У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тема с достоверностью находится в одном из своих микросостояний например в ом состоянии то при и энтропия

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 28.4.2025

Лекция IV

1. Общее определение энтропии.

Пусть вероятность найти квантовомеханическую систему в ом микросостоянии равна , и все известны. Тогда общим определением энтропии является следующее:

(IV.1.1)

Энтропию (IV.1.1) иногда называют информационной, или энтропией Шеннона. Если система с достоверностью находится в одном из своих микросостояний, например, в ом состоянии, то при , и энтропия (IV.1.1) равна нулю (неопределенность в информации отсутствует).

В квазиклассическом приближении информационная энтропия (IV.1.1) может быть выражена через функцию статистического распределения

(IV.1.2)

2. Свойства энтропии.

1) Нетрудно видеть, что информационная энтропия является аддитивной величиной. Действительно, рассмотрим две независимых системы с распределениями вероятностей и , соответственно, так что

, (IV.2.1)

В силу независимости систем распределение вероятностей для объединенной системы , поэтому полная энтропия

, (IV.2.2)

что и требовалось доказать.

2) Покажем, что для микроканонического ансамбля энтропия максимальна. Найдем условный экстремум энтропии (IV.1.1) при дополнительном условии нормировки

, (IV.2.3)

Воспользовавшись методом неопределенных множителей Лагранжа:

. (IV.2.4)

Отсюда следует, что

, (IV.2.5)

т.е. энтропия достигает экстремума для микроканонического распределения, когда все равны друг другу (поскольку , то данный экстремум является максимумом). В этом случае неопределенность исхода максимальна, а информация минимальна. Таким образом, микроканоническое распределение соответствует максимуму информационной энтропии среди всех распределений при данной энергии.

3) Аналогичное утверждение справедливо и относительно канонического распределения Гиббса. Найдем экстремум информационной энтропии (IV.1.1) при фиксированной средней энергии, т.е. условный экстремум :

(IV.2.6)

Действуя как в (IV.2.4), получаем уравнения:

, (IV.2.7)

решение которых имеет вид

(IV.2.8)

Распределение вероятностей (IV.2.8) является квантовой версией распределения (I.4.5) и полностью совпадает с выражениями (III.5.6), если неопределенный множитель Лагранжа отождествить с обратной температурой , . Как и прежде , так что экстремум энтропии является максимумом, т.е. каноническое распределение Гиббса соответствует максимуму энтропии среди всех распределений с той же средней энергией.

Итак, энтропия максимальна для равновесных конфигураций. Для неравновесных распределений она меньше, чем для равновесных. Поэтому говорят, что энтропия замкнутой системы не убывает, т.е. может только возрастать или оставаться постоянной. Это соответствует тому, что система переходит из состояния менее вероятного в состояние более вероятное, т.е с большим статистическим весом.

В этом состоит вероятностный смысл Второго начала термодинамики – закона воз-

растания энтропии. Гильберт и Сулливан сформулировали его в следующем афористическом виде

“What never? No never. What never? Well, hardly ever”

что в вольном переводе означает

“Это никогда не бывает? – Никогда! Совсем никогда? – Ну, вряд ли когда-нибудь”

Сэр Артур Эддингтон так оценил второе начало термодинамики: “Закон возрастания энтропии – второй закон термодинамики – занимает, я думаю, высшее положение среди других законов природы. Если кто-нибудь указывает вам, что ваша любимая теория Вселенной находится в несоответствии с уравнениями Максвелла – тем хуже для уравнений Максвелла. Если обнаруживается, что она противоречит результатам наблюдений – ничего, экспериментаторы тоже иногда ошибаются. Но если обнаружится, что ваша теория противоречит второму закону термодинамики, вам не на что надеяться, вашей теории не остается ничего другого, как погибнуть в глубочайшем смирении”, А.С. Эддингтон, “Природа физического мира”, 1928 г.

3. Флуктуация энергии в каноническом ансамбле.

Конечно, как микроканоническое, так и каноническое распределение удовлетворяют второму началу: энтропия для этих ансамблей принимает максимально возможное значение. Однако, если микроканоническое распределение справедливо для замкнутых систем, для которых энергия постоянна, то каноническое распределение описывает системы, находящиеся в равновесии с термостатом. Поэтому энергия таких систем флуктуирует за счет теплового контакта с термостатом.

Будем исходить из определения статистической суммы (III.5.7):

(IV.3.1)

Дифференцируя его по , получаем

(IV.3.2)

По определению среднего:

, (IV.3.3)

так что согласно (IV.3.2)

(IV.3.4)

(IV.3.5)

Поскольку флуктуация любых величин положительна,

(IV.3.6)

то каноническое распределение Гиббса применимо только для таких физических систем, для которых теплоемкость положительна. Контрпримером могут служить гравитирующие системы, например, шварцильдовские черные дыры.

Для относительной флуктуации имеем

, (IV.3.7)

что является общим результатом для макроскопических тел, .

4. Термодинамические равенства для канонического ансамбля.

Пусть гамильтониан рассматриваемой системы зависит от внешних параметров . Этими параметрами могут быть объем , напряженности внешних электрических и магнитных полей и т.д. Ниже мы ограничимся случаем, когда гамильтониан зависит только от объема (число частиц в системе постоянно). В классическом случае гамильтониан является функцией динамических (микроскопических) переменных и , и внешнего (макроскопического) параметра . В квантовом случае динамические переменные и становятся операторами.

Запишем каноническое распределение Гиббса в виде

(IV.4.1)

Здесь статистическая сумма

(IV.4.2)

а функция

(IV.4.3)

– свободная энергия Гельмгольца. Выразим среднюю энергию системы

(IV.4.4)

через свободную энергию. Учитывая равенство (IV.3.4), получаем

(IV.4.5)

Дифференцирование в (IV.4.5) идет при постоянных и .

В то же время энтропия равна

, (IV.4.6)

так что получаем формулу Гиббса

(IV.4.7)

Сравнение (IV.4.5) и(IV.4.6) дает

(IV.4.8)

Полный дифференциал свободной энергии (при фиксированном числе частиц)

(IV.4.9)

выражается через энтропию и производную . Выясним ее физический смысл. Рассмотрим газ в цилиндре площади , сжимаемый поршнем, который двигается вдоль оси цилиндра (ось ), см. Рис. IV.1.

Cила, отнесенная к единице площади, с которой газ действует на поршень равна

Среднее значение этой силы называется давлением:

Таким образом, имеем

, (IV.4.10)

а для полного дифференциала свободной энергии получаем

(IV.4.11)

Отсюда, дифференцируя формулу Гиббса (IV.4.7) приходим к равенству

(IV.4.12)

Поэтому эквивалентное уравнению (IV.4.10) определение давления

, (IV.4.13)

а температура

, (IV.4.14)

что полностью согласуется с определением (III.3.1). Соотношение (IV.4.12) является основным термодинамическим тождеством.

EMBED Equation.DSMT4

Рис. IV.1

EMBED Equation.DSMT4

1. Термодинаміка і теплопередача Львів 2012 Задача
2. Принципы и методы зп
3. Тема- Проектування дільниць 2го класу Мета роботи- Придбання студентами практичних навиків в проектуванні
4. Хокси Ф. Пример Роберта Ф
5. Енергоефективні школи Місто Ладижин ЗНЗ Ладижинська загальноосвітня школа ІІІІ ст
6. Тема 9 Показання до виготовлення пластмасової коронки
7. . Количественные числительные от 13 до 19 включительно образуются прибавлением суффикса teen к соответствующим
8. ОБЩАЯ ПСИХОЛОГИЯ 20122013 уч
9. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТРУДОВОМУ ПРАВУ
10. задание Решение ЗЛП симплексметодом часть 2 Решить с помощью MS Excel задачу и ответить на вопросы

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе