацию: наименьшим является член последовательности с номером 6 , наибольшим – 8-й член . Остальные члены последовательности расположены между ними.
Ответ: ограничена.
Замечание: при желании можно таким же образом получить и более точную оценку снизу:
.
Ответ: ограничена.
Заметим, что при натуральных , т.о. знаменатель дроби всегда положителен (как и числитель). (дробь с положительными числителем и знаменателем уменьшается при уменьшении числителя и при увеличении знаменателя). Теперь делаем выводы. Во-первых, любой член последовательности не менее 0,5, а это означает ограниченность снизу. Во-вторых, . Тогда , т.о. не ограничена сверху.
Ответ: ограничена снизу, не ограничена сверху.
Обобщение: если меньшая последовательность не ограничена сверху, то большая (тем более!)
не ограничена сверху. Если большая последовательность не ограничена снизу, то меньшая (тем
более!) не ограничена снизу.
монотонность). Если мы знакомы с понятием предела, с показательной функцией, и умеем
сравнивать темпы роста показательной и степенной функций на , то решаем задачу так:
а) ; последовательность ограничена снизу 0.
б) Теорема: , т.е. не ограничена сверху.
Если мы умеем обращаться с понятием монотонности и знаем, что такое геометрическая прогрессия,
то решаем пункт б) задачи так:
б) Исследуем на монотонность. Сравним два соседних члена последовательности (т.к.
последовательность положительна, найдем их отношение и сравним его с 1).
. При достаточно больших можно надеяться, что
найденное отношение будет больше какого-то фиксированного числа . Например, при 4
; . Тогда можно доказать, что
, т.е. данная последовательность больше возрастающей геометрической
прогрессии, а, следовательно, не ограничена сверху.
Ответ: ограничена снизу, не ограничена сверху.
Определение. 1) Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если .
Чем больше номер, тем больше член последовательности.
Аналогично, 2) последовательность называется убывающей (невозрастающей), если .
Внимание! Переформулировка определения: 1а) Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если .
Каждый член последовательности больше (не меньше) предыдущего.
2а) Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если .
Докажите, что определения 1) и 1а), 2) и 2а) соответственно равносильны. (Указание:
при доказательстве в одном из направлений воспользуйтесь индукцией по разности номеров
и .)
Задание: исследовать данные последовательности на монотонность. 1) ;
2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ;
8) .
Замечание: при исследовании на монотонность удобнее использовать определения 1а) и 2а). Выделим следующую простую мысль: проверка по любым двум членам не дает доказательства монотонности! (А вдруг найдется другая пара, для которой не так?) Если же Вы уверены, что последовательность монотонной НЕ является, то достаточно привести пример двух пар номеров, таких, чтобы неравенство между номерами один раз совпадало по знаку с неравенством между соответствующими членами, а другой раз – нет. В случае, когда нужно опровергнуть утверждение о возрастании или убывании, контрпример приводить еще легче – нужна всего одна пара.
Решение.
Ответ: возрастает.
Ответ: убывает.
Ответ: возрастает.
< Вывод: .
Ответ: убывает.
Для тех, кто знаком с понятием выпуклости графика функции, даем другой способ доказательства:
Рассмотрим функцию . Она выпукла вверх на всей области определения – на .
Свойство выпуклой вверх на промежутке функции :
.
Выберем . Получаем: , что и требовалось
доказать.
Ответ: возрастает, начиная с 4-го номера.
В целом же последовательность монотонной не является.
Замечание №1. При можно доказать монотонность (положительной!)
последовательности, рассмотрев отношение двух соседних членов и сравнив его с 1:
, т.е. .
Замечание №2. Для тех, кто хорошо ориентируется в графиках функций, точнее, четко
представляет себе кубическую параболу , пересекающую ось абсцисс
в трех точках и , левый «хвост» которой уходит вниз, а «правый» - вверх.
Ну вот, осталось только написать ответ (см. выше).
Ответ: не является монотонной.
7) при (т.е. при ) ,
при (т.е. ), при (т.е. при ) .
Ответ: убывает при , возрастает при .
В целом же последовательность монотонной не является.
8) Воспользуемся методом математической индукции.
()(), что и требовалось доказать.
Ответ: возрастает.
Задание: 1) Найти наибольший член последовательности ;
2) Найти наибольший член последовательности ;
3) Найти наименьший член последовательности ;
4) Найти наименьший член последовательности ;
5) Доказать, что у последовательности нет наибольшего члена.
Решение.
1) . Можно посмотреть по графику. Но мы поступим более аккуратно. Исследуем последовательность на монотонность.
Определим знаки Корни соответствующего квадратного уравнения .
. При . Вывод: ; далее , последовательность убывает, т.е.
Наибольший член последовательности - .
Ответ: .
2) по неравенству Коши равенство достигается при . Тогда .
Ответ: .
Задание: 1) Найти формулу -го члена последовательности, заданной рекуррентно:
.
3) Докажите, что все члены последовательности кратны 5.
Решение.
1) . Будем искать формулу в виде . .
Ответ: .
Заметим, что если в подобной задаче формула уже известна (догадались?), то для ее доказательства удобно использовать метод математической индукции.
2) . Выражение в скобке делится на по следствию из теоремы Безу (или формуле сокращенного умножения – разности -х степеней).
Заметим, что здесь также хорошо работает индукция.
3) . Догадаемся сравнить квадраты соседних членов (все члены последовательности положительны!). .
Задачи для самостоятельного решения.
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
и)
а) б) в)
г) д) е)
ж) з) и)
к) л) м)
н) о) п)
р) с)
а) б) в)
г) д) е)
ж) з) и)
к) л) м)
н) о) п) р)
а) Докажите, что любой член последовательности не превосходит члена
последовательности с соответствующим номером.
б) Верно ли то же утверждение для двух произвольно взятых членов
последовательностей (не обязательно с соответствующими номерами)?
в) Можно ли найти какое-либо число, разделяющее эти две последовательности,
т.е. ограничивающее одну из них сверху, а другую снизу?
г) Найдите какую-либо последовательность , такую, что .
Ответы.
1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) .
б) ограничена снизу 0, ограничена сверху .
в) ограничена снизу , ограничена сверху .
г) ограничена снизу 0, ограничена сверху .
д) ограничена снизу , сверху не ограничена.
е) не ограничена ни сверху, ни снизу.
ж) ограничена снизу, например, 0, сверху не ограничена.
з) ограничена снизу, например, 0, сверху не ограничена.
и) ограничена снизу -316, ограничена сверху -314.
к) не ограничена ни сверху, ни снизу.
л) ограничена снизу 0, ограничена сверху .
м) ограничена снизу 4, сверху не ограничена.
н) ограничена снизу , ограничена сверху .
о) ограничена снизу , сверху не ограничена.
п) ограничена снизу , сверху не ограничена.
р) ограничена снизу 0, сверху не ограничена.
с) ограничена снизу 0, ограничена сверху 1.
3. а) возрастает. б) убывает. в) возрастает. г) убывает. д) убывает.
е) не является монотонной. ж) не является монотонной.
з) не является монотонной. и) не является монотонной.
к) не является монотонной. л) убывает. м) не является монотонной.
н) возрастает. о) возрастает. п) возрастает. р) возрастает.
б) ; наибольшего члена нет.
в) ; наименьшего члена нет.
г) наибольшего члена нет.
5. Нет. 6. б) Нет. в) Нет. г) Например, .
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
и)
а) б) в)
г) д) е)
ж) з) и)
к) л) м)
н) о) п)
а) б) в)
г) д) е)
ж) з) и)
к) л) м)
а) Докажите, что любой член последовательности не превосходит члена
последовательности с соответствующим номером.
б) Верно ли то же утверждение для двух произвольно взятых членов
последовательностей (не обязательно с соответствующими номерами)?
в) Можно ли найти какое-либо число, разделяющее эти две последовательности,
т.е. ограничивающее одну из них сверху, а другую снизу?
г) Найдите какую-либо последовательность , такую, что .