Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 26. Закон сохранения энергии в консервативных системах. Минимум потенциальной энергии при равновесии
Работа силы тяжести, как было пояснено в § 22, не зависит от пути перемещения тела с одного уровня на другой. Работа сил тяго тения вообще не зависит от пути перемещения. Точно так же не зависит от пути перемещения и работа сил электростатического взаимо действия наэлектризованных тел.
Силы взаимодействия, работа которых не зависит от пути пере мещения тел, называют консервативными силами (от латинского conservare, что значит «сохранять»).
Это название имеет следующий смысл: в механических системах, где действуют одни только консервативные силы (в консервативной системе), сумма кинетической и потенциальной энергий всегда остаётся неизменной. Иначе говоря, в консервативной системе при её движении может происходить превращение кинетической энергии только в потенциальную энергию или же потенциальной в кинетиче скую, но не в какие-либо другие виды энергии.
Таким образом, консервативная система являет собой пример си стемы, где движение всегда остаётся механическим движением и не превращается в более сложные формы движения. В действительности во всех механических системах наряду с консервативными силами действуют и неконсервативные силы (например, трение). Кроме того, не следует забывать, что потенциальная энергия представляет собой скрытые формы движения, более сложные, чем механическое движе ние. Поэтому механический закон сохранения энергии в консерва тивных системах не имеет такого (всеобщего) значения, как универ сальный закон сохранения энергии, указывающий на превращаемость всех видов энергии друг в друга.
Закон сохранения энергии в консервативных системах можно выве сти из законов Ньютона. Исходим из уравнений движения
Напишем эти уравнения для всех материальных точек механиче ской системы. Умножим первое из этих уравнений для первой мате риальной точки на dx1; аналогичное уравнение для второй материаль ной точки умножим на dx2 и т. д.; каждое второе уравнение умножим соответственно на dy1 , dy2 и т. д.; каждое третье — на dz1, dz2 и т. д. Сложим теперь все эти уравнения; получаем:
Здесь означает, что берётся сумма написанных выражений для всех материальных точек i=1, 2, ..., n. Каждый из членов, стоя щих в правой части, преобразуем следующим образом:
Это произведение представляет собой дифференциал величины v2x, i /2. Учитывая это, а также принимая во внимание, что
предыдущее уравнение можно переписать так:
(Массы m1 , m2 и т. д. мы считаем неизменными; на этом основании
величины mid(v2i/2) мы заменили через d(mivi/2); в случае масс, изме няющихся во время движения, мы должны были бы исходить из уравнений (1), где под знаком дифференциала находится количество движения, а не скорость.)
В правой части вышеприведённого уравнения мы имеем изменение кинетической энергии системы за время dt. Поэтому правую часть уравнения можно обозначить dEкин, где Eкин — кинетическая энергия системы. Что же касается левой части уравнения, то это есть работа dA, производимая всеми материальными точками системы за время dt. Если все силы системы консервативны, то эта работа однозначно определяется положением материальных точек до и после перемеще ния за время dt и вследствие этого может быть выражена как убыль потенциальной энергии. Таким образом, вышеприведённое уравнение для консервативных систем приобретает такой вид:
-dU=dEкин ,
или dEкин+dU=0,
или, наконец, что то же:
d(Eкин+U)=0.
Итак, изменение суммы кинетической и потенциальной энергий консервативной системы за любой бесконечно малый промежуток вре мени dt, а значит, и за любой конечный промежуток времени равно нулю. Иначе говоря, полная энергия консервативной системы (сумма кинетической и потенциальной энергий) остаётся при движении системы неизменной:
Eкин+U=const. (5)
Так, например, потенциальная энергия тяжести какого-либо тела при падении тела убывает на столько, на сколько при этом возрастает кинетическая энергия тела. Потенциальная энергия тела, брошенного вверх, по мере подъёма тела возрастает на величину, равную убыли кинетической энергии. Подъём тела, брошенного вверх, прекращается, когда вся кинетическая энергия превращается в потенциальную.
При каждом качании маятника, когда маятник достигает крайнего отклонения, вся кинетическая энергия маятника превращается в потен циальную; при свободном качании маятника полная энергия маятника во всех его положениях одинакова.
Затухания колебаний маятника, так же как и потеря некоторой доли кинетической энергии у тела, брошенного в воздухе вверх, когда оно опускается до первоначального уровня, объясняются влиянием сил трения, вследствие которых ни одна механическая система в действи тельности не является вполне консервативной. Однако такие системы, как, например, солнечная система (движение планет вокруг Солнца), можно с чрезвычайно большой степенью точности считать консерва тивными системами.
Докажем весьма важную теорему, что состоянием устойчивого равновесия изолированной консервативной системы является такое состояние, в котором потенциальная энергия системы минимальна.
Рис. 48. Если проведённая через центр тяжести отвесная линия не проходит через площадь опоры, то возможно более низкое положение
центра тяжести.
По закону сохранения энергии, полная энергия консервативной системы, слагающаяся из её кинетической энергии Е и потенциальной энергии U, должна оставаться неизменной:
Eкин+U=const.
Кинетическая энергия есть всегда величина положительная. Поэтому, если в начальный момент все тела, составляющие рассматриваемую нами систему, были неподвижны, то движение может возникнуть только вследствие уменьшения потенциальной энергии, причём убыль потенциальной энергии будет равна возникшей кине тической энергии. Если же в начальный момент потенциальная энер гия была минимальна (что имеет место, когда любое перемещение тел в новое их положение приводит к увеличению потенциальной энергии), то тогда, очевидно, не может произойти возрастание кине тической энергии, и движение, отсутствовавшее в начальный момент, никогда не возникнет; система будет пребывать в устойчивом равновесии, из которого она мо жет быть выведена только действием внешних сил.
В частном случае, когда имеется одно какое-либо тело, находящееся под дей ствием силы тяжести, можно утверждать, что состоянию устойчивого равновесия бу дет соответствовать наиниз шее положение центра тя жести тела] в противном случае потенциальная энергия тяжести не была бы мини мальной (рис. 48).
Можно представить себе состояние неустойчивого равновесия, когда потенциальная энергия максимальна, и состояние безразличного равновесия, когда потенциальная энергия одинакова для ряда смежных положений (рис. 49).
Рис. 49. Три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.