Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Національна академія наук України
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова
УДК 532. 516: 519.6
МАТЕМАТИЧНІ Моделі ТА обчислювальні
МЕТОДИ аНАЛІЗУ багатокомпонентних
ПСЕВДОПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ
01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,
академік НАН України
Сергієнко Іван Васильович,
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова
НАН України, директор.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Гладкий Анатолій Васильович,
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова
НАН України, провідний науковий співробітник,
доктор фізико-математичних наук, професор
Литвин Олег Миколайович,
Українська інженерно-педагогічна академія,
завідувач кафедри прикладної математики.
Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України і НКА
України, відділ системного аналізу та керування, м. Київ.
Захист відбудеться “ ” червня 2007 р. о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені
В.М. Глушкова НАН України за адресою:
03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.
З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.
Автореферат розісланий “ 24” травня 2007 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.
Актуальність теми. Добування твердих, рідких корисних копалин та
газу, створення підземних комунікацій довільного призначення, забудівля територій висотними будинками та інше змінюють динаміку природно врівноважених основних процесів, які характерні для ґрунтових середовищ: руху рідини, механічного деформування, формування температурних полів. Суттєві зміни характеристик цих процесів часто супроводжуються певними негативними явищами: провалами та зсувами ґрунтових мас значних об’ємів, підтопленням територій, забрудненням чистих вод нижніх горизонтів брудними приповерхневими водами, зникненням водоносних горизонтів та інше, що завдає значних як матеріальних так і моральних збитків населенню.
Очевидно, що при прийнятті рішень на певну видобувну діяльність, на забудівлю територій, на захоронення відходів необхідно провести дослідження (зокрема, засобами комп’ютерного моделювання) щодо аналізу впливу цієї діяльності на зміни в станах ґрунтових середовищ та оцінити масштаби таких змін.
Оскільки в різних регіонах України ґрунтові середовища мають унікальну будову, то доцільно створити ефективні математичні моделі, програмно-алгоритмічні заcоби, які б дозволили аналізувати стани та прогнозувати розвиток основних процесів, що характерні для довільно можливих ґрунтових середовищ.
Важливим є те, що розвиток зазначених процесів суттєво залежить від наявних у ґрунтових середовищах різноманітних тонких включень природного чи штучного походження.
На необхідність врахування впливу слабко проникливих прошарків на динаміку ґрунтових вод зазначали ще в 40-х роках минулого століття такі відомі вчені як Г.Н. Каменський та Н.К. Гиринський. Цей вплив вони врахували за допомогою так званої умови перетоку.
Слід зазначити, що наприкінці 70-х на початку 80-х років минулого століття в цілому була розв’язана проблема побудови ефективних чисельних алгоритмів для розв’язання основних класів задач математичної фізики, що моделюють процеси в однорідних середовищах.
У становленні такої теорії та її розвитку суттєву роль відіграли роботи відомих учених: Р. Варги, Г.І. Марчука, О.А. Самарського, Г. Стренга, Ф. С’ярле, Дж. Фікса, наших співвітчизників: І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки, І.І. Ляшка,В.Л. Рвачова, В.Л. Макарова, В.К. Задіраки, В.В. Скопецького, В.М. Булавацького, Є.Ф. Галби, А.В. Гладкого, О.М. Литвина, І.М. Молчанова, Я.Г. Савули, В.А. Стояна та ін. Разом з тим, на той час така чітка теорія була відсутня для дослідження процесів, що характерні для багатокомпонентних тіл з тонкими включеннями.
У роботах І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки, В.В. Скопецького побудовані математичні моделі основних процесів, що протікають у багатокомпонентних “зернистих” ґрунтових середовищах, для випадків довільного просторового розташування тонких включень (у вигляді крайових, початково-крайових задач для рівнянь в частинних похідних з умовами спряження та відповідних узагальнених задач, що визначені на класах розривних функцій). Ними також побудовані обчислювальні схеми підвищеного порядку точності їх чисельної дискретизації. Ці результати склали теоретичну базу створених автоматизованих систем САРПОК та серії НАДРА.
Дисертаційна робота є продовженням досліджень у зазначених напрямках.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у рамках таких наукових тем та проектів Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України:
“Створення математичних моделей, програмно-алгоритмічних засобів та інформаційних технологій дослідження процесів в неоднорідних ґрунтових середовищах” (номер держреєстрації 0102U003214); “Розробити математичні моделі та методи дослідження процесів в неоднорідних середовищах” (номер держреєстрації 0102U000498); ”Розробка, теоретичне обгрунтування моделей і високоточних обчислювальних алгоритмів розв’язання проблем динаміки рідини в багатокомпонентних середовищах та деформування неоднорідних ґрунтових тіл” (номер держреєстрації 0101U007550); “Розробити і дослідити математичні моделі, методи аналізу та оптимальну керованість багатокомпонентних розподілених систем” (номер держреєстрації 0107U000634); “Розробити математичне забезпечення інтелектуальних інформаційних технологій, заснованих на знаннях” (номер держреєстрації 0104U008241); “Створення інформаційної технології для розв’язання екологічних проблем гетерогенних ґрунтових середовищ” (номер держреєстрації 0104U007388); “Розробка алгоритмів паралельної реалізації методів моделювання процесів в багатокомпонентних ґрунтових середовищах” (номер держреєстрації 0106U011584).
Мета і задачі дослідження. Мета роботи –побудова нових математичних моделей неусталеного руху рідини в тріщинувато-порових породах, що вміщують довільно розташовані в просторі тонкі включення різного походження; розробка та теоретичне обґрунтування обчислювальних алгоритмів підвищеного порядку точності чисельної дискретизації зазначених класів задач; проведення обчислювальних експериментів.
Для досягнення поставленої мети в процесі досліджень поставлені та розв’язані такі задачі:
Об’єкт дослідження процеси руху рідини в тріщинувато-порових
породах, які вміщують довільно зорієнтовані у просторі тонкі прошарки, що характеризуються різним впливом на досліджувані явища.
Предметом дослідження є математичні моделі неусталеного руху рідини в тріщинувато-порових породах, що вміщують довільно зорієнтовані у просторі тонкі включення з різними властивостями впливу на досліджуваний рух рідини, які сформульовані як нові класи початково-крайових задач для псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження (з розривними розв’язками). Ефективні методи їх чисельного розв`язання.
Методи дослідження. При побудові математичних моделей використані основні закони збереження. При побудові класичних узагальнених задач Гальоркіна для отримання нових класів початково-крайових задач в частинних похідних використана започаткована в роботах І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки методологія використання відповідних класів розривних функцій з попередньою класифікацією на головні та природні складові отриманих умов спряження.
Ефективні обчислювальні алгоритми для отриманих нових класів математичних задач будуються на основі використання відповідних класів розривних функцій методу скінченних елементів, що є певним розвитком зазначеної методології на нові класи математичних задач.
Теоретичне обґрунтування алгоритмів методу скінченних елементів та відповідних модифікованих різницевих схем Кранка–Ніколсона здійснюються шляхом узагальнення відомих підходів для з’ясування аналогічних питань у параболічних системах.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримані такі нові результати, що виносяться на захист:
Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані математичні моделі можуть бути використані для аналізу процесів руху рідини в природних тріщинувато-порових багатокомпонентних породах для вирішення різноманітних проблем: будівництва, раціонального природокористування, екології та ін.
Запропоновані та теоретично обґрунтовані ефективні обчислювальні алгоритми чисельного розв’язання розглянутих класів початково-крайових задач для псевдопараболічних рівнянь можуть бути використані при створенні сучасних інформаційних технологій аналізу та прогнозу динаміки руху рідини в реальних багатокомпонентних ґрунтових середовищах та для аналізу впливу рухомої рідини на динаміку механічного деформування складних багатокомпонентних тіл з метою аналізу їх стійкості та вирішення інших проблем.
Також запропоновані обчислювальні алгоритми можуть бути корисними при створенні сучасних інформаційних технологій системного аналізу складних багатокомпонентних ґрунтових середовищ з наперед невідомими фізичними властивостями, які знаходяться шляхом ітераційного чисельного розв`язання певних прямих і спряжених задач псевдо-параболічного типу.
Особистий внесок здобувача. У роботах 1, 9, 10, які написані у співавторстві, автору дисертаційної роботи належать всі теоретичні результати, щодо побудови та теоретичного обґрунтування обчислювальних алгоритмів підвищеного порядку точності для чисельного розв’язання початково-крайових задач для псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту. В роботах 9, 10 співавторам належать ідеї здійснення обчислювальних експериментів та участь в обговоренні їх результатів.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях: Х Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1315 травня, 2004); Міжнародна науково-практична конференція „Розробка систем програмного забезпечення: Виклики часу та роль у інформаційному суспільстві” (Київ, 2728 січня, 2005); Міжнародна конференція „Питання оптимізації обчислень (ПОО – ХХХІІ)”, присвячена 75-річчю від дня народження академіка В.С. Михалевича (Кацивелі, Крим, 1923 вересня, 2005) та на наукових семінарах у Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (Київ, 2003 –).
Дисертаційна робота в повному обсязі доповідалась та обговорювалась на розширеному семінарі відділу математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10-ти наукових статтях, з них 7 надруковано в наукових фахових виданнях, 3 –у збірках матеріалів наукових конференцій (7 робіт опубліковано без співавторів, з них 6 –в наукових фахових виданнях).
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 126 найменувань. Повний обсяг роботи складає 184 сторінки, із них 150 сторінок основного тексту.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульована мета та задачі дослідження, визначено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення.
У першому розділі проведено огляд літературних джерел за тематикою дисертації. Обґрунтовано вибір напрямку подальших досліджень, пов’язаних з моделюванням процесів у тріщинувато-порових середовищах, що вміщують різноманітні прошарки.
У другому розділі отримані математичні моделі просторового руху рідини в тріщинувато-порових середовищах, що вміщують довільно розташовані у просторі тонкі слабкопроникливі, складені тришарові прошарки (у тому числі для частинних їх випадків), та руху рідини в просторових середовищах, що складаються з слабкостисливих порових та тріщинувато-порових складових, розмежованих тонким прошарком як нові класи початково-крайових задач для псевдопараболічних та еліптико-псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту. Отримані відповідні класичні узагальнені задачі, що визначені на класах розривних функцій.
У третьому розділі розглянуто нові одновимірні за просторовою змінною (математичні моделі вертикального руху рідини в шаруватих тріщинувато-порових середовищах) початково-крайові задачі для псевдопараболічного рівняння з різноманітними типами умов спряження.
Підрозділ 3.1 присвячено початково-крайовій задачі для псевдопараболічного рівняння з умовами спряження складеного тонкого прошарку.
Нехай в області
визначене рівняння
, (1)
де .
На кінцях відрізка 0, l задані змішані неоднорідні крайові умови
, (2)
, (3)
де .
У точці при виконуються неоднорідні умови спряження неідеального контакту
, (4)
, (5)
де R, R невід’ємні сталі; .
Початкова умова має вигляд
, (6)
де простір функцій Соболєва.
Для задачі (1)(6) визначено класичний розв’язок функція u(x,t)М, що задовольняє рівності (1)(6), де.
Узагальнена задача полягає у знаходженні функції u(x, t)Н, що w(х)H
задовольняє тотожності
, (7)
, (8)
де , , ;
, ,
, .
Лема 1. Якщо u(x, t)H узагальнений розв’язок початково-крайової задачі (1)(6), то він єдиний.
Введемо до розгляду підпростір простору функцій з базисом . За допомогою цього базису побудуємо підмножину функцій вигляду
, , (9)
де (x,t) довільна фіксована функція з Н.
Наближеним узагальненим розв’язком початково-крайової задачі (1)(6) називається функція , що задовольняє тотожностям
, , (10)
, . (11)
Теорема 1. Нехай u(x, t) класичний розв’язок початково-крайової задачі (1)(6), а U(x, t) її наближений узагальнений розв’язок. Тоді існують такі
постійні , r , с, що має місце нерівність
,(12)
де , , , , ,
, .
Теорема 2. Нехай класичний розв’язок u(x, t) початково-крайової задачі (1)(6) . Тоді для наближеного узагальненого розв’язку U(x, t) з множини функцій методу скінченних елементів (МСЕ), які на кожному елементарному відрізку розбиття відрізку [0, l] є повними поліномами ступеня k при , має місце оцінка
, (13)
де , , ,
, .
Враховуючи (9), з (10), (11) одержуємо задачу Коші для системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку:
, , (14)
, (15)
де , , , , ,
, , , .
Розв’язок задачі (14), (15) існує і єдиний, тобто існує єдиний наближений узагальнений розв’язок розглядуваної початково-крайової задачі.
Задачу Коші (14), (15) розв’язуємо наближено за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона
, , (16)
, (17)
де , , ,
, ,
, .
Теорема 3. Нехай u(x, t) класичний розв’язок початково-крайової задачі (1)(6) достатньо гладкий на , . Тоді існують такі додатні постійні , , що і довільної функції має місце нерівність
, (18)
де , .
Теорема 4. Нехай класичний розв’язок u(x, t) достатньо гладкий на . Тоді для похибки z наближеного розв’язку , отриманого за допомогою методу скінченних елементів і різницевої схеми КранкаНіколсона (16), (17), має місце нерівність
, (19)
де c = const > 0,.
З використанням функцій за допомогою розроблених обчислювальних схем розв’язані деякі модельні приклади. Відносна похибка
отриманих розв’язків не перевищує 4.4110 %, де иТ, иН відповідно, точний та наближений розв’язки.
У підрозділі 3.2 розглянуто задачу з заданими стрибками розв’язку та потоку.
Початково-крайова задача визначена рівнянням (1), крайовими умовами
Діріхле
, (20)
початковою умовою (6) та неоднорідними умовами спряження
(21)
. (22)
Узагальнена задача має вигляд (7), (8), де
, , ,
, , ,
,
.
Доведено єдиність узагальненого розв’язку.
Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9). Встановлені оцінки, аналогічна (12) та вигляду (13) (доведені теореми, аналогічні теоремам 1, 2) для наближеного узагальненого розв’язку.
Відповідну задачу Коші розв’язуємо за допомогою модифікованої різницевої схеми (16), (17). Для похибки , , встановлені оцінки, аналогічна (18) та вигляду (19), тобто доведені теореми, аналогічні теоремам 3, 4.
За допомогою запропонованих обчислювальних схем з використанням кусково-квадратичних функцій розв’язаний модельний приклад. Відносна похибка отриманого наближеного чисельного розв’язку не перевищує 3.810 %.
Обмеження (21) можна розглядати як граничний випадок (при 0) умови
, , . (23)
Показано, що замість початково-крайової задачі (1), (6), (20)(22) (задачі 1) з головною неоднорідною умовою (21) можна розв’язувати задачу (1), (6), (20), (22), (23) (задачу 1) з природною умовою та малим параметром > 0. Отримано оцінки
, , (24)
де и розв’язок збуреної задачі, тобто задачі 1, наближений розв’язок збуреної задачі.
Із використанням функцій розв’язані модельна задача 1 та задача 1. Значення відносної похибки для задачі 1 не перевищує 3.810 %, а для задачі 1 6.910 % при = 10 .
У підрозділі 3.3 побудовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації початково-крайової задачі для псевдопараболічного рівняння з умовами спряження зосередженої теплоємності. На області визначене псевдопараболічне рівняння (1), на кінцях відрізка [0, l] задані змішані крайові умови (2), (3), при t = 0 початкова умова (6), а в точці умови спряження зосередженої теплоємності:
, , . (25)
Узагальнена задача має вигляд (7), (8), де
, ,
, ,
.
Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9). Для наближеного розв’язку встановлені оцінки, аналогічні оцінкам (12), (13). Відповідна задача Коші розв’язується за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона (16), (17). Для
похибки , отримані оцінки, аналогічні оцінкам (18), (19). З використанням функцій розв’язано модельну задачу. При цьому похибка отриманого
чисельного розв’язку не перевищувала 210 % .
У підрозділі 3.4 розглянуто початково-крайову задачу (1)(6), де коефіцієнт k = k(x, t). Побудовано відповідну узагальнену задачу вигляду (7), (8). Показано єдиність узагальненого розв’язку. Наближений розв’язок шукаємо у вигляді (9). Для наближеного розв’язку встановлені оцінки, аналогічні оцінкам (12), (13). Відповідна задача Коші розв’язується за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона (16), (17), де
, .
Для похибки , , отримані оцінки, аналогічні (18), (19).
У підрозділі 3.5 розглянута початково-крайова задача для псевдопараболічного рівняння (1), що визначене на області . На кінцях відрізка [0, l] задані крайові умови (2), (3). У точці задані умови спряження вигляду (4), (5), а в точці умови вигляду (21), (22), а при t = 0 початкова умова (6). Отримана узагальнена задача вигляду (7), (8), де
, , ,
,
, .
Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9). Для наближеного розв’язку отримані оцінки, аналогічні оцінкам (12), (13). Відповідна задача Коші розв’язується за допомогою модифікованої різницевої схеми (16), (17). Для похибки , отримані оцінки, аналогічні оцінкам (18), (19).
У підрозділі 3.5.5 розглянута можливість заміни головної неоднорідної умови вигляду (21), що задана в точці , природною умовою вигляду (23) з малим параметром 0. Для розв’язку и(x, t) збуреної задачі та її наближеного розв’язку МСЕ отримано оцінки вигляду (24).
Четвертий розділ присвячено розробці та теоретичному обґрунтуванню ефективних чисельних алгоритмів для розв’язування псевдопараболічних задач з умовами спряження, визначених в t(0,T .
У підрозділі 4.1 розглянута задача з умовами спряження тришарового прошарку.
В області
визначене псевдопараболічне рівняння
, (26)
де , , ,
, , ; , ,
, , , , , (26)
, , .
На границі задані змішані крайові умови
, , (27)
, , (28)
, , (29)
де при , n орт зовнішньої нормалі (зовнішня нормаль) до чи , відповідно.
На умови спряження запишемо у вигляді
, (30)
, (31)
де , , , при
; при ;
відомі функції з n нормаль до (орт нормалі до ), спрямована в область
При t = 0 задана початкова умова
, , (32)
де , простір функцій Соболєва, визначених на області , .
Дано визначення класичного розв’язку початково-крайової задачі (26)(32).
Узагальнена задача має вигляд (7), (8), де
, , , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Встановлено єдиність узагальненого розв’язку початково-крайової задачі (26)(32).
Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9).
Враховуючи (9), базис , на основі (7), (8), для визначення наближеного узагальненого розв’язку початково-крайової задачі (26)(32) одержуємо задачу Коші для системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку вигляду (14), (15), де , , ,
, , , , ,
,
, , .
Встановлено існування та єдиність наближеного узагальненого розв’язку.
Теорема 5. Нехай u(x, t) класичний розв’язок початково-крайової задачі (26)(32), а U(x, t) її наближений узагальнений розв’язок. Тоді існують такі додатні постійні , , , , що має місце нерівність
, (33)
де
, , ,
, , ,
, ,
, .
Теорема 6. Нехай класичний розв’язок u(x, t) початково-крайової задачі (26)(32) достатньо гладкий на , . Тоді для наближеного узагальненого розв’язку U(x, t) з множини функцій методу скінченних елементів, які на кожному трикутному скінченному елементі розбиття області , є повними поліномами ступеня k, має місце оцінка
, (34)
де с = const>0, h величина найбільшого з діаметрів усіх скінченних елементів; k ступінь повних поліномів МСЕ; f() = cos, половина найбільшого з кутів всіх при k = 1 і f() = sin, найменший з кутів всіх при k = 2, 3,
, .
Різницева схема КранкаНіколсона має вигляд (16), (17).
Теорема 7. Нехай u(x, t) класичний розв’язок початково-крайової задачі (26)(32), що достатньо гладкий на . Тоді існують такі додатні постійні , що і довільної функції має місце нерівність
+ +
+ +
+ + + +
+ + + + , (35)
де .
Теорема 8. Нехай класичний розв’язок u(x, t) достатньо гладкий на . Тоді для похибки z наближеного розв’язку U(x, t), одержаного за допомогою МСЕ з трикутними скінченними елементами на та різницевої схеми КранкаНіколсона, має місце оцінка
, (36)
де k, h, f() визначені в теоремі 6, с = const > 0.
Розв’язана модельна задача з використанням кусково-лінійних функцій МСЕ. Відносна похибка отриманого чисельного розв’язку не перевищує 1.210 %.
У підрозділі 4.2 розглянуто початково-крайову задачу для псевдопарабо-лічного рівняння зі змішаними неоднорідними умовами спряження.
В області визначене рівняння (26). На границі задана неоднорідна умова Діріхле
. (37)
На умови спряження мають вигляд
, (38)
, (39)
а при t = 0 задана початкова умова (32).
Для початково-крайової задачі (26), (32), (37)(39) узагальнена задача має вигляд (7), (8), де
, ,
, , , ,
,
,
.
Припускаємо функції , такими, що множина V непорожня.
Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9).
Доведені теореми, аналогічні теоремам 5, 6, та встановлені оцінки, аналогічна (33) та вигляду (34).
Розв’язуючи відповідну задачу Коші за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона, для має місце оцінка, аналогічна (35), а для наближеного розв’язку, отриманого за допомогою функцій МСЕ та цієї різницевої схеми, отримаємо оцінку вигляду (36), справедливість яких встановлена відповідними теоремами.
У підрозділі 4.2.5 розглянута можливість заміни головної неоднорідної умови спряження (38) природною з малим параметром
, . (40)
Для узагальненого розв’язку збуреної задачі та наближеного її розв’язку МСЕ отримані оцінки
, (41)
де довжина найбільшого із відрізків розбиття .
У підрозділі 4.3 розглянуто питання побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності для осесиметричної псевдопараболічної задачі з умовами спряження тришарового включення. Початково-крайова задача отримана із загальної тривимірної задачі переходом від декартової системи координат до циліндричної (r, z, ) у припущенні, що . Відповідна до неї узагальнена задача має вигляд (7), (8), де
,
,
,
, ,
, .
Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9), де замість х використовуємо координати (r, z).
На основі доведення теорем, аналогічних 5, 6, отримані оцінки, аналогічна (33) та вигляду (34).
Відповідна задача Коші розв’язується за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона. На основі доведення теорем, аналогічних 7, 8, отримані оцінки, аналогічна (35) та вигляду (36). Розв’язана відповідна модельна задача. Відносна похибка отриманого чисельного розв’язку не перевищує 210 % при використанні кусково-квадратичних функцій МСЕ.
Розділ 5 складається із чотирьох підрозділів 5.15.4. У підрозділі 5.1 розглядається початково-крайова задача для псевдопараболічного рівняння, визначеного в областях , з неоднорідними крайовими умовами Діріхле та змішаними неоднорідними умовами спряження. Отримана відповідна узагальнена задача. Доведені теореми, аналогічні теоремам 5, 6. Задача Коші розв’язується за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона. Доведені теореми, аналогічні теоремам 7, 8. Розглянута можливість заміни головної неоднорідної умови спряження природною з малим параметром . Для розв’язку збуреної задачі отримана оцінка .
У підрозділах 5.2 та 5.3 побудовані обчислювальні схеми підвищеного порядку точності для еліптико-псевдопараболічного рівняння з умовами спряження тришарового тонкого включення та змішаних неоднорідних при заданій початковій та змішаних крайових умовах.
Отримані відповідні узагальнені задачі. Наближений розв’язок шукаємо за допомогою МСЕ. Доведені теореми, аналогічні теоремам 5, 6. Відповідні задачі Коші чисельно розв’язуються за допомогою модифікованої різницевої схеми КранкаНіколсона. Доведені теореми, аналогічні теоремам 7, 8.
У підрозділі 5.4 розглянута початково-крайова задача для квазінійного псевдопараболічного рівняння
,
де ,
з умовами спряження складеного тонкого включення. На основі використання розривних функцій МСЕ побудовані наближені розв’язки , для яких отримана оцінка вигляду (34).
ВИСНОВКИ
У роботі отримані такі основні результати.
1. Побудовані математичні моделі неусталених процесів руху рідини у тріщинувато-порових середовищах, що вміщують тонкі прошарки, як нові класи початково-крайових задач з розривними розв’язками для псевдопараболічних та еліптико-псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту.
2. Для отриманих початково-крайових задач з умовами спряження слабкопроникливого, тришарового прошарків, з заданими стрибками розв’язків, з умовами спряження зосередженої теплоємності, з двома прошарками різних властивостей отримані класичні узагальнені задачі, що визначені на відповідні класах розривних функцій. Доведена єдиність узагальнених розв’язків.
. З використанням класів розривних функцій МСЕ побудовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності знаходження наближених узагальнених розв’язків. Доведено їх існування та єдиність. Отримані оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків, що за порядками кроків дискретизації не гірші аналогічних, відомих для відповідних задач з гладкими розв’язками.
. Розроблена методика заміни головної неоднорідної умови спряження природною з малим параметром .
5. Отримані оцінки похибок збурених розв’язків та наближених збурених розв’язків.
. Для дискретизації відповідних задач Коші розроблено різницеві схеми КранкаНіколсона. Отримані оцінки наближених розв’язків, одержаних з використанням певних підмножин розривних функцій, розривних функцій МСЕ та різницевих схем КранкаНіколсона.
7. За допомогою розроблених обчислювальних алгоритмів розв’язані модельні приклади. Отримані результати підтверджують ефективність запропо-нованих обчислювальних схем.
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ
В ТАКИХ ПРАЦЯХ:
Дейнека І.В. Математичні моделі та обчислювальні методи аналізу багатокомпонентних псевдопараболічних систем. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи. –Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2007.
Дисертаційна робота присвячена розробці теоретичних засад створення ефективних проблемно-орієнтованих програмно-алгоритмічних засобів чисельного аналізу руху рідини в тріщинувато-порових ґрунтових середовищах, що вміщують тонкі прошарки, які суттєво впливають на розвиток зазначених процесів. Для вирішення цього завдання побудовані нові математичні моделі, як множина початково-крайових задач для псевдопараболічних та еліптико-псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту (з розривними розв’язками). Отримані для них відповідні класичні узагальнені задачі, що визначені на класах розривних функцій. Побудовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності для знаходження наближених узагальнених розв’язків. Отримані оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків МСЕ та похибок наближених узагальнених розв’язків, одержаних за допомогою різницевих схем КранкаНіколсона та розривних функцій МСЕ. Проведені обчислювальні експерименти, результати яких підтверджують ефективність запропонованих алгоритмів.
Ключові слова: математичне моделювання, неусталений рух рідини в тріщинувато-порових середовищах з прошарками, псевдопараболічні задачі з розривними розв’язками, обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності.
Дейнека И.В. Математические модели и вычислительные методы анализа многокомпонентных псевдопараболических систем. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 –математическое моделивание и вычислительные методы. –Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2007.
Диссертационная работа посвящена разработке теоретических основ создания эффективных проблемно-ориентированных программно-алгоритми-ческих средств численного анализа движения жидкости в трещиновато-поровых грунтовых средах, содержащих тонкие включения, существенно влияющих на развитие отмеченных процессов. Для описания неустановившегося движения жидкости в таких средах получены новые классы начально-краевых задач для псевдопараболических и эллиптико-псевдопараболических уравнений с условиями сопряжения неидеального контакта (с разрывными решениями). Получены соответствующие классические обобщенные (в слабых постановках) задачи (раздел 2).
В 3-м разделе построены вычислительные алгоритмы повышенного порядка точности для одномерных по пространственной переменной псевдопараболических задач с различными типами условий сопряжения (слабопроницаемого включения, составного включения, с заданным скачком решения, с сосредоточенной теплоемкостью, наличием двух точек разрыва решения с различными типами условий сопряжения) и для случая изменения во времени коэффициента диффузии. Рассмотрена возможность замены главного неоднородного условия естественным с малым параметром . Получены соответствующие оценки приближенных решений. Приведены результаты вычислительных экспериментов.
В разделе 4 изучены вопросы построения вычислительных алгоритмов повышенного порядка точности для двумерных по пространственным переменным и осесимметричной псевдопараболических задач с разрывными решениями. Приведены результаты вычислительных экспериментов.
В разделе 5 рассмотрены начально-краевые задачи для псевдопараболических уравнений в п-мерной области со смешанными условиями сопряжения для эллиптико-псевдопараболических уравнений в с естественными и смешанными условиями сопряжения и для квазилинейного псевдопараболического уравнения с условиями сопряжения. Получены теоретические оценки приближенных разрывных решений.
Ключевые слова: математическое моделирование, неустановившееся движение жидкости в трещиновато-поровых средах с включениями, псевдопараболические задачи с разрывными решениями, вычислительные алгоритмы повышенного порядка точности.
Deineka I.V. Mathematical Models and Computation Methods of Analysis of Multicomponent Pseudoparabolic System. –Manuscript.
Candidate of Phys. & Math Sci. Degree Thesis. Speciality 01.05.02 – Mathematical Modelling and Computation Methods. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.
The thesis devotes to elaboration of theoretical basis of creation effective problem-oriented program algorithmic means of numerical analysis of liquid’s movement in fracture-pored soil environments, that contain thin streaks which substantially influences for evolution this processes. To decision this problem, new mathematical models are created as a quantity of initial boundary-value problems for pseudoparabolic and elliptic pseudoparabolic equations with conjugation conditions of non-ideal contact (with discontinuous decisions). Corresponding classical generalized solutions which specified in the class of discontinuous functions are obtained. Computation algorithms with a higher accuracy order to find approximate generalized solutions are created. Estimates are obtained for errors of approximate generalized solutions, made by the finite-element method, and also estimates for errors of approximate solutions derived by the difference Krank-Nicholson scheme and discontinuous functions. Computational experiments which results confirm effectiveness such algorithms are carried out.
Key words: mathematical modelling, nonstationary liquid’s movement in fracture-pored environments with streaks, pseudoparabolic problems with discontinuous decisions, computation algorithms with a higher accuracy order.
Підп. до друку 04.05.2007. Формат 60х84/16. Офс. друк.
Папір офс. Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,4.
Обл.-вид. арк. 1,0. Зам. 63. Тираж 120 прим.
Редакційно-видавничий відділ з поліграфічною дільницею
Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України
03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.