Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
_____________________________________________________
И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
(ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ)
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний для самостоятельной работы студентов
при решении задач по физике
Омск 2009
УДК 530.1(075.8)
ББК 22.3
Д75
Законы сохранения в механике (примеры решения задач): Методичес-кие указания к решению задач по физике / И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 38 с.
Приведены краткие теоретические сведения по теме «Законы сохранения в механике», примеры решения типовых задач на применение законов сохранения импульса, момента импульса и энергии в механике материальной точки и абсолютно твердого тела, которые должны уметь решать студенты согласно требованиям учебной программы.
Предназначены для студентов первого курса технических вузов дневной и заочной форм обучения.
Библиогр.: 6 назв. Табл. 1. Рис. 14.
Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев;
канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель А. А. Печерицын.
__________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 1 1 5
1. Краткие теоретические сведения 11 6
2. Примеры решения задач 1 11
2.1. Работа. Энергия. Закон сохранения энергии 1 11
2.2. Закон сохранения импульса 1 15
2.3. Закон сохранения момента импульса 29
Библиографический список 1 38
При изучении курса физики решение задач имеет большое значение, поз-воляет лучше понять и запомнить основные законы физики, развивает навыки в применении теоретических знаний для решения конкретных практических воп-росов.
Цель настоящих методических указаний – оказать помощь студентам в освоении методики решения типовых задач по теме «Законы сохранения в механике».
Такие величины, как работа, энергия, импульс, момент импульса, и соот-ветствующие законы сохранения в механике играют важную роль в физике, так как связаны с симметриями пространства – времени. В задачах, решения которых представлены в данном издании, эти величины определяются, а законы применяются при вычислениях в рамках механики материальной точки и абсолютно твердого тела. Краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач, приведены в настоящих указаниях, а теоретические сведения в полном объеме содержатся в книгах [1 – 6].
При решении задач с применением законов сохранения рекомендуется следующий порядок действий: 1) определить, какие состояния механической системы необходимо рассмотреть в данной задаче, и для каждого состояния сделать рисунок; 2) определить, какие законы сохранения являются существенными при переходе системы из одного состояния в другое по условиям задачи, и записать эти законы; 3) решить полученную систему уравнений, используя данные задачи.
Все задачи следует (по возможности) решать в общем виде. Это означает, что сначала выводится формула для расчета искомой величины, а затем в нее подставляются численные данные. Такой подход позволяет при анализе полученных формул увидеть общие закономерности. Прежде чем приступить к решению, следует внимательно прочитать, обдумать и записать условия задачи, перевести единицы измерения всех величин в основные единицы СИ, сделать схематический рисунок, отражающий условия задачи, выбрать подходящую систему отсчета. При вычислениях рекомендуется применять формулы приб-лижения, позволяющие упростить расчеты.
Для решения задач механики важнейшими характеристиками движения механических систем являются кинетическая энергия импульс момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) а мерами действия силы – импульс силы работа и момент силы
Материальная точка массой движущаяся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью имеет кинетическую энергию
, (1.1)
импульс момент количества движения где – радиус-вектор точки.
Полная механическая энергия системы равна алгебраической сумме механических энергий материальных точек, входящих в нее:
(1.2)
Полный импульс системы равен векторной сумме импульсов материальных точек, входящих в нее:
(1.3)
Полный момент количества движения системы равен векторной сумме моментов импульса материальных точек, входящих в нее:
, (1.4)
Абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью имеет кинетическую энергию
(1.5)
и момент импульса относительно оси вращения
(1.6)
где и – момент инерции тела относительно оси и проекция угловой скорости тела на ось соответственно.
Моменты инерции IC однородных тел правильной геометрической формы массой m относительно оси, проходящей через центр масс, определяются по формулам, указанным в таблице.
Формулы моментов инерции IC однородных тел правильной геометрической формы массой m относительно оси, проходящей через центр масс
|
Тело |
Ось |
Формула |
|
Материальная точка массой m |
Проходит на расстоянии R от точки |
I = mR2 |
|
Тонкий однородный стержень длиной l |
Перпендикулярна к стержню и проходит через его центр |
|
|
Тонкий однородный стержень длиной l |
Совпадает со стержнем |
|
|
Шар радиусом R |
Проходит через центр шара |
|
|
Диск (цилиндр) радиусом R |
Перпендикулярна к плоскости диска (основаниям цилиндра) и проходит через его центр |
|
|
Кольцо (обруч) радиусом R |
Перпендикулярна к плоскости кольца (обруча) и проходит через его центр |
IC = mR2 |
Если ось не проходит через центр масс, то момент инерции тела относительно этой оси определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:
Iz = IC + mb2, (1.7)
где IC – момент инерции тела относительно оси, параллельной оси и проходящей через его центр масс;
b – расстояние между осями.
Простейшим случаем движения абсолютно твердого тела, ось вращения которого не закреплена, является плоское движение, т. е. движение, при котором все точки тела движутся параллельно одной заданной неподвижной плоскости. Примером плоского движения может служить качение симметричного (относительно оси вращения) тела (например, цилиндра).
Плоское движение абсолютно твердого тела можно разложить на два составляющих движения: поступательное и вращательное относительно мгновенной оси (например, относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс тела). Угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора точки, через которую проходит мгновенная ось вращения, и во всех случаях она имеет одинаковое значение. Скорость поступательного движения всех точек тела одинакова и равна скорости поступательного движения его центра масс. Кинетическая энергия движущегося поступательно со скоростью тела массой определяется по формуле (1.1). Кинетическая энергия абсолютно твердого тела (АТТ) складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения относительно мгновенной оси:
, (1.8)
где – момент инерции тела относительно этой оси.
Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий: .
Потенциальная энергия тела характеризует его взаимодействие с другими телами и полями, она зависит от взаимного положения тел и их положения во внешнем поле [3]. В частности, в поле силы тяжести Земли, вблизи поверхности Земли потенциальная энергия тела массой , центр тяжести которого находится на высоте от некоторого произвольно выбранного начала отсчета, рассчитывается по уравнению
(1.9)
при условии, что у поверхности Земли потенциальная энергия тела принимается равной нулю, и зависимость ускорения свободно падающего тела вблизи поверхности Земли от высоты не учитывается.
Потенциальная энергия упруго деформированного вдоль некоторой оси OX тела жесткостью k (в поле силы упругости при малой линейной деформации)
(1.10)
при условии, что в недеформированном состоянии потенциальная энергия тела принимается равной нулю.
В общем случае работа , совершаемая силой при перемещении материальной точки из точки M1 в точку M2, определяется по формуле:
(1.11)
где – скалярное произведение векторов силы и перемещения ;
– угол между этими векторами.
Из формулы (1.11) получаем выражение для работы, которая совершается силой, не зависящей от положения материальной точки:
. (1.12)
При движении материальной точки в поле консервативных сил это поле совершает работу, не зависящую от пути, по которому движется точка. При перемещении материальной точки из положения, определяемого радиусом-векто-ром , в положение, определяемое радиусом-вектором , работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии точки:
. (1.13)
Например,
; (1.14)
. (1.15)
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси внешняя сила, создающая момент совершает работу:
, (1.16)
где – проекция вектора на направление угловой скорости.
Знак работы зависит от знака
Связь между характеристиками движения и мерами действия силы отражается в общих теоремах динамики [4, 6] об изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии. Из этих теорем выводятся законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии соответственно. Эти законы описывают свойства движения и взаимодействия любой системы материальных точек.
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы при ее переходе из состояния 1 в состояние 2 происходит под действием сил, приложенных к точкам системы, и равно сумме работ этих сил при данном переходе:
(1.17)
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии решаются многие задачи механики.
Сила называется диссипативной, если ее действие приводит к диссипации механической энергии – переходу механической энергии в тепловую. Все силы сопротивления движению (например, сила трения) являются диссипативными.
Закон сохранения механической энергии: при отсутствии диссипативных сил механическая энергия системы остается постоянной, она может переходить из кинетической энергии в потенциальную и обратно:
(1.18)
Сила называется консервативной, если ее работа по изменению состояния системы зависит только от начального и конечного состояния системы и не зависит от способа изменения состояния. Консервативные силы не являются диссипативными, поэтому закон сохранения механической энергии выполняется, если на систему и внутри нее действуют только консервативные силы.
При наличии диссипативных сил к системе применим общефизический закон сохранения энергии: энергия в природе ниоткуда не возникает, никуда не исчезает, а при любых взаимодействиях лишь переходит из одной формы в другую, от одного тела к другому.
Закон сохранения импульса: если результирующая внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то полный импульс системы не меняется при любых взаимодействиях внутри системы:
(1.19)
Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы, поэтому в замкнутых системах закон сохранения импульса выполняется.
В случае, когда результирующая внешних сил не равна нулю, но ее проекция на некоторое направление обращается в нуль, остается постоянной проекция импульса системы на это направление.
Закон сохранения момента импульса: если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то полный момент импульса системы не меняется при любых взаимодействиях внутри системы:
(1.20)
Силы, направленные только к одной точке или от нее, называются цент-ральными, а эта точка – центром. Момент центральной силы равен нулю, поэтому для систем, на которые действуют только центральные силы, также как и для замкнутых систем, справедлив закон сохранения момента импульса.
В случае, когда результирующий момент внешних сил, действующих на систему, не равен нулю, но его проекция на некоторую ось (момент сил относительно оси) равна нулю, момент импульса системы относительно этой оси остается постоянным.
Благодаря применению законов сохранения оказывается возможным решение задач на взаимодействие тел в случаях, когда характер сил взаимодействия неизвестен. Однако прежде чем применять закон сохранения, необходимо убедиться в том, что рассматриваемая система является именно той, в которой данный закон выполняется. Следует обратить внимание также на то, что все характеристики, входящие в уравнения, составленные на основании законов сох-ранения, должны рассчитываться относительно одной и той же инерциальной системы отсчета.
Задача 1. Тело бросили с поверхности Земли вертикально вверх со ско-ростью 980 см/с. Пренебрегая силой сопротивления воздуха, найти, на какой высоте кинетическая энергия тела будет в четыре раза больше потенциальной. Потенциальную энергию тела в точке бросания принять равной нулю.
|
Дано: = 980 см/с Fсопр= 0 |
СИ 9,8 м/с |
Решение. |
|
? |
||
По условию задачи силой сопротивления воздуха можно пренебречь, следовательно, на тело действует только сила тяжести, являющаяся консервативной, и выполняется закон сохранения механической энергии:
, (1)
где полная механическая энергия тела в начальном состоянии (в мо-мент броска) (рис. 2.1, а),
; 2)
– полная механическая энергия тела в момент положения центра тя-жести на искомой высоте (рис. 2.1, б),
(3)
Подставив в формулу (1) равенства (2) и (3), получим:
(4)
По условию задачи в момент броска кинетическая энергия , , на искомой высоте , потенциальная энергия , где – масса тела. Подставив эти соотношения в формулу (4), получим:
. (5)
Отсюда
. (6)
Подставим в формулу (6) данные задачи: м.
Ответ: ; м.
Задача 2. Диск радиусом 17 см вращается под действием постоянной касательной силы 50 Н вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Найти работу этой силы, совершенную в течение трех оборотов диска.
|
Дано: см = 50 Н = 3 |
СИ 0,17 м |
|
? |
Решение.
Работа постоянной силы при вращательном движении определяется по выражению:
, (1)
где угол поворота (за один оборот абсолютно твердое тело поворачивается на угол 2),
; (2)
– проекция момента силы на направление угловой скорости . Так как по условию задачи вращение диска происходит под действием силы момент силы (рис. 2), следовательно, Так как сила касательная, модуль момента силы , поэтому
. (3)
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получим:
. (4)
Выполним численный расчет по формуле (4): Дж.
Ответ: , Дж.
Задача 3. Однородный цилиндр скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой 30 см. При скатывании ось цилиндра все время сохраняет свое горизонтальное положение. В начальном состоянии цилиндр покоился. Найти скорость центра инерции цилиндра у основания плоскости. Потерями энергии за счет тормозящих сил пренебречь.
|
см = 0 |
СИ 0,30 м |
|
? |
Решение.
Будем отсчитывать потенциальную энергию цилиндра в поле тяжести Земли от основания наклонной плоскости (рис. 3). Тог-да механическая энергия цилиндра в начальном состоянии (в состоянии покоя) и у основания плоскости в конце скатывания определяются по формулам соответственно:
(1)
, (2)
где m, – масса, угловая скорость и момент инерции цилиндра относительно оси симметрии, проходящей через его центр инерции,
; (3)
– скорость поступательного движения цилиндра, равная скорости его центра инерции относительно плоскости;
– радиус цилиндра.
По условию задачи потерями механической энергии при качении ци-линдра можно пренебречь, поэтому механическая энергия цилиндра в начальном состоянии и у основания наклонной плоскости одинакова:
(4)
Так как скатывание цилиндра происходит без скольжения, скорость точек касания цилиндра относительно плоскости равна нулю: , а все другие точки цилиндра поворачиваются вокруг мгновенной оси, проходящей через по-
коящуюся точку касания. По закону сложения скоростей скорость точки касания равна сумме двух противоположно направленных слагаемых: скорости поступательного движения вместе с центром инерции и скорости движения по окружности при вращении вокруг оси, проходящей через центр инерции: отсюда Линейная скорость точки при вращательном движении абсолютно твердого тела (в рассматриваемом случае – цилиндра) связана с угловой скоростью соотношением: Следовательно, модуль угловой скорости выражается через модуль скорости и радиус цилиндра R:
. (5)
Направление угловой скорости (от «нас») определяется по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения цилиндра, показанным на рис. 3.
После подстановки соотношений (1) – (3), (5) в равенство (4) получим:
. (6)
Отсюда
. (7)
Подставив в формулу (7) численные значения, получим: м/с.
Ответ: , м/с.
Задача 4. Снаряд массой 12 кг, выпущенный из пушки под некоторым углом к горизонту, в верхней точке траектории имел скорость 30 м/с и разорвался на два осколка. Первый осколок массой 10 кг полетел в направлении движения снаряда со скоростью 40 м/с. Найти скорость второго осколка.
|
Дано: m = 12 кг m1 = 10 кг = 30 м/с = 40 м/с |
|
? |
Решение.
Внутренние силы, действующие на снаряд и осколки в момент взрыва, значительно больше внешних сил – тяжести и сопротивления воздуха, поэтому силами тяжести и сопротивления воздуха в момент взрыва можно пренебречь и считать систему замкнутой. Следовательно, к системе можно применить закон сохранения импульса:
, (1)
где импульс снаряда до его разрыва,
(2)
импульс системы после разрыва снаряда,
; (3)
– скорость первого и второго осколков после разрыва снаряда.
Выберем для расчетов инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Мгновенная скорость материальной точки направлена по касательной к траектории в любой точке траектории. В частности, скорость снаряда в верхней точке его траектории направлена горизонтально, поэтому удобно направить горизонтальную ось в сторону движения снаряда непосредственно перед его разрывом. Схематически состояние системы до разрыва снаряда показано на рис. 4, а, после него – на рис. 4, б. Отметим, что направление скорости второго осколка заранее не известно, оно определяется в результате решения задачи и может быть указано на рисунке только после решения.
Подставив формулы (2) и (3) в выражение (1), получим:
. (4)
Выразим из формулы (4) скорость второго осколка после разрыва снаряда:
; (5)
Проекции скорости на координатные оси имеют вид:
; (6)
. (7)
Определим модуль скорости второго осколка после разрыва снаряда с учетом выражений (6) и (7):
. (8)
Подставим в уравнения (6), (8) численные значения, и получим:
м/с;
м/с.
Отрицательное значение проекции означает, что скорость второго осколка направлена в сторону, противоположную направлению оси .
Ответ: ; м/с; .
Задача 5. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой 15 г со скоростью 28 м/с относительно Земли. Затвор массой 210 г прижимается к стволу невесомой пружиной жесткостью 220 кН/м. На какое расстояние от первоначального положения отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен. Трением между всеми телами пренебречь.
|
Дано: mп = 15 г mз = 210 г k = 220 кН/м = 28 м/с |
СИ 0,15 кг 0,21 кг 220∙103 Н/м |
|
x ? |
Решение.
Движение затвора и пули является поступательным, следовательно, и затвор, и пулю можно считать материальными точками, масса которых сконцентрирована в их центрах инерции.
До выстрела (рис. 5, а) импульс системы «затвор – пуля»
, (1)
после выстрела (рис. 5, б) –
, (2)
где , – скорость пули и затвора после выстрела соответственно.
а б
в
Рис. 5
При выстреле все внешние силы, действующие на систему, много меньше силы взаимодействия затвора и пули, поэтому выполняется закон сохранения импульса:
. (3)
Подставив формулы (1) и (2) в выражение (3), получим:
. (4)
Следовательно, скорость затвора после выстрела
. (5)
Отсюда модуль скорости затвора
. (6)
Так как пружина не деформирована, потенциальная энергия затвора в поле упругости пружины равна нулю, поэтому его механическая энергия сразу после выстрела равна кинетической:
. (7)
Затвор перемещается до остановки в направлении, противоположном направлению движения пули. В момент остановки (рис. 5, в) кинетическая энергия затвора равна нулю, а его механическая энергия потенциальной:
. (8)
Так как по условию задачи трением можно пренебречь, при движении затвора выполняется закон сохранения механической энергии:
(9)
Подставив в уравнение (9) равенства (7) и (8), получим выражение:
, (10)
из которого с учетом формулы (6) найдем расстояние :
. (11)
Подставляем в формулу (11) данные задачи: м.
Ответ: ; м.
Задача 6. Из неподвижного орудия вылетает снаряд под углом 60° к горизонту со скоростью 500 м/с относительно Земли. Определить модуль ско-рости отката орудия сразу после вылета снаряда и расстояние, на которое орудие откатится, если сила трения, действующая на него при откате, равна 4410 Н. Масса орудия равна 1500 кг, снаряда – 12 кг.
|
Дано: кг кг Н ° м/с |
|
s ? |
Решение.
Рассмотрим изменение состояния системы «орудие – снаряд» относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. До вылета снаряда (рис. 6, а) импульс системы равен нулю:
. (1)
Импульс системы после вылета снаряда (рис. 6, б)
. (2)
Силы взаимодействия между снарядом и орудием являются внутренними, поэтому полный импульс системы они изменить не могут. На систему действуют внешние силы: реакции опоры, трения и тяжести. Время выстрела очень мало, поэтому действием сил тяжести и трения на орудие во время вылета снаряда можно пренебречь. Силой нормальной реакции опоры, направленной вертикально, пренебречь нельзя, она препятствует вертикальному движению орудия. Проекция импульса системы на вертикальное направление (рис. 7, ось ) в течение выстрела изменяется, так как часть импульса орудия передается Земле, поэтому систему нельзя считать замкнутой. Однако можно считать, что проекция результирующей внешней силы на ось равна нулю, следовательно, проекция импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:
. (3)
Подставив проекции импульса системы до выстрела (формула (1)) и после него (формула (2)) в равенство (3), получим:
. (4)
Отсюда
. (5)
Следовательно,
. (6)
Модуль скорости отката орудия после вылета снаряда
, (7)
так как проекции скорости орудия на оси и равны нулю.
Подставив в уравнение (7) данные задачи, получим: м/с.
При откате на орудие действует постоянная сила трения, поэтому оно движется равнозамедленно. Пусть – перемещение орудия до остановки (см. рис. 7). Для определения расстояния , пройденного орудием до остановки, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
, (8)
где работы сил тяжести реакции опоры и трения определяются по выражениям:
(9)
(10)
(11)
а начальная кинетическая энергия – по формуле:
. (12)
В момент остановки скорость орудия и его кинетическая энергия орудия равны нулю:
. (13)
Таким образом, кинетическая энергия орудия полностью расходуется на преодоление силы трения.
После подстановки выражений (9) – (13) в соотношение (8) оно примет вид:
(14)
Отсюда с учетом соотношения (6) найдем расстояние :
. (15)
Подставляем в уравнение (15) данные задачи:
м.
Ответ: , м/с; , м.
Задача 7. Из неподвижного орудия вылетает снаряд под углом 60° к горизонту со скоростью 200 м/с относительно орудия. Определить модуль ско-рости отката орудия относительно Земли сразу после вылета снаряда. Масса орудия равна 1520 кг, масса снаряда 80 кг.
|
Дано: кг кг ° м/с |
|
? |
Решение.
Рассмотрим изменение состояния системы «орудие – снаряд» относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. До вылета снаряда (рис. 8, а) импульс системы равен нулю:
. (1)
При вылете снаряда из орудия происходит взаимодействие снаряда и орудия, в результате которого орудие приобретает скорость относительно Земли. Импульс системы после вылета снаряда (рис. 8, б)
, (2)
где – скорость снаряда относительно Земли.
По закону сложения скоростей
. (3)
Подставив соотношение (3) в правую часть формулы (2), получим:
(4)
Силы взаимодействия между снарядом и орудием являются внутренними, поэтому полный импульс системы они изменить не могут. На систему действуют внешние силы: реакции опоры, трения и тяжести. Время выстрела очень мало, поэтому действием сил тяжести и трения на орудие во время вылета снаряда можно пренебречь Силой нормальной реакции опоры, направленной вертикально, пренебречь нельзя: она препятствует вертикальному движению орудия. Проекция импульса системы на вертикальное направление в течение выстрела изменяется, так как часть импульса орудия передается Земле, поэтому систему нельзя считать замкнутой. Однако можно считать, что проекция результирующей внешней силы на ось (см. рис. 8) равна нулю, и, следовательно, проекция импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:
. (5)
Подставив проекции импульса системы до (формула (1)) и после (формула (4)) выстрела в равенство (5), получим:
. (6)
Отсюда
. (7)
Следовательно,
. (8)
Модуль скорости отката орудия после вылета снаряда
, (9)
так как проекции скорости орудия на оси и равны нулю.
Подставив в уравнение (9) данные задачи, получим: м/с.
Ответ: , м/с.
Задача 8. Два маленьких шара подвешены на нитях одинаковой длины так, что поверхности шаров соприкасаются. Расстояние от точек подвеса до центров масс шаров одинаково и равно 0,3 м. Масса первого шара – 400, второго – 200 г. Нить, на которой подвешен первый шар, отклоняют на некоторый угол и отпускают. Найти этот угол, если известно, что при абсолютно неупругом ударе шаров выделилась тепловая энергия 98 мДж. Радиусы шаров считать много меньшими длины нитей.
|
Дано: г г l = 0,3 м = 98 мДж |
СИ 0,4 кг 0,2 кг 0,098 Дж |
|
? |
Решение.
Так как расстояние от точки подвеса до цент-ра масс каждого шара много больше радиусов шаров, шары можно считать материальными точками, массы которых сконцентрированы в центрах масс шаров. Будем отсчитывать высоту и потенциальную энергию в поле тяжести от уровня, на котором расположены центры масс шаров, вертикально висящих на нитях и находящихся в равновесии.
Рассматриваемые при решении состояния системы шаров изображены на рис. 9. Начальному состоянию, представленному на рис. 9, а, соответствует положение первого (левого) шара массой на высоте при отклонении держащей его нити на угол . Второй (правый) шар массой покоится в положении равновесия на вертикально висящей нити. Скорость, а значит, и кинетическая энергия шаров, равна нулю, следовательно, полная механическая энергия системы равна потенциальной энергии первого шара.
Непосредственно перед ударом (рис. 9, б) потенциальная энергия шаров равна нулю. Первый шар движется со скоростью , второй – покоится. Следовательно, механическая энергия системы до удара равна кинетической энергии первого шара:
, (1)
а импульс системы равен импульсу первого шара:
. (2)
. (3)
Сразу после удара (рис. 9, в) шары движутся как одно целое со скоростью (по условию задачи удар абсолютно неупругий), поэтому импульс системы равен векторной сумме импульсов обоих шаров:
. (4)
Потенциальная энергия шаров остается равной нулю, поэтому механи-ческая энергия системы равна кинетической энергии шаров:
. (5)
При переходе системы из первого состояния во второе (при падении первого шара в поле силы тяжести Земли) сила натяжения нити работы не совершает, так как в любой момент времени движения она перпендикулярна перемещению,
а диссипативные силы трения и сопротивления воздуха пренебрежимо малы, поэтому полная механическая энергия шара остается постоянной:
. (6)
При движении шара его потенциальная энергия убывает и переходит в кинетическую. Подставим правые части равенств (1) и (2) в формулу (6):
. (7)
При переходе системы из второго состояния в третье (при абсолютно неупругом ударе) в течение кратковременного взаимодействия шаров на них действуют внешние силы: тяжести и натяжения нитей. Векторная сумма этих сил равна нулю, поэтому выполняются закон сохранения импульса:
(8)
и закон сохранения энергии (часть механической энергии системы переходит в тепловую ):
. (9)
С учетом равенств (3) и (4) формула закона сохранения импульса (8) примет вид:
. (10)
Векторы в левой и правой частях формулы (10) равны, поэтому равны и их модули:
. (11)
С учетом выражений (2) и (5) уравнение (9) примет вид:
. (12)
Из рис. 10 видно, что , отсюда
. (13)
Решая совместно уравнения (7), (11) (13), найдем угол :
. (14)
Подставив в уравнение (14) данные задачи, получим: °.
Ответ: ; °.
Задача 9. Пуля массой 20 г летит горизонтально со скоростью 100 м/с и сталкивается с шаром массой 2 кг, подвешенным на нити. Найти импульс шара после удара и долю энергии пули, переданной шару при ударе, если удар лобовой и абсолютно упругий.
|
Дано: m1 = 20 г m2 = 2 кг v1 = 100 м/с |
СИ 0,02 кг |
|
, η ? |
Решение.
Выберем начало отсчета потенциальной энергии системы в поле тяжес-ти Земли на высоте, на которой находятся пуля и центр шара в момент удара. Тогда до удара (рис. 11, а) и сразу после него (рис. 11, б) потенциальная энергия равна нулю.
В течение кратковременного взаимодействия при ударе на шар действуют силы тяжести и натяжения нити, которые уравновешивают друг друга. Сила взаимодействия пули с шаром является внутренней и не меняет полный импульс системы. Если пренебречь силой тяжести, действующей на пулю, малой по сравнению с силой взаимодействия, то можно считать, что результирующая сила, действующая на систему, равна нулю. Следовательно, выполняется закон сохранения импульса:
, (1)
где , – импульсы системы до и после удара.
При абсолютно упругом ударе (согласно его определению) диссипации механической энергии не происходит и наряду с законом сохранения импульса при ударе сохраняется механическая энергия:
. (2)
где , – механическая энергия системы до и после удара.
Так как до удара шар покоился, импульс и механическая энергия системы равны импульсу и кинетической энергии пули соответственно:
; (3)
. (4)
Импульс и механическая энергия системы после удара рассчитываются по формулам:
; (5)
. (6)
После подстановки формул (3) и (5) в уравнение (1) оно примет вид:
. (7)
Запишем равенство (7) в проекциях. Будем рассматривать движение пули и шара относительно системы отсчета, в которой ось (рис. 11). Столкновение тел лобовое, поэтому ненулевыми будут проекции скорости тел только на ось ОХ:
. (8)
Следовательно,
; (9)
. (10)
Преобразовав формулу (7) с учетом выражений (4), (6), (9) и (10), получим:
. (11)
Решение системы уравнений (8), (11) имеет вид [2, 3, 5]:
. (12)
С учетом равенства (11) выражение для импульса шара после удара примет вид:
. (13)
Таким образом, направление импульса совпадает с направлением скорости .
Для расчета значения модуля импульса используем данные задачи: кг·м/с.
Энергия, которую передает пуля шару, равна кинетической энергии шара после удара: . Энергия пули до удара описывается формулой (4). Доля энергии, которую пуля передает шару,
. (14)
Подставим данные задачи в формулу (14):
.
Ответ: , , кг·м/с;
, .
Задача 10. На скамейке Жуковского (вращающемся диске) стоит человек и держит в руках тонкий стержень, расположенный горизонтально, так, что ось симметрии диска проходит через середину стержня. Скамейка вращается вокруг
своей оси симметрии, делая 5 об/с. Суммарный момент инерции человека и скамейки – 5 кг·м2, масса стержня – 3 кг, его длина – 2 м. С какой частотой станет вращаться скамейка, если человек повернет стержень и расположит его вертикально вдоль оси симметрии скамейки? Какая работа будет совершена при этом? Трением пренебречь.
|
Дано: n = 5 об/с I1 = 5 кг·м2 m2 = 3 кг l = 2 м |
|
n´, Ачел ? |
Решение.
Так как ось вращения системы «человек – скамейка – стержень» закреплена, будем рассматривать движение относительно системы отсчета, ось которой совпадает с осью вращения системы и направлена вертикально вверх (рис. 12).
Моменты сил тя-жести, действующих на все тела, входящие в систему, и силы реакции опоры, действующей на скамейку, в рассматриваемых положениях тел равны нулю, так как линии действия этих сил совпадают с осью вращения системы (система симметрична относительно оси вращения), у сил нет плеч, поэтому они не могут изменять вращательного движения системы. Силой трения между осью и вращающимся диском при кратковременном изменении положения стержня можно пренебречь. Таким образом, результирующий момент внешних сил можно считать равным нулю и для решения задачи можно применять закон сохранения момента импульса:
, (1)
где и – моменты импульса системы при горизонтальном и вертикальном положениях стержня соответственно.
Момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов тел, входящих в систему, поэтому
; (2)
, (3)
где и – моменты инерции стержня относительно оси вращения при его горизонтальном и вертикальном положениях;
и – угловые скорости системы в соответствующих состояниях.
Направление угловой скорости (рис. 12, а) вдоль оси вращения вверх определяется по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения системы. Направление угловой скорости заранее не известно (определяется при решении задачи), поэтому на рис. 12, б оно отмечено знаком вопроса.
Подставив формулы (2) и (3) в уравнение (1), получим соотношение:
(4)
Отсюда выразим угловую скорость:
(5)
Выражение (5) позволяет сделать два вывода:
1) угловая скорость системы при вертикальном положении стержня со-направлена с угловой скоростью системы при его горизонтальном положении: , следовательно, и направление вращения системы не меняется;
2) так как моменты инерции величины положительные, модуль угловой скорости системы при вертикальном положении стержня определяется по формуле:
. (6)
Связь модулей угловых скоростей и с соответствующими частотами вращения и описываются уравнениями:
(7)
(8)
Стержень считается тонким и при вертикальном положении совпадает с осью вращения, поэтому его момент инерции относительно оси вращения можно принять равным нулю:
. (9)
При горизонтальном положении стержня его момент инерции относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с осью симметрии стержня, определяется по формуле:
. (10)
Подставив формулы (7) – (10) в выражение (6) и сократив обе части полученного соотношения на получим формулу для определения частоты вращения системы:
. (11)
Подставив данные задачи в уравнение (11), получим: об/с.
Для определения работы, совершаемой человеком при изменении положения стержня, применим теорему об изменении кинетической энергии:
, (12)
где , – кинетическая энергия системы при горизонтальном и вертикальном положениях стержня соответственно,
; (13)
. (14)
Работы сил реакции опоры , тяжести , приложенных к каждому телу, равна нулю, так как моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю, работа сил трения в оси пренебрежимо мала по условию, поэтому
. (15)
Подставив выражения (13) – (15) в равенство (12) и выполнив преобразования полученной формулы с учетом уравнений (6) – (10), получим формулу для определения работы, совершаемой человеком:
. (16)
Подставив численные значения в формулу (16), получим: Дж.
Ответ: , об/с;
, Дж.
Задача 11. Человек, стоящий на неподвижной скамейке Жуковского, держит вращающийся сплошной цилиндр, расположенный вертикально, так, что оси симметрии скамейки и цилиндра совпадают. Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 16,5 с-1. Суммарный момент инерции человека и скамейки – 7 кг·м2, масса цилиндра – 7 кг, его радиус – 0,2 м. С какой угловой скоростью станет вращаться скамейка, если человек развернет цилиндр на 180° и расположит его вертикально так, чтобы оси симметрии скамейки и цилиндра совпали, модуль угловой скорости цилиндра относительно скамейки остался прежним, а ее направление изменилось на противоположное? Трением в оси пренебречь.
|
Дано: = 16,5 с1 I1 = 7 кг·м2 m2 = 7 кг = 0,2 м = 16,5 с1 |
|
? |
Решение:
Так как ось вращения системы «человек – скамей-ка – цилиндр» закреплена, будем рассматривать движение тел относительно системы отсчета, связанной с Землей, ось которой совпадает с осью вращения системы и направлена вертикально вверх (рис. 13).
Моменты сил тяжести, действующих на все тела, входящие в систему, и силы реакции опоры, действующей на скамейку, в рассматриваемых положениях тел равны нулю, так как линии действия этих сил совпадают с осью враще-
ния системы (система симметрична относительно оси вращения), у сил нет плеч, поэтому они не могут изменять вращательное движение системы. Моментом силы трения при изменении положения цилиндра можно пренебречь. Таким образом, результирующий момент внешних сил можно считать равным нулю, поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения момента импульса:
, (1)
где и – момент импульса системы при первом и втором положениях цилиндра соответственно.
Момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов тел, входящих в систему, поэтому
; (2)
, (3)
где – момент инерции цилиндра относительно оси вращения;
и – угловые скорости тел относительно Земли в состоянии системы сразу после изменения положения цилиндра.
Так как при изменении положения цилиндр вращается не только вокруг своей оси, но и вместе со скамейкой, его угловая скорость относительно Земли
. (4)
Направления угловых скоростей (рис. 13, а, вдоль оси вращения цилиндра вверх) и (рис. 13, б, вдоль оси вращения цилиндра вниз) определяются по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения цилиндра. Направление угловой скорости заранее не известно (определяется при решении задачи), поэтому на рис. 13, б оно отмечено знаком вопроса.
Подставив формулы (2) (4) в уравнение (1), после преобразований получим соотношение:
. (5)
Отсюда выразим угловую скорость:
. (6)
Выражение (6) в проекции на ось (см. рис. 13) принимает вид:
. (7)
Так как моменты инерции величины положительные, , поэтому
(8)
и , следовательно, и направление вращения скамейки в состоянии системы после изменения положения цилиндра совпадает с направлением вращения цилиндра в первом состоянии.
Момент инерции цилиндра относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с его осью симметрии, определяется по формуле:
. (9)
Подставив формулу (9) в выражение (8), получим:
, (10)
Подставим данные задачи в формулу (10) и получим: с1.
Ответ: , , с1.
Задача 12. Вертикально расположенный деревянный стержень закреплен так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину. Пуля, летящая горизонтально со скоростью 20 м/с, попадает в стержень и застревает в нем на расстоянии, равном одной четвертой его длины, от оси вращения. С какой угловой скоростью станет вращаться стержень, если его масса равна 1кг, длина – 1,2 м, а масса пули – 30 г? Трением в оси пренебречь.
|
Дано: v1 = 20 м/с m1 = 30 г r1 = 0,25l m2= 1 кг l2 = 1,2 м |
СИ 0,03 кг |
|
? |
Решение.
Будем рассматривать движение системы «стержень – пуля» относительно системы отсчета, начало которой расположено в центре стержня О, а ось совпадает с осью вращения и направлена «на нас» (рис. 14). В момент удара на систему действуют силы тяжести
и реакции опоры – оси. Линии действия сил реакции оси и тяжести, действующих на стержень, и силы тяжести, действующей на пулю, проходят через центр стержня О. Таким образом, все внешние силы являются центральными, их моменты относительно центра О равны нулю, следовательно, при столкновении выполняется закон сохранения момента импульса:
, (1)
где и – моменты импульса системы относительно центра непосредственно до удара (рис. 14, а) и сразу после него (рис. 14, б) соответственно1.
До взаимодействия стержень был неподвижен, поэтому момент импульса системы равен моменту импульса пули:
, (2)
где – момент инерции пули относительно оси вращения;
– угловая скорость пули непосредственно перед ударом.
Примем пулю за материальную точку, тогда ее момент инерции относительно оси вращения
. (3)
Модуль угловой скорости пули выражается через модуль линейной скорости и расстояние от точки попадания пули до оси
, (4)
где
Направление (рис. 14, а – «на нас») определяется по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения.
После взаимодействия пули и стержня система начинает вращение как одно целое с угловой скоростью поэтому
, (5)
где – угловая скорость системы непосредственно после удара.
Момент инерции стержня относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с осью симметрии стержня, определяется по формуле:
. (6)
Подставив формулы (2) и (5) в уравнение (1), получим соотношение:
. (7)
Отсюда
. (8)
Заметим, что моменты импульса пули до и после удара можно вычислить, основываясь на определении момента импульса материальной точки: и .
При анализе выражения (8) можно сделать два вывода:
1) угловая скорость системы во втором состоянии сонаправлена с угловой скоростью пули в первом состоянии: ;
2) так как моменты инерции величины положительные, модуль угловой скорости определяется по формуле:
. (9)
Подставим выражения (3), (4) и (6) в равенство (9):
. (10)
Подставим данные задачи в уравнение (10) и получим:
рад/с.
Ответ: , рад/с.
1. С а в е л ь е в И. В. Курс общей физики: В 5 кн. Кн. 1. Механика / И. В. С а в е л ь е в. М., 1998. 336 с.
2. Я в о р с к и й Б. М. Курс физики / Б. М. Я в о р с к и й, А. А. Д е т л а ф, Л. Б. М и л к о в с к а я. М., 2001. 718 с.
3. Т р о ф и м о в а Т. И. Курс физики / Т. И. Т р о ф и м о в а. М., 2004. 542 с.
4. Физический энциклопедический словарь / Под ред. А. М. Прохорова. М., 1984. 940 с.
5. Д ж а н к о л и Д. Физика / Д. Д ж а н к о л и. М., 1989. Т. 1. 667 с.
6. Н и к и т и н Н. Н. Курс теоретической механики / Н. Н. Н и к и т и н. М., 1990. 607 с.
_________________________________________________
Учебное издание
ДРОЗДОВА Илга Анатольевна, ТОДЕР Георгий Борисович
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
(ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ)
Редактор Т. С. Паршикова
***
Подписано в печать . 02.2010. Формат 60 84 1/16.
Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,4. Уч.-изд. л. 2,6.
Тираж 800 экз. Заказ .
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа
*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
И. А. ДРОЗДОВА, Г. Б. ТОДЕР
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
(ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ)
ОМСК 2009
1 Отметим, что закон сохранения импульса в рассматриваемых условиях не выполняется: при взаимодействии пули и стержня со стороны оси на стержень действует сила реакции, которой нельзя пренебречь.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
х = 0
EMBED Equation.DSMT4
Z
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 2
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
m2
а
EMBED Equation.3
m2
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 7
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Y
X
EMBED Equation.3
ис. 1
Рис. 11
а
б
Рис. 10
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 6
б
а
Рис. 4
б 2.7.1
б
а
0
а 2.7.1
m1
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 8
б
а
m
EMBED Equation.DSMT4
α
y
h
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Z
Рис. 12
Z
EMBED Equation.DSMT4
б
X
0
EMBED Equation.3
m1
m1
EMBED Equation.3 – ?
y
m2
X
б
EMBED Equation.3
EMBED Equation.DSMT4
Z
Рис. 13
б
в
а
Рис. 9
α
l h
l
h
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
X
EMBED Equation.DSMT4
m2
m1
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
O
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Z
l/2
r1
а
EMBED Equation.DSMT4
O
Рис. 14
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Z
б 2.7.1
а 2.7.1
х = 0
Рис. 3
EMBED Equation.3
Рис.1
α
EMBED Equation.DSMT4