Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Задания для самостоятельной работы студентов
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера, выполнить проверку.
|
1. |
8. |
||
|
2. |
9. |
||
|
3. |
10. |
||
|
4. |
11. |
||
|
5. |
12. |
||
|
6. |
13. |
||
|
7. |
14. |
||
|
15. |
23. |
||
|
16. |
24. |
||
|
17. |
25. |
||
|
18. |
26. |
||
|
19. |
27. |
||
|
20. |
28. |
||
|
21. |
29. |
||
|
22. |
30. |
1. |
8. |
||
2. |
9. |
||
3. |
10. |
||
4. |
11. |
||
5. |
12. |
||
6. |
13. |
||
7. |
14. |
||
8. |
16. |
||
9. |
17. |
||
10. |
18. |
||
11. |
19. |
||
12. |
20. |
||
13. |
21. |
||
14. |
22. |
||
15. |
23. |
||
24. |
|||
25. |
|||
26. |
|||
27. |
|||
28. |
|||
29. |
|||
30. |
Выполнить действия с матрицами.
|
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
14. |
|
|
15. |
|
|
16. |
|
|
17. |
|
|
18. |
|
|
19. |
|
|
20. |
|
|
21. |
|
|
22. |
|
|
23. |
|
|
24. |
|
|
25. |
|
|
26. |
|
|
27. |
|
|
28. |
|
|
29. |
|
|
30. |
Найти ранг матрицы.
|
1. |
3. |
||
|
2. |
4. |
||
|
5. |
12. |
||
|
6. |
13. |
||
|
7. |
14. |
||
|
8. |
15. |
||
|
9. |
16. |
||
|
10. |
17. |
||
|
11. |
18. |
||
|
19. |
26. |
||
|
20. |
27. |
||
|
21. |
28. |
||
|
22. |
29. |
||
|
23. |
30. |
||
|
24. |
|||
|
25. |
Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований.
|
1. |
8. |
||
|
2. |
9. |
||
|
3. |
10. |
||
|
4. |
11. |
||
|
5. |
12. |
||
|
6. |
13. |
||
|
7. |
14. |
||
|
15. |
23. |
||
|
16. |
24. |
||
|
17. |
25. |
||
|
18. |
26. |
||
|
19. |
27. |
||
|
20. |
28. |
||
|
21. |
29. |
||
|
22. |
30. |
Средствами векторной алгебры найти:
1) объем пирамиды ;
2) длину ребра ;
3) площадь грани ;
4) угол между ребрами и .
Даны координаты вершин пирамиды:
|
1. |
(1, 1, 1), (-1, 2, 4), (2, 0, 6), (-2, 5, -1) |
|
2. |
(0, 5, 0), (2, 3, -4), (0, 0, -6), (-3, 1, -1) |
|
3. |
(0, 0, 6), (4, 0, -4), (1, 3, -1), (4, -1, -3) |
|
4. |
(-5, 6, -1), (6, -5, 2), (6, 5, 1), (0, 0, 2) |
|
5. |
(2, -5, 3), (3, 2, -5), (5, -3, -2), (-5, 3, 2) |
|
6. |
(6, 0, 4), (0, 6, 4), (4, 6, 0), (0, -6, 4) |
|
7. |
(3, 2, 4), (2, 4, 3), (4, 3, -2), (-2, -4, -3) |
|
8. |
(6, 3, 5), (5, -6, 3), (3, 5, 6), (-6, -1, 2) |
|
9. |
(5, -2, -1), (4, 0, 0), (2, 5, 1), (1, 2, 5) |
|
10. |
(4, 2, 5), (3, 0, 4), (0, 0, 3), (5, -2, -4) |
|
11. |
(4, 2, -5), (3, 0, 4), (0, 2, 3), (5, 2, -4) |
|
12. |
(4, 4, 10), (7, 10, 2), (2, 8, 4), (9, 6, 9) |
|
13. |
(4, 6, 5), (6, 9, 4), (2, 10, 10), (7, 5, 9) |
|
14. |
(3, 5, 4), (8, 7, 4), (5, 10, 4), (4, 7, 8) |
|
15. |
(10, 6, 6), (-2, 8, 4), (6, 8, 9), (7, 10, 3) |
|
16. |
(1, 8, 2), (5, 2, 6), (5, 7, 4), (4, 10, 9) |
|
17. |
(6, 6, 5), (4, 9, 5), (4, 6, 11), (6, 9, 3) |
|
18. |
(7, 2, 2), (5, 7, 7), (5, 3, 1), (2, 3, 7) |
|
19. |
(8, 6, 4), (10, 5, 5), (5, 6, 8), (8, 10, 7) |
|
20. |
(7, 7, 3), (6, 5, 8), (3, 5, 8), (8, 4, 1) |
|
21. |
(4, 0, 0), (-2, 1, 2), (1, 3, 2), (3, 2, 7) |
|
22. |
(-2, 1, 2), (4, 0, 0), (3, 2, 7), (1, 3, 2) |
|
23. |
(1, 3, 2), (3, 2, 7), (4, 0, 0), (-2, 1, 2) |
|
24. |
(3, 2, 7), (1, 3, 2), (-2, 1, 2), (4, 0, 0) |
|
25. |
(3, 1, -2), (1, -2, 1), (-2, 1, 0), (2, 2, 5) |
|
26. |
(1, -2, 1), (3, 1, -2), (2, 2, 5), (-2, 1, 0) |
|
27. |
(-2, 1, 0), (2, 2, 5), (3, 1, 2), (1, -2, 1) |
|
28. |
(2, 2, 5), (-2, 1, 0), (1, -2, 1), (3, 1, 2) |
|
29. |
(1, -1, 6), (4, 5, -2), (-1, 3, 0), (1, -1, 5) |
|
30. |
(6, 1, 5), (-1, 3, 0), (4, 5, -2), (1, -1, 6) |
Даны две системы векторов и . Определить, какая из этих систем образует базис; разложить вектор по этому базису.
|
1. |
(3, 4, 1); (2, -1, 0); (-2, 3, 1); (2, 3, 1); (-1, 1, 2); (3, 7, 4); (4, 7, 1) |
|
2. |
(5, -1, 4); (1, 2, 3); (4, -2, 1); (1, -1, 2); (2, 1, 1); (4, -1, 5); (1, 4, 3) |
|
3. |
(2, 0, -1); (3, -5, 4); (0, 0, 2); (1, 1, 1); (-2, 3, 0); (-3, 7, 1); (3,-5,6) |
|
4. |
(-1, 1, 3); (1, 3, 1); (2, -1,-1); (-3, 1,-1); (1, -1, 1); (-1, -1,1); (-3,5,8) |
|
5. |
(-5, 7, 4); (1, 3, 1); (2, -1,-1); (5, 2, 3); (1, 0, 5); (2, 1, -1); (0, 8, 3) |
|
6. |
(1, 0, 1); (-1, 1, 2); (3, 5, 1); (2, -1, 3); (1, 1, -4); (4, 1, -5); (2, 1,-2) |
|
7. |
(2, 1, 3); (-1, 0, 1); (0, 1, -1); (2, -2, 1); (-1, 0, 1); (-1, -2, 4); (5, 3, 10) |
|
8. |
(1, -2, 1); (3, 4, -1); (2, 6, 2); (2, 2, 3); (1, 2, 3); (1, 1, 1); (3, 0, -2) |
|
9. |
(4, -2, 3); (1, -3, 1); (-3,-1,-2); (1, 1, 1); (0, 1, 1); (0, 0, 1); (5, 6, -3) |
|
10. |
(4, 2, 3); (1, -3, 1); (-2, 0, 2); (4, -1, 3); (1, 1, -2); (7, 2, -3); (3, 2, -1) |
|
11. |
(3, 2, -2); (3, -2,-1); (1, 1, -1); (1, -1, 5); (2, 3, -4); (1, 2, 1); (3, -5, -1) |
|
12. |
(2, 2, 1); (1, -3, 1); (-1, 0, 1); (-2, 1,-3); (2, 4, 8); (-2, 6, 2); (-3, -5, 1) |
|
13. |
(3, 0, 5); (1, -2, 1); (6, -6, 8); (1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 2, 1); (3, -5, 1) |
|
14. |
(2, 3, 1); (-1, -3,4); (0, -3, 9); (1, 2, 0); (0, -3, 0); (2, 1, 1); (5, -6, 3) |
|
15. |
(3, -3, 3); (1, -3, 2); (5, -9, 7); (4, 1, -2); (2, -3, 0); (3, 1, -2); (7, -1, -3) |
|
16. |
(2, 1, -1); (2, -3, 0); (1, 1, -1); (3, -2,-1); (1, 1, 5); (1, -4, 9); (6, -5, 3) |
|
17. |
(3, 3, 1); (2, -2, 1); (2, 1, 1); (-2, 3, 4); (-1,-1,-2); (0, 5, 8); (1, 0, 5) |
|
18. |
(1, -1, 7); (2, 3, -1); (3, 7, -9); (2, 1, 4); (1, -3, 8); (5, 0, 3); (0, -3, 1) |
|
19. |
(0, 3, 0); (1, -4, 2); (2, 3, 2); (1, -2, 3); (4, -4, 3); (6, -8, 9); (-3, 5, 1) |
|
20. |
(-1, 4, 2); (0, -5, 0); (2, 3, 2); (1, -1, 8); (2, -1, 5); (3, -2,-2); (-2, 3, 4) |
|
21. |
(4, 1, 5); (1, 3, 4); (-2, 2, 1); (-2, 1,-2); (1, -3, 5); (0, -5, 8); (5, -5, -1) |
|
22. |
(3, 3, -8); (1, 2, -5); (1, -1, 2); (2, 1, 0); (2, -4, 3); (-1, 2, 0); (6, 0, 5) |
|
23. |
(3, 5, 8); (-2, 2, 1); (-1, 1, 10); (2, 0, -1); (3, -5, 4); (2, 0, 2); (3, 1, 0) |
|
24. |
(3, -1, 0); (3, -2, 1); (5, -2, 1); (4, 1, -3); (-1, 3,-1); (2, 7, 1); (11, -5, 2) |
|
25. |
(3, 2, -2); (1, 0, 1); (4, -1, 3); (1, -3, 4); (1, -2,-3); (-1, 4, -1); (13, 3, 2) |
|
26. |
(5, 1, 2); (0, -3, 1); (3, 8, 4); (2, 3, -8); (1, 2, 3); (4, 7, -2); (2, -10, 1) |
|
27. |
(9, 3, -4); (2, -1, 3); (7, 4, 1); (1, -2, 7); (3, 1, -4); (5, -3, 10); (28, 16, 2) |
|
28. |
(5, -5, 8); (1, -5, 7); (4, 0, 1); (2, 7, 8); (1, -3,-5); (4, 1, -2); (-6, 10, 2) |
|
29. |
(5, 6, 5); (3, -5, 2); (2, -1, 3); (3, 1, -6); (1, -3, 2); (5, -5, 2); (6, -3, 9) |
|
30. |
(7, 3, -1); (-1, 3, 2); (6, 0, 3); (1, 1, 4); (-2, 3, 1); (0, 5, 9); (4, -12, 10) |
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить эту кривую.
|
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
14. |
|
|
15. |
|
|
16. |
|
|
17. |
|
|
18. |
|
|
19. |
|
|
20. |
|
|
21. |
|
|
22. |
|
|
23. |
|
|
24. |
|
|
25. |
|
|
26. |
|
|
27. |
|
|
28. |
|
|
29. |
|
|
30. |
Задача 9.
Задача межотраслевого баланса
Три отрасли промышленности , и являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица A коэффициентов прямых затрат.
,
в которой число , стоящее на пересечении i -ой строки и j -го столбца равно , где - поток средств производства из i -ой отрасли в j -ую, а -валовой объем продукции j -ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости). Задан также вектор
объемов конечной продукции.
1. Составить уравнение межотраслевого баланса.
2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли ,обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y.
(Расчеты рекомендуется производить с точность до двух знаков после запятой).
3. Составить матрицу Х потоков средств производства .
4. Определить общие доходы каждой отрасли .
5. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:
6. Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле где Е - единичная матрица размера 3 3.
|
Потребляющие отрасли. Производящие отрасли |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
|||
|
x11 |
x12 |
x13 |
|||
|
x21 |
x22 |
x23 |
|||
|
x31 |
x32 |
x33 |
|||
|
Общий доход |
P1 |
P2 |
P3 |
||
|
Валовой продукт |
X1 |
X2 |
X3 |
Задача 10.
Транспортная задача
На трех складах и хранится и единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям и заказы которых составляют и единиц груза соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от i -го поставщика к j - му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:
|
Потребности |
|||||||
|
Запасы |
|||||||
|
4 |
2 |
m |
|||||
|
А1 |
|
||||||
|
n |
5 |
3 |
|||||
|
А2 |
|
||||||
|
1 |
m+1 |
6 |
|||||
|
А3 |
|
1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом в случае или фиктивного потребителя с потребностью в случае и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости или методы северо-западного угла).
3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это не так, то составить оптимальный план Хопт :
,
обеспечивающий минимальную стоимость перевозок
.
Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов.)
Решение. Составим из коэффициентов при неизвестных главный определитель системы:
Вычислим его одним из способов (метод треугольников или метод дополнений):
Главный определитель системы отличен от нуля, значит, система
совместна.
Вычислим вспомогательные определители, которые получаются из главного заменой соответствующих столбцов на столбец свободных членов:
Решение системы находится по формулам Крамера:
Проверка. Подставим найденное решение в систему уравнений:
Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных Гаусса. Найти общее, частное, базисное решения системы:
Решение. Выписываем расширенную матрицу:
За базисную переменную рекомендуется выбирать ту неизвестную, коэффициент при которой равен единице (во избежание дробных коэффициентов). Оставим без изменения третье уравнение (строку), а за базисную переменную примем . Воспользуемся элементарными преобразованиями, а именно: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй, затем умножим третью же строку на (-3) и сложим с первой. Тогда останется только в третьем уравнении
(строке):
Оставим без изменения первую строку, переменную примем за базисную и исключим ее из третьей строки (во вторую строку не входит):
Во второй строке переменную принимает за базисную и исключаем из остальных строк:
В результате получаем систему с базисными переменными , , :
Выражая базисные переменные через остальные (их называют свободными переменными), получим общее решение системы:
Давая свободным переменным произвольные значения, получаем множество частных решений, например:
Частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным решением:
Выполнить действия с матрицами:
Решение. Устанавливаем возможность выполнения указанных действий. Первая матрица имеет порядок , вторая . Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в результате умножения получается матрица порядка .
У второго произведения первая матрица имеет порядок , вторая , умножение возможно, итоговая матрица будет иметь порядок .
Сложение первого произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрица .
Следовательно:
1)
2)
3)
Найти ранг матрицы:
Решение:
Число линейно независимых строк матрицы равно четырем, следовательно, .
Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований.
Решение. В матричной форме систему линейных уравнений можно записать так: , где – матрица коэффициентов системы; – матрица-столбец неизвестных; – матрица-столбец свободных членов. Умножив слева обе части равенства на (существует, если ), получим
,
здесь – единичная матрица.
Следовательно, чтобы найти решение системы линейных уравнений с неизвестными при помощи обратной матрицы, нужно матрицу, обратную матрице из коэффициентов системы, умножить на матрицу-столбец свободных членов. В результате получаем матрицу-столбец, которая и будет решением данной системы.
Найдем определитель матрицы
, следовательно, матрица обратима.
Первый способ вытекает из формулы, выражающей обратную матрицу
где – алгебраические дополнения элементов данной матрицы.
Найдем алгебраические дополнения для элементов данной матрицы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Обратная матрица имеет вид:
Необходимо сделать проверку: .
Найдем решение системы
Второй способ основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически этот процесс записывается так:
Решение:
Средствами векторной алгебры найти:
1) объем пирамиды с вершинами ;
2) длину ребра ;
3) площадь грани ;
4) угол между ребрами и .
Даны координаты вершины пирамиды (5, 1, -4); (1, 2, -1);
(3, 3, -4); (2, 2, 2).
Решение. Построим схематически данную пирамиду (рис.1).
Рис. 1
1. Рассмотрим векторы , и . Зная координаты точек, вычислим координаты этих векторов:
Объем пирамиды равен модулю одной шестой доли смешанного произведения векторов , , .
2. Найдем длину ребра :
3. Вычислим площадь грани .
Площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , совпадает с модулем векторного произведения , а поэтому площадь
4. Найдем угол между ребрами и . Угол между векторами и вычислим по формуле:
По таблицам .
Даны две системы векторов:
1) ;
2) .
Определить, какая из этих систем образует базис; разложить вектор по этому базису.
Решение. Используем признак линейной независимости для векторов с числовыми координатами. Найдем определитель:
, следовательно, система векторов линейно независима и образует базис.
Вычислим определитель для второй системы:
Система линейно зависима.
Проведем разложение вектора по базису . Запишем разложение вектора в координатной форме:
Получаем систему линейных уравнений:
Систему можно решать любым методом. Решим методом последовательного исключения неизвестных:
Итак, координаты вектора в новом базисе будут , а разложение вектора по базису имеет вид .
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка
и построить эту кривую.
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы
.
Используем собственные нормированные ортогональные векторы:
и
для построения матрицы преобразования :
.
Чтобы сохранить взаимную ориентацию новых координатных осей, на матрицу налагают дополнительное условие (если , то достаточно поменять столбцы местами и сменить соответственно нумерацию у характеристических чисел и собственных векторов).
Квадратичная форма в новой системе координат имеет вид:
.
Преобразуем линейную функцию данного уравнения
В системе координат уравнение кривой имеет вид:
Совершаем параллельный перенос:
В результате уравнение кривой принимает вид: Это уравнение эллипса. В системе координат строим векторы и и определяем направление осей координат . Центр эллипса в системе в точке (рис.2).
Рис. 2
Задача 9.
Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в тоже время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь определяет матрица А коэффициентов прямых затрат:
Известен вектор Y объемов конечной продукции:
,
то есть конечный продукт, полученный первой производящей отраслью y1 = 1000 ед., второй – y2 = 800 ед., третьей – y3 = 700 ед.
1. Составим уравнение межотраслевого баланса. Для этого введем вектор валового продукта:
где х1 – объем валовой продукции I отрасли
х2 – объем валовой продукции II отрасли
х3 – объем валовой продукции III отрасли
Уравнение межотраслевого баланса в матричном виде имеет вид:
Х = АХ + Y (*)
Записав его с учетом исходных условий задачи, в виде системы алгебраических уравнений получим:
(1)
2. Для удобства решения системы (1) вначале запишем ее в общем виде:
Решение проведем методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) с точностью до двух знаков после запятой.
Из последней системы получим:
х3 2311,11
х2 4800 + 3 2311,11 = 2133,33
х1 - 1750 + 2 2311,11 – 0,25 2133,33 = 2338,89
Таким образом объем валовой продукции каждой из трех производящих отраслей в стоимостном выражении:
х1 2338,89 ед.
х2 2133,33 ед.
х3 2311,11 ед.
3. Составим матрицу Х потоков средств производства, зная что х ij = а ij х j, (i,j=1,2,3)
x11 = 0,22338,89 = 467,78
x12 = 0,32133,33 = 640
x13 = 0,12311,11 = 231,11
x21 = 0 2338,89 = 0
x22 = 0,32133,33 = 640
x23 = 0,32311,11 = 693,33
x31 = 0,42338,89 = 935,56
x32 = 0,12133,33 = 213,33
x33 = 0,22311,11 = 462,22
Матрица
4. Вычислим общие доходы каждой потребляющей отрасли
P1 = 2338,89 (467,78 + 935,56) = 935,55
P2 = 2133,33 (640 + 640 + 213,33) = 640
P3 = 2311,11 (231,11 + 693,33 + 462,22) = 924,45
5. Составим таблицу межотраслевого баланса
|
Потребляющие отрасли Производящие отрасли |
I |
II |
III |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
|
I |
467,78 |
640 |
231,11 |
1000 |
2338,89 |
|
II |
0 |
640 |
693,33 |
800 |
2133,33 |
|
III |
935,56 |
213,33 |
462,22 |
700 |
2311,11 |
|
Общий доход |
935,55 |
640 |
924,45 |
||
|
Валовой продукт |
2338,89 |
2133,33 |
2311,11 |
6. Матричное уравнение () легко приводится к виду (E A)X = Y, откуда следует уравнение X = (E A)-1Y, дающее иную возможность вычислить вектор валового продукта. Матрица Аn = (E A)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат.
Для вычисления матрицы Аn вначале находится матрица:
Определитель этой матрицы:
det (E-A) = 0,80,70,80,30,30,40,40,70.10,10,30,8 = 0,36 0
Затем вычисляются алгебраические дополнения Аij матрицы (EA)
= 0,25
По правилу вычисления обратной матрицы находим:
Литература