Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
11 вопрос
Уравнения электромагнитного поля
для периодических процессов в комплексной форме
Для периодических процессов векторных и скалярных функций, применяя метод комплексных амплитуд, можем записать:
При дифференцировании по времени получим, например
и т. д.
На основании этих зависимостей запишем уравнения Максвелла для переменного гармонического поля и однородной изотропной среды[5,6]:
(1.84)
Уравнения (1.84) перепишем в виде
(1.85)
(1.86)
Величина называется комплексной диэлектрической проницаемостью.
Диэлектрическая проницаемость становится комплексной, как только среда обладает конечной проводимостью. Величина имеет важное значение для суждения о свойствах среды по отношению к электрическому полю. При постоянных и электромагнитный процесс может быть существенно различим в зависимости от частоты .
Физический смысл отношения определяется отношением амплитуд плотностей токов проводимости и смещения. Действительно,
откуда
Из формул (1.66 – 1.69) получаем:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д);
где – волновой множитель.
Получим выражение для электрического вектор-потенциала в комплексной форме. Известно выражение для вектор-потенциала (1.74)
На рис.1.13 приведены обозначения, входящие в данное выражение.
Для гармонических процессов имеем соответствия:
Подставляя эти комплексные изображения в (1.86), получим:
Известно, что
тогда
В результате имеем
(1.87)
.
Формула (1.87) и представляет выражение для электрического вектор-потенциала в комплексной форме.
В этом случае уравнения (1.80) и (1.81) принимают вид:
(1.88)
которым удовлетворяют как так и т. е. уравнения для вектор-потенциалов и скалярных потенциалов обоих типов полей одни и те же. Уравнения же связи будут различными. Для поля электрического типа они будут:
(1.89)
а)
б) ;
в)
так как .
Для поля магнитного типа они будут:
а)
б) ;
в)
12 вопрос
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
Решение, соответствующее плоской электромагнитной волне
Плоской электромагнитной волной называется волна, у которой колебания происходят в одной и той же фазе на безграничной плоскости. Иначе говоря, поверхность постоянной фазы (пространственной) такой волны есть бесконечная плоскость. Вид волны определяется постоянной пространственной фазой. Например, практически волну от точечного источника на достаточно большом расстоянии от него можно считать плоской.
Электромагнитные волны бывают однородные и неоднородные. Если поверхность постоянной фазы и поверхность постоянной амплитуды совпадают, то такая волна называется однородной. В противном случае волна называется неоднородной.
Плоская электромагнитная волна имеет такое же важное значение в радиотехнике, как и гармоническое колебание. Математический аппарат значительно упрощается при использовании плоской волны.
Если имеем область, свободную от зарядов () и сторонних токов (), то для гармонических ЭДС можно воспользоваться методом комплексных амплитуд. При этом, как нам уже известно, вектор-потенциал удовлетворяет уравнению (1.88) [6], т. е.
(2.1)
где
Этот простейший случай соответствует частному виду решения уравнений Максвелла, дающему плоскую однородную линейно-поляризованную волну. Форма решения уравнения (2.1) в этом случае имеет вид
(2.2)
,
где – произвольный постоянный во всем пространстве вектор;
– некоторая постоянная и в общем случае комплексное число;
– переменное расстояние вдоль прямой, направление которой определяется направлением единичного вектора (рис. 2.1);
– радиус-вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку пространства;
,
и– постоянные числа;
,
– координаты вектора.
Причём, всегда выполняется условие
Рис. 2.1
Рассмотрим процесс, характеризующий решение (2.2),
Это выражение определяет плоскую однородную волну, распространяющуюся вдоль прямой с постоянной фазовой скоростью. А так как
и с изменением времени изменяется и расстояние , т. е.
отсюда скорость равна
Форма этой волны плоская, так как пространственная фаза при . Ноесть уравнение плоскости, перпендикулярной. Амплитуда же волны постоянна тоже при , т. е. мы получили плоскую однородную волну. Амплитуда волны уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону .
Величинаназывается постоянной распространения. Её вещественная часть определяет затухание амплитуды волны по мере её распространения вдоль прямой, а мнимая часть представляет собой волновое число.
Поскольку векторы поляиполучаются из вектора простым дифференцированием, проделав операции (1.89) или (1.90) в зависимости от типа волны, то вид зависимостейи от сохраняется таким же, как и выражение (2.2). Таким образом, приняв решение уравнения (2.1) в виде (2.2), мы получим плоскую, однородную, линейно-поляризованную волну.
В каком же случае решение (2.2) удовлетворяет уравнению (2.1)? Для этого, подставив (2.2) в (2.1), получим:
Найдём
Сначала вычислим
;
Аналогично вычислим и другие производные. В результате имеем:
В результате вычислений получаем:
или
При этом должно выполняться условие
(2.3)
Следовательно,
Таким образом, решение (2.2) удовлетворяет уравнению (2.1), если . Отсюда следует, что уравнение (2.1) имеет решение:
где – соответствует прямой волне, т. е. волне, распространяющейся от начала координат вдоль прямой;
– соответствует обратной (встречной) волне, распространяющейся в отрицательном направлении вдоль прямой .
Перейдём к определению векторов поля и , считая, что , т. е. берём электрический вектор-потенциал, что соответствует полю электрического типа. (Это поле ничем не отличается от магнитного, за исключением того, что поляризация у них будет разная):
;
,
где
.
Таким образом, получили:
(2.4)
Так как произвольный по величине и направлению вектор, то также произвольный по величине вектор, а по направлению перпендикулярен вектору, т. е. направлению распространения. Следовательно, если мы задали направление распространения, то вектор также перпендикулярен этому направлению распространения. Вектортакже перпендикулярен векторуи, кроме того, перпендикулярен вектору.
Таким образом, в найденной нами плоской волне характерным является то, что векторыивзаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
Электромагнитные волны, обладающие таким свойством, называются полностью поперечными и обозначаются Т-волны (или - волны). Нетрудно установить расположение этих векторов (рис. 2.2). Эта волна распространяется к нам из-за плоскости чертежа. Из окончательных выражений для векторов поля вектор-потенциал можно исключить. Для этого вычислим векторное произведение
Рис. 2.2
Известно тождество
,
поэтому
Следовательно,
Учитывая это, запишем общее решение уравнений Максвелла для плоской волны:
(2.5)
;
,
где
Величина называется характеристическим сопротивлением пространства и весьма широко применяется в инженерных расчётах.
14 вопрос
Плоская волна в непоглощающей однородной среде
Непоглащающая среда (идеальный диэлектрик) характеризуется тем, что для нее – числа чисто вещественные. Практически это допущение с большой степенью точности выполняется, например, при распространении радиоволн в воздухе, токи проводимости в котором очень малы [2].
Рассмотрим прямую волну, т. е. .
При этом – величина чисто вещественная и называется волновым сопротивлением пространства. Например, для вакуума
и волновое сопротивление
Для прямой волны
(2.6)
,
где
Рассмотрим случай линейно-поляризованной волны. В случае линейной поляризации . Так как начальную фазу можно выбрать произвольной, то положим . Следовательно, вектор чисто вещественный. При этом нетрудно убедиться, что ибудет также вещественным:
Найдём
(2.7)
Аналогично
Формулы (2.7) показывают:
1) плоская волна в неограниченной, непоглощающей среде распространяется без затухания с постоянной фазовой скоростью:
2) колебания векторов исинфазны, взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (рис. 2.3). Вектор направлен параллельно одной и той же прямой в течение всего времени распространения, поэтому волна называется линейно-поляризованной (рис. 2.4). Векторыи изменяются по закону косинуса:
Рис. 2.4
Рис. 2.3
3) вместе с волной распространяется и электромагнитная энергия. Поток этой энергии определяется вектором Умова – Пойнтинга:
(2.8)
Мгновенное же значение вектора Умова – Пойнтинга определится выражением:
(2.9)
Из выражений (2.8) и (2.9) видно, что направление распространения энергии совпадает с направлением распространения волны и с удвоенной частотой (так как ), как показано на рис. 2.3.
В соответствии с определением вектора Умова – Пойнтинга получаем:
(2.10)
,
где – скорость распространения волны;
– объёмная плотность энергии.
Из (2.10) можно найти скорость распространения волны, если известны и:
Из приведённых соотношений видно, что
(2.11)
где – волновое сопротивление пространства.
Для получения обратной волны следует лишь в формулах (2.7) изменить знаки перед и перед на противоположные, что даёт волну, которая распространяется в отрицательном направлении прямой также с постоянной амплитудой и той же фазовой скоростью, при этом
(2.12)
15 вопрос
Плоская волна в поглощающей среде
Ограничимся рассмотрением прямой волны (для простоты письма индекс "+" опустим). В этом случае ,
кроме того, .
Рассмотрим линейно-поляризованную волну. При этом
(2.13)
,
причём , ,
Положим, тогда ,
(2.14)
(2.15)
Представим в виде тогда вектор определится:
где – коэффициент затухания.
Выражения (2.14) и (2.15) показывают:
Длина волны в поглощающей среде равна:
Следовательно,;
Определимичерез параметры среды и частоту:
В начале определим :
Следовательно,
Здесь
(2.16)
;
Но
В результате
(2.17)
,
где – коэффициент затухания
– фазовый коэффициент.
.
С другой стороны, . Следовательно,
(2.18)
,
Из выражений (2.14) и (2.15) следует, что составляющие поля электромагнитной волны для идеальной непоглощающей среды получаются как частный случай этих выражений при . Так при получаем,, , , .
Особенностью волны, распространяющейся в поглощающей среде, является то, что основные её параметры: фазовая скорость, коэффициент затухания, характеристическое сопротивление зависят не только от параметров среды, но и от частоты. Причём зависимость эта довольно сложная, и на практике она сказывается существенно.
Так, если сигнал не является чисто гармоническим, то он, как правило, может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний. В результате каждая гармоника будет иметь затухание, свою фазовую скорость и т. д. и поэтому при прохождении некоторого расстояния суммарный сигнал будет искажён.
Вычислим среднюю мощность потерь (потери в единицу времени и в единице объема):
(2.19)
Вычислим среднее значение вектора Умова – Пойнтинга. Этот вектор нужно знать для вычисления мощности, переносимой волной:
(2.20)
Здесь использовано известное векторное тождество
.
Рассмотрим случай
.
В данном случае плотность тока смещения значительно больше плотности тока проводимости. Это может быть либо в слабо проводящей среде (хороший диэлектрик), либо в относительно хорошем проводнике (например, морская вода и др.), если в нём распространяются волны очень высокой частоты ( – велика).
При этом
Следовательно,
, ,
Поэтому
, ;
;
;
Получили
(2.21)
; ; .
Таким образом, в среде, где ток смещения значительно превышает ток проводимости, параметры волны от частоты не зависят. Любая гармоника распространяется с одинаковым затуханием и одинаковой фазовой скоростью, следовательно, сигнал искажаться не будет. Электромагнитный процесс здесь такой же, как и в идеальной (диэлектрической) среде, только с определенным затуханием. Само затухание может быть очень большим.
16 вопрос
Плоская волна в поглощающей среде
Ограничимся рассмотрением прямой волны (для простоты письма индекс "+" опустим). В этом случае ,
кроме того, .
Рассмотрим линейно-поляризованную волну. При этом
(2.13)
,
причём , ,
Положим, тогда ,
(2.14)
(2.15)
Представим в виде тогда вектор определится:
где – коэффициент затухания.
Выражения (2.14) и (2.15) показывают:
Длина волны в поглощающей среде равна:
Следовательно,;
Определимичерез параметры среды и частоту:
В начале определим :
Следовательно,
Здесь
(2.16)
;
Но
В результате
(2.17)
,
где – коэффициент затухания
– фазовый коэффициент.
.
С другой стороны, . Следовательно,
(2.18)
,
Из выражений (2.14) и (2.15) следует, что составляющие поля электромагнитной волны для идеальной непоглощающей среды получаются как частный случай этих выражений при . Так при получаем,, , , .
Особенностью волны, распространяющейся в поглощающей среде, является то, что основные её параметры: фазовая скорость, коэффициент затухания, характеристическое сопротивление зависят не только от параметров среды, но и от частоты. Причём зависимость эта довольно сложная, и на практике она сказывается существенно.
Так, если сигнал не является чисто гармоническим, то он, как правило, может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний. В результате каждая гармоника будет иметь затухание, свою фазовую скорость и т. д. и поэтому при прохождении некоторого расстояния суммарный сигнал будет искажён.
Вычислим среднюю мощность потерь (потери в единицу времени и в единице объема):
(2.19)
Вычислим среднее значение вектора Умова – Пойнтинга. Этот вектор нужно знать для вычисления мощности, переносимой волной:
(2.20)
Здесь использовано известное векторное тождество
.
Рассмотрим случай
.
Этот случай соответствует проводникам, для которых порядка См/м. В этом случае ток смещения значительно меньше тока проводимости.
При этом
, .
Колебания вектора будут отставать от на :
;
.
Тогда
;
(2.22)
Величина, обратная , есть скин-слой:
(2.23)
.
Найдём фазовую скорость волны:
(2.24)
Или .
Из (2.24) видим, что .
Таким образом, в данном случае основные параметры распространяющейся волны будут функциями частоты. Фазовая скорость при этом значительно меньше скорости света в диэлектрической среде с такими же, . Следовательно, при той же частоте длина волны в такой проводящей среде будет короче, чем в диэлектрике с параметрами, , так ,
17 вопрос
Поле плоской волны над идеально проводящей плоскостью
Физическую картину процесса распространения электромагнитных волн в волноводе можно представить себе на основании рассмотрения поля плоской волны над идеально проводящей плоскостью. Результат решения этой задачи непосредственно приводит к установлению возможности рассмотрения электромагнитных волн между двумя параллельными проводящими плоскостями неограниченных размеров, которые и образуют своеобразный волновод. Более того, эти результаты позволяют получить основные условия распространения в том общем виде, в котором они применимы для волноводов при любой форме поперечного сечения.
Поле плоской волны над идеально проводящей плоскостью можно определить на основании изложенных ранее результатов рассмотрения вопросов отражения плоских волн от плоской границы раздела. Будем рассматривать процесс в прямоугольной системе координат, причём ось будет направлять в интересующем нас направлении распространения [2,6].
Рис. 4.1 Рис. 4.2
Пусть на идеально проводящую плоскость падает электромагнитная волна (лучи), как показано на рис. 4.1. При отражении, в результате сложения прямой и отражённой волн, над плоскостью образуется волновой процесс. В чём суть этого процесса? Определим поле в произвольной точке . Для этого запишем следующие выражения.
Выражения падающей волны для векторов и :
(4.1)
Выражения для отражённой волны векторов и :
(4.2)
Эти формулы получены ранее на основании закона отражения электромагнитных волн. В общем случае решения задачи достаточно сложное, поэтому рассмотрим два частных случая.
Горизонтально-поляризованная волна. В этом случае вектор падающей волны лежит в плоскости, параллельной границе раздела (зеркалу), как показано на рис. 4.2. Направим вектор падающей плоской волны по оси . будет перпендикулярен . Известно, что на поверхности идеального проводника Следовательно, . при этом будет перпендикулярен . Суммарное поле в точке будет равно сумме падающей и отражённой волн.
Для результирующей составляющей вектора в точке имеем:
Для результирующих составляющих вектора в точке нужно сложить их составляющие, учитывая, что , так как поверхность идеально проводящая:
Заметим, что
а также
Следовательно,
(4.3)
Обозначим , тогда
В результате получим:
(4.4)
Выражения (4.4) описывает составляющие электромагнитного поля в некоторой точке над идеально проводящей плоскостью.
Анализируя выражения (4.4) можно сделать следующие выводы:
1) Результирующее поле над зеркалом представляет собой электромагнитную волну, распространяющуюся в направлении оси , т. е. параллельно зеркалу. Эта волна плоская, так как поверхность постоянной фазы плоскость, перпендикулярная зеркалу.
2) Постоянная распространения этой волны является чисто мнимым числом и равна:
где – волновое число.
Длина волны электромагнитного поля, распространяющейся вдоль поверхности зеркала,
т.е. эта длина волны больше длины волны в однородном безграничном пространстве. Это объясняется тем, что фазовая скорость волны:
где – скорость света в безграничной среде с параметрами
3) Волна оказывается неоднородной, так как поверхность постоянной амплитуды определяется уравнением , т. е. плоскостью, параллельной к зеркалу.
4) В направлении оси , т. е. в направлении, перпендикулярном зеркалу, никакого распространения энергии нет, а образуется стоячая волна, длина которой определяется из условия:
5) На плоскостях, параллельных зеркалу, составляющие векторов поля принимают те же самые значения, что и на зеркале, если расстояния этих плоскостей от зеркала удовлетворяют условию:
Действительно, согласно граничным условиям на идеально проводящей поверхности тангенциальная составляющая и нормальная составляющая Легко видеть из выражений (4.4), что при указанных значениях
В теории волноводов эти поверхности называются поверхностями непроницаемости.
6) На поверхности зеркала индуктируется ток проводимости, вектор плотности которого, как известно, равен:
Замечаем, что вектор плотности тока перпендикулярен направлению распространения волны, т. е. возникает поперечный ток.
7) Переменный поверхностный заряд на зеркале не индуктируется, так как по определению
8) Распространяющаяся суммарная волна необычна в том смысле, что она не является полностью поперечной. Наряду с поперечными составляющими и имеется и продольная составляющая , направленная вдоль направления распространения. Такая волна называется поперечно-электрической или магнитной и обозначается -волна (рис. 4.3).
Рис. 4.3
18 вопрос
Поле плоской волны над идеально проводящей плоскостью
Физическую картину процесса распространения электромагнитных волн в волноводе можно представить себе на основании рассмотрения поля плоской волны над идеально проводящей плоскостью. Результат решения этой задачи непосредственно приводит к установлению возможности рассмотрения электромагнитных волн между двумя параллельными проводящими плоскостями неограниченных размеров, которые и образуют своеобразный волновод. Более того, эти результаты позволяют получить основные условия распространения в том общем виде, в котором они применимы для волноводов при любой форме поперечного сечения.
Поле плоской волны над идеально проводящей плоскостью можно определить на основании изложенных ранее результатов рассмотрения вопросов отражения плоских волн от плоской границы раздела. Будем рассматривать процесс в прямоугольной системе координат, причём ось будет направлять в интересующем нас направлении распространения [2,6].
Рис. 4.1 Рис. 4.2
Пусть на идеально проводящую плоскость падает электромагнитная волна (лучи), как показано на рис. 4.1. При отражении, в результате сложения прямой и отражённой волн, над плоскостью образуется волновой процесс. В чём суть этого процесса? Определим поле в произвольной точке . Для этого запишем следующие выражения.
Выражения падающей волны для векторов и :
(4.1)
Выражения для отражённой волны векторов и :
(4.2)
Эти формулы получены ранее на основании закона отражения электромагнитных волн. В общем случае решения задачи достаточно сложное, поэтому рассмотрим два частных случая.
Вертикально-поляризованная волна. В этом случае вектор падающей волны лежит в плоскости падения (рис. 4.4). Аналогично предыдущему случаю получим:
(4.5)
Анализируя выражения (4.5), можно сделать следующие выводы.
С 1-го по 5-й включительно все выводы такие же, как и в случае горизонтально-поляризованной волны.
Рис. 4.4 Рис. 4.5
1) На поверхности зеркала индуктируется поверхностный ток проводимости, вектор плотности которого равен:
.
В отличие от предыдущего случая здесь вектор плотности тока проводимости направлен по оси (по направлению распространения волны), т. е. наблюдается продольный ток проводимости.
2) На поверхности зеркала индуктируется переменный поверхностный заряд
3) Полученная суммарная волна не является полностью поперечной, так как наряду с поперечными составляющая , поэтому данная волна называется поперечно-магнитной или электрической волной и обозначается -волна (рис. 4.5).
19 вопрос
Общие условия распространения электромагнитных волн между двумя плоскими параллельными зеркалами
Два параллельных зеркала представляют собой своеобразный волновод, ширина которого безгранична (рис. 4.6). Выше было установлено, что над плоскостью зеркала образуется поле, в котором на плоскостях непроницаемости, параллельных зеркалу и находящихся от него на расстояниях составляющие поля принимают такие же значения, как и на самом зеркале. На этих плоскостях выполняются граничные условия, соответствующие идеально проводящей поверхности.
Таким образом, если любую из воображаемых плоскостей непроницаемости заменим идеальным зеркалом, то поле между зеркалами останется таким же, как и прежде, так как оно удовлетворяет граничным условиям Максвелла.
Практически же зеркала отстоят друг от друга на определённом расстоянии и требуется определить поле между зеркалами. Это поле будет таким же, как и прежде, если взять:
Рис. 4.6
Отсюда
здесь обозначено , – критическая длина волна.
Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось условие
Полученные ранее формулы показывают, что любая из составляющих поля распространяется по закону
где
где – постоянная распространения.
Замечаем, что при будет чисто мнимой величиной, а будет иметь смысл волнового числа. Причём в этом случае вдоль оси будет распространяться незатухающая электромагнитная волна.
Решение будет существовать и тогда, когда . Физически такое решение будет соответствовать полю, которое не является волновым. Оно быстро затухает по экспоненциальному закону с увеличением .
Анализ указанных положений позволяет сделать следующие выводы.
1) Незатухающие электромагнитные волны между двумя зеркалами существуют только в том случае, если
где
Но соответствует критическая частота . Поэтому для существования волны необходимо
2) Волновое число, характеризующее распространяющуюся волну между зеркалами,
Длина волны тогда выразится:
Фазовая скорость волны между зеркалами будет:
т. е. фазовая скорость между зеркалами больше скорости света между ними и зависит от частоты.
3) Величины , кроме зависимости от , зависят и от целого числа . Таким образом, не всякие волны образуются между зеркалами, а только такие, когда – целое число. Волны, соответствующие целому числу , называются парциальными волнами порядка Например, – электрическая волна порядка ; – магнитная волна порядка .
Таким образом, между зеркалами может существовать безграничное число парциальных волн как электрических, так и магнитных.
Возникновение того или иного типа волны зависит от источника, создающего эти волны, и определяется значение критической длины волны:
Если , то, т. е. необходимо .
Если , то , т. е. необходимо . Но в этом случае и подавно , следовательно, возникает 2-я парциальная волна.
4) Для определения мощности, передаваемой волны, определим среднее значение вектора Умова – Пойнтинга:
Для - волн:
следовательно,
Вычислив, получим:
Для - волн:
следовательно,
Вычислив, получим:
При вычислениях учтено, что
Зная выражение для вектора Умова – Пойнтинга, можно вычислить скорость движения энергии, исходя из физических соображений:
следовательно,
(4.6)
где скорость движения энергии;
средняя объёмная плотность электромагнитной энергии.
Вычисления по формуле (4.6) приводят к следующему результату:
где скорость света в данной среде.
Скорость движения энергии меньше скорости света. Заметим, что Покажем, что скорость совпадает с групповой скоростью. Понятием этой скорости широко пользуются в квантовой механике.
20 вопрос
Групповая скорость
Понятие групповой скорости вводится при распределении пучка монохроматических волн, частоты которых мало отличаются от некоторой средней частоты. Для пояснения этого понятия рассмотрим простейший случай двух синусоидальных волн одинаковой и неизменной амплитуды, распространяющихся вдоль оси . Положим, амплитуды колебаний равны единице. Частота 1-й волны и волновое число . Частота 2-й волны и волновое число . Суммарная волна будет иметь вид:
Это выражение показывает, что результирующее колебание представляет собой высокочастотную волну с частотой и фазовой скоростью, амплитуда которой медленно меняется во времени с частотой Амплитуда этой волны перемещается со скоростью .
Скорость перемещения амплитуды (но не фазы) результирующего колебания и называется групповой скоростью волнового процесса. Следовательно, групповая скорость:
Понятие групповой скорости применимо лишь к таким колебаниям, которые ограничены узкой полосой спектра. Скорость перемещения средней амплитуды волнового пакета как раз и равна групповой скорости:
Если то для монохроматической волны скорость распространения волны равна скорости света. Аналогично можно найти скорость распространения волны между зеркалами: