Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
59) Определение 2. Полем комплексных чисел называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел . При этом каждая такая пара называется комплексным числом2). Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости .Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу
для всех ,
и определим операцию умножения:
для всех .
Предложение 1. Множество является полем.
Нулевым элементом в поле является пара , а единичным — пара . Противоположный элемент для — это , а обратным для ненулевого является .
|
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b·i обозначается |a + b·i|, а также буквой r. Из чертежа видно, что: |
|
1. |
r= | a+b·i |=
|
Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + b·i и a - b·i имеют один и тотже модуль.
Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i
Каждое не равное нулю комплексное число имеет бесчисленное множество аргументов, отлючающихся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°·k, где k - любое целое число). Аргумент комплексного числа связан с его координатами следующими формулами:
|
2. |
tg(φ)=
|
|||
|
3. |
cos(φ)=
|
|
4. |
sin(φ)=
|
Однако ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти аргумент. Для того чтобы найти аргумент комплексного числа, эти формулы надо использовать в совокупности, а также учитывать номер четверти, на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.
Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту стригонометрическими функциями.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:
,
где — основание натурального логарифма,
— мнимая единица.