тематический факультет Кафедра высшей алгебры МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТР

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математический факультет

Кафедра высшей алгебры

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО КУРСУ “АЛГЕБРА  И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ”

для студентов-заочников специальности 01.01

Минск 1989

Составители: Ю.В.Тишин, кандидат физико-математических наук, доцент

                       А.Э.Жигота

Утверждено на Совете факультета

25 сентября 1989 г., протокол № 1

П Р Е Д И С Л О В И Е

По курсу “Алгебра и теория чисел” студент-заочник выполняет четыре контрольные работы.

Предлагаемые методические работы содержат 10 вариантов первой контрольной работы. Включенные в него упражнения являются тем минимумом, которым должен овладеть каждый студент по темам: системы линейных уравнений, комплексные числа, подстановки, матрицы, определители, основные алгебраические системы. Методические указания предназначены помочь студентам-заочникам в овладении навыками решения задач. Здесь собраны типовые задачи по всем основным темам, изучаемым во втором семестре по курсу “Алгебра и теория чисел”. Каждая задача снабжена подробным решением, которое может служить образцом при самостоятельном решении аналогичных задач. Приведенный здесь материал заведомо не является достаточным для овладения предметом.

Перед выполнением контрольных работ следует изучить соответствующие разделы из учебников [1,2], руководствуясь приведенной ниже программой.

В качестве дополнительной литературы рекомендуем воспользоваться учебниками [3,4]. При возникновении затруднений можно обратиться на кафедру высшей алгебры за письменной консультацией.

Необходимо строго придерживаться следующих правил:

1.  Студент выполняет работы только своего варианта.
2.  Контрольную работу следует выполнять в тетради, оставляя поля 3-4 см. для замечаний рецензента. Рекомендуется оставлять в тетради несколько чистых листов для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.
3.  На обложке тетради студент указывает фамилию, имя, отчество, номер контрольной работы и номер варианта. В конце работы студент указывает использованную литературу, дату окончания работы и ставит свою подпись.
4.  Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие. Решение каждой задачи необходимо сопровождать подробными объяснениями и ссылками на формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.
5.  После получения прорецензированной работы необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то необходимо переделать  те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна выполняться заново. Переделанная работа представляется на повторное рецензирование обязательно с незачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке должна быть указана фамилия рецензента.
6.  Контрольная работа должна быть зачтена до сессии.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки.

Начальной букве фамилии студента соответствуют номера задач для контрольной работы № 1 определенного варианта. Эти номера приведены в следующей таблице:

№ п/п	Начальная буква фамилии	Вари- анты	Номера задач для контрольных работ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	А, У, Ф,Ш Б,Я В,Г,Ю Д,Е,Ж,З,Э К К,Л,Н,О М,Х П,Р,Ц С Т,Ч,Щ	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,    11,   21,   31,   41,   51,   61,   71,   81,   91,   101,   111,   121,   131,   141 2,    12,   22,   32,   42,   52,   62,   72,   82,   92,   102,   112,   122,   132,   142 3,    13    23,   33,   43,   53,   63,   73,   83,   93,   103,   113,   123,   133,   143 4,    14,   24,   34,   44,   54,   64,   74,   84,   94,   104,   114,   124,   134,   144 5,    15,   25,   35,   45,   55,   65,   75,   85,   95,   105,   115,   125,   135,   145 6,    16,   26,   36,   46,   56,   66,   76,   86,   96,   106,   116,   126,   136,   146 7,    17,   27,   37,   47,   57,   67,   77,   87,   97,   107,   117,   127,   137,   147 8,    18,   28,   38,   48,   58,   68,   78,   88,   98,   108,   118,   128,   138,   148 9,    19,   29,   39,   49,   59,   69,   79,   89,   99,   109,   119,   129,   139,   149 10,  20,   30,   40,   50,   60,   70,   80,   90,   100, 110,   120,   130,   140,   150

ПРОГРАММА КУРСА “АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ”

1.  Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Его существование и единственность. Алгоритм Евклида. Представление наибольшего общего делителя в виде линейной комбинации. Взаимно простые числа. Критерий взаимной простоты. Свойства взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное.
2.  Простые числа. Свойства простых чисел. Основная теорема арифметики. Решето Эратосфена.
3.  Линейные диофантовы уравнения. Критерий разрешимости. Решение линейных диофантовых уравнений.
4.  Система комплексных чисел. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами. Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единиц.
5.  Отображения множеств.
6.  Перестановки и подстановки.
7.  Определители n-го порядка. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки (столбца).
8.  Системы линейных уравнений и их решение методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
9.  Операции над матрицами. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица. Правило Крамера.
10.  Алгебраическая операция. Группы. Числовые кольца и поля.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ

Множество всех целых чисел будем обозначать Z,

Z = {..., -2,-1,0,1,2, ... }.

Сумма, разность и произведение двух чисел a,bZ также являются целыми числами, на частное  может быть как целым, так и не целым числом.

В случае, когда частное от деления числа a на число b является целым (обозначим его q ), имеем или a = bq.В этом случае говорят, что a делится на b , или b делит a. Число b называется делителем a, число a – кратным b. Утверждение, что b делит a, будем кратко записывать так: b|a, если же b не делит a, то будем писать b ł a.

В общем случае, включающем и частный, когда a делится на b, справедлива следующая теорема.

Теорема о делении с остатком. Пусть a,b  Z, b ≠ 0. Тогда существует единственное представление числа a в виде a = bq + r, где q,r  Z, 0  r < |b|. Число q называется неполным частным, число r – остатком от деления a на b.

Заметим, что r = 0 тогда и только тогда, когда  b|a .

Примеры. 1) a = 23, b = 5; 23 = 5·4 + 3;

                 2) a = -37, b = 8; -37 = 8·(-5) + 3;

                 3) a = -93, b = -7; -93 = -7·14 + 5;

                 4) a = 47, b = -12; 47 = (-12) · (-3) + 11.

Упражнения

1.  Доказать, что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6.
2.  Доказать, что для любого целого n:

а) n3  -  n делится на 3;

в)    n5   -  n делится на 5;

с)    n7  -  n делится на 7.

1.  Показать, что если целое число n не делится на 7, то n3 – 1 или n3 + 1 делится на 7.

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ (Н.О.Д.)

Пусть a1, a2, ..., an – целые числа не все равные нулю. Всякое целое d, которое делит каждое ai, называется их общим делителем . Будем рассматривать только положительные общие делители. Общий делитель чисел a1, a2, ..., an , делящийся на любой другой общий делитель этих чисел, называется наибольшим общим делителем и обозначается символом (a1, a2, ..., an).

Для разыскания н.о.д. двух чисел применяется алгоритм Евклида, который состоит в следующем. Если a и b – натуральные числа и a > b, то

а = bq1 + r1,         где 0 < r1 < |b| ,

b = r1q2 + r2,         где 0 < r2 < r1 ,

r1 = r2q3 + r3,         где 0 < r3 < r2 ,

....................................

rn-2 = rn-1qn + rn,    где 0 < rn < rn-1 ,

rn-1 = rnqn+1 + 0,    где rn+1 = 0 .

Последний отличный от нуля остаток rn равен н.о.д. чисел a и b , т.е. (a,b) = rn. Задача нахождения н.о.д. нескольких чисел сводится к аналогичной задаче для двух чисел с помощью формулы (a1, a2, ..., an )=(( a1, a2, ..., an-1),an). Поэтому сначала находится d2=(a1,a2), затем d3=(a1,a2,a3)=(d2,a3),d4=(a1,a2,a3,a4)=(d3,a4),...,dn=( a1, a2, ..., an)=(dn-1,dn).

Если d=( a1, a2, ..., an) , то d можно представить в виде

d=u1a1+u2a2+...+unan    (I)

где uiZ.

Отыскание чисел ui,i= основано на использовании алгоритма Евклида. Покажем это на примере.

Пример. Найти н.о.д. (525,231,363) и представить его в виде (I).

Решение. С помощью алогритма Евклида найдем (525,231).

525=231 2+63     63=42 1 + 21

231=63 3 +42     42=21 2  (2)

Так как последний отличный от нуля остаток равен 21, то (525,231)=21

Найдем (525,231,363)=(21,363)

363=21·17+6

21=6·3+3      (3)

6=3·2

Следовательно, (21,363)=3. Тогда (525,231,363)=3. Представим число 3 в виде линейной комбинации чисел 21 и 363. Для этого из второго равенства (3) получим 3=21-6·3. Из первого равенства (3) получим 6=363-21·17. Отсюда

3=21- (363-21·17)·3=21·52+363·(-3).   (4)

Теперь представим 21 в виде линейной комбинации чисел 525 и 231. Для этого из третьего равенства (2) получим 21=63-42. Из второго равенства (2) 42=231-63·3. Отсюда 21=63-(231-63·3)=63·4-231. Из первого равенства (2) 63=525-231·2. Поэтому

21=(525-231·2)·4-231=525·4+231·(-9).  (5)

Наконец, подставляя выражение для 21 из (5) в (4), получим

3=(525·4+231·(-9))·52+363·(-3)=525·208+231·(-468)+363·(-3), т.е.u1=208,

u2=-468, u3=-3 в формуле (I).

Наименьшее общее кратное

Пусть a1, a2, ..., an – отличные от нуля целые числа. Число, которое делится на каждое из этих чисел называется общим кратным этих чисел. Положительное общее кратное (2) называется наименьшим общим кратным (н.о.к.).

Н.о.к. чисел a1, a2, ..., an будем обозначать [a1, a2, ..., an].

Справедливы теоремы:

1.  [a,b]=;
2.  [a1, a2, ..., an-1,an] = [[a1, a2, ...,an-1 ], an].

ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Линейное уравнение a1x1+a2x2+...+anxn=b    (I),

в котором a1, a2, ..., an,bZ и для которого ищутся целочисленные решения, называется линейным диофантовым уравнением относительно неизвестных x1,x2,...,xn .

Критерий разрешимости диофантова уравнения. Диофантово уравнение (I) разрешимо тогда и только тогда, когда (a1, a2, ..., an)|b.

Пусть уравнение (I) разрешимо. При решении этого уравнения будем рассматривать два случая.

Первый случай. Все коэффициенты уравнения (I) делятся на один из них, например, на a1. В силу разрешимости (I) a1|b. А тогда, сокращая обе части на a1, получим уравнение

    x1+q2x2+...+qnxn=b1    (2)

где ai=a1qi, i=, b=a1b1.

Ясно, что множество решений (I) и (2) совпадают. Будем решать уравнение (2). Придадим неизвестным x2,...,xn произвольные целые значения k2,...,kn соответственно. Тогда x1=b1-q2k2-...-qnkn     и   упорядоченная          совокупность

(b1-q2k2-...-qnkn,k2,...,kn) является решением уравнения (2). Этим способом получаются все решения (2).

Второй случай. Не существует коэффициента ai делящего все остальные коэффициенты уравнения (1). Этот случай сводится к первому.

Пусть a1 – наименьший по модулю среди отличных от нуля коэффициентов уравнения (I). Разделим все остальные коэффициенты на a1 с остатком:

  ai=a1qi+ri,i=,0r<|a1|.

Тогда (I) можно записать так:

a1x1+(a1q2+r2)x2+...+(a1qn+rn)xn=b, или

a1(x1+q2x2+...+qnxn)+r2x2+...+rnxn=b.

Введем неизвестное y1,

   y1=x1+q2x2+...+qnxn    (3)

Относительно неизвестных y1, x2,...,xn будем иметь уравнение

   a1y1+r2x2+...+rnxn=b    (4)

Легко показать, что уравнение (4) разрешимо. С другой стороны, зная решение уравнения (4) (m1,m2,...,mn), мы найдем решение уравнения (I)

(m1-q2m2-...-mnqn,m2,...,mn). Любое решение уравнения (I) может быть получено таким способом из соответствующего решения уравнения (4).

В уравнении (4) наименьший из модулей отличных от нуля коэффициентов меньше |a1|. Если оно не относится к первому случаю, то с ним поступаем аналогично, как с (I) и т.д. После конечного числа шагов мы придем к первому случаю.

Если n>1, то разрешимое уравнение (I) имеет бесконечно много решений.

Пример. Решить линейное диофантово уравнение:

   13x1+7x2+26x3-11x4=5   (5)

Решение. Это уравнение разрешимо,т.к. коэффициенты взаимно просты и 1|5. Наименьший коэффициент равен 7, поэтому делим на него все коэффициенты.

   13 =7·1+6,

   7   =7·1,

   26 =7·3+5     (6)

   -11=7·(-2)+3

Составим равенство

   x1+x2+3x3-2x4=y1,    (7)

где коэффициенты – неполные частные из (6). Теперь (7) умножим на 7 и вычтем из (5). Получаем

   6x1+5x3+3x4=5-7y1,

или    6x1+5x3+3x4+7y1=5    (8)

С этим уравнением поступаем аналогично. Наименьший коэффициент равен 3, поэтому делим на него все коэффициенты и составляем равенство

   2x1+x3+x4+2y1=y2    (9)

Теперь это равенство умножим на 3 и вычтем из (8). Получим

   2x3+y1=5-3y2

или    2x3+y1+3y2=5     (10)

Получим уравнение, относящееся к первому случаю. Полагая x3=a,y2=b, где

a и b – произвольные целые числа, получим

   y1=5-2a-3b

Подставим в (9) значения x3,y2,y1 и полагая x1=c получим

x4=-2x1-a-2(5-2a-3b)+b=-2c+3a+7b-10.

Подставляя в равенство (7) значения x1,x3,y1,x4 получим

x2=y1-x1-3x3+2x4=(5-2a-3b)-c-3a+2(-2c+3a+7b-10)=a+11b-5c-15.

Таким образом, {(c,a+11b-5c-15,a,-2c+3a+7b-10)|a,b,cZ} – множество всех решений исходного уравнения.

Для нахождения решений диофантовых уравнений с двумя неизвестными можно применить также другой способ, основанный на представлении н.о.д. чисел a и b в виде линейной комбинации этих чисел.

В самом деле, частное решение (x0,y0) уравнения

   ax+by=c, где d|c    (11)

можно найти следующим образом. Представим d=(a,b) в виде

   au+bv=d     (12)

Если c=c1d, то умножим равенство (12) на c1.

   a(uc1)+b(vc1)=c.

Отсюда следует, что x0=uc1,y0=vc1 – есть решение уравнения (12).

Теперь можно получить все решения, используя теорему:

Пусть d=(a,b) делит c,a≠0,b≠0 и (x0,y0) некоторое решение уравнения (11). Тогда множество решений уравнения (11) Совпадает со множеством

{(x',y')| x'=x0-t, y'=y0+t, t – любое целое число}.

Доказательство смотрите в [2].

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Всякое комплексное число z=a+bi≠0 единственным образом записывается в виде

z=r(cosφ+i sinφ),

где r – положительное число, равное модулю z, под знаком косинуса и синуса стоит один и тот же угол φ, равный аргументу z, при этом между косинусом и синусом стоит знак плюс. Эта запись называется тригонометрической формой числа z.

Пример. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

 а) z1=--i,   в) z2=-2+3i,   с) z3=(-3)(cos+i sin).

Решение. а) z1=--i. Найдем модуль |z|==2. Изобразим число z1 на плоскости и найдем его аргумент. Из чертежа видно arg z1=π+α. Найдем угол α из треугольника z1AO. Длины его сторон известны. Поэтому sin α=. Отсюда α= и . Тогда z1=.

в) z2=-2+3i, |z2|=, arg z2=β.

Из треугольника OAZ2 имеем tg β= и  β=arctg .

Откуда .

с) . Сравнивая тригонометрическую форму числа с данным представлением числа z3, видим, что угол φ=arg z3 находится из условий , . По формулам приведения получаем , , следовательно, . Итак, .

Пример. Вычислить .

Решение. Представим число под знаком корня в тригонометрической форме. Для этого представим в этой форме каждое комплексное число и выполним указанные действия.

.

Из формулы корня n-ой степени из комплексного числа

,

Отсюда, полагая , получим

,

,

.

Пример. Найти множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

а)  |z-1+i|5    в)  

а) Обратим внимание на геометрический смысл модуля разности z1-z2 комплексных чисел z1 и z2. Из геометрического истолкования вычитания комплексных чисел вытекает, что модуль разности z1-z2 есть не что иное, как расстояние между точками z1 и z2, изображающими эти числа на плоскости.

Отсюда следует, что множество точек z комплексной плоскости, для которых

|z-1+i|5 есть круг радиуса 5, с центром в точке (1,-1).

в) . Из определения аргумента комплексного числа получаем, что искомое множество имеет вид изображений на чертеже.

С помощью формулы Муавра можно получить выражение косинуса и синуса кратного угла nφ через косинус и синус простого угла φ.

Пример. Выразить sin3x и cos3x через sinx и cosx.

Решение. Рассмотрим комплексное число z=cosx+isinx. Возведем это число в третью степень дважды: один раз по формуле Муавра; второй раз – по биному Ньютона.

z3=cos3x+isin3x

Из равенства комплексных чисел следует:

,

По этой теме рекомендуем решить следующие задачи:

№ 101-109, 112, 113, 118-124, 136-139, 143-148    [6]

ПОДСТАНОВКИ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Умение вычислять определители необходимо для решения многих задач линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример. Определить характер четности подстановок и с помощью разложения этих подстановок в произведение транспозиций, если ,   .   Найти произведение .

Решение. Найдем разложение подстановки  в произведение транспозиций.

Для этого найдем последовательность транспозиций, которая переводит верхнюю строку подстановки  в нижнюю:

. Тогда . Аналогично, . Обе подстановки  и  разлагаются в произведение нечетного числа транспозиций и поэтому являются нечетными.

Вычислим произведение . По определению

.

Таким образом

.

Пример. Вычислить определитель

с помощью разложения по двум строкам или столбцам.

Решение. Применим теорему Лапласа ко 2-ой и 4-ой строке определителя. Получим

Пример. Вычислить определитель

Решение. С помощью элементарных преобразований, которые не меняют определитель, получим среди элементов определителя число 1 или –1. Для этого ко 2-й строке прибавим четвертую, умноженную на число –1:

Над полученным определителем проделаем следующие преобразования. Прибавим к 1-й строке вторую, умноженную на число 5, прибавим к 3-ей строке вторую, умноженную на число –3 и к 4-й строке прибавим вторую, умноженную на число –2.

Получим:  

Используя теперь теорему Лапласа разложим определитель по 1-ому столбцу:

.

Теперь можно либо воспользоваться правилом для вычисления определителя

3-его порядка, либо проделать действия аналогичные приведенным выше. Прибавим к 1-ой строке вторую, умноженную на число –1;

Получим:    

Применим теперь разложение по 1-ому столбцу:

Исходный определитель равен числу –2.

Для более полного овладения навыками в вычислении определителей и умножения подстановок рекомендуем решить следующие задачи:

На тему “Перестановки и подстановки”:

№ 123-145, 169-176 [5], № 235-240 [6]

На тему “Определители”:

№ 188-205, 212, 213, 221, 225-229, 236-240, 257-269, 426-436 [5].

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных уравнений служат основным инструментом для решения большого круга задач линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальных уравнений.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение. Составим матрицу системы

Проделаем над этой матрицей элементарные преобразования, чтобы привести ее к виду трапеции или треугольника. Для этого  прибавим ко 2-ой и 3-ей строкам первую, умноженную на число –3, а к 4-ой строке прибавим первую, умноженную на число –2. Получим

∼

Для решения полученной новой системы необходимо поменять местами неизвестные (перенумеровать их). Этой операции соответствует перестановка столбцов в матрице системы. Получаем следующую матрицу:

Прибавим теперь к 3-ей строке матрицы вторую:

Система уравнений, соответствующая этой матрице, имеет вид трапеции

                            

                                                      

В соответствии с общим правилом неизвестные  и  объявляются свободными неизвестными, а неизвестные , которые однозначно выражаются через свободные, являются базисными (или главными):

откуда

. Таким образом, множество решений системы имеет вид:

,

где  - множество всех действительных чисел.

По этой теме рекомендуем решить следующие задачи:

№ 554-563, 567-581 [5], № 400, 443-447 [6]

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Пример. Вычислить произведение матриц  и

  

Решение. 

Заметим, что произведение  получить нельзя, т.к. число столбцов матрицы  не равно числу строк матрицы .

Пример. Найти матрицу , обратную к матрице

Решение. По формуле обратной матрицы ,

где  - алгебраическое дополнение элемента  матрицы , - определитель матрицы . Определитель . Поэтому  существует. Для ее нахождения вычислим все .

; ;    ;

;  ;  ;

;      ;         .

Тогда

Матрица  может быть найдена элементарными преобразованиями над строками. Для этого составляем матрицу размера , приписывая справа к  единичную матрицу . Получим матрицу, которую условно можно записать как . Затем приводим матрицу  к виду единичной матрицы элементарными преобразованиями над ее строками, причем каждое преобразование, совершаемое над строками матрицы , производим над строками расширенной матрицы . Когда на месте матрицы  получится единичная матрица, справа от нее будет стоять , т.е. расширенная матрица примет вид .

Этот метод основан на том, что, во-первых, каждая невырожденная матрица элементарными преобразованиями строк приводится к виду единичной матрицы и, во-вторых, каждое преобразование над строками матрицы эквивалентно умножению ее слева на соответствующую элементарную матрицу. Таким образом, если  - последовательность элементарных преобразований, приводящая  к единичному виду,  - соответствующие им элементарные матрицы, то  - единичная матрица. Отсюда имеем  , т.е.  получается из  умножением последовательно на . Иными словами   получается посредством применения к  той же последовательности элементарных преобразований над строками. Чтобы не запоминать эту последовательность, удобно проделывать их сразу над расширенной матрицей .

Пример. Найти матрицу  , обратную матрице

.

Решение. Составляем расширенную матрицу

Вычитая из 2-ой строки расширенной матрицы первую, умноженную на 2, и из 3-й строки – первую строку, умноженную на 3, получаем

Вычитаем из 3-й строки полученной матрицы ее вторую строку, умноженную на 2:

Прибавим ко 2-й строке третью:

Умножим 2-ю строку на число , а третью – на :

Вычитаем из 1-й строки вторую, умноженную на 2, и третью, умноженную на 3:

Итак,

Пример. Найти матрицу  2-го порядка, удовлетворяющую уравнению

Решение. Уравнение имеет вид . Здесь  - невырожденная матрица, так как . Поэтому существует обратная матрица. Умножая обе части уравнения  слева на , получаем . Находим теперь обратную матрицу :

Следовательно,

Пример. Найти матрицу  2-го порядка, удовлетворяющую уравнению

Решение. Метод, использованный в предыдущем примере, здесь не пригоден, так как матрица  - вырожденная. Представим матрицу  в виде

.

Получим       .

После перемножения имеем:

.

Из равенства матриц теперь вытекает

               .

Очевидно, что системы совместны и в каждой из них второе уравнение можно отбросить и считать второе неизвестное свободным.

Отсюда, полагая  получаем общий вид матрицы , удовлетворяющей данному уравнению:

,

где  - произвольные числа.

Заметим, что матричное уравнение  или  в случае вырожденной матрицы  может оказаться неразрешимым, так как соответствующие системы уравнений могут быть и несовместными.

При изучении этого раздела рекомендуем решить следующие задачи:

№ 788-792, 796, 797, 799-802, 822-825, 827, 832, 836-846, 861-863, 867-869 .

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, ГРУППА, КОЛЬЦО, ПОЛЕ

Пример. Определить, какие из операций – сложение, умножение, деление – являются алгебраическими на подмножестве .

Какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны ?

Решение.Множество  - это множество нечетных натуральных чисел, начиная с числа 3. Сумма двух нечетных чисел и разность двух нечетных чисел являются числами четными, значит сложение и вычитание на множестве  не являются алгебраическими операциями. Можно сказать еще, что вычитание не является алгебраической операцией, так как нельзя, например, из 5 вычесть 7 (число –2 не принадлежит данному множеству). Умножение – алгебраическая операция на , так как произведение двух нечетных чисел является нечетным числом. Деление не является алгебраической операцией (3 нельзя разделить на 5, так как ).

Итак, единственная алгебраическая операция – умножение. Эта операция коммутативна и ассоциативна, так как произведение любых двух чисел коммутативно и ассоциативно.

Произвольная бинарная алгебраическая операция на множестве  может обладать одним или несколькими из следующих свойств: ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента, существование симметричного элемента для каждого .

Пример. Бинарная алгебраическая операция “” задана таблицей на множестве :

                                              Какими свойствами обладает эта операция ?

Решение. 1) Исследуем операцию на ассоциативность

Итак, операция является ассоциативной.

2) Исследуем операцию на коммутативность.

. Отсюда следует коммутативность рассматриваемой операции. Если операция задана таблицей, то она является коммутативной тогда и только тогда, когда таблица симметрична относительно главной диагонали.

3) Исследование на нейтральный элемент.

Элемент  является нейтральным относительно рассматриваемой операции, так как  и .

4) Исследование на существование симметричного элемента. Для элемента  симметричным является , так как .

Элемент  является симметричным для себя, так как .

Таким образом, операция обладает свойствами ассоциативности и коммутативности, для нее существует нейтральный элемент и для каждого  существует симметричный элемент.

Пример. Задает ли бинарную алгебраическую операцию на множестве рациональных чисел  правило . Какими свойствами обладает эта операция ?

Решение. Так как для    , то данное правило задает бинарную алгебраическую операцию на .

1.  Пусть . Рассмотрим число . С другой стороны . Очевидно, равенство  имеет место лишь при . Поэтому операция не ассоциативна.
2.  Пусть . Тогда . Равенство  выполняется лишь при . Значит операция не коммутативна.
3.  Предположим, что некоторое  является нейтральным элементом относительно нашей операции. Тогда для  имеем: . Из последнего равенства , а из предыдущего равенства получаем . Полученное противоречие доказывает отсутствие нейтрального элемента.

Пример. Докажите, что множество чисел

 является аддитивной группой.

Решение. Сложение – алгебраическая операция на : если  и , то .

Сложение комплексных чисел ассоциативно, поэтому сложение на множестве  - ассоциативно.

Нейтральный элемент .

Если  то число . Поэтому для всякого числа есть противоположное.

Таким образом,  является аддитивной группой.

Пример. Является ли полем множество чисел  ?

Решение. Пусть . Тогда

.

.

где .

Следовательно,  - поле.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.

Найти наибольший общий делитель для чисел  и  и представить его в виде линейной комбинации этих чисел.

1.  883, 2853,
2.  2428, 1694,
3.  684, 1576,
4.  654, 1500,
5.  763, 1757,
6.  1652, 740,
7.  695, 1600,
8.  831, 2022.

Найти наибольший общий делитель для чисел  и представить его в виде линейной комбинации этих чисел.

1.  
2.  

Решить линейные диофантовы уравнения.

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  

Вычислить, при условии, что  - натуральное число:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  

Вычислить:

31.    32.

33.    34.

35.     36.

37.     38.

39.    40.

Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

41.     42.

43.     44.

45.     46.

47.     48.

49.     50.

Определить четность перестановки:

51.  2, 5, 1, 4, 3, 7, 8, 9, 6 ,

52.  3, 4, 1, 2, 5, 7, 9, 8, 6 ,

53. 1, 5, 9, 8, 6, 7, 4, 3, 2 ,

54.  3, 6, 9, 7, 8, 5, 4, 2, 1 ,

1.  3, 1, 9, 6, 7, 4, 5, 2, 8 ,
2.  7, 9, 1, 4, 6, 5, 2, 8, 3 ,
3.  9, 1, 8, 6, 7, 5, 4, 3, 2 ,
4.  8, 9, 1, 5, 7, 6, 4, 2, 3 ,
5.  5, 1, 6, 9, 8, 7, 2, 3, 4 ,
6.  1, 5, 6, 9, 7, 2, 8, 4, 3 .

Определить характер четности подстановок f и  с помощью разложения этих подстановок в произведение транспозиций и найти произведение:

61. f    

62. f    

63. f  

64. f  

65. f  

66. f  

67. f  

68. f  

69. f  

70. f  

Вычислим определитель с помощью разложения по двум строкам или столбцам

71.   72.

73.     74.

75.    76.

77.    78.

79.    80.

Выяснить, применимо ли к данной системе линейных уравнений правило Крамера. Если – да, то решить систему с помощью этого правила.

1.      

         

         

           

1.   

         

         

         

1.     

  

    

    

1.   

         

         

         

1.   

        

         

       

1.  

            

  

  

1.   

   

   

1.  

           

  

  

1.  

           

  

1.   

 

   

   

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

1.  

     

     

     

1.  

     

     

     

1.    

     

     

     

1.   

      

      

      

1.    

    

      

     

1.    

         

    

       

1.  

      

      

      

1.    

       

       

       

1.    

       

       

       

1.  

             

             

            

Найти обратную матрицу для заданной матрицы с помощью элементарных преобразований:

101.     102.  

103.    104.  

105.    106.  

107.    108.  

109.    110.  

Решить матричное уравнение:

111.  112.

113.   114.

115.  116.

117.  118.

119.  120.

Через  обозначается соответственно множество всех натуральных, целых, рациональных и рациональных положительных чисел.

Является ли алгебраической операцией на данном множестве и какими свойствами обладает:

121.  

1.   
2.   
3.   
4.   
5.   
6.   
7.   
8.   
9.   

Является ли аддитивной группой:

1.    Множество  целых чисел кратных фиксированному числу .
2.     Множество .
3.     Множество .
4.   Множество всех иррациональных чисел, т.е. чисел не являющихся рациональными.
5.     Множество .
6.     Множество всех чисел вида , где .
7.     Множество всех чисел вида , где .
8.     Множество всех матриц вида , где .
9.   Множество , если операция сложения задана следующей таблицей:

1.     Множество  , если операция сложения задана следующей таблицей:            

Являются ли полями следующие числовые множества:

1.   
2.   
3.   
4.   
5.   
6.   
7.   
8.   
9.   
10.   

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.  Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Мн.: Вышэйш.шк., 1968; 1976.
2.  Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 6-ое изд. М.: Наука, 1971.
3.  Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I. Мн.: Вышэйш.шк., 1984.
4.  Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
5.  Проскуряков И.В Сборник задач по линейной алгебре. 3-е изд.М.: Наука, 1974.
6.  Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. II-е изд. М.: Наука, 1977.
7.  Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.
8.  Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966.
9.  Грибанов В.И., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М.: 1964.

Тишин Юрий Владиславович

Жигота Алла Эдуардовна

Методические указания и

контрольные работы по

курсу “Алгебра и теория чисел”

для студентов-заочников

Ответственный за выпуск Ю.В.Тишин

Подписано к печати 18.12.89. Формат 6084/16. Бумага тип. № 3.

Печать офсетная. Усл.печ.л.2,21. Уч.-изд.л. 1,9.

Тираж 100 экз. Заказ № 1246. Бесплатно.

1. Тема 27. Место человека в живой природе
2. вариант становления нации имеет особенности постижение которых может способствовать уяснению этой сложной.
3. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук Дніп
4. Тема- Вступ Місце праці і професії в житті людини
5. Варианты ответа ответ 1
6. 62 Экономика Краснодар 2013 Составители- канд
7. Субъект собственности имеет определенные права на объект собственности гарантирующих ему возможность вла
8. Лифт Строй Управление
9. Социальная психология Предисловие В соответствии с требованиями Государственного образователь
10. темах при опрессовке и вакуумировании Контроль износа подшипников Диагностика тор
11. 10 0810 15
12. тема исчисления Знак числа это соответствует намагниченным участком 88.
13. У Меня так много детей а Я им не нужен
14. Кормление животных и оценка питательности кормов
15.  Анализ поведения в конфликтной ситуации Типы поведения участников конфликтной ситуации Конфли
16. Гравиметрический анализ
17. С него начинается новый этап в развитии малыша- ему предстоит осваивать не всегда похожие на прежние формы д
18. на тему- Проблема безработицы и государственная политика занятости в современной России Выпол
19. Дионис
20. Пресс Реклама А

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе