Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
63
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Брянский государственный технический университет
«Утверждаю»
Ректор университета
__________ А.В. Лагерев
«__»___________ 2003 г.
теория вероятностей
и математическая статистика
Сборник задач
Брянск 2003
УДК 511
Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач. – Брянск: БГТУ, 2003. – 59 с.
Разработали: А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.;
В.М. Кобзев, ст. преп.;
А.П. Мысютин, канд. техн. наук, доц.
Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» (протокол №3 от 17.03.02).
Научный редактор Н.А. Ольшевская, Э.К. Фёдорова
Редактор издательства Л.Н. Мажугина
Компьютерный набор А.И. Горелёнков
Темплан 2003 г., п. 9
|
Формат . Бумага офсетная. Офсетная печать. Подписано в печать Усл. печ. л. 3,42 Уч.-изд. л. 3,42 Тираж 200 экз. Заказ Бесплатно. |
|
Брянский государственный технический университет |
Предисловие
Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач по теории вероятностей и математической статистике. Все задачи снабжены ответами. В начале каждого параграфа приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.
Сборник задач продолжает традицию задачников по теории вероятностей, издававшихся кафедрой высшей математики БГТУ (БИТМ) [4, 5, 9]. Данное издание является переработкой последнего из этих задачников. Добавлено много задач, в частности, составлены параграфы «Комбинаторика», «Неравенство Чебышева», включена новая тема «Элементы математической статистики».
Список литературы, приведенный в конце сборника, указывает основные источники, которыми мы пользовались.
Большую помощь в подборе задач оказали преподаватели кафедры «Высшая математика» Н.В. Лозинская, Н.А. Ольшевская, Н.Л. Порошина, которым авторы выражают благодарность.
Авторы будут признательны всем, заметившим недостатки данного издания и внесшим предложения по его улучшению.
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.
Размещением k элементов из n элементов называется упорядоченная выборка (либо расположение в определённом порядке) k из этих элементов.
Число размещений из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле .
Число размещений из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством .
Размещения из n различных элементов по n элементов называются перестановками.
Число перестановок из n различных элементов вычисляется по формуле
.
Число перестановок с повторениями из n элементов, спецификация которых {}, определяется равенством
, где .
Сочетанием k элементов из n элементов называется выборка k из них без учёта порядка.
Число сочетаний из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле .
Число сочетаний из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством .
1.1. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?
1.2. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на книгу другого?
1.3. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, культорга и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
1.4. На диск секретного замка нанесены 10 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим пароля?
1.5. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, одна из полос которого должна быть красной, если имеется материал пяти различных цветов?
1.6. Сколькими различными способами можно выполнить групповой портрет пяти человек, если поставить а) их в один ряд; б) трёх человек в первом ряду и двух – во втором?
1.7. Сколькими способами можно расселить девять студентов в трёх комнатах, рассчитанных на трёх человек каждая?
1.8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня,
2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
1.9. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?
1.10. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нём а) 8 открыток; б) 8 различных открыток?
1.11. Номера состоят из двух букв и трёх цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.
1.12. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из
9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?
1.13. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?
1.14. Из 10 разных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 5 цветков. Сколько различных способов существует для составления такого букета, учитывая, что число цветков должно быть нечётным?
1.15. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1.16. В клубе велосипедистов при перерегистрации членских билетов из суеверия перестали использовать цифру 8. Сколько членов было в клубе, если известно, что использованы все трёхзначные номера, не содержащие ни одной 8?
1.17. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?
1.18. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра входит в состав числа только один раз?
1.19. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно вынуть
6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?
1.20. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе содержалась цифра 1 (цифры в числе не должны повторяться)?
§2. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Частотой (относительной частотой) события А в данной серии экспериментов называется число , где n – общее число произведённых экспериментов, – число экспериментов, в которых наступило событие А.
Наблюдаемое на практике свойство частоты стабилизироваться возле некоторого числа при неограниченном увеличении объема серии экспериментов называется устойчивостью относительной частоты. При этом число, вокруг которого группируются относительные частоты, называется вероятностью события А и обозначается P(A) (статистическое определение вероятности).
Если пространство элементарных событий состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность P(A) события А равна числу m элементарных событий, входящих в А, делённому на число всех элементарных событий n, т.е. .
Случай равновозможных событий называется классическим, поэтому вероятность часто называют классической.
2.1. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было произведено 200 приборов.
2.2. Игральный кубик бросают один раз. Найти вероятности следующих событий: А – появление нечётного числа очков, В – появление не менее пяти очков.
2.3. Монету бросают два раза. Найти вероятность появления хотя бы одного герба.
2.4. Бросают два игральных кубика. Найти вероятности следующих событий: А – сумма очков равна 4, В – сумма очков кратна 3.
2.5. При перевозке 100 деталей, из которых 10 были забракованы, утеряна одна стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая (после перевозки) деталь оказалась стандартной.
2.6. У ребёнка, не умеющего читать, имеются буквы С, И, Г, М, А. Какова вероятность того, что выкладывая их наугад, он получит слово СИГМА?
2.7. Абонент помнит только первые три цифры телефонного номера. Три последние забыл, но знает что они различны. Какова вероятность того, что он наберёт нужный номер?
2.8. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что выбранные им арбузы будут спелыми?
2.9. У ребёнка, не умеющего читать, имеются буквы А, А, Г, М, М. Какова вероятность того, что выкладывая их наугад, он получит слово ГАММА?
2.10. В партии из 50 изделий 2 бракованных. Для проверки наудачу выбрали 3 изделия. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий одно окажется бракованным.
2.11. Абитуриент может на каждом из трёх экзаменов с равными вероятностями получить 2, 3, 4, 5. Какова вероятность его поступления в ВУЗ, если проходной бал – 14?
2.12. В ящике 8 белых и 13 красных шаров. Из ящика вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынули: а) 2 белых шара, б) 1 белый и 1 красный шар.
2.13. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девушки?
2.14. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
2.15. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А – все пассажиры выйдут на четвёртом этаже, В – все пассажиры выйдут на одном и том же этаже, С – все пассажиры выйдут на разных этажах.
2.16. При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь. Наудачу извлечённая (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность этого события, при условии, что была утеряна: а) стандартная деталь, б) нестандартная деталь.
2.17. Бросают два игральных кубика. Найти вероятности следующих событий: А – произведение чисел очков равно 12, В – сумма квадратов чисел очков равна 25.
2.18. Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что хотя бы два раза выпадет герб?
2.19. У ребёнка не умеющего читать, имеются буквы И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л. Какова вероятность того, что извлекая по очереди четыре буквы, он получит слово ТИГР?
2.20. В группе 15 юношей и 10 девушек. На вечер группа получила 5 билетов, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на вечер попадут 2 девушки и 3 юношей?
§3. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ
Событие называется достоверным, если осуществление эксперимента обязательно приводит к появлению этого события.
Событие называется невозможным, если осуществление эксперимента никогда не приводит к его появлению.
Событие А называется случайным, если в результате осуществления эксперимента оно может как произойти, так и не произойти.
Суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдёт или А, или В, или оба вместе.
Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли одновременно и А и В.
События А и В называются несовместными, если .
Событие называется противоположным событию А, если и .
События образуют полную группу событий, если (ij) и .
3.1. Рассмотрим события: А – хотя бы одно из группы изделий бракованное, В – бракованных изделий не менее двух. Что означают события ?
3.2. Событие В является частным случаем события А. Чему равны их сумма и произведение?
3.3. Монету бросают три раза. Под исходом опыта будем понимать последовательность , где каждая обозначает выпадения герба (Г) или цифры (Ц). Построить пространство элементарных событий. Описать событие А, состоящее в том, что выпало не менее двух гербов.
3.4. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами ri (i =1, 2,, 10), причём r1 < r2 << r10. Событие Ai – попадание в круг радиуса ri . Что означают события , ?
3.5. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только А; б) произошли А и В, но С не произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из этих событий; д) произошли по крайней мере два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли два и только два события; з) ни одно из событий не произошло; и) произошло не более двух событий.
3.6. Доказать, что события А, и образуют полную группу событий.
3.7. Пусть А, В, С – случайные события. Выяснить смысл равенств: а) АВС = А, б) А+В+С = А.
3.8. Для сигнализации об аварии установлены два сигнализатора. Рассмотрим события: А – первый сигнализатор срабатывает при аварии, В – второй сигнализатор срабатывает при аварии. Используя операции над событиями, выразить через А и В события: С – при аварии срабатывает первый сигнализатор, D – при аварии срабатывает только один сигнализатор, Е – будет дан сигнал об аварии.
3.9. Пусть производится три выстрела по мишени. Событие Аi – попадание при i-ом выстреле. Выразить через события Аi следующие события: В – хотя бы одно попадание, С – ни одного попадания, D – только одно попадание, Е – только два попадания, F – не менее двух попаданий.
3.10. Будут ли равными события А и В, если а) , б) для некоторого события С: А + С = В + С, в) для любого события С: А + С = В + С?
§4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е., если , то P(A+B) = P(A) + P(B).
В общем случае вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Вероятность противоположного события .
Условная вероятность события В при условии, что событие А произошло, определяется формулой , где P(A) 0.
Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило .
Если события А и В независимы, т.е. появление одного из них не меняет вероятности появления другого, то .
Для нахождения вероятности суммы независимых событий целесообразно переходить к противоположным событиям:
.
4.1. Производится один выстрел по круговой мишени, состоящей из круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания при одном выстреле в круг и кольца соответственно равны 0,12, 0,22, 0,38. Найти вероятность промаха.
4.2. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплёте. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплёте.
4.3. Станок штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0,85. Найти вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.
4.4. Производится независимый пуск двух ракет по цели. Найти вероятность поражения цели, если первая ракета поражает цель с вероятностью 0,6, а вторая – 0,8.
4.5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок произвёл три независимых выстрела. Найти вероятность того, что в мишени будет: а) три попадания, б) хотя бы одно попадание, в) только два попадания.
4.6. Бросают два игральных кубика. Рассмотрим события: А – только одно из чисел на верхних гранях больше 3, В – сумма чисел на верхних гранях кратна 3. Будут ли независимыми события А и В?
4.7. Изготовлено 30 подшипников, причём 5 из них соответствуют размерам III группы ГОСТа, 10 – II группы ГОСТа, остальные – I группы ГОСТа. Какова вероятность того, что первый отобранный на сборку подшипник будет принадлежать III группе, второй – II группе и третий – I группе?
4.8. В каждом из трёх ящиков находятся 1 белый и 2 красных шара. Из первого ящика случайным образом выбирают один шар и перекладывают его во второй ящик. Затем из второго ящика наудачу перекладывают один шар в третий ящик. Какова вероятность того, что в третьем ящике станет 2 белых шара?
4.9. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго эта вероятность равна 0,8.
4.10. Гардеробщица выдала одновременно номерки четырём мужчинам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятности следующих событий: А – каждому из четырёх мужчин гардеробщица выдаст его собственную шляпу, В – трое мужчин получат свои шляпы, С – двое мужчин получат свои шляпы, D – один мужчина получит свою шляпу, Е – ни один из четырёх мужчин не получит своей шляпы.
4.11. От коллектива, который состоит из 6 мужчин и 4 женщин, на конференцию выбираются 2 человека. Какова вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы одна женщина.
4.12. В первом ящике находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во втором –
2 белых и 3 чёрных шара. Из первого ящика случайным образом выбирают один шар и перекладывают его во второй ящик. Затем из второго ящика наудачу перекладывают один шар в первый ящик. Найти вероятность того, что число белых шаров во втором ящике не изменится.
4.13. Студент пришёл на зачёт, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачёт, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задаёт ещё один вопрос?
4.14. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
4.15. Детали могут быть изготовлены с применением двух технологий. В первом случае деталь проходит три технические операции, вероятности получения брака при каждой из которых равны соответственно 0,01, 0,2, 0,3. Во втором случае имеются две операции, вероятности получения брака при каждой из которых одинаковы и равны 0,3. При первой технологии вероятность получения из доброкачественной детали изделия первого сорта равна 0,9, при второй – 0,8. Определить какая технология обеспечивает большую вероятность получения первосортной продукции.
§5. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БЕЙЕСА
Если событие А может осуществиться только при наступлении одного из событий которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
.
Для вычисления вероятности гипотезы в предположении, что событие А произошло, используют формулу Бейеса
.
5.1. В тире имеется пять винтовок, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятность попадания при одном выстреле, взяв винтовку наугад.
5.2. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% – специалист средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации, равна 0,9, собранного специалистом средней квалификации – 0,8. Взятый прибор оказался надёжным. Найти вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.
5.3. В первом ящике находятся 3 белых и 2 чёрных шара, а во втором ящике – 4 белых и 4 чёрных шара. Из первого ящика переложили во второй 2 случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Какова вероятность того, что он белый?
5.4. Допустим, что 20% всех людей – флегматики. Пусть 40% всех флегматиков страдают избыточным весом (из остальных людей – 30%). Встретился полный человек. Какова вероятность того, что он флегматик?
5.5. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Первый даёт 25% , второй – 30%, третий – 45% всех деталей, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% брака деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали и вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена первым станком.
5.6. Из 10 студентов 3 подготовлены отлично (знают все 20 вопросов ), 4 – хорошо (знают 16 вопросов), 2 – посредственно (знают 10 вопросов), 1 – плохо (знает 5 вопросов). Вызванный студент ответил на два заданных ему вопроса. Какова вероятность того, что он был подготовлен отлично?
5.7. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,3, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании вероятность поражения цели – 0,4, при двух попаданиях – 0,7, при трёх попаданиях – 1,0. Найти вероятность поражения цели при трёх выстрелах.
5.8. В первом ящике находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во втором –
2 белых и 3 чёрных шара. Из первого ящика выбирают случайным образом один шар и перекладывают его во второй ящик. Затем из второго ящика один шар перекладывают в первый ящик. После этой процедуры из первого ящика извлекают один шар. Найти вероятность того, что шар, извлечённый из первого ящика, оказался белым.
5.9. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
5.10. Вероятность изготовления стандартной детали равна 96%. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие дважды прошедшее упрощённый контроль, удовлетворяет стандарту.
5.11. На сборку поступают детали из трёх цехов. Первый цех даёт 3% брака, второй – 2%, третий – 1%. Найти вероятность попадания бракованной детали на сборку, если каждый цех поставляет соответственно 500, 200 и 300 деталей.
5.12. Имеется пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность поразить цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, из обычной – 0,8. Выбрав винтовку наугад, стрелок промахнулся. Какова вероятность того, что он стрелял из винтовки без оптического прицела?
5.13. В первом ящике находятся 6 белых и 4 чёрных шара, а во втором –
4 белых и 16 чёрных шаров. Из каждого ящика наудачу извлекли по одному шару. Затем из этих двух шаров случайным образом взяли один шар. Найти вероятности следующих событий: а) взятый шар – белый, б) извлечённые из ящиков шары – белые, если известно, что взятый из них наудачу шар, оказался белым.
5.14. Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаряда вероятность попадания в цель равна 0,4. Если в цель попал один снаряд, он поражает цель с вероятностью 0,3, если два снаряда – с вероятностью 0,7, если три снаряда – с вероятностью 0,9. Найти вероятность поражения цели.
5.15. В каждом из трёх ящиков находятся 1 белый и 2 чёрных шара. Из первого ящика случайным образом выбрали один шар и переложили во второй, тщательно перемешали шары, а затем переложили один шар из второго ящика в третий. Найти вероятности того, что в третий ящик был добавлен белый шар, если известно, что шар, взятый наугад из третьего ящика, оказался белым.
§6. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что в n испытаниях событие А появится k раз, находится по формуле Бернулли
, где .
6.1. Вероятность того, что расход электроэнергии за рабочий день на механическом заводе не будет превышать нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что среди 6 рабочих дней окажется 2 дня, в течение которых произойдёт перерасход электроэнергии.
6.2. Производится 5 независимых выстрелов в одинаковых условиях. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет более одного попадания.
6.3. Два спортсмена играют в настольный теннис. Вероятность выигрыша первого спортсмена равна . Какова вероятность того, что он выиграет 2 партии из 5?
6.4. Считая вероятности рождения человека по временам года одинаковыми, найти вероятность того, что из 6 человек не менее 5 родились зимой?
6.5. Производится 8 выстрелов по резервуару с горючим, причём первое попадание вызывает течь, а второе – воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,2?
6.6. Отрезок АВ разделён точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу «брошены» 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
6.7. Система радиолокационных станций ведёт наблюдение за группой из
6 объектов. Каждый из них может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что будет потеряно от двух до трёх объектов.
6.8. В случайно выбранной семье четверо детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, определить вероятность того, что в выбранной семье окажется: а) два мальчика и две девочки, б) более двух мальчиков.
6.9. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) 3 партии из 4 или 5 из 8, б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8?
6.10. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырёх?
§7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТРУКТУРНОЙ
НАДЁЖНОСТИ
Надёжностью изделия в широком смысле называется способность изделия сохранять качество в течение определённого периода эксплуатации.
Математической надёжностью изделия за время t называется вероятность его безотказной работы за это время.
Для анализа надёжности составляется структурная схема изделия. При этом различают последовательное и параллельное соединения элементов системы в смысле надёжности.
Последовательным называется такое соединение элементов в системе, при котором отказ любого из них приводит к отказу системы.
При последовательном соединении надёжность системы P выражается через надёжности элементов по формуле .
Параллельным называется такое соединение элементов в системе, при котором отказ системы наступает только при отказе всех её элементов.
При параллельном соединении надёжность системы P выражается по формуле , где .
7.1. Система состоит из трёх элементов, отказы которых независимы, а вероятности отказов равны 0,1, 0,2, 0,3. Для отказа системы достаточно, чтобы отказал любой из её элементов. Найти надёжность системы.
7.2. Система состоит из трёх элементов, отказы которых независимы, а вероятности отказов равны 0,2, 0,1, 0,5. Отказ системы наступает тогда, когда отказывают все три элемента. Найти надёжность системы.
7.3. Определить надёжность системы.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9; p4 = 0,6.
7.4. Определить надёжность системы.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,8; p2 = 0,9; p3 = 0,7;
p4 = 0,6; p5 = 0,5.
7.5. Определить надёжность системы.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,7; p2 = 0,8; p3 = 0,6;
p4 = 0,7; p5 = 0,8.
7.6. Прибор состоит из двух узлов, отказы которых независимы, и выходит из строя, если откажет хотя бы один узел. Вероятность безотказной работы первого узла в течение времени t равна 0,8, второго – 0,7. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел.
7.7. Система испытывалась в течение времени t, в результате чего она вышла из строя. Найти вероятность того, что отказали только элементы с номерами 2 и 4.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,6; p2 = 0,8; p3 = 0,7; p4 = 0,9.
7.8. Система состоит из пяти элементов, отказы которых независимы, а вероятности отказов за время t одинаковы и равны 0,3. Отказ системы наступает лишь тогда, когда выходят из строя по меньшей мере три элемента из пяти. Найти надёжность системы за время t.
7.9. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и с перегрузкой. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев включения прибора. Вероятность выхода из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1, в режиме с перегрузкой – 0,7. Определить надёжность прибора за время t.
7.10. В прибор входят 3 одинаковых лампы, вероятность перегорания каждой из которых равна 0,3 и перегорания независимы. Если перегорит только одна лампа, то прибор выходит из строя с вероятностью 0,4, только две – с вероятностью 0,7. Если перегорят все лампы, то прибор обязательно выйдет из строя. Найти вероятность того, что прибор выйдет из строя.
7.11. Определить надёжность системы.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,7; p2 = 0,8; p3 = 0,6;
p4 = 0,7; p5 = 0,9; p6 = 0,9.
7.12. Прибор состоит из двух узлов, отказы которых независимы, и выходит из строя, если откажет хотя бы один узел. Вероятность безотказной работы первого узла в течение времени t равна 0,8, второго – 0,7. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказали оба узла.
7.13. Определить надёжность системы.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,9; p2 = 0,9; p3 = 0,8;
p4 = 0,8; p5 = 0,7.
7.14. Изделие можно разбить на три блока, отказы которых за время t независимы, а вероятности отказов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,1. Найти надёжность изделия в следующих случаях: а) изделие выходит из строя, если отказывает хотя бы один из трёх выделенных блоков; б) изделие выходит из строя лишь тогда, когда отказывают все три блока; в) для выхода изделия необходимо, чтобы вышли из строя по меньшей мере два из трёх блоков.
7.15. Система испытывалась в течение времени t, в результате чего она вышла из строя. Найти вероятность того, что отказали только элементы с номерами 2 и 5.
Надёжности элементов равны:
p1 = 0,9; p2 = 0,8; p3 = 0,5;
p4 = 0,4; p5 = 0,7.
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называется величина, которая в результате эксперимента может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Функция распределения случайной величины Х обозначается F(x) и определяется равенством P{X < x}.
Свойства функции распределения:
1) 0 F(x) 1;
2) F(x1) F(x2), если x1 x2;
3), ;
4) F(x) непрерывна слева: .
Вероятность попадания случайной величины Х на числовой промежуток [a; b) вычисляется по формуле .
§8. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайная величина называется дискретной, если все её возможные значения можно перенумеровать.
Дискретная случайная величина обычно задаётся рядом распределения, т.е.
|
таблицей вида |
х |
х1 |
х2 |
|
хn |
|
р |
р1 |
р2 |
|
рn |
Математическое ожидание M[X] (или mx) дискретной случайной величины X вычисляется по формуле .
Дисперсия D[X] дискретной случайной величины X определяется формулой
.
Чаще дисперсию удобнее вычислять по формуле
.
Среднее квадратическое отклонение [X] случайной величины Х определяется формулой .
Вероятность попадания дискретной случайной величины на числовой промежуток равна сумме вероятностей значений, попадающих в данный промежуток.
Функция распределения дискретной случайной величины кусочно-постоянная.
8.1. Монету бросают два раза. Случайная величина Х – число выпадений герба. Составить её ряд распределения. Найти M[X], D[X], [X] и P{X = 0,3}, P{0 X 1,5}.
8.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] и P{1 X 2}, P{2 X 4} дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.
|
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
р |
0,38 |
0,26 |
0,2 |
0,14 |
0,02 |
8.3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1 = 4 с вероятностью р1 = 0,5, х2 = 6 с вероятностью р2 = 0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3 , зная, что M[X] = 8.
8.4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: M[X] = 2,3, M[X2] = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.
8.5. Из орудия ведётся стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,4, при каждом следующем увеличивается на 0,1. Составить закон распределения числа истраченных снарядов, если имеется 4 снаряда. Найти числовые характеристики данной случайной величины.
8.6. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1 = 1, х2 и х3 , причём х1 < х2 < х3 . Вероятности того, что Х примет значения х1 и х2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, если M[X] = 2,2, D[X] = 0,76.
8.7. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] и P{–1 X 2} дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.
|
х |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
р |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
8.8. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] и P{ 1} дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.
|
х |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
р |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
8.9. Дискретная случайная величина Х принимает два возможных значения: х1 и х2 , причём х1 < х2 . Найти закон распределения величины Х, если M[X] = 1,4, D[X] = 0,24, а вероятность того, что Х примет значение х1 равна 0,6.
8.10. Производится ряд выстрелов из орудия с вероятностью попадания 0,8. Стрельба ведётся до первого попадания, но не более 4 выстрелов. Определить примерный расход снарядов на 100 подобных стрельб.
§9. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Непрерывной называется такая случайная величина, значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток.
Непрерывная случайная величина обычно задаётся плотностью распределения f(x).
Свойства плотности распределения:
1) f(x) 0; 2).
Функция распределения F(x) и плотность распределения f(x) связаны между собой равенствами: , .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины на числовой промежуток [a; b] выражается через плотность распределения следующим образом: .
Математическое ожидание M[X] непрерывной случайной величины X определяется формулой .
Дисперсия D[X] непрерывной случайной величины X вычисляют по формулам
.
Среднее квадратическое отклонение [X] непрерывной случайной величины Х определяется так же, как и для дискретной случайной величины: .
9.1. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] данной случайной величины и P{0 < X < 1,5}.
9.2. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициент a, функцию распределения F(x) и P{X 0}, P{X = –1}, P{X > 0,5}.
9.3. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения Найти плотность распределения f(x) и . Построить графики функций f(x) и F(x).
9.4. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид F(x) = a + b arctgx. Найти постоянные а и b, плотность распределения f(x) и P{0 X 1}.
9.5. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициент а, функцию распределения F(x) и P{2 < X < 3}.
9.6. Непрерывная случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью Найти , .
9.7. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения . Найти плотность распределения f(x) и числовые характеристики M[X], D[X], [X] данной случайной величины.
9.8. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициент а, функцию распределения F(x) и P{X 3}, P{2 < X < 5}, P{X > 3,5}.
9.9. Непрерывная случайная величина Х имеет функцию распределения Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] данной случайной величины.
9.10. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициент а, функцию распределения F(x) и P{2 < X < 4}, P{–2 X < 2}.
9.11. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла) (). Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину A при заданном h. Указание: .
§10. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Дискретная случайная величина Х называется биномиальной с параметрами
n, p (n N, 0 < p < 1), если её возможные значения 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются по формуле Бернулли , где .
Математическое ожидание и дисперсия биноминальной случайной величины выражается через её параметры следующим образом:
; .
10.1. Случайная величина X распределена биномиально с параметрами n = 4, p = 0,5. Найти Р{0,5 X 2,5}.
10.2. Вероятность выигрыша в лотерею по одному лотерейному билету равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадают выигрыши, если приобретено 40 билетов.
10.3. В партии 90% стандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных.
10.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M[X] = 0,9.
10.5. Завод изготавливает 80% изделий первого сорта и 20% второго. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа изделий первого сорта в партии из 1000 отобранных случайным образом изделий.
10.6. Найти постоянную вероятность попадания в цель при каждом выстреле и число произведённых выстрелов, если среднее число попаданий равно 72, а среднее квадратическое отклонение случайной величины, характеризующей число попаданий, равно 6.
10.7. Два игральных кубика одновременно бросают два раза. Написать закон распределения случайной величины Х – числа выпадения чётного числа очков на двух игральных кубиках.
10.8. Вероятность того, что лампа остается исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Написать закон распределения случайной величины Х – числа неисправных ламп после 1000 часов работы из трех имеющихся. Найти числовые характеристики данной случайной величины.
§11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА.
ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ
Дискретная случайная величина Х называется пуассоновской с параметром
( > 0), если её возможные значения 0, 1, 2, …, а их вероятности .
Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины выражается через параметр следующим образом:
.
Пуассоновская случайная величина является предельным случаем биномиальной случайной величины при , так, что , где – постоянная величина.
Потоком событий называют последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от расположения на оси.
Свойство отсутствия последействия состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
Свойство ординарности состоит в том, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:
|
Для справки: значения функции |
х |
–1 |
–2 |
–3 |
–4 |
|
0,368 |
0,135 |
0,050 |
0,018 |
11.1. Случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром = 3. Найти Р{0,5 X 2,5}.
11.2. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
11.3. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берётся на пробу 20 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нём будет обнаружен хотя бы один микроб.
11.4. На ремонтную базу поступает в среднем 16 заявок в день (рабочий день восьмичасовой). Поток заявок можно считать простейшим. Найти вероятность того, что а) за один час не поступит ни одной заявки; б) за два часа поступит не менее двух и не более трёх заявок.
11.5. Поток неисправностей (сбоев), возникающих при работе автоматической линии, можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятность того, что за двое суток произойдёт а) один сбой; б) более двух сбоев.
11.6. Поток сбоев, возникающих при работе ЭВМ, можно считать простейшим потоком с плотностью . Для решения задачи на ЭВМ требуется 20 часов машинного времени, причём при наличии сбоя приходится начинать решение сначала. Какова вероятность того, что решение будет получено с первой попытки?
11.7. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового обслуживания, достаточно точно моделируется простейшим. При изучении опытных данных рассматривалось 200 выбранных наудачу промежутков времени длиной в две минуты. Оказалось, что число тех из них, в которых не было зарегистрировано ни одной заявки, равно 27. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа заявок за один час.
11.8 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьётся, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
11.9. Поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, можно считать простейшим. Среднее число вызовов за один час равно 60. Найти вероятность того, что а) за две минуты не будет ни одного вызова; б) за три минуты число вызовов будет больше двух; в) за четыре минуты число вызовов будет меньше четырёх.
11.10. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.
11.11. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 секунд испускало в среднем 3,87 -частиц. Найти вероятность того, что за 1 секунду это вещество испустит хотя бы одну -частицу.
§12. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Одномерная непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в промежутке [а; b], которому принадлежат все возможные значения Х, если её плотность сохраняет в этом промежутке постоянное значение, а именно:
Функция распределения
Числовые характеристики равномерного распределения выражаются через его параметры по формулам .
12.1. Найти числовые характеристики случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (2; 8).
12.2. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех минут. Чему равно среднее время ожидания автобуса?
12.3. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
12.4. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более, чем на 20 с.
12.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04, б) большая 0,05. Чему равна средняя ошибка при отсчете?
12.6. Автобусы некоторого маршрута идут точно по расписанию с интервалом в 10 минут. Пассажир подходит к остановке в случайный момент времени, так что все моменты его появления на остановке в интервале между двумя автобусами можно считать равновозможными. Найти вероятность того, что время ожидания пассажиром автобуса будет не более шести и не менее двух минут.
§13. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т (традиционное обозначение для показательного распределения), которое описывается плотностью
где – положительная постоянная величина.
Функция распределения показательного закона
Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины Т в промежуток (а; b) .
Числовые характеристики показательно распределенной случайной величины выражаются через её параметр следующим образом: .
Связь пуассоновского распределения с показательным выражается в том, что случайная величина Х (число событий некоторого потока за фиксированный промежуток времени t) имеет пуассоновское распределение с параметром тогда и только тогда, когда случайная величина Т (промежуток времени между последовательными событиями) имеет показательное распределение с параметром , при этом = t.
13.1. Найти числовые характеристики показательного распределения, заданного при а) плотностью , б) функцией распределения .
13.2. Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром = 2. Найти вероятность попадания Т на промежутки [1; 2], .
13.3. Время t расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть = 5 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Найти вероятность того, что время расформирования состава: а) меньше 30 мин; б) больше 6 мин, но меньше 24 мин.
13.4 Время безотказной работы технического устройства имеет показательное распределение с параметром = . Найти вероятность того, что устройство проработает безотказно не менее 800 часов.
13.5. Поток отказов технического устройства с высокой степенью точности моделируется стационарным пуассоновским потоком. Среднее число отказов за 1000 часов работы устройства равно 10. Найти вероятность того, что устройство проработает безотказно не менее 100 и не более 200 часов. Чему равно среднее время безотказной работы технического устройства?
13.6. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательный закон с функцией распределения , для второго – . Найти вероятность того, что за шестичасовой период испытания: а) оба элемента откажут, б) оба элемента не откажут, в) только один элемент откажет, г) хотя бы один элемент откажет.
13.7. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой ( > 0). Найти среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.
13.8. Вероятность безотказной работы ЭВМ имеет экспоненциальное распределение с параметром = . Найти вероятность того, что за сутки произойдет хотя бы один отказ ЭВМ.
13.9. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательный закон с функцией распределения , t 0. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч: а) элемент откажет, б) элемент не откажет.
§14. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Непрерывная случайная величина с плотностью называется нормально распределенной. Символически это записывают так: Х N(а; ). Вероятностный смысл параметров а(-;+) и (0;+): М[x] = a; D[x] = 2.
Распределение N(0; 1) называется стандартным нормальным законом, его плотность обозначается (х). Функция распределения Х N(0; 1) , где называется функцией Лапласа. Функция Лапласа нечетна: , поэтому её табулируют только для неотрицательных х.
Замечание. В книгах используют разные обозначения для функции Лапласа. Кроме того, функцией Лапласа называют различные функции.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х N(а; ) в промежуток (; ) Р{ Х } = .
Для этой величины вероятность отклонения от математического ожидания не более чем на : .
При = 3 , откуда следует эмпирическое правило «трех сигм»: выход нормальной случайной величины за трехсигмовый интервал есть событие практически невозможное.
Устойчивость нормального закона. Линейная комбинация () независимых нормальных случайных величин является нормально распределенной случайной величиной с параметрами и .
14.1. Найти числовые характеристики случайной величины Х а) с плотностью вероятности ; б) с функцией распределения .
14.2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 4 и дисперсией D = 4. Записать её плотность и найти Р{1 X 5}, Р{X 5}.
14.3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(20, 10). Найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.
14.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если известно что Р{10 < X < 18,5} = 0,3023.
14.5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(a, ). Найти значения a и , если известно что Р{X < 10} = 0,6554 и Р{X > 12} = 0,2119.
14.6. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 68 т, но не менее 63 т.
14.7. Мастерская изготавливает стержни, длина которых представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием m = 25 см и средним квадратическим отклонением = 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.
14.8. Диаметр детали, изготавливаемой на станке, – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и средним квадратическим отклонением = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
14.9. Номинальный размер детали 100 мм, технический допуск 0,25 мм. Среднее квадратическое отклонение, характеризующее точность станка-автомата, на котором получают деталь, равно 0,1 мм. Считая, что закон распределения размера детали близок к нормальному, найти: а) процент брака; б) процент деталей, размер которых заключен в пределах от 100,1 мм до 100,2 мм.
14.10. Линейная размерная цепь содержит 16 составляющих размеров X1, X2, , X16 и замыкающий размер Y = X1 ++ X15 – X16 . Технология изготовления такова, что отдельные составляющие размеры слабо зависимы и выполняются с одной точностью = 1 мм. Применив правило 3, найти максимальное отклонение замыкающего размера Y от номинального. Какова вероятность того, что это отклонение не превзойдет 8 мм?
14.11. Самолет берет четырех пассажиров, не считая пилота, или не более 360 кг груза. Допустим, что вес пассажира есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним весом 75 кг и стандартным отклонением 10 кг. Как часто самолет будет перегружен, беря на борт четырех пассажиров?
14.12. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m = 40 и дисперсией D = 200. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (30; 80).
14.13. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х и вероятность , если известно, что и .
14.14. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и средним квадратическим отклонением 0,9 см. Найти: а) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр от 4 до 7 см; б) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
14.15. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 1,6 и средним квадратическим отклонением = 1. Найти вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2).
14.16. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Локомотив может вести состав массой не более 6520 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
§15. ТЕОРЕМЫ ГРУППЫ ЦПТ
Центральной предельной теоремой (ЦПТ) называют группу теорем, дающих формулировки условий, при которых возникает нормальное распределение.
Теорема Линдеберга-Леви. Пусть Х1 , Х2 , … – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М[Хi] = m и D[Хi] = d. Последовательность случайных величин (так, что M[Zn] = 0; D[Zn] = 1) при n и произвольных и удовлетворяет условию , где – функция Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа. При больших n закон распределения биномиальной величины с параметрами n и p близок к нормальному с параметрами a = np и , т.е. .
Локальная теорема Лапласа утверждает, что , откуда следует что , где
15.1. Хi – независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром . Случайная величина Y равна . Найти Р{Y < 1100}.
15.2. В процессе вычислений производится сложение 100 чисел, округленных до четвертого десятичного знака после запятой. Используя правило «трех сигм», найти максимальную абсолютную погрешность результата.
15.3. Вероятность поражения цели при одном выстреле р равна 0,2. Производится 100 выстрелов. Случайная величина X – число попаданий. Найти вероятность того, что будет а) 24 попадания; б) от 16 до 28 попаданий; в) больше 30 попаданий.
15.4. На предприятии имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,7 всего рабочего времени. Найти вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными а) 72 станка; б) от 60 до 80 станков; в) более 90 станков.
15.5. Для контроля продукции из очень большой партии изделий выбираются случайным образом 100 изделий. Вся партия отвергается, если среди отобранных изделий будет не менее 10 дефектных. Какова вероятность отвергнуть партию, доля дефектных изделий в которой составляет 15%?
15.6. Хi – независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке [–1; 1]. Случайная величина Y равна . Найти .
15.7. Предприятие выпускает в среднем 5% бракованных изделий одного наименования. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий будет a) 50 бракованных; б) более 70 бракованных.
15.8. Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на надежность q равна 0,05. Найти вероятность того, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя а) от 5 до 10 изделий; б) не менее 5 изделий; в) менее 5 изделий.
§16. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Двумерной называют случайную величину (Х, Y), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М(Х, Y) на плоскости хОу, либо как случайный вектор .
Функция распределения двумерной случайной величины (Х, Y) определяется соотношением F(x; y) = P(X < x, Y < y) и геометрически определяет вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (Х, Y), лежащий левее и ниже ее.
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны; непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан с помощью таблицы:
XY |
х1 |
х2 |
… |
хi |
… |
|
у1 |
p11 |
p21 |
… |
pi1 |
… |
|
у2 |
p12 |
p22 |
… |
pi2 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
yj |
p1j |
p2j |
… |
pij |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
где x1<x2<…<xi<…; y1<y2<…<yj<…;
pij – вероятность события, заключающаяся в одновременном выполнении равенств Х = хi; Y = yj, при этом .
Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется равенством .
Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть задан с помощью функции плотности вероятности f(x,y), удовлетворяющей условиям:
1) f(x; y) 0; 2).
Если все возможные значения (Х, У) принадлежат конечной области D, то .
Вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область D определяется равенством .
Связь плотности вероятности f(x, y) и функции распределения F(x ,y) двумерной непрерывной случайной величины задается соотношениями ; .
Законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины вычисляются по формулам ; .
Для нахождения законов распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины надо суммировать вероятности в таблице по строкам или по столбцам.
Условным распределением составляющей Х при Y = уj (j – сохраняет одно и то же значение при всех возможных значения Х) называют совокупность условных вероятностей , , …, .
Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих X и Y вычисляются соответственно по формулам
; .
Для непрерывных случайных величин формулы вычисления условных плотностей распределения выглядят так:
; .
Числовые характеристики составляющих вычисляются по формулам:
; – для дискретных случайных величин;
; – для непрерывных случайных величин;
; ;
; .
Точка называется центром рассеяния двумерной случайной величины (X, Y).
Для оценки тесноты взаимосвязи составляющих вычисляют корреляционный момент или ковариацию .
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле , где в дискретном и в непрерывном случае.
Степень связи между составляющими в чистом виде характеризует так называемый нормированный корреляционный момент или коэффициент корреляции , обладающий следующими свойствами: 1) 2) тогда и только тогда, когда случайные величины связаны линейной зависимостью.
Случайные величины Х, У называются некоррелированными, если КXY = 0, а следовательно, и .
Случайные величины Х, Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина.
Для двумерной дискретной случайной величины, представленной в виде таблицы распределения, условие независимости составляющих Х и Y состоит в том, что для любых i и j , где , . Внешне это выражается в том, что строки и столбцы таблицы пропорциональны.
Для двумерной непрерывной случайной величины условие независимости состоит в том, что .
Независимые случайные величины всегда некоррелированны. Обратное, вообще говоря, неверно (т.е. некоррелированные величины могут быть зависимыми).
Условным законом распределения случайной величины Yx называется закон распределения случайной величины Y при условии, что Х = х.
Функциональная зависимость М[Yx] = (x) называется регрессией случайной величины Y на случайную величину Х.
Среднее значение квадрата отклонения достигает минимально возможного, когда (х) – регрессия Y на Х (минимизирующее свойство регрессии).
Функция из класса функций определяемых набором параметров а1 , …, аk называется среднеквадратичной регрессией Y на Х в этом классе функций, если среднее значение квадрата отклонения достигает на наборе параметров минимального значения для всех функций этого класса.
Простейшей функцией является линейная: . Уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Y на Х выглядит так: .
Аналогично уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Х на Y: .
16.1. Восстановить законы распределения составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Найти условное распределение случайной величины Х при условии, что Y = y1. Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что Х = х2 .
|
Х Y |
2 |
3 |
9 |
|
0,2 |
0,18 |
0,22 |
0,16 |
|
0,8 |
0,08 |
0,16 |
0,2 |
16.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.
|
Х Y |
0 |
0,8 |
1,5 |
|
1 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
|
2 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
16.3. По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х; Y), где Х – число попаданий, Y – число промахов. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y.
16.4. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность , где D – треугольник ограничен-ный линиями: х = 0; у = 0; х + у = 1. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .
16.5. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью , где D – квадрат . Найти коэффициент а. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.
16.6. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) распределена равномерно в круге радиуса R = 5 с центром в начале координат. Доказать, что составляющие Х и Y являются зависимыми и некоррелированными величинами.
16.7. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения .
16.8. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:
|
Х Y |
0 |
0,2 |
0,5 |
|
1 |
0,3 |
0 |
0,1 |
|
1,5 |
0,2 |
0,1 |
0 |
|
2 |
0,1 |
0 |
0,2 |
16.9. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.
|
Х Y |
0 |
0,5 |
1 |
|
0,5 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
|
1 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
16.10. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность , где D – прямоугольник . Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .
16.11. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью , где D – квадрат . Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.
16.12. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения .
16.13. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:
|
Х Y |
1 |
1,5 |
2 |
|
0 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
|
1 |
0,1 |
0 |
0,2 |
|
2 |
0,1 |
0,1 |
0 |
§17. Функции случайных величин
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайной величины Х и записывают Y = (х).
Если Х – дискретная случайная величина, то возможные значения Y находят из равенства уi = (xi), где xi – возможные значения Х; вероятности возможных значений Y находят из равенства P{Y=yi} = P{X=xi}. Если среди возможных значений Y встретятся одинаковые, то следует сложить вероятности тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.
Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности fx(x), а у = (х) – дифференцируемая строго монотонная функция, обратная функция которой х = (у) однозначна, то плотность вероятности fy(y) случайной величины Y определяетcя по формуле .
Если функция Y = (х) не монотонная в интервале возможных значений Х, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция (х) монотонна, найти плотность распределения Y для каждого интервала монотонности, а затем представить fy(y) в виде их суммы .
Числовые характеристики функции случайной величины можно найти, не определяя закона распределения у = (х) по формулам
;
для дискретных случайных величин и
;
для непрерывных случайных величин.
Аналогично находятся начальные и центральные моменты любого порядка, а также числовые характеристики функции нескольких случайных аргументов (подробнее см. [8]).
Если функция (Х1, Х2, …, Хn) – линейная, т.е. , то ; ,
где Кij – корреляционный момент случайных величин Хi и Xj (в этом случае не требуется знание закона распределения случайных аргументов).
Числовые характеристики непрерывно дифференцируемых функций могут быть вычислены приближенно методом линеаризации (т.е. удерживая в разложении функции в ряд Тейлора только линейные члены):
а) для функции одного случайного аргумента Y = (х)
M[Y] (M[x]); D[Y] [’(M[x])]2D[x];
б) для функции нескольких случайных аргументов Y = (Х1, Х2, …, Хn)
М[Y] (M[Х1], M[Х2], …,M[Хn]),
,
где Кij – корреляционный момент для случайных величин Хi и Xj , а через обозначены производные, вычисленные для значений аргументов, равных их математическим ожиданиям.
Если случайные величины взаимно не коррелированны, то .
17.1. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения:
|
x |
0 |
|||||
|
р |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
Найти закон распределения функции z = sinx, вычислить M[Z] и D[Z].
17.2. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность вероятности f(x). Выразить функцию распределения и плотность вероятности случайной величины Z = x2 через функцию и плотность распределения Х.
17.3. Независимые случайные величины Х и Y распределены показательно с параметрами и соответственно . Найти плотность вероятности случайной величины Z = X + Y.
17.4. Система состоит из двух независимых элементов, соединенных последовательно в смысле надежности. Время безотказной работы каждого из элементов имеет показательное распределение с параметрами 1 и 2 соответственно. Найти функцию распределения времени безотказной работы системы.
Указание. T = min{T1, T2} , где Ti – время безотказной работы i-го элемента.
17.5. Система состоит из двух независимых элементов, соединенных параллельно в смысле надежности. Время безотказной работы каждого из элементов имеет показательное распределение с параметрами 1 и 2 соответственно. Найти функцию распределения времени безотказной работы системы.
Указание. T = max{T1, T2} , где Ti – время безотказной работы i-го элемента.
17.6. Непрерывная случайная величина имеет плотность Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sinX
17.7. Две независимые случайные величины Х и Y имеют следующие законы распределения:
|
х |
1 |
2 |
3 |
y |
1 |
2 |
|
|
р |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
р |
0,4 |
0,6 |
Найти закон распределения случайной величины Z = X–2Y и проверить свойства математических ожиданий и дисперсией M[Z] = M[X]–2M[Y], D[Z] = D[X]+4D[Y].
17.8. Результат измерения ребра куба есть случайная величина Х, дисперсия которой (характеристика точности измерительного прибора) равна 0,0001 мм2. Определить приближенно дисперсию объема куба Y, вычисляемого по результатам измерений, если измеряемые прибором длины заключены в пределах от 1 мм до 2 мм.
17.9. Начальная фаза малых свободных колебаний груза на пружине связана с начальным смещение Х, начальной скоростью v и свободной круговой частотой колебаний формулой . Начальные условия задаются независимо с разбросом относительно номинальных значений mx = 2 см и mv = 2 см/с, который характеризуется средними квадратическими отклонениями х = 0,4 см, v = 0,3 см/с. Вычислить приближенно среднее квадратическое отклонение начальной фазы при = 10.
17.10. Размеры двух шкивов (А и В) характеризуются математическими ожиданиями радиусов (номинальные размеры) , и дисперсиями исполнения D[rA] = 0,04, D[rB] = 0,01. Найти приближенно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение передаточного числа от шкива В к шкиву А.
17.11. Линейная размерная цепь включает в себя три составляющих размера Х, Y, Z и замыкающий размер Т. Соответствующие номинальные размеры равны: = 100 мм, = 50 мм, = 250 мм. Кроме того, известно, что х = 1 мм, у = 1 мм, z = 2 мм. Размер Z получается независимой от Х и Y обработкой, а размеры Х и Y получаются согласно технологии связанными, причем rxy = 0,9. Найти М[T], [T].
17.12. Кинематика кривошипно-кулисного механизма определяется размерами h и r, при исполнении которых допускаются погрешности, характеризующиеся средними квадратическими отклонениями h и r . Найти номинальный максимальный угол отклонения кулисы max от вертикального положения и среднее квадратическое отклонение реального угла, если номинальные размеры r и h равны соответственно 141,4 мм и 200 мм, h = 1 мм, r = 2 мм.
Указание. .
17.13. Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью f(x). Выразить плотность вероятности функции z = aX+b (a > 0) через f(x).
17.14. Две независимые случайные величины Х и Y имеют следующие законы распределения:
|
х |
–4 |
0 |
4 |
y |
0 |
1 |
2 |
|
|
р |
0,2 |
0,6 |
0,2 |
р |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Найти закон распределения случайной величины Z = 2X–Y и проверить свойства математических ожиданий и дисперсией M[Z] = 2M[X]–M[Y], D[Z] = 4D[X]+D[Y].
17.15. Колебательная система состоит из груза с массой m = 1 кг и пружины с жесткостью k = 4 Н/м. Она выводится из состояния равновесия случайным смещением Х0, распределенным равномерно на отрезке [–0,1 м; 0,1 м] и случайным Р0 = mv0, математическое ожидание которого = 2 кг м/с, среднее квадратическое отклонение = 1 кг м/с. Найти приближенно математическое ожидание и дисперсию амплитуд малых свободных колебаний.
Указание. Амплитуда свободных колебаний связана с начальными условиями соотношением .
17.16. При измерении стороны квадрата линейкой, цена деления которой равно 2, допускается погрешность округления. Пусть длина стороны квадрата равна а. Найти плотность вероятности случайной величины S – результата вычисления площади квадрата. Вычислить математическое ожидание и дисперсию S и сравнить полученные точные значения с приближенными, определенными по методу линеаризации.
Указание. Результат измерения Х есть случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [а–; а+].
17.17. По сторонам прямого угла xОy концами скользит линейка АВ длины l, занимая случайное положение, причем все значения абсциссы X её конца А на оси Ох в пределах от 0 до l одинаково вероятны. Найти математическое ожидание расстояния R от начала координат до линейки.
§18. Закон больших чисел
Под законом больших чисел понимается ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Рассмотрим вспомогательные теоремы: лемму и неравенство Чебышева, с помощью которых доказывается закон больших чисел в форме Чебышева.
Лемма Чебышева. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство
или .
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство
или .
Для некоторых случайных величин неравенство Чебышева записывается так:
a) для случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией :
;
б) для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию :
.
Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых случайных величин X1 , X2 , …, Xn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий a1 , a2 , …, an , т.е.
.
Следствие. Если независимые случайные величины X1 , X2 , …, Xn имеют одинаковые математические ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной С, то
.
18.1. Среднее число вызовов, поступающих в течение часа на станцию скорой помощи, равно 30. Оценить вероятность того, что в течение часа число вызовов: а) превысит 40; б) не превысит 50.
18.2. Фонд заработной платы учреждения составляет 200 тыс. руб., а вероятность того, что зарплата случайно взятого сотрудника не превысит 1000 рублей, равна 0,6. Оценить численность персонала учреждения.
18.3. Средний расход воды в садоводческом товариществе составляет 200 м3 в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равно 40 м3. Оценить вероятность того, что в какой-то день расход воды в товариществе не превысит 400 м3, используя а) лемму Чебышева; б) неравенство Чебышева.
18.4. Вероятность своевременной доставки почтового отправления адресату равна 0,98. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число несвоевременно доставленных среди 1000 почтовых отравлений находится в границах от 10 до 30 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
18.5. Дисперсия отдельного измерения некоторой величины не превосходит 2. Сколько надо провести измерений величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 0,1 (по абсолютной величине)?
18.6. На основании длительных наблюдений за спортивными достижениями легкоатлета составлена следующая таблица его результатов в беге на 100 м:
|
Время, показанное спортсменом, в сек. |
10 |
10,5 |
11 |
11,5 |
12 |
|
Вероятность |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,05 |
0,05 |
С помощью леммы Чебышева оценить вероятность того, что легкоатлет на стометровке покажет время хуже 12 секунд.
18.7. Даны 50 независимых неотрицательных случайных величин Х1, Х2, …, Х50 с математическими ожиданиями М[Хi] = 0,5 и дисперсиями D[Xi] = 0,5 (i = 1, 2, …, 50). С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что средняя арифметическая этих случайных величин не превзойдет величины, равной 1.
18.8. По данным переписи населения в среднем 90% семей имеют холодильники. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 семей доля семей, имеющих холодильник, будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).
18.9. Опрос показал, что адресная реклама в среднем в каждом пятидесятом случае приводит к тому, что потенциальный покупатель приобретает рекламируемый товар. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых будет находиться число сделанных по рекламе заказов, если всего разослано 10000 рекламных листков.
18.10. Продолжительность горения электролампочки является случайной величиной, дисперсия которой не превышает 8100. Пользуясь теоремой Чебышева, оценить наибольшее отклонение средней арифметической продолжительности горения 4000 электролампочек от средней арифметической их математических ожиданий, если результат необходимо гарантировать с вероятностью, не меньшей 0,9.
18.11. Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, из 500 накладных доля правильно оформленных окажется от 0,91 до 0,95.
18.12. Для определения среднего веса пакета со стиральным порошком в партии из 100 коробок было взято на выборку по одному пакету из каждой коробки. Оценить вероятность того, что средний вес отобранных 100 пакетов отличается от среднего веса пакета во всей партии не более чем на 10 г (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение веса пакета в каждой коробке меньше 18 г.
3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
§19. Основы выборочного метода
Обозначения:
xi – значения признака (случайной величины Х);
N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей;
Ni и ni – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака хi;
M и m число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.
Наименованиехарактеристики |
ГенеральнаяСовокупность |
Выборка |
Средняя |
||
Дисперсия |
||
Доля |
Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.
Таблица 2. Оценка параметров генеральной совокупности
по собственно-случайной выборке.
|
Параметр |
Выборка |
Несмещенная и состоятельная оценка |
Дисперсия оценки |
|
Генеральная доля |
Повторная |
||
|
Бесповторная |
|||
|
Генеральная средняя |
Повторная |
||
|
Бесповторная |
|||
|
Генеральная дисперсия |
Повторная и бесповторная |
Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно-случайной выборки называется средней квадратической (стандартной) ошибкой выборки. (Для бесповторной выборки обозначения – соответственно и ).
Формулы доверительной вероятности для средней и доли .
При заданной доверительной вероятности предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, где 20(t) = , т.е. , .
Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли могут быть найдены по формулам: , .
Таблица 3. Формулы средних квадратических ошибок выборки
|
Оцениваемый параметр |
Повторная выборка |
Бесповторная выборка |
|
Генеральная средняя |
||
|
Генеральная доля |
Таблица 4. Определение объема выборки по доверительной вероятности
и предельной ошибке выборки
|
Оцениваемый параметр |
Повторная выборка |
Бесповторная выборка |
|
Генеральная средняя |
||
|
Генеральная доля |
19.1. Отдел технического контроля электролампового завода хочет узнать срок службы (время горения) отдельного вида лампочек. С этой целью случайная выборка 80 лампочек была испытана на продолжительность горения. Выборочная средняя равняется 2915 час, а выборочное среднее квадратическое отклонение 396 час. Найти вероятность того, что средний срок службы лампочек данного вида отличается от выборочной средней не более, чем на 90 час (по абсолютной величине).
19.2. Случайная выборка 800 школьников показала, что 480 из них хотела бы заниматься в школе в первую смену. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех школьников, которые хотели бы учиться в первую смену.
19.3. Отдел сбыта кондитерской фабрики при опросе 200 жителей города А, отобранных по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, обнаружил, что для 50 из них желательно изменение ассортимента продукции. Отдел наметил провести такое же обследование в городе Б. Найти: а) 95%-й доверительный интервал для доли потребителей в городе А, которые будут покупать новые виды продукции; б) объем выборки в городе Б, чтобы достичь оценки доли потребителей новой продукции в пределах 4% с доверительной вероятностью 0,95.
19.4. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 студентов из 500 обучающихся и получены следующие данные о времени решения задачи по теории вероятностей:
|
Время решения задачи, мин. |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
|
Количество студентов |
6 |
18 |
52 |
17 |
7 |
Найти: а) вероятность того, что среднее время решения задачи в выборке отличается от среднего времени решения задачи во всей генеральной совокупности не более чем на 1 минуту (по абсолютной величине); б) число студентов, которое нужно отобрать в выборку, чтобы то же отклонение гарантировать с вероятностью 0,9876; в) границы, в которых с вероятностью 0,9596 заключена доля студентов, решавших задачу не более 9 минут.
19.5. Для определения рейтинга мэра города было опрошено 200 человек. Выборочный рейтинг оказался равным 0,4. Определить необходимое количество респондентов, гарантирующее с вероятностью 0,9802 ошибку социологического обследования, не превосходящую 2%.
19.6. Проводится сравнительный анализ старого и нового метода сборки некоторого изделия. Среднее время сборки по старому методу составляет 90 мин. Для оценки нового метода сборки по схеме бесповторной собственно-случайной выборки были отобраны 100 рабочих из 500. Получено следующее распределение рабочих по продолжительности сборки:
|
Продолжительность сборки, мин. |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
|
Число рабочих |
17 |
27 |
33 |
12 |
11 |
Найти: а) доверительный интервал с вероятностью 0,95 для среднего времени сборки по новому методу; б) наименьший размер выборки, необходимый для получения среднего значения генеральной совокупности в пределах двух минут с доверительной вероятностью 0,9901.
19.7. Маркетинговое исследование показало, что реализуемый фирмой товар требуется 16 из 200 опрашиваемых. Фирма разворачивает свою деятельность в районе с населением 20000 человек. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключено количество покупателей.
19.8. Торговая фирма получила от поставщика пробную партию из 100 стиральных машин. Среди них оказалось 5 с дефектами. Найти вероятность того, что доля стиральных машин с дефектами во всей партии из 5000 штук отличается от таковой в выборке не более чем на 0,02.
19.9. Из 620 студентов-первокурсников БГТУ было отобрано по схеме собственно-случайной бесповторной выборки 100 студентов, из которых оказалось 60 проживающих в г. Брянске. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключен процент студентов – жителей г. Брянска среди всех студентов первого курса.
19.10. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из общего большого числа стальных проволок, идущих на изготовление канатов, были отобраны 150 и проведены испытания на растягивающее усилие. Оказалось, что проволока выдерживает в среднем усилие в 67,2 кН/см2 , а выборочное среднее квадратическое отклонение равно 2,2 кН/см2. Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9975 заключено среднее разрывное усилие проволок всей партии; б) вероятность того, что среднее разрывное усилие всех проволок в партии не отличается от среднего разрывного усилия в выборке не более чем на 0,3 кН/см2; в) объем выборки, для которой доверительные границы с предельной ошибкой = 0,5 имели бы место с доверительной вероятностью 0,9910.
§20. Элементы корреляционного анализа
Групповые средние , ,
где хi и yj – середины соответствующих интервалов; i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …, m; nij – частоты пар (xi, yj); ; .
Общие средние , ,
где – объем выборки.
Выборочные дисперсии , .
Выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация .
Коэффициенты регрессии Y по X и X по Y , .
Линейные уравнения регрессии Y по X и X по Y , .
Коэффициент корреляции .
20.1. Распределение 100 образцов материала по процентному содержанию синтетической добавки X (%) и предельному напряжению на разрыв Y (Н/cм2) приведены в следующей таблице:
|
Y Х |
11 |
16 |
21 |
26 |
31 |
36 |
|
|
20 |
2 |
5 |
7 |
||||
|
30 |
6 |
4 |
10 |
||||
|
40 |
7 |
32 |
5 |
44 |
|||
|
50 |
3 |
10 |
8 |
1 |
22 |
||
|
60 |
5 |
10 |
2 |
17 |
|||
|
2 |
11 |
14 |
47 |
23 |
3 |
100 |
Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти среднее предельное напряжение на разрыв, когда процент синтетической добавки составляет 50%, и сравнить его с групповой средней, вычисленной непосредственно по корреляционной таблице.
20.2. Распределение 100 сосен по диаметру ствола Х (см) и высоте Y (м) приведено в следующей таблице:
|
Y Х |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
|
20 |
9 |
2 |
11 |
|||
|
30 |
6 |
15 |
9 |
30 |
||
|
40 |
1 |
9 |
13 |
3 |
26 |
|
|
50 |
5 |
14 |
3 |
22 |
||
|
60 |
1 |
3 |
5 |
2 |
11 |
|
|
16 |
32 |
39 |
11 |
2 |
100 |
Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти средний диаметр сосен высотой 35 м.
20.3. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на газ Х и стоимостью акций газовых компаний Y, получены следующие данные: ; ; ; ; = 40,5. Найти а) уравнения регрессии Y на Х и Х на Y; б) среднюю величину стоимости акции при цене на нефть х = 16,6, используя соответствующее уравнение регрессии.
20.4. Известно, что первоначальная стоимость объекта Х (млн. руб.) и годовая норма отчислений Y (%) связаны уравнениями регрессий: и . Найти средние значения величин Х и Y, а также коэффициент корреляции между этими величинами.
20.5. При исследовании корреляционной зависимости между объемом валовой продукции Y (млн. руб.) и среднесуточной численностью работающих Х (тыс. чел.) для ряда предприятий получено следующее уравнение регрессии Х на Y: . Найти уравнение регрессии Y на Х, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами равен 0,84, а средний объем валовой продукции предприятий составляет 39,8 млн. руб.
20.6. Распределение 100 семей по доходу Х (руб.) на члена семьи и доле расходов на питание Y (%) приведено в следующей таблице:
|
Y Х |
40–50 |
50–60 |
60–70 |
70–80 |
80–90 |
|
|
100–500 |
2 |
8 |
10 |
|||
|
500–900 |
10 |
16 |
26 |
|||
|
900–1300 |
30 |
4 |
2 |
36 |
||
|
1300–1700 |
2 |
16 |
2 |
20 |
||
|
1700–2100 |
6 |
2 |
8 |
|||
|
8 |
18 |
42 |
22 |
10 |
100 |
Требуется: 1) найти групповые средние и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю долю расходов на питание при доходе 1300 руб. на члена семьи.
20.7. При исследовании корреляционной зависимости между величинами Х и Y получены следующие данные: ; ; ; ; = 50. Написать уравнения регрессии Y на Х и Х на Y и построить графики прямых регрессии.
20.8. При исследовании зависимости между средним баллом аттестата Х и успеваемостью первокурсников Y для ряда вузов получено следующее уравнение регрессии Y на Х: . Составить уравнение регрессии Х на Y, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами оказался равным , а средняя успеваемость первокурсников составила 3,5 балла.
20.9. При исследовании корреляционной зависимости между возрастом Х (лет) жителей района и числом Y обращений в поликлинику в месяц получены следующие уравнения регрессий: и . Найти: а) коэффициент корреляции между рассматриваемыми величинами; б) средний возраст и среднее число обращений в поликлинику в месяц жителя района.
ОТВЕТЫ
§1. Элементы комбинаторики
1.1. 10; 1.2. 63; 1.3. 3024; 1.4. 99999; 1.5. 36; 1.6. а) 120, б) 120; 1.7. 1680; 1.8. 5040; 1.9. 2058; 1.10. а) 24310, б) 45; 1.11. 1024000; 1.12. 2520; 1.13. 720; 1.14. 382; 1.15. 125; 1.16. 729; 1.17. 756; 1.18. 300; 1.19. 215760; 1.20. 750.
§2. Классическое и статистическое определение вероятности
2.1. 180; 2.2. P(A) = , Р(В) = ; 2.3. ; 2.4. Р(А) = , Р(В) = ; 2.5. ; 2.6. ; 2.7. ; 2.8. ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ; 2.12. а) , б) ; 2.13. ; 2.14. ; 2.15. Р(А) = , Р(В) = , Р(С) = ; 2.16. а) , б) ; 2.17. Р(А) = , Р(В) = ; 2.18. ; 2.19. ; 2.20. .
§3. Операции над событиями
3.1. А – в группе нет ни одного бракованного изделия, В – в группе либо нет бракованных изделий, либо одно бракованное изделие; 3.2. А+В = А, АВ = В; 3.3. Ω = {ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ГЦЦ; ЦГЦ; ЦЦГ; ЦЦЦ}; А = {ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ }; 3.4. В = А6 , С = А5 ; 3.5. а) АВС, б) АВС, в) АВС, г) А+В+С, д) АВ+АС+ВС, е) АВС+АВС+АВС, ж) АВС+АВС+АВС, з) АВС, и) АВС; 3.7. АВС, б) ВА и СА; 3.8. С = АВ, Д = АВ+АВ, Е = А+В; 3.9. В = А1+А2+А3, С = А1А2А3 , D = А1А2А3 + А1А2А3 + А1А2А3, Е = А1А2А3 + А1А2А3 + А1А2А3, F = А1А2А3 + А1А2А3 + А1А2А3 = А1А2 + А1А3 + А2А3 ; 3.10. а) да, б) нет, в) да.
§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
4.1. 0,28; 4.2. 0,2; 4.3. (0,85)3= 0,614125; 4.4. 0,92; 4.5. а) 0,512, б) 0,992, в) 0,384; 4.6. Р(А) = ; Р(В) = , события А и В независимы; 4.7. ; 4.8. ; 4.9. 0,7; 4.10. Р(А) = , Р(В) = 1, Р(С) = , Р(D) = , Р(Е) = ; 4.11. ; 4.12. 0,55; 4.13. ; 4.14. 0,8; 4.15. Первая технология (Р = 0,49896, Р = 0,392).
§5. Формулы полной вероятности и Бейеса
5.1. 0,7; 5.2. ; 5.3. 0,52; 5.4. 0,25; 5.5. 0,0022; 0,11; 5.6. ; 5.7. 0,6044; 5.8. 0,675; 5.9. ; 5.10. 0,9999; 5.11. 0,022; 5.12. ; 5.13. а) 0,4, б) 0,3; 5.14. 0,3888; 5.15. 0,5.
§6. Формулы Бернулли
6.1. ≈ 0,2966; 6.2. 0,99328; 6.3. ≈ 0,3292; 6.4. ≈ 0,0046; 6.5. ≈ 0,4067; 6.6. ≈ 0,29634; 6.7. ≈ 0,113; 6.8. а) 0,375, б) 0,3125; 6.9. а) Р4(3) = > P8(5) = ; б) Р(k5) = > Р(k3) = ; 6.10. ≈ 0,737.
§7. Элементы теории структурной надежности
7.1. 0,504; 7.2. 0,99; 7.3. 0,5736; 7.4. 0,9188; 7.5. 0,81; 7.6. 0,318; 7.7. 0,0349; 7.8. 0,837; 7.9. 0,78; 7.10. 0,3387; 7.11. 0,613; 7.12. 0,136; 7.13. 0,94; 7.14. а) 0,504; б) 0,994; в) 0,902; 7.15. 0,0301.
§8. Дискретные и случайные величины
|
8.1. |
X |
0 |
1 |
2 |
|
P |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
М[X] = 1; Д[X] = 0,5; σ[X] ≈ 0,707; Р{X = 0,3} = 0; Р{0X1,5}=0,75; 8.2. М[X] = 2,16; Д[X] = 1,2944; σ[X] = 1,138; Р{1X2} = 038; Р{2X4} = 0,6; 8.3. х = 21; Р = 0,2; 8.4. Р = 0,2; Р = 0,3; Р = 0,5;
|
8.5. |
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
р |
0,4 |
0,3 |
0,18 |
0,12 |
М[X] = 2,02; Д[X] = 1,0596; σ[X] = 1,0294;
|
8.6. |
x |
1 |
2 |
3 |
|
p |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
8.7. М[X] = 0,9; Д[X] = 2,09; σ[X] = 1,446; Р{-1X2} = 0,6;
8.8. М[X] = 0,2; Д[X] = 1,36; σ[X] = 1,166; Р{|x|1} = 0,8;
|
8.9. |
x |
1 |
2 |
|
p |
0,6 |
0,4 |
|
8.10. |
x |
1 |
2 |
3 |
3 |
М[X] = 1,248; ≈125 снарядов. |
|
p |
0,8 |
0,16 |
0,032 |
0,032 |
§9. Непрерывные случайные величины
9.1. М[Х] = ; D[X] = ; σ[X] = ; Р{0 < Х 1,5} = 0,25; 9.2. a = ; М[X] = 0; D[X] = ; σ[X] = ; Р{Х ≤ 0} = ; Р{Х = –1} = 0; Р{Х > 0,5} = ; 9.3. ; ; 9.4. а = ; b = ; ; Р{0 ≤ Х ≤ 1} = ; 9.5. а = 1; ; P{2 < X < 3} = ; 9.6. ; ; 9.7. ; М[Х] = ; D[X] = ; σ[X] = ; 9.8. a = ; М[X] = 2; D[X] = ; σ[X] = ; Р{Х ≤ 3} = ; Р{2 <Х< 5} = ; Р{Х > 3,5} = ; 9.9. ; М[X] = 2; D[X] = 8; σ[X] = ; 9.10. а = 3; ; P{2 < X < 4} = ; Р{–2 < Х< 2} = ; 9.11. ; ; .
§10 Биномиальное распределение
10.1. 0,625; 10.2. M[X] = 2; D[X] = 1,9;
|
10.3. |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
p |
0,6561 |
0,2916 |
0,0486 |
0,0036 |
0,0001 |
M[X] = 0,4; D[X] = 0,36; [X] = 0,6; 10.4. D[X] = 0,495; 10.5. M[X] = 800; D[X] = 160; [X] = 12,65; 10.6. n = 144; p = 0,5;
10.7.
|
10.8 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
M[X] = 2,4; D[X] = 0,48; [X] = 0,693.
§11. Пуассоновское распределение
11.1. 0,375; 11.2. ; 11.3. =2; P{X > 0} = 1e2 0,865; 11.4. а) 0,135; б) 0,336; 11.5. а) 0,15; б) 0,575; 11.6. 0,135; 11.7. M[X] = 60; D[X] = 60; [X] = 7,75; 11.8. а) 0,225; б) 0,2; в) 0,575; г) 0,95; 11.9. 0,8.
§12. Равномерное распределение
12.1. M[X] = 5; D[X] = 3; [X] = 1,73; 12.2. 0,6; 2,5 мин.; 12.3. P{X > 0,02} = 0,3; P( > 0,02) = 0,6; 12.4. ; 12.5. а) 0,7; б) 0,25; 12.6. 0,4.
§13. Показательное распределение
13.1. а) M[T] = 0,2; D[T] = 0,04, [T] = 0,2; б) M[T] = 10; D[T] = 100, [T] = 10; 13.2. 0,117; 0,632; 13.3. а) 0.918; б) 0,471; 13.4. 0,135; 13.5. 0,233; 13.6. a) 0,029; б) 0,657; в)0,314; г)0,343; 13.7. ; 13.8. 0,865; 13.9. a) 0,950; б) 0,050.
§14. Нормальное распределение
14.1. а) M[Х] = –5; D[Х] = 9, [Х] = 3; б) M[Х] = 1; D[Х] = 16, [Х] = 4; 14.2. f4, 2 (x)=; P{1 X 5} = 0,6247; P{X 5} = 0,6915; 14.3. 0,2358; 14.4. = 10; 14.5. a = 8, = 5; 14.6. 0,9864; 14.7. 0,9876; 14.8. 0,31082 = 0,0966; 14.9. a) 1,24%; б) 13,58%; 14.10. 12 мм; 0,9544; 14.11. 0,00135; 14.12. 0,7588; 14.13. =4; 0,3085; 14.14. a) 0,8533; б) 0,9736; 14.15. 0,8533; 14.16. 0,9868.
§15. Теоремы группы ЦПТ
15.1. 0,8413; 15.2. 0,00087; 15.3. а) 0,0605; б) 0,8185; в) 0,0062; 15.4. 0,9708; 0,000011; 0,0720; 15.5. 0,9192; 15.6. 0,8413; 15.7. а) 0,0579; б) 0,0019; 15.8. а) 0,4887; б) 0,5; в) 0,5.
§16. Двумерные случайные величины
|
16.1 |
Х |
2 |
3 |
9 |
У |
0,2 |
0,8 |
|
|
P |
0,26 |
0,38 |
0,36 |
Р |
0,56 |
0,44 |
|
Х у = 0,2 |
2 |
3 |
9 |
У х = 3 |
0,2 |
0,8 |
|
|
Р |
0,321 |
0,393 |
0,286 |
Р |
0,579 |
0,421 |
16.2. M[Х] = 0,69; M[X2] = 0,867; D[Х] = 0,3909, [Х] = 0,6252; M[У] = 1,5; M[Y2] = 2,5; D[Y] = 0,25, [Y] = 0,5; M[XY] = 1,07; Kxy = 0,035; rxy = 0,11196;
16.3. M[Х] = 1,4; M[X2] = 2,38; D[Х] = 0,42, [Х] = 0,648; M[У] = 0,6; M[Y2]= 0,78; D[Y] = 0,42, [Y] = 0,648; M[XY] = 0,42; Kxy= –0,42; rxy= –1; зависимы;
|
X У |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0,49 |
|
1 |
0 |
0,42 |
0 |
|
2 |
0,09 |
0 |
0 |
16.4. f(x) = 2(1 – x) при 0 x 1; M[Х] = ; M[X2] = ; D[Х] = , [Х] = ; f(y) = 2(1 – y) при 0 y 1; M[У] = ; M[Y2] = ; D[Y] = , [Y] = ; M[XY] = ; Kxy = –; rxy = –; F(x;y) = 2(1 – x)(1 – y) при (х;у) D; 16.5. а = 4; f(x) = 2x при x[0;1], f(y) = 2y при y[0;1]; f(xy) = 4xy = 2x2y = f(x)f(y) X и Y независимы Kxy = rxy = 0, f(yx) = 2y, y[0;1], f(xy) = 2x, x[0;1],
16.6. f(x) = , x[–5;5]; M[Х] = 0; [Х] = 2,5; f(y) = , y[–5;5]; M[Y]=0, [Y]=2,5; M[XY]=0; Kxy= rxy=0; f(x)f(y) = = f(x; y) X и Y – зависимы;
16.7. f(xy) = ; 16.8. M[Х] = 0,17; M[X2] = 0,079; D[Х] = 0,0501, [Х] = 0,2238; M[У] = 1,45; M[Y2] = 2,275; D[Y] = 0,1725, [Y] = 0,4153; M[XY] = 0,28; Kxy = 0,0335; rxy = 0,3604; yx = 0,6687x + 1,3363; xy=0,1942y – 0,1116; 16.9. M[Х] = 0,5; M[X2] = 0,4; D[Х] = 0,15, [Х] = 0,3873; M[У] = 0,75; M[Y2] = 0,625; D[Y] = 0,0625, [Y] = 0,25; M[XY] = 0,375; Kxy = 0; 16.10. f(x) = 2x, x[0;1], f(y) = 0,5y, y[0;1] , f(xy)= xy = 2x0,5y = f(x)f(y) X и Y независимы Kxy = rxy=0, f(x;y) = 0,25x2y2, (x;y)D; 16.11. fx(x) = 0,5(sinx + cosx), x, fy(y) = 0,5(siny + cosy), y, M[Х] = M[Y] = ; M[X2] = M[Y2] = ; D[X] = D[Y] = ; [X] = [Y] 0,4332; M[XY] = ; Kxy = 0,0461; rxy –0,2455; x и y – зависимы; , (x,y)D; , (x,y)D; 16.12. f(x,y) = abе – (ах+bх) ; 16.13. M[Х] = 1,4; M[X2] = 2,15; D[Х] = 0,19, [Х] = 0,4359; M[У] = 0,7; M[Y2] = 1,1; D[Y] = 0,61, [Y] = 0,7810; M[XY] = 1; Kxy = 0,02; rxy = 0,0587; yx = 0,1053x + 0,5526; xy = 0,0328y + 1,3770 (или y = 30,5x–42).
§17. Функции случайных величин
|
17.1 |
Z |
–1 |
0 |
1 |
M[Z] = 0,1; M[Z2] = 0,5; D[Z] = 0,49, [Z] = 0,7; |
|
Pz |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
17.2. ; 17.3. ;
17.4. ; 17.5. ;
17.6. M[Х]= 0; D[X] = ; 17.7. M[Х] = 1,8; M[X2] = 4; D[Х] = 0,76; M[Y] = 1,6;
|
M[Y2] = 2,8; D[Y] = 0,24; |
Z |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
|
Pz |
0,3 |
0,12 |
0,38 |
0,08 |
0,12 |
M[Z] = –1,4; M[Z2] = 3,68; D[Z] = 1,72; 17.8. 910–4 D[Y] 3,610–3;
17.9. y = 0,025рад; 17.10. ВА = 2; D[ВА] = 0,08; [ВА] = 0,2828;
17.11. M[T] = 100 мм; D[Т] = 7,8; [T] = 2,7928; 17.12. max = 45; max = 0,015 рад; 17.13. f(z) = ; 17.14. M[Х] = 0; M[X2] = D[Х] = 6,4; M[Y] = 0,8;
|
M[Y2] = 1,4; D[Y] = 0,76; |
Z |
–8 |
–6 |
–4 |
–2 |
0 |
2 |
4 |
|
Pz |
0,06 |
0,04 |
0,28 |
0,12 |
0,36 |
0,04 |
0,1 |
M[Z] = –1,6; M[Z2] = 12; D[Z] = 9,44; 17.15. M[A] = 1см; {A} = 0,5см; 17.16.
17.17. M[R] = .
§18. Закон больших чисел
18.1. a) Р 0,75; б) P 0,4; 18.2. N 500; 18.3. а) P 0,5; б) Р 0,96;
18.4. Р 0,804; Р 0,9762; 18.5. n 4000; 18.6. Р 0,898; 18.7. Р 0,96;
18.8. Р 0,944; 18.9. 186 m 214; 18.10. = 4,5; 18.11. Р 0,6745; 18.12. Р 0,9676.
§19. Основы выборочного метода
19.1. 0,9575; 19.2. 0,6 0,027; 19.3. а) 0,25 0,06; б) 451; 19.4. а) 0,9999; б) 48; в) 0,24 0,078; 19.5. 3258; 19.6. а) 83,65 1,05; б) 54; 19.7. от 852 до 2348; 19.8. 0,6476; 19.9. 60 8,97%; 19.10. а) 67,2 0,54; б) 0,9051; в) 132.
§20. Элементы корреляционного анализа
20.1. а) yx = 0,406x + 6,98; xy = 1,535y + 3,60; б) yx(50) = 27,28; = 27,6; 20.2. a) yx = 0,591x +1,58; xy = 0,856y + 17,51; б) xy(35) = 47,47; 20.3. а) yx = 10,385x +3852,80; xy = 0,081y – 309,52; б) yx(16,6) = 4025,19; 20.4. ; ; r = –0,36; 20.5. yx = 3,36x + 20,08; 20.6. a) yx = –0,0226x + 89,384; xy = –34,88y + 3380,12; б) yx(1300) = 60,0%; 20.7. yx = 0,125x + 11; xy = 6,25y – 60; 20.9. xy = 0,8y + 1,2; 20.10. r = 0,93; ; .
Список рекомендуемой литературы
1. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей: Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1986г. – 80 с.
2. Виленкин Н.Я., Комбинаторика. – М.: Наука. Гл. ред. физмат литературы, 1969г. – 328 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : Учеб пособие для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1979г. – 400 с.
4. Гусакова Л.А., Фомин А.И. Вопросы и задачи для практических занятий по теме «Теория вероятностей» для студентов дневного отделения всех специальностей БИТМа – Брянск: БИТМ, 1979 г. – 42 с.
5. Гусаков В.И., Гусакова Л.А., Фомин А.И, Вопросы и задачи для практических занятий по теме «Теория вероятностей» для студентов дневного отделения всех специальностей БИТМа – Брянск: БИТМ, 1982г. – 42 с.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высш. шк.
7. Мысютин А.П., Цуленева Г.Г. Высшая математика. Элементы теории множеств, комбинаторики и математической логики. Методические указания и задачи для практических занятий. – Брянск; БГТУ, 1996г. – 18 с.
8. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, Гл. ред. физмат. литературы, 1970г. – 656 с.
9. Шахова Л.В., Федорова Э.К. Высшая математика. Руководство к решению технических задач по теории вероятностей для студентов дневного и вечернего отделений всех специальностей. – Брянск: БИТМ, 1990г. – 83 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица значений функции Лапласа
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,0000 |
0,0040 |
0,0080 |
0,0120 |
0,0160 |
0,0199 |
0,0239 |
0,0279 |
0,0319 |
0,0359 |
|
0,1 |
0,0398 |
0,0438 |
0,0478 |
0,0517 |
0,0557 |
0,0596 |
0,0636 |
0,0675 |
0,0714 |
0,0753 |
|
0,2 |
0,0793 |
0,0832 |
0,0871 |
0,0910 |
0,0948 |
0,0987 |
0,1026 |
0,1064 |
0,1103 |
0,1141 |
|
0,3 |
0,1179 |
0,1217 |
0,1255 |
0,1293 |
0,1331 |
0,1368 |
0,1406 |
0,1443 |
0,1480 |
0,1517 |
|
0,4 |
0,1554 |
0,1591 |
0,1628 |
0,1664 |
0,1700 |
0,1736 |
0,1772 |
0,1808 |
0,1844 |
0,1879 |
|
0,5 |
0,1915 |
0,1950 |
0,1985 |
0,2019 |
0,2054 |
0,2088 |
0,2123 |
0,2157 |
0,2190 |
0,2224 |
|
0,6 |
0,2257 |
0,2291 |
0,2324 |
0,2357 |
0,2389 |
0,2422 |
0,2454 |
0,2486 |
0,2517 |
0,2549 |
|
0,7 |
0,2580 |
0,2611 |
0,2642 |
0,2673 |
0,2704 |
0,2734 |
0,2764 |
0,2794 |
0,2823 |
0,2852 |
|
0,8 |
0,2881 |
0,2910 |
0,2939 |
0,2967 |
0,2995 |
0,3023 |
0,3051 |
0,3079 |
0,3106 |
0,3133 |
|
0,9 |
0,3159 |
0,3186 |
0,3212 |
0,3238 |
0,3264 |
0,3289 |
0,3315 |
0,3340 |
0,3365 |
0,3389 |
|
1,0 |
0,3413 |
0,3438 |
0,3461 |
0,3485 |
0,3508 |
0,3531 |
0,3554 |
0,3577 |
0,3599 |
0,3621 |
|
1,1 |
0,3643 |
0,3665 |
0,3686 |
0,3708 |
0,3729 |
0,3749 |
0,3770 |
0,3790 |
0,3810 |
0,3830 |
|
1,2 |
0,3849 |
0,3869 |
0,3888 |
0,3906 |
0,3925 |
0,3944 |
0,3962 |
0,3980 |
0,3997 |
0,4015 |
|
1,3 |
0,4032 |
0,4049 |
0,4066 |
0,4082 |
0,4099 |
0,4115 |
0,4131 |
0,4147 |
0,4162 |
0,4177 |
|
1,4 |
0,4192 |
0,4207 |
0,4222 |
0,4236 |
0,4251 |
0,4265 |
0,4279 |
0,4292 |
0,4306 |
0,4319 |
|
1,5 |
0,4332 |
0,4345 |
0,4357 |
0,4370 |
0,4382 |
0,4394 |
0,4406 |
0,4418 |
0,4429 |
0,4441 |
|
1,6 |
0,4452 |
0,4463 |
0,4474 |
0,4484 |
0,4495 |
0,4505 |
0,4515 |
0,4525 |
0,4535 |
0,4545 |
|
1,7 |
0,4554 |
0,4564 |
0,4573 |
0,4582 |
0,4591 |
0,4599 |
0,4608 |
0,4616 |
0,4625 |
0,4633 |
|
1,8 |
0,4641 |
0,4649 |
0,4656 |
0,4664 |
0,4671 |
0,4679 |
0,4686 |
0,4693 |
0,4699 |
0,4706 |
|
1,9 |
0,4713 |
0,4719 |
0,4726 |
0,4732 |
0,4738 |
0,4744 |
0,4750 |
0,4756 |
0,4761 |
0,4767 |
|
2,0 |
0,4772 |
0,4778 |
0,4783 |
0,4788 |
0,4793 |
0,4798 |
0,4803 |
0,4808 |
0,4812 |
0,4817 |
|
2,1 |
0,4821 |
0,4826 |
0,4830 |
0,4834 |
0,4838 |
0,4842 |
0,4846 |
0,4850 |
0,4854 |
0,4857 |
|
2,2 |
0,4861 |
0,4865 |
0,4868 |
0,4871 |
0,4875 |
0,4878 |
0,4881 |
0,4884 |
0,4887 |
0,4890 |
|
2,3 |
0,4893 |
0,4895 |
0,4898 |
0,4901 |
0,4903 |
0,4906 |
0,4908 |
0,4911 |
0,4913 |
0,4916 |
|
2,4 |
0,4918 |
0,4920 |
0,4922 |
0,4925 |
0,4927 |
0,4929 |
0,4931 |
0,4933 |
0,4934 |
0,4936 |
|
2,5 |
0,4938 |
0,4940 |
0,4941 |
0,4943 |
0,4945 |
0,4946 |
0,4948 |
0,4949 |
0,4951 |
0,4952 |
|
2,6 |
0,4953 |
0,4955 |
0,4956 |
0,4957 |
0,4958 |
0,4960 |
0,4961 |
0,4962 |
0,4963 |
0,4964 |
|
2,7 |
0,4965 |
0,4966 |
0,4967 |
0,4968 |
0,4969 |
0,4970 |
0,4971 |
0,4972 |
0,4973 |
0,4974 |
|
2,8 |
0,4975 |
0,4975 |
0,4976 |
0,4977 |
0,4977 |
0,4978 |
0,4979 |
0,4979 |
0,4980 |
0,4981 |
|
2,9 |
0,4981 |
0,4982 |
0,4982 |
0,4983 |
0,4983 |
0,4984 |
0,4985 |
0,4985 |
0,4986 |
0,4986 |
|
3,0 |
0,4987 |
0,4987 |
0,4987 |
0,4988 |
0,4988 |
0,4989 |
0,4989 |
0,4989 |
0,4990 |
0,4990 |
|
3,1 |
0,4990 |
0,4991 |
0,4991 |
0,4991 |
0,4991 |
0,4992 |
0,4992 |
0,4992 |
0,4992 |
0,4993 |
|
3,2 |
0,4993 |
0,4993 |
0,4994 |
0,4994 |
0,4994 |
0,4994 |
0,4995 |
0,4995 |
0,4995 |
0,4995 |
|
3,3 |
0,4995 |
0,4995 |
0,4995 |
0,4996 |
0,4996 |
0,4996 |
0,4996 |
0,4996 |
0,4996 |
0,4996 |
|
3,4 |
0,4996 |
0,4997 |
0,4997 |
0,4997 |
0,4997 |
0,4997 |
0,4997 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
|
3,5 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
|
3,6 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4998 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
|
3,7 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
|
3,8 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,4999 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
|
3,9 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
Приложение 2
Таблица значений функции
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
0,3986 |
0,3984 |
0,3982 |
0,3980 |
0,3977 |
0,3973 |
|
0,1 |
0,3970 |
0,3965 |
0,3961 |
0,3956 |
0,3951 |
0,3945 |
0,3939 |
0,3932 |
0,3925 |
0,3918 |
|
0,2 |
0,3910 |
0,3902 |
0,3894 |
0,3885 |
0,3876 |
0,3867 |
0,3857 |
0,3847 |
0,3836 |
0,3825 |
|
0,3 |
0,3814 |
0,3802 |
0,3790 |
0,3778 |
0,3765 |
0,3752 |
0,3739 |
0,3725 |
0,3712 |
0,3697 |
|
0,4 |
0,3683 |
0,3668 |
0,3653 |
0,3637 |
0,3621 |
0,3605 |
0,3589 |
0,3572 |
0,3555 |
0,3538 |
|
0,5 |
0,3521 |
0,3503 |
0,3485 |
0,3467 |
0,3448 |
0,3429 |
0,3410 |
0,3391 |
0,3372 |
0,3352 |
|
0,6 |
0,3332 |
0,3312 |
0,3292 |
0,3271 |
0,3251 |
0,3230 |
0,3209 |
0,3187 |
0,3166 |
0,3144 |
|
0,7 |
0,3123 |
0,3101 |
0,3079 |
0,3056 |
0,3034 |
0,3011 |
0,2989 |
0,2966 |
0,2943 |
0,2920 |
|
0,8 |
0,2897 |
0,2874 |
0,2850 |
0,2827 |
0,2803 |
0,2780 |
0,2756 |
0,2732 |
0,2709 |
0,2685 |
|
0,9 |
0,2661 |
0,2637 |
0,2613 |
0,2589 |
0,2565 |
0,2541 |
0,2516 |
0,2492 |
0,2468 |
0,2444 |
|
1,0 |
0,2420 |
0,2396 |
0,2371 |
0,2347 |
0,2323 |
0,2299 |
0,2275 |
0,2251 |
0,2227 |
0,2203 |
|
1,1 |
0,2179 |
0,2155 |
0,2131 |
0,2107 |
0,2083 |
0,2059 |
0,2036 |
0,2012 |
0,1989 |
0,1965 |
|
1,2 |
0,1942 |
0,1919 |
0,1895 |
0,1872 |
0,1849 |
0,1826 |
0,1804 |
0,1781 |
0,1758 |
0,1736 |
|
1,3 |
0,1714 |
0,1691 |
0,1669 |
0,1647 |
0,1626 |
0,1604 |
0,1582 |
0,1561 |
0,1539 |
0,1518 |
|
1,4 |
0,1497 |
0,1476 |
0,1456 |
0,1435 |
0,1415 |
0,1394 |
0,1374 |
0,1354 |
0,1334 |
0,1315 |
|
1,5 |
0,1295 |
0,1276 |
0,1257 |
0,1238 |
0,1219 |
0,1200 |
0,1182 |
0,1163 |
0,1145 |
0,1127 |
|
1,6 |
0,1109 |
0,1092 |
0,1074 |
0,1057 |
0,1040 |
0,1023 |
0,1006 |
0,0989 |
0,0973 |
0,0957 |
|
1,7 |
0,0940 |
0,0925 |
0,0909 |
0,0893 |
0,0878 |
0,0863 |
0,0848 |
0,0833 |
0,0818 |
0,0804 |
|
1,8 |
0,0790 |
0,0775 |
0,0761 |
0,0748 |
0,0734 |
0,0721 |
0,0707 |
0,0694 |
0,0681 |
0,0669 |
|
1,9 |
0,0656 |
0,0644 |
0,0632 |
0,0620 |
0,0608 |
0,0596 |
0,0584 |
0,0573 |
0,0562 |
0,0551 |
|
2,0 |
0,0540 |
0,0529 |
0,0519 |
0,0508 |
0,0498 |
0,0488 |
0,0478 |
0,0468 |
0,0459 |
0,0449 |
|
2,1 |
0,0440 |
0,0431 |
0,0422 |
0,0413 |
0,0404 |
0,0396 |
0,0387 |
0,0379 |
0,0371 |
0,0363 |
|
2,2 |
0,0355 |
0,0347 |
0,0339 |
0,0332 |
0,0325 |
0,0317 |
0,0310 |
0,0303 |
0,0297 |
0,0290 |
|
2,3 |
0,0283 |
0,0277 |
0,0270 |
0,0264 |
0,0258 |
0,0252 |
0,0246 |
0,0241 |
0,0235 |
0,0229 |
|
2,4 |
0,0224 |
0,0219 |
0,0213 |
0,0208 |
0,0203 |
0,0198 |
0,0194 |
0,0189 |
0,0184 |
0,0180 |
|
2,5 |
0,0175 |
0,0171 |
0,0167 |
0,0163 |
0,0158 |
0,0154 |
0,0151 |
0,0147 |
0,0143 |
0,0139 |
|
2,6 |
0,0136 |
0,0132 |
0,0129 |
0,0126 |
0,0122 |
0,0119 |
0,0116 |
0,0113 |
0,0110 |
0,0107 |
|
2,7 |
0,0104 |
0,0101 |
0,0099 |
0,0096 |
0,0093 |
0,0091 |
0,0088 |
0,0086 |
0,0084 |
0,0081 |
|
2,8 |
0,0079 |
0,0077 |
0,0075 |
0,0073 |
0,0071 |
0,0069 |
0,0067 |
0,0065 |
0,0063 |
0,0061 |
|
2,9 |
0,0060 |
0,0058 |
0,0056 |
0,0055 |
0,0053 |
0,0051 |
0,0050 |
0,0048 |
0,0047 |
0,0046 |
|
3,0 |
0,0044 |
0,0043 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0039 |
0,0038 |
0,0037 |
0,0036 |
0,0035 |
0,0034 |
|
3,1 |
0,0033 |
0,0032 |
0,0031 |
0,0030 |
0,0029 |
0,0028 |
0,0027 |
0,0026 |
0,0025 |
0,0025 |
|
3,2 |
0,0024 |
0,0023 |
0,0022 |
0,0022 |
0,0021 |
0,0020 |
0,0020 |
0,0019 |
0,0018 |
0,0018 |
|
3,3 |
0,0017 |
0,0017 |
0,0016 |
0,0016 |
0,0015 |
0,0015 |
0,0014 |
0,0014 |
0,0013 |
0,0013 |
|
3,4 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0011 |
0,0011 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0009 |
0,0009 |
|
3,5 |
0,0009 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0006 |
|
3,6 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0004 |
|
3,7 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
|
3,8 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
|
3,9 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0001 |
0,0001 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
|
Предисловие .................................................................................................... |
3 |
|
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ................................................................................... |
4 |
|
§1. Элементы комбинаторики .......................................................................... |
4 |
|
§2. Классическое и статистическое определение вероятности .................... |
6 |
|
§3. Операции над событиями ........................................................................... |
8 |
|
§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей ...................................... |
9 |
|
§5. Формулы полной вероятности и Бейеса ................................................... |
11 |
|
§6. Формула Бернулли ...................................................................................... |
13 |
|
§7. Элементы теории структурной надёжности.............................................. |
14 |
|
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ................................................................................ |
17 |
|
§8. Дискретные случайные величины ............................................................. |
17 |
|
§9. Непрерывные случайные величины .......................................................... |
19 |
|
§10. Биномиальное распределение .................................................................. |
21 |
|
§11. Распределение Пуассона. Простейший поток событий ........................ |
22 |
|
§12. Равномерное распределение .................................................................... |
24 |
|
§13. Показательное распределение ................................................................. |
25 |
|
§14. Нормальное распределение ...................................................................... |
26 |
|
§15. Теоремы группы ЦПТ .............................................................................. |
29 |
|
§16. Двумерные случайные величины............................................................. |
30 |
|
§17. Функции случайных величин .................................................................. |
35 |
|
§18. Закон больших чисел ................................................................................ |
39 |
|
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА .............................................................. |
42 |
|
§19. Основы выборочного метода ................................................................... |
42 |
|
§20. Элементы корреляционного анализа ...................................................... |
45 |
|
ОТВЕТЫ ................................................................................................................. |
49 |
|
Список рекомендуемой литературы ............................................... |
56 |
|
ПРИЛОЖЕНИЯ ..................................................................................................... |
57 |