Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Поняття множини. Операції над множинами.
Множество - Совокупность набора елементов.
2. Принцип математичної індукції
Якщо Р(n) є істиним при n то і для будь-якого n є N істинності твердження P(n) випливає його істинність для (n+1) то твердження справедливе для всіх n є N.
3. Відношення та відображення, їх властивості.
Сюрьекция, иньекция, биекция.
Сюрьекция – отображение E на F называется сюрьекцией, если каждый элимент у є F есть образ по крайне мере одного элемента x є Х.
Иньекция – Отображение E в F называется Иньекцией, если каждый элемент y є F есть образ только одного элемента x є E,
Либо вообще не имеет прообраз.
Биекция – если отображение одновременно является и иньекцией и сюрьекцией, то оно называется биекцией.
5. Поняття функції.
Если каждому значению х пренодлежашее некоторое Е, соответствует одно и только одно конечное значение велечены у, то у называется функцией.
6. Тотожне та взаємообернене відображення.
Взаимообратные-
Пусть f: E F – биективное отображение и F = {y}. в силу биективности f каждому у є F соответствует единичный образ х, который обозначим через f^-1 (y), и такой, что f(x)= y
Таким образом определено отображение f^-1 :FE, которое называют обратной фунцией
f и f^-1 называют взаимно обратными.
8. Множина дійсних чисел.
Множество действительных чисел обозначается .
Включает в себя рациональные и иррациональные числа.
9. Аксіоматика дійсних чисел.
Точною верхньою границею, чи супремумом підмножини упорядкованої множини , називається найменший елемент , котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини . Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх границь. Позначається .
Аналогично с нижней
Макс
За властивостями верхньої грані можна знайти елемент х’ множини Х для якого
g-1<x’≤g тоді цей елемент е максимальнім єлементом множини Х.
цілі або натуральні числа які більше за х’ не належать до Х.
минимальній
Будьяка не порожня обмежена з нізу підмножина множии цілих чисел має мінімальний елемент
Множина дійсних чисел не обмежена. , про те іноді виникае потреба розглянути цю множину як обмежену. Для цього доповнемо її двома елементами: +⋈ та -⋈
Архімед.
Якщо зафіксувати довілне достатнє дійсне число С то для довільного дійсного чісла Х завжди знайдется єдине циле число K таке ще (k-1)с≤х<k*c
Оскільки множина Z є необмеженою зверху, то наступна множина: {n є Z| x/c <n} буде обмежена знизу.непорожньою пыдмножиною множини Z. Для неї буде існувати єдиний мінімум К, для якого виконується умова: (K-1) ≤ x/c ≤ K за умовою теореми С>0 тоді С(k-1) ≤ x≤k*c ч.т.д.
(для довільного дійсного числа Х завжди знайдеться так натуральне число n яке буде більшим за Х)
Додекінд.
Нехай Х та У це дві непорожні підмножини множини дійсних чисел об`єднання яких визначає всю дійсну вісь. Тоді, якщо всі елементи цих множин пов’язані нерівністю х≤у то тоді існує або максимальний елемент у множині Х, або мінімальний елемент у множині У.
Доведення
Виходячи з умови говоримо, що множині Х-множина мінорант для множини У
І множина У- Множина мажорант для Х.
Оскільки XUY утворюють всю дійсну вісь, то обов`язково буде виконуватись
Для для будьякої послідовності вкладених відрізків Іn знайдется дійснеа точка С. яка належить всім цім відрізкам. Якщо для ɛ>0 в цій послідовності можна знайти відрізок, довжина якого менша за ɛ, то точка с буде единою спільною точкою усіх цих відрізків.
Доведення.
Розглянемо два довільні відрізки Im= [am; bm] In=[an; bn]
То ліва межа одного відрізку завжди перевищує правої межі іншого am≤bn
якщо ця умова не віконуется тоді: an ≤ bn < am ≤ bm
Тоді відрізки не мають спільних точок що суперечить умові теоремию
Будуемо дві множини
A={am}
B={bm}
За аксіомою повноти можемо знайти
EC am ≤ C ≤ bn ∀ m,n нехай m=n an≤c≤bn c є In ∀n
Припустимо що в нас існують дві різні точки С1 і С2 якы належать всім вірдрізкам
Нехай Ec1 c2 an≤c1<c2≤bn
C2-C1 ≤ bn – an ∀n
(const) (In)
|In| ≥ const <-- протиріччя
Отож с- едина спільна точка усіх відрізків.
Лема Гейне-Бореля про скінчене покриття
З будьякої системи інтервалів, якак покриває відрізок, можно виділити скінчену підсистему, яка покрівлє цей відрізок.
Доведення
Нехай S система інтервалів яка покриває відрізок [a;b] = I
Припустимо, що даний відрізок не можна покрити скінченною підсистемою системи S. Тоді, якщо поділити цей відрізок навпіл, то принийні одну з отриманих половинок, теж не можна покрити скінченною підсистемою. Позначемо цю половинку I2. знову поділимо І2 навпіл, отримаемо І3 и тд.
Врезультаті отримаємо Послідовність вкладених відрізків. Кожен з яких не можна покрити скінченною послідовністю.
Довжина деякого n-ного відрізку з цієї підсистеми
Тобто, ця послідовність відрізків буде містити відрізки як завгодно малої довжини
Тоді за принципом Коші-Контера
(єдина точка)Е! С є Іn (належить усім відрізкам)
Тоді можна знайти в початковій системі S деякий інтервал Si(α,β) який містить цю точку Визначемо число ε як мінімальну з відстаней від точки С до кінців інтервалe.
Далі у збудованій послідовності вкладених відрізків знаходимо відрізок|Ik|< ε
Маємо C є Ik а |Ik|< ε
Тобто Ik c (α,β), тобто початкове пре пушення не вірне, ч.т.д
Принцип Больцано-Вейєрштрасса про граничну точку.
Будь-яка нескінченна обмежена числова множина має принайні едину граничну точку.
Оскільки множтна Х обмежена, то вона обов`язково буде містити в деякому видрізку [a;b] дійсної вісі. Припустимо що кожна точка цього відрізку не є граничною для множини Х. Тоді для кожної точки є [a;b] можемо вказати окіл в якому або взагалі немае точок множини Х або їх там скінченна кількість. Якщо збудувати такі околи для всіх точок відрізки [a;b] отримаемо нескінченне покриття відрізку інтервалами, але за Лемою Гейна-Бореля з нескінченного покриття інтервалами можна відмітити ти скінченне під покриття відрізків [a;b] відповідно множини Х.
Але в кожному з цих інтервалів знаходится не більше ніж скінченна число точок с початкової множини Х, Відповідно в об`єднанні скінченної кількості інтервалів теж буде міститися не більше ніж скінченна кількість точок, тоді Х містить скінченну кількість точок, що протиречить її нескінченності.
Відповідно наще припушення виявилось хибним.
Потужність множин - характеристика множин що узагальнює поняття кількості (числа) елементів скінченної множини.
Потужність множини позначається через и
стосується теорії множин та стверджує, що якщо в множині A елементів не менше, ніж в множині B, а в множині B елементів не меньше, ніж в множині A, то насправді елементів порівну, тобто існує бієкція (взаємно однозначна відповідність) між множинами A та B.
Тобто: що якщо існують ін'єктивні відображення і між множинами і , то існує бієкція . Іншими словами, потужності множин і збігаються
Теорема Кантора.
потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її множини всіх її підмножин
Припустимо, що існує множина , потужність якої є рівною потужності множини , тобто існує бієкція
Розглянемо множину Оскільки бієкція та (тобто ), тому .
Подивимось, чи може належати . Якщо , то , а тоді, за визначенням . І навпаки, якщо , то , а отже .
У будь-якому випадку, одержуємо суперечність. Отже, початкове припущення помилкове і потужність менша потужності .
Теорема Дедекінда про нескінченні множини
Множина комплексних чисел - С
Множина комплексних чисел представляе собою алгебраїчне поле, про те множина не являється упорядкованим полем, оскільки на цій множині не можна конкретним чином визначити відношення порядку
(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)
(a,b)*(c,d) + (ac - bd,ad + bc).
Z=(a,b)
Z=x+iy, якщо ми підставимо замість y та x
Вийде тригонометрична форма запису числа
Z = x+iy = g (cos φ + i sin φ)
Формула Муавра
(cos φ + i sin φ)^n = cos n φ + i sin n φ
Завдяки цій формулі визначается операція кореня n-степені
Z =g(cos φ + i sin φ) k=0,n-1
Послідовність – відображення f, областю визначення якого е множина натуральніх чисел.
(значення послідовності в n) f(n)=Xn (єлемент послідовності) {Xn}
()
Деяка дійсна числа А е границею послідовності {Xn}, якщо для будь-якого ε>0 можна знайти Nε, що для всіх не менших номерів виконується
позначають так:
Якщо послідовність має границю, то вона єдина.
Арифметические свойства
Деяка дійсна числа А е границею послідовності {Xn}, якщо для будь-якого ε>0 можна сказати Nε, що для всіх не менших номерів виконується
позначають так:
Послідовність буде збіжною тоді і тільки тоді, коли вона буде задовольняти умові Коші
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают
1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;
2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.
Для того щоб неспадна послідовність Xn мала границю, необхідно і достатньо щоб вона була обмеженою зверху. Границя послідовності буде дорівнювати супремуму її елементів.
28. Поняття границі функції, еквівалентність означень границь функції.
Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .
Означення в стилі Коші ті в стилі Гейне еквівалентні(78)
29. Властивості єдності границі функції та арифметичні властивості границь.
Функція в точці не може мати двох різних границь.
Дов
Припустимо що f(x) в x0 має дві границі
Згідно наслідків принципу архімеда, отож
арифметичні властивості границь
30. Границя функції та нерівності.
Якщо f(x) і g(x) мають границю в точці Х0
При чому А<В то знайдется такий проколотий окіл точки X0, в якому f(x)<g(x)
30. Границя функції та нерівності.
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равенминус бесконечности.
34.перша важлива границя
Следствия
35.Друга важлива границя
или
Следствия