Монета подбрасывается три раза подряд
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
15. Теория вероятностей
Случайные события и их вероятности
Классификация событий. Операции над событиями
15.1. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать упорядоченный набор , где каждый из обозначает выпадение герба или решетки. Нужно: а) построить пространство элементарных событий для нашего опыта и б) описать событие – “выпало не менее двух гербов”.
15.2. Подбрасываются два игральных кубика (номер 1 и номер 2). Под исходом опыта будем понимать упорядоченную пару , где каждый из (результат для -го кубика) обозначает выпадение одного, двух,…, пяти и шести очков. Требуется: а) построить пространство элементарных событий для нашего опыта, б) описать событие – “на обоих кубиках выпало одинаковое число очков” и в) выяснить, какое событие содержит больше элементарных событий: – “сумма выпавших очков равна 7” или – “сумма выпавших очков равна 8”.
- Производят два выстрела по мишени. Выяснить, являются ли несовместными следующие два события: – “наличие хотя бы одного попадания” и – “наличие хотя бы одного промаха”.
- Опыт заключается в подбрасывании двух монет. Образуют ли полную группу несовместных событий следующие два события: – “выпадение двух гербов” и – “выпадение двух решеток”?
- Упростите следующие выражения: а);
б) ; в) ; г) .
- Установить какие из следующих соотношений правильны: а); б) ; в); г).
- Доказать, что события , и образуют полную группу несовместных событий.
- Пусть , , и– три произвольных события. Найти выражения для событий, которые состоятся в следующих случаях: а) произошло только событие ; б) произошло одно и только одно событие; в) произошли два и только два события; г) все три события произошли; д) произошло по крайней мере одно событие; е) произошло не более двух событий; ж) произошли по крайней мере два события; з) ни одно событие не произошло.
Элементы комбинаторики
15.9. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно приготовить конверт с маркой указанного достоинства?
- Сколько словарей нужно издать, чтобы переводить с любого из пяти языков на любой другой из этих языков?
- На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с неё? Дайте ответ на тот же самый вопрос, если подъем и спуск осуществляются разными дорогами.
- Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза?
- Сколькими способами 7 человек могут разместиться в очереди в кассу?
- В классе изучают 10 предметов. В понедельник – 6 уроков, причем все уроки – разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?
- В классе 12 ламп. Сколько всего разных способов освещения класса, при которых горит ровно 8 ламп?
- Группе из пяти сотрудников выделено три путевки. Сколько существует способов распределения путевок, если: а) все путевки разные; б) все путевки одинаковые?
- Сколько имеется пятизначных чисел, делящихся на 5?
- Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать их обратно, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнил, что в номере были числа 23 и 57. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру?
- а) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (с горизонтальными полосами), если имеется материал 6 различных цветов? б) Та же задача, если одна из полос должна быть красной.
- Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы числа 1,2,3 стояли рядом и в порядке возрастания?
- Кодовое устройство пятиразрядного цифрового замка состоит из пяти вращающихся дисков, каждый из которых имеет 6 цифр от 0 до 5. Только одна из комбинаций позволяет открыть замок. Сколько всего комбинаций?
- Автомобильный номер состоит из трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если использовать 28 букв алфавита.
- 5 мальчиков и 5 девочек садятся в ряд на 10 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с нечетными номерами, а девочки – на места с четными номерами. Сколькими способами это можно осуществить?
- Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое четное число имело четный номер?
- Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 юношей и 7 девушек так, чтобы никакие две девушки не сидели рядом?
- В купе ж/д вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной к нему; остальным трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?
- Сколько разных слов (считая и абсолютно бессмысленные) можно составить перестановкой букв в слове “математика”?
- Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях 64-клеточной шашечной доски?
- Сколько разных слов (включая и абсолютно бессмысленные) можно составить: а) из букв слова “колокол”; б) из букв слова “водород”, используя все буквы слова?
Классическое определение вероятности
- Наудачу взят телефонный номер, состоящий из пяти цифр. Чему равна вероятность того, что все цифры различные?
- На полке стоят 15 книг, 5 из них – в переплете. Берут наудачу три книги. Какова вероятность того, что все три книги – в переплете?
- В ящике 20 шаров с номерами 1,2,…,20. Наудачу выбираются 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них есть шары с номерами 1 и 2.
- Среди 100 изделий есть одно с дефектом. Взяли наудачу 10 изделий. Какова вероятность того, что среди них есть изделие с дефектом?
- Из 12 лотерейных билетов, среди которых есть 4 выигрышных, наудачу берут 6. Какова вероятность того, что хотя бы один из них – выигрышный?
- В ящике 2 белых и 4 черных шара. Один за другим вынимаются все имеющиеся в нем шары. Найти вероятность того, что последний шар будет черным.
- В течение 5 дней случайным образом поступают сообщения о банкротстве одного из пяти банков, назовем их условно ,,,,. Чему равна вероятность того, что сообщения о банкротстве банков и не следуют одно за другим?
- При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры – разные и нечетные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
- Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.
- В ящике 10 красных и 6 белых шаров. Вынимаются наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что шары будут разного цвета?
- Бросаются 4 игральных кубика. Найти вероятность того, что на них выпадет одинаковое число очков.
- Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А,А,М,М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово “МАМА”?
- и и еще 8 человек стоят в очереди. Определить вероятность того, что и отделены друг от друга тремя лицами.
- (Задача о выборке). В партии из 50 изделий – 5 бракованных. Из партии выбирают наудачу 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий окажутся 2 бракованных.
- В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность следующих событий: – “все пассажиры выходят на 4 этаже”, – “все пассажиры выходят на одном и том же этаже”, – “все пассажиры выходят на разных этажах”.
- В шкафу находятся 10 пар ботинок разных фасонов. Случайно выбирают 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные.
Геометрические вероятности
- Стержень длины разломали на 3 части, выбирая наудачу места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся 3 частей можно составить треугольник.
- Определить вероятность того, что длина хорды, проведенной из данной точки заданной окружности, больше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.
- В круге проведена хорда параллельно заданной прямой. Найти вероятность того, что длина хорды будет меньше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.
- В круг вписан квадрат и в этот круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что брошенная точка попадет в квадрат.
- В квадрат вписан круг и в этот квадрат наугад брошена точка. Какова вероятность того, что брошенная точка попадет в круг?
- В квадрате с вершинами в точках ,, и наудачу взята точка . Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству .
- В прямоугольнике с вершинами O(0,0), A(0,1), B(2,1) и C(2,0) наудачу взята точка M(x,y). Найти вероятность того, что координаты точки удовлетворяют неравенству .
- В квадрат с вершинами O(0,0), A(0,1), B(1,0) и C(1,1) наудачу брошена точка M. Пусть – её координаты. Найти вероятность того, что уравнение имеет действительные корни.
- Две одинаковые монеты радиуса расположены внутри круга радиуса , в который наудачу брошена точка. Определить вероятность того, что эта точка упадёт на одну из монет, если монеты не перекрываются.
Основные свойства вероятности.
- Двое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше выпадет герб. Найти вероятность выигрыша для каждого игрока.
- В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что вынутые шары – разного цвета, если известно, что по крайней мере один из вынутых шаров – синий.
- Последовательно брошены три монеты. Определить, зависимы ли события – “на первой монете выпал герб” и – “выпала хотя бы одна решётка”.
- Пусть для одной торпеды вероятность потопить корабль равна . Считая, что для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды, найти вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль.
- В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждого ящика наудачу вынуто по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика вынут белый шар.
- С первого станка на сборку поступило 200 деталей, из которых 190 стандартных; со второго – 300, из которых 280 стандартных. Событие состоит в том, что деталь изготовлена на первом станке. Найти вероятность события , состоящего в том, что наудачу взятая на сборке деталь будет стандартной, и условные вероятности события относительно событий и .
- В ящике 15 шаров, из которых 5 синих и 10 красных. Из ящика последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что первый вынутый шар окажется синим, а второй – красным.
- Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,35, 0,20 и 0,15. Какова вероятность попадания в мишень?
15.63. Определить вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 9, либо тому и другому одновременно.
- На десяти карточках напечатаны цифры от 0 до 9. Определить вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 357.
- Производятся 4 выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в мишень при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность ровно трёх попаданий в мишень?
- Рабочий обслуживает 4 однотипных станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ни один станок; в) по крайней мере один станок.
- Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени он проводит у первого станка, 15% – у второго, 20% – у третьего, 25% – у четвёртого и 30% – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: 1) у первого или третьего станка; 2) у второго или пятого; 3) у первого или четвёртого станка; 4) у третьего или пятого; 5) у первого или второго, или четвёртого станка.
- В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора такая вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.
- В ящике находятся 10 деталей, из которых 4 – первого типа и 6 – второго. Для сборки агрегата нужно сначала взять деталь первого типа, а затем – второго. Какова вероятность того, что при выборе наугад детали будут взяты в нужной последовательности?
- Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% дефектных деталей.
- Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.
- Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?
Формула полной вероятности и формула Байеса
15.73. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 чёрный шар, во втором – 1 белый и 4 чёрных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
- На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.
- Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% – вторым, на 50% – третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны , , . Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.
- На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором – 0,81. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.
- Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 синих и 3 красных шара, во второй – 4 синих и 4 красных, в третьей – 8 синих. Наугад выбирается одна из урн и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?
- В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные – вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3%, второго – 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.
- Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причём первый изготовил 35% всех деталей, второй – 40%, третий – всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого – 2%, у второго – 3%, у третьего – 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.
- В первой урне 2 белых и 6 красных шаров, во второй – 4 белых и 2 красных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар – белый?
Предположим, что шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?
- Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это – мужчина? Считать, что мужчин и женщин – одинаковое число.
Испытания Бернулли. Формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.
- Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
15.83. Что вероятнее – выиграть у равносильного противники 3 партии из 4 или 5 партий из 8 (ничейный исход партии исключен)?
- Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?
- Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.
- Всхожесть семян некоторого сорта растений оценивается вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырёх?
- Вероятность того, что любой из 800 абонентов телефонной станции позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов.
- Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся не менее 4?
- Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.
- Вероятность изготовления нестандартной детали . Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
- Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) ровно 1 изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.
- Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что бутылка при перевозке окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что среди полученных бутылок разбитых будет: а) более двух; б) менее двух; в) ровно две; г) хотя бы одна.
- Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.
- Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появление события в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5.
- Вероятность приема каждого из 100 передаваемых сигналов равна 0,75. Найти вероятность того, что будет принято от 71 до 80 сигналов.
- Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что частота появления события отклонится от его вероятности по модулю не больше, чем на 0,02.
- Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
- Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу модуля отклонения частоты взошедших семян от вероятности , если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью .
Случайные величины, их распределения
и числовые характеристики
Дискретные случайные величины
- Пусть – число выпавших гербов при подбрасывании двух монет. Найти ряд распределения случайной величины .
- В коробке 7 карандашей, из которых 4 – красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Найти ряд распределения с.в. , равной числу красных карандашей в выборке.
- Ряд распределения д.с.в. имеет вид:
Найти вероятности и , если известно, что .
- Ряд распределения д.с.в. имеет вид:
Найти функцию распределения с.в. .
- В партии из 10 деталей содержится 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найти функцию распределения с.в. , равной числу стандартных деталей в выборке.
- Ряд распределения д.с.в. имеет вид:
|
|
-4
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
|
|
0,1
|
0,2
|
0,15
|
0,25
|
0,3
|
Записать законы распределения с.в. и и найти математические ожидания с.в. , , .
- Подбрасывается игральный кубик. Найти математическое ожидание с.в. , равной числу выпавших очков.
- Ряд распределения д.с.в. имеет вид:
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
|
0,05
|
0,15
|
0,30
|
0,40
|
0,10
|
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.в. .
- Подбрасывается игральный кубик. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.в. , равной числу выпавших очков.
- Пусть – число выпавших решеток при трех подбрасываниях монеты. Найти числовые характеристики , и с.в. .
- Найти числовые характеристики , и с.в. , заданной рядом распределения
|
|
-0,1
|
0
|
0,1
|
0,4
|
|
|
0,30
|
0,15
|
0,30
|
0,25
|
- Пусть , , – все возможные значения д.с.в. и , . Найти ряд распределения с.в. .
- Д.с.в. может принимать только два значения и , причем . Известны вероятность , математическое ожидание и дисперсия . Построить ряд распределения с.в. .
Непрерывные случайные величины
- Дана функция
Показать, что эта функция является функцией распределения некоторой с.в. . Найти .
- Плотность вероятности с.в. задана функцией
Найти вероятность .
- Функция распределения с.в. имеет вид
Найти плотность вероятности с.в. .
- Найти функцию распределения с.в. , плотность вероятности которой определена формулой
- Дана функция
При каком значении постоянной функция является плотностью вероятности некоторой с.в. .
- Функция распределения с.в. задана формулами
Найти значение коэффициента и плотность вероятности с.в .
- Функция распределения с.в. имеет вид
Найти плотность вероятности с.в. и вероятность .
- Плотность вероятности с.в. задана функцией
Найти математическое ожидание с.в. .
- Найти математическое ожидание с.в. , если известна ее функция распределения
- Найти математическое ожидание с.в. , если известна ее функция распределения
- Найти числовые характеристики , и непрерывной случайной величины , заданной плотностью вероятности
- Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности
Найти числовые характеристики , и этой случайной величины.
- Случайная величина задана функцией распределения
Найти числовые характеристики , и этой случайной величины.
- Функция распределения с.в. имеет вид:
Найти , , и .
- С.в. распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (10,50).
- При изготовлении некоторого изделия его вес подвержен случайным колебаниям. Стандартный вес изделия равен 30г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7г, а с.в. распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28г до 31г.
- Среднее квадратическое отклонение с.в. , распределенной по нормаль-ному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение с.в. .
- Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами =375г, =25г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет: а) от 300г до 425г; б) не более 450г; в) больше 300г.
- При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15мм.
- Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры так, что с.в. распределена по нормальному закону с параметрами мм и , найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
Ответы
15.2. в) A содержит 6 исходов, а B – 5. 15.3. нет. 15.4. нет. 15.5. а) ; б) ; в); г) . 15.6. Только в).
15.8. а) ; б); в); г); д); е); ж); з). 15.9. 20. 15.10. 20. 15.11. 49 и 42. 15.12. 60. 15.13. 7!=5040. 15.14. =151200. 15.15. =495. 15.16. 60 и 10. 15.17. 18000. 15.18. 60. 15.19. 120 и 60. 15.20. (n-2)! 15.21. 65=7776. 15.22. 283104. 15.23. (5!)2=14400.
15.24. (n!)2. 15.25. 2(7!)2=50803200. 15.26. 3(5!)2=43200.
15.27. 10!/24=151200. 15.28. . 15.29. а) 210; б) 420.
15.30. /105=0,3024. 15.31. 2/91. 15.32. 3/38. 15.33. 1/10.
15.34. 32/33. 15.35. 2/3. 15.36. 3/5. 15.37. 1/20. 16.38. 11!/1211.
15.39. 1/2. 15.40. 1/216. 15.41. 1/6. 15.42. 2/15. 15.43. 0,09.
15.44. 1/216, 1/36, 5/54. 15.45. 0,7. 15.46. 1/4. 15.47. 1/3. 15.48. 1/2. 15.49. 2/π. 15.50. π/4. 15.51. 3/4. 15.52. 3/4. 15.53. 1/12.
15.54. 2(r/R)2. 15.55. 2/3 и 1/3. 15.56. 40/49. 15.57. зависимы.
15.58. 15/16. 15.59. 7/9. 15.60. 0,94, 0,95 и 0,93. 15.61. 5/21.
15.62. 0,7. 15.63. 5/9. 15.64. 1/720. 15.65. 0,0256. 15.66. а) 0,1296; б) 0,0256; в) 0,9744. 15.67. 1) 0,30; 2) 0,45; 3) 0,35; 4) 0,50; 5) 0,50.
15.68. 0,68. 15.69. 4/15. 15.70. 0,23. 15.71. 51/90. 15.72. 2.
15.73. 13/30. 15.74. 0,022. 15.75. 0,9935. 15.76. 0,87. 15.77. 0,292. 15.78. 0,5. 15.79. 0,345. 15.80. 9/16 и 1/21. 15.81. 20/21.
15.82. 0,2787. 15.83. 3 из 4. 15.84. 3/16. 15.85. 0,3723.
15.86. 0,73728. 15.87. 0,0916. 15.88. 0,918. 15.89. 21/32 и 1023/1024. 15.90. 0,1562. 15.91. а) 0,06313; б) 0,367879; в) 0,981011; г) 0,018989. 15.92. а) 0,577; б) 0,1992; в) 0,224; г) 0,95. 15.93. а) 0,00146; б) 0,0236. 15.94. 55. 15.95. 0,6961. 15.96. 0,7698.
15.97. 0,9736. 15.98. 0,0034.
|
15.99.
0
1
2
0,25
0,50
0,25
|
15.100.
0
1
2
3
1/35
12/35
18/35
4/35
.
|
|
15.101. и .
|
|
|
15.102.
|
15.103.
|
|
15.104.
-12
-6
0
6
12
;
-2
-1
0
1
2
;
0,1
0,2
0,15
0,25
0,3
0,1
0,2
0,15
0,25
0,3
|
15.105. 3,5. 15.106. 1,0275. 15.107. 2,917 и 1,708. 15.108. 1,5; 0,75; 0,866. 15.109. 0,1; 0,036; 0,190.
|
15.110.
1
2
3
0,2
0,3
0,5
.
|
15.111.
3
4
0,5
0,5
.
|
15.112. 0,5. 15.113. 0,75.
15.114. 15.115.
15.116. . 15.117. ;
15.118.
15.119. 1,5. 15.120. 2/3. 15.121. 4,5. 15.122. =2/3; =1/18; =0,24. 15.123. =-1; =1; =1. 15.124. =3/4; =3/80; =0,19. 15.125. =0,5; =2,083; =1,443; =0,4. 15.126. 0,9544. 15.127. 0,922. 15.128. (12,08; 19,92). 15.129. 0,9759; 0,9987; 0,9987. 15.130. 0,8664. 15.131. (9,7; 10,3).
16. Основы математической статистики
Генеральная и выборочная статистические совокупности. Статистическое распределение случайной выборки
- Измерили рост (с точностью до сантиметров) у 30 наудачу отобранных учащихся. Результаты измерений таковы:
178, 160, 162, 183, 162, 168, 167, 184, 163, 155, 157, 175, 170, 166,159, 173, 182, 167, 171, 169, 179, 165, 174, 179, 168, 171, 175, 173, 164, 172.
Построить интервальный статистический ряд распределения и его гистограмму частот для полученного набора опытных данных.
- При измерении некоторой величины получен следующий статистический ряд
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Относительная частота
|
20
|
15
|
10
|
5
|
Определить статистическое среднее и статистическую дисперсию.
- Результаты измерений даются таблицей
|
|
0,18
|
0,2
|
0,22
|
0,24
|
0,26
|
0,28
|
|
Относительная частота
|
4
|
18
|
33
|
35
|
9
|
1
|
Определить статистическое среднее и статистическую дисперсию.
Интервальные статистические оценки параметров
распределения случайной величины
- Произведено 5 независимых наблюдений (испытаний) над с.в. . Результаты наблюдений таковы: Найти точечную оценку для параметра и построить для него 95% – ый доверительный интервал.
- В условиях примера предыдущей задачи неизвестной. Найти точечную оценку для и построить для 95% – ый доверительный интервал.
- Для оценки параметра нормально распределенной с.в. была сделана выборка объёма в 30 единиц и вычислено . Найти доверительный интервал, покрывающий с вероятностью .
Проверка статистических гипотез о законе распределения
- Распределение числа радиоактивных частиц, попавших в счетчик за 60 равных промежутков времени, задано следующей таблицей:
|
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
|
8
|
17
|
16
|
10
|
6
|
2
|
0
|
1
|
где – число промежутков времени, дающих ровно по частиц (, . Используя критерий согласия , проверить предположение о согласии данных с законом Пуассона, взяв уровень значимости .
- Измерены диаметры 100 изготовленных деталей и определены их отклонения от заданного размера. Максимальное и минимальное отклонения составили соответственно 5,0 и – 2,5 (см). В соответствие с формулой Стэрджесса, весь диапазон отклонений разбит на 8 равных промежутков длины 1 (число Cтэрджесса мы округлили до 1 и взяли ) и подсчитано количество значений отклонения , попавших в каждый промежуток. Данные представлены в следующей таблице:
|
|
[-3;-2)
|
[-2;-1)
|
[-1; 0)
|
[0;1)
|
[1;2)
|
[2;3)
|
[3;4)
|
[4;5)
|
|
|
3
|
10
|
15
|
24
|
15
|
13
|
7
|
3
|
Требуется при уровне значимости проверить предположение о том, что отклонение размеров детали от заданного размера согласуется с ормальным законом распределения.
Случайные функции
Случайные функции
- Найти математическое ожидание с.ф.: а) , где - случайная величина, причем ; б) , где ,- случайные величины, причем , .
- Задана корреляционная функция с.ф. Найти корреляционные функции с.ф.: а) ; б) ;
в)
- Задана дисперсия с.ф. Найти дисперсию с.ф.:
а) ; б) .
- Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию с.ф. , где - случайная величина, причем ,.
- Найти нормированную корреляционную функцию с.ф. , зная ее корреляционную функцию .
- Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух с.ф. и , где - случайная величина, причем .
- Задано математическое ожидание с.ф. Найти математическое ожидание интеграла .
- Задана с.ф. , где - случайная величина, причем . Найти математическое ожидание с.ф. .
- Задана корреляционная функция с.ф. Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию интеграла
Стационарные случайные функции
- Является ли стационарной с. ф. где - случайная величина, причем: а) , б) ?
- Стационарна ли с.ф. , где - случайная величина, распределенная равномерно в интервале ?
- Известно, что если - случайная величина, распределенная равномерно в интервале , то с.ф. - стационарная. Можно ли отсюда непосредственно заключить, что с.ф. - стационарная?
- Задана с.ф. , где ,- случайные величины, причем , , . Доказать, что: а) - нестационарная функция; б) - стационарная функция.
- Известна корреляционная функция стационарной с.ф. . Найти корреляционную функцию с.ф. .
- Задана корреляционная функция стационарной с.ф. . Найти а) корреляционную функцию; б) дисперсию производной .
- Задана корреляционная функция стационарной с.ф. . Найти дисперсию интеграла
Элементы спектральной теории стационарных случайных функций
- Найти дисперсию стационарной с.ф. , зная ее спектральную плотность
- Найти спектральную плотность стационарной с.ф. , зная ее корреляционную функцию
- Найти спектральную плотность стационарной с.ф. , зная ее корреляционную функцию
- Задана спектральная плотность стационарной с.ф. . Найти нормированную спектральную плотность.
- Найти корреляционную функцию стационарной с.ф. , зная ее спектральную плотность
- Спектральная плотность стационарной с.ф. постоянна в диапазоне частот , а вне его равна нулю:
Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию с.ф. .
- На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается стационарная с.ф. с математическим ожиданием и корреляционной функции Найти математическое ожидание и ее дисперсию с.ф. на выходе системы в установившемся режиме.
- На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается стационарная с.ф. с математическим ожиданием и корреляционной функции Найти математическое ожидание и спектральную плотность с.ф. на выходе системы в установившемся режиме.
- На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается стационарная с.ф. с известной корреляционной функции Найти спектральную плотность с.ф. на выходе системы в установившемся режиме.
- На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , поступает с.ф. с постоянной спектральной плотностью (стационарный белый шум). Найти дисперсию с.ф. на выходе системы в установившемся режиме.
Ответы
16.1.
|
Рост
|
|
[155;
160)
|
[160;
165)
|
[165;
170)
|
[170;
175)
|
[175;
180)
|
[180;
185)
|
|
Число
наблюдений
|
|
3
|
5
|
7
|
7
|
5
|
3
|
|
Частота
|
|
0,10
|
0,17
|
0,23
|
0,23
|
0,17
|
0,10
|
16.2. 2;1. 16.3. 0,226;0,004. 16.4. .16.5. . 16.6. . 16.7. Опытные данные согласуются с распределением Пуассона на уровне значимости . 16.8. Нет оснований при уровне значимости 0,01 отвергать предположение о нормальности распределения с.в. . 16.9. а) ; б) . 16.10. а); б) ; в) .
16.11. а) ; б) . 16.12. а) ; б) ; в) .
16.13. . 16.14. а) ; б) . 16.15. . 16.16. . 16.17. а) ; б) . 16.18. а) Нет:; б) Нет: корреляционная функция зависит не от разности аргументов, а от каждого из них. 16.19. Да:, . 16.20. Можно: изменив начало отсчета аргумента, например, на , стационарной функции , получим функцию . 16.21. а) ; б) , . 16.22. .
16.23. а) ; б) .
16.24. . 16.25. . 16.26. . 16.27. . 16.28. .
16.29. .
16.30. а) ; б) ;
в) . 16.31. ; .
16.32. ;.
16.33. . 16.34.
Для заметок
Для заметок
АГТУ Заказ ______ тираж ____ _____ __________ 2008г.
PAGE 263