Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2013
Дифференциальные операции второго порядка
Операции - дифференциальные операции первого порядка.
Результат применения операции к скалярному полю есть векторное поле . Результат применения операции к векторному полю есть скалярное поле . Результат применения операции к векторному полю есть векторное поле . Если полученное новое поле дифференцируемо1, то к нему можно снова применить одну и дифференциальных операций. Последовательное применение двух операций первого порядка называется дифференциальной операцией второго порядка.
Не возможные комбинации операций первого порядка допустимы. Имеют смысл следующие пять комбинаций из девяти:
|
Внешняя операция |
Внутренняя операция первого порядка |
||
|
Скалярное поле |
Векторное поле |
||
|
- |
- |
||
|
- |
) |
||
|
() |
- |
() |
Не имеют смысла выражения , , , , поскольку операцию можно применять лишь у скалярному полю, а операции и - только к векторному.
(), (1)
в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой, либо рассматривая эту операцию второго порядка с позиций векторного произведения параллельных векторов.
)=. (2)
Для доказательства достаточно последовательно проделать операции и , например, в декартовой системе координат, либо рассмотреть как скалярное произведение ортогональных векторов.
Следствие тождества (2). Вихревые линии любого поля (а это векторные линии поля ) не имеют источников или стоков. При этом если поле рассматривается во всем пространстве , то указанные линии замкнуты2 (не исключается случай их замыкания на бесконечности). Если же поле рассматривается в области , его векторные линии могут оканчиваться на границе области .
Для характеристики любого поля наряду с векторными линиями используются вихревые.
Скалярный оператор Лапласа. Операция
(3)
образует скалярный дифференциальный оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах
(4)
Линейность оператора Лапласа:
. (5)
Утверждение. (6)
(докажите (6) самостоятельно).
Операции и . Лапласиан векторного аргумента. Нетрудно доказать:
. (7)
Следовательно,
. (8)
Лапласиан векторного аргумента вычисляется по формуле (8).
В ДПСК
. (9)
Задание для самостоятельной работы.
1 Для случая векторного поля обычно вводят более сильное условие: компоненты поля имеют непрерывные частные производные
2 либо бесконечно близки к ним