Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ
ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
Цветкова Е.В.
Лабораторная работа №65
Изучение собственных колебаний струны
Мариуполь, 2012
Методическое руководство к выполнению лабораторной работы " Изучение собственных колебаний струны "/для студентов всех специальностей//сост. Е.В.Цветкова, Е.И. Недригайлов. - Мариуполь: ПГТУ, 20012.
Составитель: доцент Цветкова Е.В.
Ответственный за выпуск: проф. Коляда Ю.Е.
Утверждено на заседании
кафедры физики
протокол №10 от 6 июня 2012 г.
2. Указания по подготовке к работе:
а) проработайте данное руководство;
б) изучите основные положения по рекомендуемой литературе;
в) подготовьте ответы на контрольные вопросы.
3. Основные теоретические положения.
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.
Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ. Длина волны равна тому расстоянию, на которое со скоростью υ распространяется фаза колебаний за период Т, т.е.
. (1)
Учитывая, что , где ν – частота колебаний,
(2)
Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t :
ξ = ξ (x, y, z, t) (3)
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x в среде, не поглощающей энергию, получают из следующих соображений: если частица, находящаяся в начале координат, совершает колебательное движение по закону ξ(0,t) = Acos(ωt+φ0), то вследствие упругого взаимодействия в точку с координатой х колебания без изменений придут с некоторой задержкой по времени τ = x/υ
ξ(x, t)=A cos[ω(t – τ) + φ0] = Acos(ωt – ω/υ x + φ0) (4)
Введем характеристику волновых процессов
,
тогда уравнение плоской волны будет иметь вид
ξ(x, t) = Acos(ωt – k x + φ0) (5)
где А – амплитуда волны, ω – циклическая частота, φ0 –начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начала отсчета x и t, (ωt – kx + φ0) – фаза плоской волны, k – волновое число .
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой точке среде, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливаются, а в других ослабляют друг друга.
Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси x в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда, соответственно, уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид
ξ1= A cos(ωt ‒ kx)
. (6)
ξ2= Acos(ωt + kx)
Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2π/λ, получим уравнение стоячей волны:
ξ= ξ1 + ξ2 = 2А coskx·cosωt = 2A cos(2πx/λ)·cosωt (7)
Из уравнения стоячей волны (7) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой Аст = |2Acos(2πx/λ)|, зависящей от координаты x рассматриваемой точки.
В точках среды, где
2πx/λ= ± mπ (m = 0, 1, 2, …), (8)
амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где
2πx/λ = ± (m + 1/2)π (m = 0, 1, 2, …), (9)
амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (Аст = 2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (Аст = 0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.
Из выражений (8) и (9) получим соответственно координаты пучностей и узлов:
xп = ± mλ/2 (m = 0, 1, 2, …), (10)
xузл = ± (m + 1/2)λ/2 (m = 0, 1, 2, …), (11)
Из формул (10) и (11) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояния между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно λ/4, см. рис.1.
В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (6) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты x рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (7) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от x). При переходе через узел множитель 2Acos(2πx/λ) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.
Рис.1
Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.
В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины которых укладывается на длине струны целое число раз.
Отсюда вытекает условие
, или (n=1,2,3,…) (12)
(l – длина струны). Длинам волн соответствуют частоты
(n=1,2,3,…) (13)
(υ – фазовая скорость волны).
Частоты νn называются собственными частотами (гармониками) струны. Собственные частоты являются кратными частоте
, (14)
которая называется основной частотой.
Гармонические колебания с частотами (13) называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.
Для определения фазовой скорости поперечной волны в твердом теле рассмотрим произвольный участок стержня. Если к основанию такого участка площадью поперечного сечения S в начальный момент времени приложить касательную силу F, создающую касательное напряжение (рис.2), то в стержне возникнет деформация сдвига, распространяющаяся со скоростью υ.
Рис.2
В возмущенной области стержня все вещество движется со скоростью u. Если m – масса деформированной части стержня в момент t, то его импульс в тот же момент будет mu. Приращение импульса стержня за время dt, равно импульсу силы, т.е.:
. (15)
За время dt возмущение проходит путь dl = υ dt, так что масса возмущенной области стержня будет , где ρ – плотность материала. После подстановки получим
. (16)
По закону Гука τ = Gγ, где γ – угол сдвига, G –модуль сдвига, зависящий от материала стержня.
За время dt свободный конец стержня перемещается на расстояние u dt, в то время как само возмущение проходит путь υ dt. Причем скорости u и υ взаимно перпендикулярны, тогда
(17)
В итоге получаем скорость поперечных волн
(18)
4. Описание установки и методика измерений.
Установка состоит из объекта исследования и измерительного устройства.
Объект исследования – медная струна. Один конец струны жестко крепится к основанию, а второй прикреплен к тарированной пружине. Пружина механически связана с винтовым механизмом, при помощи которого осуществляется изменение натяжения струны. Сила натяжения струны измеряется при помощи указателя, перемещающегося по шкале при изменении натяжения струны.
В состав измерительного устройства входят генератор синусоидальных колебаний с усилителем мощности для возбуждения колебаний струны и частотомер для измерения частоты генератора.
Наблюдают стоячие волны, образующиеся на струне, через прозрачный кожух, закрывающий переднюю стенку объекта исследования. Подстройкой частоты добиваются максимальной амплитуды пучности и ярко выраженной точки – узла стоячей волны.
В лабораторной работе определяется модуль сдвига G.
Рабочая формула
, (19)
где ρ – плотность материала струны,
l – длина струны.
5. Порядок выполнения работы.
|
νi ,Гц |
ν1i ,Гц |
(ν1ср - ν1i) |
(ν1ср - ν1i)2 |
|
|
n=1 |
||||
|
n=2 |
||||
|
n=3 |
||||
|
n=4 |
8. Рассчитайте модуль сдвига по формуле (19). Погрешность измерений рассчитайте по схеме обработки косвенных измерений [3]. Представьте результат в виде
, при доверительной вероятности γ = ...
9. Cделайте выводы по работе. Сравните Ваш результат с табличным значением G.
6. Контрольные вопросы.
Список литературы.
3. Коляда Ю.Е., Федун В.И. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по физике «Математические методы обработки результатов физических измерений». -Мариуполь: ПГТУ, 2011 – 24 c.
PAGE 12