Лекция 12 Множество Мандельброта При создании множества Мандельброта используется алгебраическое выраже
Работа добавлена на сайт samzan.net:
©Секованов В.С., Миронкин Д.П.
Лекция 12
Множество Мандельброта
При создании множества Мандельброта используется алгебраическое выражение
Zn+1=Zn2+C, (1)
где Z и C – комплексные числа, а Z0=0.
Расчет множества Мандельброта
Комплексное число имеет две части: действительную Х(Re) и мнимую У(Im). Разделим выражение (1) на действительную и мнимую части:
(2)
Для каждой точки (a,b) проводится серия вычислений по формулам (2), причем Х0 и У0 принимаются равными нулю. Результат вычислений изображается графически на комплексной плоскости в системе координат OХУ, где ось Х предназначена для действительных величин, ось У - для мнимых.
Полное изображение множества Мандельброта строится на участке координатной плоскости от -2 до 1 по оси Х, и от -1,5 до 1,5 - по оси У.
Анализ поведения множества точек
Заранее определить, принадлежит ли точка (a,b) множеству Мандельброта нельзя.
На каждом шаге, кроме очередных значений Хi+1 и Уi+1, вычисляют расстояние точки с координатами (X,Y) от начала координат
. (3)
На комплексной плоскости различаются три типа точек.
- Если орбита точки никогда не "убегает" из области определенного диаметра R, расположенной в начале координат комплексной плоскости, то эта точка - элемент множества Мандельброта. Точки, удовлетворяющие этому критерию, обычно закрашиваются черным цветом. Это равновесные (статические) точки. Область, ограниченная критическим расстоянием R, представляет область притяжения или аттрактор. Аттракторами называют точки или замкнутые линии, притягивающие к себе возможные траектории поведения системы.
- Для всех прочих значений a и b величина ri может переходить запретный рубеж за разное количество шагов.
Существует теорема: если точка, удалится от начала координат на две и более единиц, то она уйдет в бесконечность и окажется за пределами множества Мандельброта.
Такие точки не принадлежат множеству Мандельброта. Они свободно путешествуют по плоскости, уходя в бесконечность. Такие точки окрашивают в белый цвет. Бесконечность является еще одной областью притяжения или аттрактором.
Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения - аттракторы. Аттракторы – это центры, ведущие борьбу за доминирование на плоскости. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния.
- Между аттракторами возникает граница, представляющая витиеватый узор. Любая начальная точка Х0 либо в течение процесса приходит к тому или иному центру, либо лежит на границе, где она не может принять определенное решение. С изменением параметра (а, b) изменяются и области, принадлежащие аттракторам, а вместе сними и границы.
Таким образом, множество Мандельброта - это множество точек (a, b), которые устремляются к разным аттракторам. Сначала возникает темный плоский широкий круг с рваными краями. Затем он начинает делиться на части, все более расчленяется и одновременно пробивается к поверхности. Происходит борьба, в результате которой рождаются невероятные образования. Эти контуры настолько сложны, что мельчайшие их детали теряются в бесконечности.
Так получается изображение множества Мандельброта и его окружение с "нестабильными" областями фрактала - областями, для которых малые изменения формулы ведут к большой разнице в орбитальном поведении. Меняя формулу для подсчета орбит, получим другие, такие же экзотические фракталы.
Бесконечное количество деталей при любой степени увеличения есть основная отличительная черта фрактальных кривых и поверхностей.
По утверждениям математиков, множество Мандельброта связано. Связность множества Мандельброта означает, что ни одна из его частей не отделена от основного тела, но все они связаны вместе исключительно тонкими линиями. Однако маршрут по этому множеству не будет похож ни на одну земную дорогу. Если последовательно увеличивать практически любую из ветвей, окружающих множество Мандельброта, то видны будут лишь цепочки крошечных черных островков, которые кажутся не связанными друг с другом. Конечно, мы найдем цепочки более мелких островков между крупными островами, однако непрерывная дорога встречается редко или вообще не обнаруживается ни при каком увеличении. Мельчайшая деталь границы, показанная в трех разных вариантах раскраски, дает представление об изумительной системе мостов, необходимой для обеспечения связности.
Благодаря своему бесконечно сложному строению "кружева" границы множества Мандельброта имеют фрактальную размерность, равную двум, при топологической размерности - 1.
2. Реферат- Народный календарь и круг жизни русского крестьянина
3. Курсовая работа- Административно-правовые аспекты деятельности исполнительной власти и органов местного самоуправления
4. Информационные системы менеджмента1
5. САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ УПРАВЛЕНИЯ И КОММЕРЦИИ Цикловая комиссия экономики и
6. Механизм государственного регулирования интеллектуальной собственности
7. ТЕМА1. Система управління охороною праці СУОП Управління охороною праці ~ це підготовка прийняття та ре
8. Не пожалей потом Демоны не имеют чувств им не ведома любовь и чужды душевные страдания но некоторые из ни
9. Статья- Суть истории с Салманом Рушди
10. Страна озер - Финляндия
11. Понятие и признаки правового государства
12. Варіант 1 1 Характеристика кінцевого продукту біосинтезу продуцент згідно завдання курсової роботи і йо
13. тема железных дорог система каналов телеграф и т
14. Тема- Ділова українська мова як різновид літературної
15. а это холинолитики ганглиолитики миотропные спазмолитики ношпа папаверин но самым сильным обезболиваю
16. тематичний план курсу програму з курсу ldquo;Історія Україниrdquo; яка укладена з урахуванням програми курсу l
17. исследовательских и конструкторскотехнологических организаций
18. Owned-operted resort locted in the hert of the Jckson Hole vlley on the Snke River inside the boundries of Grnd Teton Ntionl Prk nd just 40 miles south of Yellowstone Ntionl Prk
19. Изучение лирики в школе
20. Стандартизация документов