Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вычисление тройных интегралов в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат.
Интеграл от функции по области D, определённой в декартовой системе координат неравенствами вычисляется приведением к форме трёхкратного интеграла
Пример: Вычислить интеграл
Решение: Строим область интегрирования
syms x y;
>> z=sqrt(x*y);
>> ezmesh(z)
>> hold on
>> [x,z]=meshgrid(0:0.01:5);
>> y=2.*x+0.*z;
>> plot3(x,y,z)
syms x y z int(int(int(z,z,0,sqrt(x*y)),y,0,2*x),x,0,3) ans =81/4
Тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
Цилиндрические координаты связаны с декартовыми соотношением: , где проекция радиус-вектора на плоскость ХОУ , полярный угол и декартова координата .
Пример: Вычислить тройной интеграл от функции, ограниченной конусом
и плоскостями z = 2, z= 5
Решение: Даём графическую иллюстрацию области интегрирования
>>syms x y
>>ezmesh(sqrt(x^2+y^2))
>> hold on
>> [x,y]=meshgrid(-5:0.01:5);
>> z=2+x.*0;
>> plot3(x,y,z)
>> z=5+x.*0;
>> plot3(x,y,z)
>> syms z r phi
>> f=1/z^2;
>>I=int(int(int(f,z,2,5),r,0,5),phi,0,2*pi) I =3/5*5^(1/2)*pi
Тройной интеграл в сферической системе координат.
Сферические координатные функции связаны с декартовыми соотношениями: где длина радиус-вектора , полярный угол , азимутальный угол
Некоторые приложения тройного интеграла.
Объём тела:
Масса тела: , где есть объёмная плотность распределения массы в точке М(х, у, z).
Задача: Найти объём пространства, ограниченного двумя скрещёнными цилиндрами с радиусами R1, R2, осевые линии которых пересекаются под углом 900. Рассмотреть случай когда R1 = R2 = 1.
n=1.5;
>> [x,y,z]=cylinder(0.7,100);
>> surf(x,y,z*n),hold on
>> surf(x,y,-z*n)
>> [x,y,z]=cylinder(1,100);
>> surf(x,z,y),
>> surf(x,-z,y),
>> colormap gray
>> syms ro phi z
>> I=int(int(int(1,z,-sqrt(1-(ro*sin(phi))^2),sqrt(1-(ro*sin(phi))^2))*ro,ro,0,1),phi,0,2*pi) I = 16/3
Функции преобразования координат
Из декартовой системы в цилиндрическую -
Из декартовой системы в сферическую -
Из полярной и цилиндрической в декартовую: ,
Функция вычисления тройных интегралов
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
Пример:
triplequad('x+y*z',0,pi,0,1,-1,1)
ans = 9.86960440108936
Недостатком данной функции является то, что она не всегда обеспечивает вычисления.
2