Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задание 1.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +2 r + 1 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 1 = 0
Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = -1 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e-x
y2 = xe-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 4•e-3•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 4, Q(x) = 0, α = -3, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
y' = -3•A•e-3x
y'' = 9•A•e-3x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 2y' + y = (9•A•e-3x) + 2(-3•A•e-3x) + (Ae-3x) = 4•e-3•x
или
4•A•e-3x = 4•e-3•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
4A = 4
Решая ее, находим:
A = 1;
Частное решение имеет вид:
y* = 1e-3x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задание 2.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +4 r + 0 = 0
D = 42 - 4 • 1 • 0 = 16
Корни характеристического уравнения:
r1 = -4
r2 = 0
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e-4x ; y2 = e0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = (6•x+1)•e-3•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 6•x+1, Q(x) = 0, α = -3, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
y' = e-3x(-3•A•x+A-3•B)
y'' = e-3x(A(9•x-6)+9•B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' = (e-3x(A(9•x-6)+9•B)) + 4(e-3x(-3•A•x+A-3•B)) = (6•x+1)•e-3•x
или
-2•A•e-3x-3•A•e-3x•x-3•B•e-3x = (6•x+1)•e-3•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-2A -3B = 1
-3A = 6
Решая ее, находим:
A = -2;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y* = (-2x + 1)e-3x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задание 3.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +3 r + 2 = 0
D = 32 - 4 • 1 • 2 = 1
Корни характеристического уравнения:
r1 = -2; r2 = -1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e-2x; y2 = e-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = -2•e-x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = -2, Q(x) = 0, α = -1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -1 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
y' = -A•e-x(x-1)
y'' = A•e-x(x-2)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 3y' + 2y = (A•e-x(x-2)) + 3(-A•e-x(x-1)) + 2(x (Ae-x)) = -2•e-x
или
A•e-x = -2•e-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1A = -2
Решая ее, находим:
A = -2;
Частное решение имеет вид:
y* = x (-2e-x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задание 4.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +0 r + 9 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 9 = -36
Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = - 3i ;
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
;
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 18•(x-1)•e3•x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 18•(x-1), Q(x) = 0, α = 3, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
y' = e3x(3•A•x+A+3•B)
y'' = 3•e3x(A(3•x+2)+3•B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 9y = (3•e3x(A(3•x+2)+3•B)) + 9((Ax + B)e3x) = 18•(x-1)•e3•x
или
6•A•e3x+18•A•e3x•x+18•B•e3x = 18•(x-1)•e3•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
6A + 18B = -18
18A = 18
Решая ее, находим:
A = 1;B = -11/3;
Частное решение имеет вид:
y* = (x -11/3)e3x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задание 5.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -3 r + 2 = 0
D = (-3)2 - 4 • 1 • 2 = 1
Корни характеристического уравнения:
r1 = 1; r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = ex; y2 = e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 4•cos(2•x)+8•sin(2•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 4, Q(x) = 8, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)
y'' = -4(A•cos(2x)+B•sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -3y' + 2y = (-4(A•cos(2x)+B•sin(2x))) -3(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) + 2(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 4•cos(2•x)+8•sin(2•x)
или
6•A•sin(2x)-2•A•cos(2x)-2•B•sin(2x)-6•B•cos(2x) = 4•cos(2•x)+8•sin(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
6A -2B = 8
-2A -6B = 4
Решая ее, находим:
A = 1;B = -1;
Частное решение имеет вид:
y* = 1cos(2x) -sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задание 6.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -2 r + 2 = 0
D = (-2)2 - 4 • 1 • 2 = -4
Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = 1 + 1i;
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
;
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 5•cos(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(x) + Bsin(x)
Вычисляем производные:
y' = B•cos(x)-A•sin(x)
y'' = -A•cos(x)-B•sin(x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -2y' + 2y = (-A•cos(x)-B•sin(x)) -2(B•cos(x)-A•sin(x)) + 2(Acos(x) + Bsin(x)) = 5•cos(x)
или
2•A•sin(x)+A•cos(x)+B•sin(x)-2•B•cos(x) = 5•cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2A + 1B = 0
1A -2B = 5
Решая ее, находим:
A = 1;B = -2;
Частное решение имеет вид:
y* = 1cos(x) -2sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Задание 7.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +0 r + 9 = 0
D = 02 - 4 • 1 • 9 = -36
;
Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = - 3i;
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
;
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = -6•cos(3•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = -6, Q(x) = 0, α = 0, β = 3.
Следовательно, число α + βi = 0 + 3i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = x (Acos(3x) + Bsin(3x))
Вычисляем производные:
y' = sin(3x)(B-3•A•x)+cos(3x)(A+3•B•x)
y'' = cos(3x)(6•B-9•A•x)-3•sin(3x)(2•A+3•B•x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 9y = (cos(3x)(6•B-9•A•x)-3•sin(3x)(2•A+3•B•x)) + 9(x (Acos(3x) + Bsin(3x))) = -6•cos(3•x)
или
6•B•cos(3x)-6•A•sin(3x) = -6•cos(3•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
6B = -6
-6A = 0
Решая ее, находим:
A = 0;B = -1;
Частное решение имеет вид:
y* = x (0cos(3x) -sin(3x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
PAGE 7