Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
18
МІНІСТЭРСТВА АДУКАЦЫІ РЭСПУБЛІКІ БЕЛАРУСЬ
УСТАНОВА АДУКАЦЫІ “ГРОДЗЕНСКІ ЎНІВЕРСІТЭТ
ІМЯ ЯНКІ КУПАЛЫ»
Матэматычны факультэт
Кафедра матэматыкі і вылічальнай тэхнікі
РЭФЕРАТ
ЕЎКЛІД І ЯГО «ПАЧАТКІ»
МАТРОНІЧАВА ЯРАСЛАВА РАМАНАВІЧА
студэнта 3 курса 6 групы
матэматычнага ф-та
Навуковы кіраўнік
Маршэўская В.В., дацэнт
ГРОДНА, 2013
ЗМЕСТ
УВОДЗІНЫ……………………………………………………………………..3
АСНОЎНАЯ ЧАСТКА………………………………………………………...4
1.Біяграфія Еўкліда…………………………………………………………4
2. “Пачаткі” Еўкліда……………………………………………………......6
2.1.“Пачаткі” і іх шматвекавая гісторыя………………………..…6
2.2.Кароткі змест “Пачаткаў”…………………………..…………….12
4.Іншыя сачыненні………………………………………………………….16
ВЫВАДЫ……………………………………………………………………..17
СПІС ВЫКАРЫСТАНАЙ ЛІТАРАТУРЫ………………………………..19
УВОДЗІНЫ
Еўклід - старажытнагрэцкі матэматык, аўтар першага з тых, што дайшлі да нас, тэарэтычнага трактата па матэматыцы. Пра гэтага дзіўнага чалавека гісторыя захавала настолькі мала звестак, што не рэдка выказваюцца сумневы ў самым яго існаванні.
«Пачаткі» Еўкліда - навуковая праца, напісаная Еўклідам у 3 ст. да н. э., якая змяшчае асновы антычнай матэматыкі: элементарную геаметрыю, тэорыю лікаў, алгебру, агульную тэорыю адносін і метад вызначэння плошчаў і аб'ёмаў, які ўключаў элементы тэорыі межаў. Еўклід падвёў ў гэтым складанні вынік трохсотгадовага развіцця грэцкай матэматыкі і стварыў трывалы падмурак для далейшых матэматычных даследаванняў.
Актуальнасць нашага даследавання заключаецца ў тым, што ў цяперашні час матэматыку вывучаюць у той ці іншай меры ва ўсіх без выключэння навучальных установах. Яна дапамагла чалавеку зрабіць шмат адкрыццяў у іншых навуках і дасягнуць сучаснай ступені развіцця грамадства. Нездарма матэматыку клічуць “Царыцай навук”. Еўклід жа вядомы як “Бацька геаметрыі”, ды і для іншых галін матэматыкі ён зрабіў нямала карыснага.
Мэта працы – вызначыць ролю Еўкліда ў развіцці матэматыкі.
Задачы працы:
- разгледзець біяграфію Еўкліда.
- пазнаёміцца з яго галоўнай навуковай працай - “Пачаткамі” і іх кароткім зместам.
- пазнаёміцца з іншымі сачыненнямі Еўкліда.
Метады даследавання: асноўным метадам даследавання з’яўляецца апісальны.
АСНОЎНАЯ ЧАСТКА
1.Біяграфія Еўкліда
Дыяген паведамляе: Еўклід або Эўклід, (ст.- грэч. Ευκλείδης, каля 300 г. да н. э.) - старажытнагрэцкі матэматык.
Аўтар адзначае, што біяграфічныя дадзеныя аб Еўкліду вельмі бедныя. Да найбольш пэўных звестках пра жыццё Еўкліда прынята адносіць тое нямногае, што прыводзіцца ў Каментарыях Прокла да першай кнігі «Пачаткаў» Еўкліда. Адзначыўшы, што «якія пісалі па гісторыі матэматыкі» не давялі пераказ развіцця гэтай навукі да часу Еўкліда , Прокл паказвае, што Еўклід быў старэйшы за платонаўскі гурток, але маладзей Архімеда і Эратасфена і «жыў у часы Пталямея I Сацера», «таму што і Архімед , які жыў пры Пталямеі Першым, згадвае пра Еўкліда і, у прыватнасці, распавядае, што Пталямей спытаўся ў яго, ці ёсць больш кароткі шлях вывучэння геаметрыі, чым Пачаткі; а той адказаў , што няма царскага шляху да геаметрыі»
Дадатковыя штрыхі да партрэта Еўкліда можна пераняць у Паппа і Стабея. Папп паведамляе, што Еўклід быў мяккі і ласкавы з усімі, хто мог хоць у найменшай ступені спрыяць развіццю матэматычных навук, а Стабей перадае яшчэ адзін анекдот пра Еўкліда. Прыступіўшы да вывучэння геаметрыі і разабраўшы першую тэарэму, адзін юнак спытаў у Еўкліда: «А якая мне будзе выгада ад гэтай навукі?» Еўклід паклікаў раба і сказаў: «Дай яму тры абола, раз ён хоча здабываць прыбытак з вучобы».
Некаторыя сучасныя аўтары трактуюць зацвярджэнне Прокла - Еўклід жыў у часы Пталямея і Сацера - у тым сэнсе, што Еўклід жыў пры двары Пталямея і быў заснавальнікам Александрыйскага Мусейон. Варта, аднак, адзначыць, што гэта прадстаўленне сцьвердзілася ў Еўропе ў XVII стагоддзі, сярэднявечныя ж аўтары атаясамлялі Еўкліда з вучнем Сакрата філосафам Еўкліду з Мегара. Ананімны арабскі рукапіс XII стагоддзя паведамляе:
«Еўклід, сын Наўкрата , вядомы пад імем "Геаметрыя", вучоны старога часу, па сваім паходжанні грэк, па месцы жыхарства сірыец, родам з Тыра ...»
Арабскія аўтары лічылі, што Еўклід жыў у Дамаску і выдаў там «Пачаткі» Апалонія .
Дыяген піша, што Еўклід з'яўляецца аўтарам першага, што дайшоў да нас, трактата па матэматыцы ( «Пачаткі»), у якім падведзены вынік папярэдняга развіцця старажытнагрэцкай матэматыкі, у прыватнасці выкладзены планіметрыя, стэрэаметрыя і шэраг пытанняў тэорыі лікаў. Стваральнік геаметрычнай сістэмы (эўклідавай геаметрыі), на якой грунтуецца ўся класічная фізіка. У трактатах Еўкліда « Оптыка » і « Катоптрыка » выкладзеныя яго аптычныя даследаванні . Услед за Платонам ён прызнае тэорыю глядзельных прамянёў (гэтыя прамяні - прамыя лініі). Сфармуляваў закон прамалінейнага распаўсюджвання святла і закон адлюстравання святла. У сваіх працах разглядаў утварэнне ценю, атрыманне малюнка з дапамогай малых адтулін, з'явы, звязаныя з адлюстраваннем ад плоскіх і сферычных люстэркаў. Усё гэта дае падставу лічыць Еўкліда заснавальнікам геаметрычнай оптыкі.
Аўтар лічыць, што у арыфметыцы Еўклід зрабіў тры значныя адкрыцці. Па-першае, ён сфармуляваў (без доказу) тэарэму аб дзяленні з астачай. Па-другое, ён прыдумаў "алгарытм Еўкліда" - хуткі спосаб знаходжання найбольшага агульнага дзельніка лікаў ці агульнай меры адрэзкаў (калі яны сувымерныя) . Нарэшце, Еўклід першы пачаў вывучаць ўласцівасці простых лікаў - і даказаў, што іх мноства бясконца.
2.”Пачаткі” Еўкліда
2.1. “Пачаткі” і іх шматвекавая гісторыя
Дзягілеў адзначае, што найважнейшая матэматычная праца геніяльнага Еўкліда «Пачаткі» мае вельмі шаноўны ўзрост - звыш двух тысячагоддзяў.
Аштар піша, што ішлі стагоддзі, мяняліся народы, знікалі з твару зямлі адні дзяржавы і ўзнікалі іншыя , бурыліся гарада, гарэлі ў полымі пажараў кнігі і бібліятэкі, а «Пачаткі», напісаныя упершыню на далікатным папірусе, прайшлі праз гэты час.
Створаныя ў III ст. да н. э. «Пачаткі» не страцілі свайго значэння і цяпер. Яны займаюць асаблівае месца ў гісторыі матэматыкі.
Еўклід, адзін з найвялікшых геаметраў, вырашыў знайсці законы, якім падпарадкоўваюцца ўсе лініі і цела ў прыродзе, і размясціць гэтыя законы ў строгай сістэме ...
Аўтар падкрэслівае, што Еўклід абагульніў дасягненні геаметрыі, усе веды, назапашаныя да таго часу. У гэтым яму дапамаглі кніжныя зборы Александрыйскай бібліятэкі. У папірусных скрутках захаваліся і першыя крокі егіпцян, і адкрыцці «халдейких мудрацоў» з Вавілона , і дасягненні грэчаскіх вучоных. Эўклід заўсёды мог звярнуцца да матэматычных прац сваіх папярэднікаў.
Аўтар піша, што ён абапіраўся на працы сваіх папярэднікаў, але нідзе не згадвае пра першакрыніцы. Так, устаноўлена, што разрозненыя матэматычныя веды, асобныя тэарэмы і іх доказы былі ўпершыню сабраны і сістэматызаваны ў «Пачатках» Гіпакрата Хіоскага (ён выкладаў у Афінах у сярэдзіне V ст. да н. э.). Сачыненне згублена. Асноўныя палажэнні "Пачаткаў" Гіпакрата ўвайшлі ў першыя чатыры кнігі "Пачаткаў" Еўкліда .
Уся праца складаецца з трынаццаці кніг, у змесце якіх ўваходзіць перш за ўсё вывучэнне геаметрычных фігур на плоскасці. Але для гэтага патрабуюцца чысла, таму Еўклід выкладае вучэнне пра цэлыя лічбы і дробы.
Затым даследаванне распаўсюджваецца з плоскасці на прастору, на ўзаемараспалажэнне і велічыні паверхняў і аб'ёмы целаў. Словам, «Пачаткі» уключаюць асновы планіметрыі, стэрэаметрыі, арыфметыкі...
Галоўная асаблівасць "Пачаткаў" - яны пабудаваны па адзінай лагічнай схеме, а ўсе тэорыі ў іх лагічна абгрунтаваныя.
Аўтар лічыць, што праца Еўкліда справядліва лічыцца ўзорам дэдуктыўнай сістэмы. Невялікая колькасць асноўных палажэнняў прымаецца без доказаў. Зыходнымі палажэннямі, на якіх Еўклід будуе сістэму геаметрыі, служаць вызначэння, аксіёмы і пастулаты.
Кожная з трынаццаці кніг пачынаецца вызначэннем тэрмінаў, якія ў ёй з'яўляюцца.
Спачатку Еўклід, піша аўтар, ўводзіць вызначэння асноўных паняццяў - кропка, лінія, прамая лінія, плоскасць, фігура... Першай кнізе, акрамя таго, папярэднічаюць аксіёмы і пастулаты (у некаторых спісах "Пачаткаў" аксіёмы і пастулаты аб'яднаны ў адну групу аксіём).
Свой велічны будынак, сваю грандыёзную геаметрыю Еўклід пабудаваў з дзіўнай складнасцю, яснасцю і шырынёй. У «Пачатках» падведзены вынік трохсотгадовага развіцця матэматыкі пачынаючы з Фалеса Мілецкага.
У старажытнасці «Пачаткі» адразу ж атрымалі шырокую вядомасць і сталі хутка распаўсюджвацца па ўсім свеце, здзіўляючы і пакараючы розумы.
Вучоны Э. Кольман кажа пра «Пачаткі»: «Не можа быць сумнення, што аўтар гэтай выдатнай працы быў вялікім геаметрам. Гіганцкая задача сістэматызацыі шырокага разнастайнага матэрыялу , якую ён гэтак бліскуча выканаў, сама па сабе была пад сілу толькі буйнейшаму вучонаму».
«Пачаткі» карысталіся вялікай папулярнасцю: Архімед, Апалоній Пергскі і іншыя выбітныя мысляры абапіраліся на іх у сваіх даследаваннях у галіне матэматыкі і механікі.
Гісторык звяртае ўвагу на тое, што вучнем Еўкліда быў і Арыстарх Самоскі, той самы, хто высунуў гіпотэзу аб руху Зямлі вакол Сонца. Вучні і паслядоўнікі вялікага матэматыка зноў і зноў вывучалі яго працы, рабілі на палях нататкі, тлумачэнні, выпраўленні...
З папірусу «Пачаткі» перайшлі на пергамент, потым на паперу ... Копіі прытрымліваліся адна за другой - інакш наўрад ці дайшла бы да нас гэтая непаўторная праца. На жаль, не захавалася ні аднаго рукапіса "Пачаткаў" эпохі антычнасці , за выключэннем невялікіх урыўкаў, якія былі знойдзены пры раскопках у Егіпце і Геркулануме.
Аўтар адзначае, што паступова, разам з заняпадам антычнага грамадства, колькасць геаметраў памяншаецца. Да сярэдзіны II ст. да н. э. выкладанне гэтай навукі не падымаецца вышэй школьнага ўзроўню, а за межамі Александрыі становіцца павярхоўным.
Сярод іх заслугоўвае згадвання Папп Александрыйскі , які жыў у канцы III ст. н. э. Ён заняўся аднаўленнем забытых да таго часу матэматычных ведаў. У яго асноўнай працы - «Матэматычны збор» - адна з частак адведзена каментарам "Пачаткаў" Еўкліда.
Іншы матэматык, Тэон Александрыйскі (бацька знакамітай Гіпатыі - жанчыны - матэматыка, астранома, філосафа, разадранай натоўпам рэлігійных фанатыкаў ) часткова спрасціў працу вялікага геаметрыка, ўнёс у яго некаторыя дапаўненні і выпраўленні .
Гэты тэкст "Пачаткаў" быў вельмі распаўсюджаны ў сярэднія вякі. Больш за тое, усе рукапісы, якія дайшлі да нас (за выключэннем адной), грунтуюцца на выданні Тэона.
Нарэшце, піша гісторык, у V ст. н. э. , пасля гібелі Александрыйскай навуковай школы, матэматык і філосаф Прокл пракаментаваў «Пачаткі» Еўкліда (захавалася толькі частка працы) ...
Праўда , у Канстанцінопалі зберагаліся многія старыя зборы рукапісаў, і тут каментатары працягвалі захоўваць памяць аб грэцкай навуцы. Сярод іншых прац былі і «Пачаткі» Еўкліда, якія некалькі стагоддзяў не знаходзілі прымянення, былі як бы пахаваныя. Яны зноў сталі вядомыя толькі да канца сярэдніх стагоддзяў, калі арыфметыка, геаметрыя ўваходзяць у кола вышэйшай адукацыі.
Існуе шмат рукапісаў "Пачаткаў", якія адносяцца да X- XII стст., усе яны з'явіліся на тэрыторыі Візантыйскай імперыі і капірюць «выданне» Тэона Александрыйскага. І невядома, колькі прамежкавых копій ляжыць паміж гэтымі рукапісамі і іх першакрыніцай.
«Пачаткі» Еўкліда былі перакладзены на арабскую мову ўжо ў канцы IX ст. (першы пераклад зроблены вядомым арабскім перакладчыкам Ісхакам) . Праца грэцкага вучонага служыла ў арабскіх краінах вучэбным кіраўніцтвам і асновай для далейшых даследаванняў.
Можна назваць каля пяцідзесяці матэматыкаў, якія жылі ў VIII -XV стст., якія займаліся перакладамі, пераробкамі і каментаваннем "Пачаткаў".
Нямала арабскіх навукоўцаў працавала і ў Кардоўскам халіфаце (Пірэнейскі паўвостраў). Іх заслуга - ва ўсталяванні навуковых кантактаў з краінамі Еўропы; тут працавалі перакладчыкі і каментатары арабскіх і перакладзеных з грэцкага твораў .
Такім чынам, з мудрасцю Еўкліда пачынае знаёміцца Еўропа. Першую спробу перакласці «Пачаткі» з арабскага на латынь распачаў італьянец Герард з Крэмона ў Ламбардыі (1114-1187 гг.). Гэта быў выбітны перакладчык свайго часу, колькасць прац, перакладзеных ім з арабскага, набліжаецца да дзевяноста.
Новы пераклад "Пачаткаў" Еўкліда даў праз стагоддзе матэматык - астраном Джавані Кампана з Навары (блізу Мілана). Кніга выйшла з друку ў 1482 г. у Венецыі ў немца Э. Ратдольта і называлася «Найслаўнейшая кніга пачаткаў Еўкліда».
Аўтар звяртае ўвагуна тое, што сваю ролю ў развіцці матэматыкі ў Еўропе адыгралі ўніверсітэты, якія сталі ўзнікаць ў першай палове XI ст. Праўда, на працягу некалькіх стагоддзяў яна заставалася дапаможнай дысцыплінай, і асаблівых кафедраў, ды і асаблівых выкладчыкаў матэматыкі, не было.
Студэнтаў вельмі павярхоўна знаёмілі з некалькімі кнігамі "Пачаткаў" . Пра Еўкліда ведалі так мала, што некаторыя лічылі, што яго «Пачаткі» былі напісаныя па - арабску, а іншыя - што ён даў толькі тэарэмы, а доказы да іх прадставіў Тэон.
У XVI ст. у Парыжскім універсітэце кандыдаты на ступень магістра мастацтваў замест здачы іспыту па геаметрыі павінны былі прысягаць у тым, што праслухалі лекцыі па шасці першых кнігах "Пачаткаў".
І ўсё ж з нетраў універсітэтаў у той час выйшлі шматлікія выдатныя матэматыкі, якія не толькі засвойвалі «Пачаткі» Эўкліда, але і развівалі матэматыку. Але сапраўды слаўнае шэсце "Пачаткаў" па краінах Еўропы пачалося толькі ў эпоху Адраджэння, калі, як сказаў Франсуа Рабле, «усюды мы бачым вучоных людзей, адукаваных настаўнікаў, шырокія кнігасховішчы, так што, на мой погляд, нават у часы Платона, Цыцэрона і Папініяна было цяжэй вучыцца, чым цяпер, і хутка для тых, хто не паднатарэў ў Мінервінай школе мудрасці, усе дарогі будуць зачыненыя. Цяпер разбойнікі, каты, прайдзісветы і конюхі больш адукаваныя, чым у мой час дактара навук і прапаведнікі » .
Ішлі стагоддзі, а Еўклід не старэў, адзначае гісторык. На працягу чатырох стагоддзяў яго асноўны твор друкавалася каля 2500 раз. У сярэднім выходзіла штогод 6-7 выданняў! А лепшым лічыцца выданне дацкага вучонага І. Гейберга ў пяці тамах (1883-1888 гг .), у якім прыводзіцца і грэцкі і лацінскі тэкст.
Без перабольшання можна сказаць , што ўплыў "Пачаткаў" Еўкліда адчулі на сабе шматлікія выбітныя навукоўцы. З томам Еўкліда не разлучаўся з юнацтва да апошніх дзён Мікалай Капернік; старанна вывучаў «Пачаткі» Галілеа Галілей; ўслед за Еўклідам і Ньютан сваю фундаментальную працу назваў «пачатку»; план свайго асноўнага сачыненні «Этыка» Спіноза цалкам узяў з Еўкліда.
Геаметрыяй Еўкліда быў зачараваны і Альберт Эйнштэйн. Ён казаў: «Мы шануем старажытную Грэцыю як калыску заходняй навукі. Там была ўпершыню створана геаметрыя Еўкліда - гэта цуд думкі, лагічная сістэма, высновы якой з такой дакладнасцю выцякаюць адзін з іншага, што ні адзін з іх не быў падвергнуты якому-небудзь сумневу.
Такаі лёс выдатнай кнігі Еўкліда, кнігі, пранізаўшай, па словах выдатнага рускага навукоўца С. І. Вавілава, стагоддзя.
Гэтая кніга нашмат пераўзыходзіла пазнейшыя працы матэматыкаў, яна адыграла велізарную ролю ў гісторыі матэматыкі. Дастаткова сказаць , што яна была перакладзеная на ўсе мовы свету і вытрымала каля 500 выданняў. Да сярэдзіны XIX стагоддзя ўсе матэматыкі вучыліся па «Пачатках» Еўкліда .
2.2. Кароткі змест "Пачаткаў"
Дэн Підо піша, што «Пачаткі» Еўкліда складаюцца з 13 кніг:
I - VI прысвечаны планіметрыі;
VII - IX - арыфметыцы;
Х - несувымерным велічыням;
XI -XIII - стэрэаметрыі (XIII прысвечана правільным шматграннікам).
Але не ўсё з таго, што ўжо было вядома, выкладзена ў «Пачатках», напрыклад , тэорыя канічных перасекаў ў «Пачатках» не была прадстаўлена.
Аўтар паведамляе, што кожнай з 13 кніг "Пачаткаў" прадпасылаюцца асноўныя прапановы, неабходныя для вываду усіх прапаноў разгляданай кнігі. Гэтыя прапановы дзеляцца на 3 катэгорыі: вызначэння, аксіёмы і пастулаты.
Першая кніга "Пачаткаў", піша аўтар, пачынаецца з 23-х азначэнняў. Прывядзем спіс некаторых вызначэнняў "Пачаткаў":
1. Кропка ёсць тое, што не мае частак.
2. Лінія ёсць даўжыня без шырыні.
3. Межы лініі ёсць кропкі.
. . .
Паралельныя ёсць прамыя, якія, знаходзячыся ў адной плоскасці і быўшы працягнутыя ў абодва бакі неабмежавана, ні з таго ні з другога боку паміж сабой не сустракаюцца.
За азначэннямі ідуць пастулаты і аксіёмы, г. зн. прапановы, якія прымаюцца без доказаў. Поўны спіс аксіём і пастулатаў, дадзены Еўклідам, не захаваўся. Вядома 5 пастулатаў і 10 аксіём.
Пастулаты:
Патрабуецца,
1 . Каб з кожнай кропкі да ўсякай іншай кропкі можна было правесці прамую лінію.
2. І каб кожную абмежаваную прамую можна было працягваць неабмежавана.
3. І каб з кожнай кропкі, як з цэнтра, можна было адвольным радыусам апісаць акружнасць.
4. І каб усе прамыя куты былі роўныя адзін аднаму.
V пастулат:
5. І каб кожны раз, калі прамая пры перасячэнні з двума іншымі прамымі ўтварае з імі ўнутраныя аднабаковыя куты , сума якіх менш 2-х прамых, гэтыя прамыя перасякаліся з таго боку, з якой гэтая сума менш 2-х прамых.
Аксіёмы:
1. Роўныя паасобку трэцяга роўныя паміж сабой.
2. І калі да роўных дадамо роўныя , то атрымаем роўныя.
. . .
6. І паловы роўных роўныя паміж сабой.
. . .
8. І цэлае больш часткі.
9. І дзве прамыя не могуць заключыць прасторы.
Аўтар адзначае, што з сучаснага пункту гледжання, адно з слабых месцаў "Пачаткаў" Еўкліда - гэта вызначэння . Ён дае вызначэння такіх паняццяў як кропка, плоскасць, прамая, г. зн. імкнецца даць вызначэнне ўсім геаметрычным паняццям, а гэта немагчыма. Многія яго вызначэння вельмі імглістыя, напрыклад:
1. «Прамая ёсць лінія , якая аднолькава размешчана адносна ўсіх сваіх кропак».
2. «Плоскасць ёсць паверхня, якая аднолькава размешчана ў адносінах да ўсіх прамых, што на ёй ляжаць» .
Еўклід ў «Пачатках» падзяліў пастулаты і аксіёмы. Але цяжка правесці паміж імі строгую грань. З сучаснай пункту гледжання ўсе яны могуць называцца аксіёмамі. Іншы важны недахоп "Пачаткаў" - няпоўнасць сістэмы аксіём: няма аксіёмы бесперапыннасці, аксіём руху і парадку, звязаных з тэрмінамі «паміж» і «па-за».
У кнізе II, піша аўтар, закладзены асновы так званай геаметрычнай алгебры , ўзыходзячай да школы Піфагора. Усе велічыні ў ёй прадстаўлены геаметрычна, і аперацыі над лікамі выконваюцца геаметрычна. Колькасці замененыя адрэзкамі прамой. Кніга III цалкам прысвечана геаметрыі акружнасці, а ў кнізе IV вывучаюцца правільныя шматкутнікі, ўпісаныя ў акружнасць, а таксама апісаныя вакол яе. Тэорыя прапорцый , распрацаваная ў кнізе V , аднолькава добра прыкладалася і да сувымерных велічынь і да несувымерных велічынь. Еўклід уключаў у паняцце "велічыні" даўжыні, плошчы, аб'ёмы, вагі, куты, часовыя інтэрвалы і г. д. Адмовіўшыся выкарыстоўваць геаметрычную відавочнасць, але пазбягаючы таксама звароты да арыфметыцы, ён не прыпісваў велічыням лікавых значэнняў.
У кнізе VI, адзначае аўтар, тэорыя прапорцый кнігі V прымяняецца да прамалінейных постацяў , да геаметрыі на плоскасці і, у прыватнасці, да падобных постацям, прычым "такія прамалінейныя фігуры сутнасць тыя, якія маюць куты, роўныя па парадку, і бакі пры роўных кутах прапарцыйныя". Кнігі VII, VIII і IX складаюць трактат па тэорыі лікаў; тэорыя прапорцый ў іх прыкладаецца да лікаў. У кнізе VII вызначаецца роўнасць адносін цэлых лікаў, або, з сучаснага пункту гледжання, будуецца тэорыя рацыянальных лікаў. З многіх уласцівасцяў лікаў, даследаваных Еўклідам (цотнасць, дзялімасць і г.д.), прывядзем, напрыклад, прапанову 20 кнігі IX, якая ўстанаўлівае існаванне бясконцага мноства "першых", г.зн. простых лікаў: "Першых лікаў існуе больш усялякай прапанаванай колькасці першых лікаў". Яго доказ ад адваротнага да гэтага часу можна знайсці у падручніках па алгебры. Кніга X чытаецца з працай; яна ўтрымлівае класіфікацыю квадратычных ірацыянальных велічынь, якія там прадстаўленыя геаметрычна прамымі і прастакутнікамі. Вось як сфармулявана прапанова 1 у кнізе X "Пачаткаў" Еўкліда: "Калі зададзены дзве няроўныя велічыні і з большай адымаецца частка, большая за палову, а з рэшты - зноў частка, вялікая паловы, і гэта паўтараецца пастаянна, то калі-небудзь застаецца велічыня, якая менш, чым меншая з дадзеных велічыняў". На сучаснай мове: калі a і b - станоўчыя рэчавыя колькасці і a > b, то заўсёды існуе такі натуральны лік m , што mb > a. Еўклід даказаў справядлівасць геаметрычных пераўтварэнняў. Кніга XI прысвечана стэрэаметрыі. У кнізе XII, якая таксама ўзыходзіць, верагодна, да Еўдокса, з дапамогай метаду вычэрпвання плошчы крывалінейных фігур параўноўваюцца з плошчамі шматкутнікаў. Прадметам кнігі XIII з'яўляецца пабудова правільных шматкантовікаў. Пабудова Платонавых цел, якім, відаць, завяршаюцца "Пачаткі", дало падставу прылічыць Еўкліда да паслядоўнікаў філасофіі Платона.
3. Іншыя сачыненні
Смышляеў паведамляе, што другім пасля "Пачаткаў" складаннем Еўкліда звычайна называюць «Дадзеныя» - ўвядзенне ў геаметрычны аналіз. Еўкліду належаць таксама «З'явы», прысвечаныя элементарнай сферычнай астраноміі, «Оптыка» і «Катоптрыка», невялікі трактат «Перасекі канону» (змяшчае дзесяць задач пра музычныя інтэрвалы), зборнік задач па дзяленні плошчаў фігур «Пра дзяленні» (дайшоў да нас у арабскім перакладзе). Выклад ва ўсіх гэтых творах, як і ў «Пачатках», падпарадкаваны строгай логіцы, прычым тэарэмы выводзяцца з сапраўды сфармуляваных фізічных гіпотэз і матэматычных пастулатаў. Шмат твораў Еўкліда згублена, пра іх існаванне ў мінулым нам вядома толькі па спасылках у творах іншых аўтараў.
ВЫВАДЫ
Наша даследаванне паказала наступнае:
1. Еўклід - старажытнагрэцкі матэматык, аўтар першага з тых, што дайшлі да нас, тэарэтычнага трактата па матэматыцы. Біяграфічныя звесткі аб Еўкліду вельмі бедныя. Пэўным можна лічыць толькі тое, што яго навуковая дзейнасць працякала ў Александрыі ў 3 ст. да н. э. Еўклід - першы матэматык Александрыйскай школы. Яго галоўная праца «Пачаткі» (Στοιχεῖα, у лацінізаванай форме - «Элементы») змяшчае выклад планіметрыі, стэрэаметрыі і шэрагу пытанняў тэорыі лікаў; у ёй ён падвёў вынік папярэдняга развіцця грэцкай матэматыкі і стварыў падмурак далейшага развіцця гэтай навукі.
2. На працягу двух тысяч гадоў пра геаметрыю даведваліся альбо з "Пачаткаў" Еўкліда, альбо з падручнікаў, напісаных на аснове гэтай кнігі. Класічную геаметрыю сталі называць эўклідавай у адрозненне ад якой з'явілася ў XIX ст. "нееўклідава геаметрыя". Пазней грэчаскія матэматыкі ўключылі ў "Пачаткі" яшчэ дзве кнігі -XIV-ю і XV-ю, напісаныя іншымі аўтарамі. "Пачаткі" Еўкліда не дайшлі да нас у арыгінале. Дванаццаць стагоддзяў аддзяляюць ад Еўкліда самыя старыя вядомыя спісы, сем стагоддзяў - калі- небудзь падрабязныя звесткі пра "Пачаткі". У сярэднявечную эпоху цікавасць да матэматыцы была згублена, некаторыя кнігі "Пачаткаў" зніклі і потым з цяжкасцю аднаўляліся па лацінскім і арабскім перакладам. Найвялікшая заслуга Еўкліда ў тым, што ён падвёў вынік пабудове геаметрыі і надаў выкладу гэтак дасканалую форму, што на 2000 год "Пачаткі" сталі энцыклапедыяй геаметрыі.
3. Кароткі змест “Пачаткаў”:
I кніга - вывучаюцца ўласцівасці трохкутнікаў і паралелаграмаў.
II кніга - тэарэмы так званай «геаметрычнай алгебры» .
III кніга - прапановы аб акружнасцях, іх датычных і хордах.
IV кніга - прапановы аб упісаных і апісаных шматкутніках.
V кніга - агульная тэорыя адносін, распрацаваная Еўдоксам Кнідскім.
VI кніга - вучэнне пра падабенства геаметрычных фігур.
VII , VIII і IX кнігі прысвечаны тэарэтычнай арыфметыцы.
X кніга - класіфікацыя несувымерныя велічынь.
XI кніга - пачаткі стэрэаметрыі.
XII кніга - тэарэмы пра піраміды і конусах , даказваць з дапамогай метаду вычэрпвання.
XIII кніга - пабудова правільных шматкантовікаў; доказ таго, што існуе роўна пяць правільных шматкантовікаў.
4. З іншых твораў па матэматыцы трэба адзначыць «Аб дзяленні фігур», якое захавалася ў арабскім перакладзе, 4 кнігі «Канічныя сячэнні», а таксама «Парызмы». Еўклід - аўтар работ па астраноміі, оптыцы, музыцы і інш.
Практычная і тэарэтычная значнасць даследавання заключаецца ў тым, што яго можна выкарыстоўваць пры вывучэнні матэматыкі і гісторыі яе развіцця ў розных навучальных установах.
СПІС ВЫКАРЫСТАНАЙ ЛІТАРАТУРЫ
1. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Наука, 1995.
2. Дягилев Ф.М. Из истории физики и жизни ее творцов. -М.: Наука, 1986.
3. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Наука, 1979.
4. Смышляев В.К. О математике и математиках. - Йошкар-Ола: Наука, 1977.
5. www.ru.wikipedia.org/wiki/Евклид - дата доступу: 27.10.2013.
РЭЗЮМЭ
Еўклід – старажытнагрэцкі матэматык, вучань школы Платона, пры цары Пталямеі I выкладаў матэматыку ў Александрыі - сталіцы Старажытнага Егіпта. З работ, напісаных Еўклідам, галоўным творам з'яўляюцца «Пачаткі». Еўклід з найвялікшым мастацтвам разьмясціў матэрыял па 13 кнігах так, каб цяжкасці не ўзнікалі заўчасна. Пазней грэчаскія матэматыкі ўключылі ў "Пачатакі" яшчэ дзве кнігі -XIV - і XV -ю, напісаныя іншымі аўтарамі. Гэтая кніга нашмат пераўзыходзіла пазнейшыя працы матэматыкаў, яна адыграла велізарную ролю ў гісторыі матэматыкі. На працягу двух тысяч гадоў пра геаметрыю даведваліся альбо з "Пачаткаў" Еўкліда, альбо з падручнікаў, напісаных на аснове гэтай кнігі. Толькі прафесійныя матэматыкі звярталіся да прац іншых вялікіх грэцкіх геаметрыі: Архімеда, Апалонія і геаметрыі больш позняга часу. «Пачаткі» былі перакладзены на мноства моў свету і вытрымалі каля 500 выданняў. Да сярэдзіны XIX стагоддзя ўсе матэматыкі вучыліся па «Пачаткам» Еўкліда. Класічную геаметрыю сталі называць еўклідавай у адрозненне ад якой з'явілася ў тым жа стагоддзі "нееўклідава геаметрыя". Што тычыцца месца Еўкліда ў навуцы , то яно вызначаецца не столькі ўласнымі яго навуковымі даследаваннямі , колькі педагагічнымі заслугамі. Найвялікшая заслуга Еўкліда ў тым, што ён падвёў вынік пабудове геаметрыі і надаў выкладу гэтак дасканалую форму, што на 2000 год "Пачаткі" сталі энцыклапедыяй геаметрыі.
Ключавыя словы:
Еўклід, матэматыка, пачаткі, навука, геаметрыя, гісторыя.
SUMMARY
Euclid - the ancient Greek mathematician, student of the school of Plato, during the reign of Ptolemy I taught mathematics at Alexandria - the capital of ancient Egypt. Of works written by Euclid , the main product is "Elements". Euclid with the greatest of art is located on the 13 books of the material so that difficulties do not occur prematurely. Later Greek mathematicians included in the "Elements" two more books -XIV- XV- th and written by other authors. This book is far superior to the later works of mathematicians, it has played a huge role in the history of mathematics. For two thousand years or geometry learned from the "Elements" of Euclid, or from books written on the basis of this book. Only professional mathematicians turned to the works of other great Greek geometers: Archimedes, Apollonius and geometers a later time. "Elements" has been translated into many languages and stood about 500 publications. Until the mid- XIX century, all the mathematics studied at the "Elements" of Euclid. Classical Euclidean geometry became known as opposed to appearing in the same century "non-Euclidean geometry". As for the place of Euclid in science, it is defined not so much by his own research as pedagogical merit. The greatest merit of Euclid that he summed up the geometry of the building and gave the presentation of such a perfect shape, that for 2000 years the "Elements" became an encyclopedia of geometry.
Keywords:
Euclid, mathematics, elements, science, geometry, history.
РЕЗЮМЕ
Евклид – древнегреческий математик, ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются «Начала». Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещё две книги-XIV- и XV-ю, написанные другими авторами. Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из “Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония и геометров более позднего времени. «Начала» были переведены на множество языков мира и выдержали около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившейся в том же веке “неевклидовой геометрии”. Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.
Ключевые слова:
Евклид, математика, начала, наука, геометрия, история.