Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Теорию вероятности можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятности широко применяются при математической обработке информации.
Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам, как «случайность», «событие», «вероятность», «правдоподобный» и т.п., позволяет оценить шансы на появление различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте.
Надо отдавать себе отчет в том, что, как всякая модель, и вероятностная модель тоже, является некоторой идеализацией описываемого эксперимента – она не предназначена для воспроизведения всех деталей, а воплощает лишь основные черты явления. В частности при подбрасывании монеты мы предполагаем что, результатом эксперимента не может быть пропажа монеты или приземление ее на ребро. Кроме того, чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не имеет смысла.
К основным понятиям теории вероятностей относятся испытание (опыт), событие, вероятность.
Определение. Под «испытанием» или «опытом» будем понимать любой процесс, происходящий вокруг нас.
Определение. Результаты испытаний, опытов, наблюдений называют событиями.
Пример. Экзамен – испытание; студент получил “отлично” – событие; планета “Земля” вращается вокруг своей оси – испытание, смена дня и ночи – событие; подбрасывание игральной кости – испытание, выпадение четного числа очков – событие.
Различают события трех видов:
а) достоверные, которые в результате испытаний всегда наступают;
б) невозможные, которые никогда не могут произойти;
с) случайные, результаты которых не прогнозируются единственным образом.
Например, падение подброшенной монеты на землю – событие достоверное, а ее неограниченное удаление от земли – невозможное событие. Падение монеты на определенную сторону (цифрой вверх или вниз) – событие случайное.
Условимся обозначать достоверное событие – U, невозможное – V, случайные – A,B,C,…
Событие называют элементарным, или исходом, если оно “неразложимо” в данном опыте, т.е. в изучаемой ситуации нет необходимости рассматривать его состоящим из более простых событий. Например, при бросании монеты элементарным исходом будет выпадение орла или решки, при бросании шестигранного кубика – выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
Множество всех элементарных событий (исходов), связанных с данным опытом, называют пространством элементарных событий, которое отождествляется с достоверным событием. Для приведенного выше примера про бросание монеты пространством элементарных событий будет множество = {орел, решка}, оно тождественно достоверному событию, так как в результате бросания монеты обязательно наступит событие, входящее в это множество. Соответственно в примере про бросание кубика, множеством элементарных событий будет множество очков, выпадающих на верхней грани = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, при однократном бросании мы увидим на верхней грани один из элементов этого множества, то есть множество элементарных исходов тождественно достоверному событию.
Определение. Два события называются совместимыми (совместными), если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А – появление трех очков, событие В – появление нечетного числа очков. События А и В совместимые.
Определение. Два события называются несовместимыми (несовместными), если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А – выпадение герба, событие В – выпадение цифры. События А и В несовместимые, так как появление одного из них исключает появление другого.
Испытание: однократное бросание кубика. Событие А – выпадение четного числа очков, событие В – выпадение нечетного числа очков. События А и В несовместные, так как появление одного из них исключает появление другого.
Определение. Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию А, обозначают через не-А.( А, А’)
Пример. Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение орла, событие В — выпадение решки. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А=не-В или не-А=В.
Пусть проведена серия из n испытаний при одних и тех же условиях; при этом фиксируется появление события А.
Допустим, что событие А произошло m раз. Число m называют частотой наступления события А. Ясно, что .
Относительной частотой события называют отношение − числа испытаний, в которых событие появилось, к числу всех проведенных испытаний.
Обозначение относительной частоты: . (6.1)
Если проводить серии опытов с большим числом испытаний при одинаковых условиях, то во многих случаях относительная частота наблюдаемого события будет мало меняться от серии к серии. Этот факт проверен многократно в различных экспериментах.
Определение.(статистической вероятности). Число, около которого группируются относительные частоты при увеличении числа испытаний, называют вероятностью рассматриваемого события А и обозначают P(A).
Основной недостаток статистического определения вероятности состоит в необходимости проведения большого числа опытов. Стоит заметить, что именно благодаря большому количеству опытов мы получаем наиболее близкое к реальному значение вероятности. Это экспериментальное определение значения вероятности и поэтому оно соответствует вероятности реального события с максимальной точностью, позволяет прогнозировать вероятность события для конкретного опыта.
Пример. В некотором районе зарегистрировано рождение с начала года 1248 младенцев, из них 645 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчика в данном районе?
Решение: За вероятность принимаем относительную частоту рождения мальчиков. W = 645/1248 ≈ 0,517
Пример. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:
Таблица 6.1
Цвет волос жителей города
|
Цвет волос |
Брюнеты |
Шатены |
Рыжие |
Блондины |
Всего |
|
Число людей |
198 |
372 |
83 |
212 |
865 |
Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: а) шатеном; б) рыжим; в) не блондином.
a) m = 372, n = 865, P(A) = m/n=372/865 0,430;
б) m = 83, n = 865, P(A) = 83/865 0,096;
в) m = 865-212 = 653, n = 865, P(A) = 653/865 0,755
Пример. По статистике в городе N за год из каждой 1000 автомобилистов семь попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?
Решение. m = 7, n = 1000, P(A) = 7/1000 = 0,007 (вероятность попасть в аварию в течение года), отсюда вероятность проездить без аварий 1 – 0,007 = 0,993.
Наступление каждого события зависит от многих факторов, заранее учесть которые обычно невозможно. Однако в случае совокупности однородных (массовых) событий можно обнаружить закономерности, позволяющие предсказать, насколько достоверно наступление того или иного события, т.е. насколько это событие вероятно.
Понятие вероятности вводится для того, чтобы выражать на языке чисел степень возможности наступления тех или иных событий.
За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:
0≤Р(А)≤1. (6.2)
Определение. События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Примеры. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события равновозможные. Примером не равновозможного события может служить результат двукратного подбрасывания монеты: (1) выпадение двух орлов, (2) выпадение двух решек, (3) выпадение одного орла и одной решки. Равновозможными будут упорядоченные результаты двух подбрасываний монеты: (1) орел, орел; (2) орел, решка; (3) решка, орел; (4) решка, решка.
Определение. События А, В, С, …, К называются единственно возможными, если в результате опыта (испытания) одно из них обязательно наступит. То есть появление одного из них в результате опыта является достоверным событием. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий.
Пример. Подбрасывание монеты: события А (выпадение орла) и В (выпадение решки) образуют полную группу событий и являются единственно возможными.
Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А1, А2, А3, …, Аn (элементарные исходы опыта), которые являются: 1) единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит; 2) несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных; 3)равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.
Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k≤n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.
Определение. (Классическое определение вероятности). Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны. Обозначают:
Р(А)=k/n (6.3)
(от латинского слова probabilitas – вероятность).
При использовании данной формулы нахождение вероятности сводится к нахождению числа всех возможных событий в данном опыте и числа событий благоприятствующих событию А. Получаем теоретическое предположение о вероятности события.
Пример. Набирая номер телефона, вы забыли последнюю цифру и набрали ее наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная цифра?
Решение: Ясно, что число всех элементарных исходов n=10. Все они равновозможны, несовместны и единственно возможны. Поэтому можно применить классическое определение вероятности. Число благоприятствующих исходов k=1. Поэтому Р(А)=1/10.
Пример. Из слова “математика” выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»?
Решение: Пусть событие А – состоит в случайном выборе из данного
слова буквы «м», тогда, т.к. n=10 и k=2, то Р(А)=2/10=1/5.
Пример. В ящике 5 черных, 7 красных, 8 белых шаров одного материала, размера, степени и способа обработки, температуры. Наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что он красный.
Решение. Любой красный шар из семи есть благоприятствующий исход событию А – взят красный шар. Всего же исходов 5+7+8=20. Применимо классическое определение: .
Пример. Из 13 книг, среди которых 8 справочников, отобрано 9 книг. Найти вероятность того, что среди отобранных книг – 5 справочников (событие А).
Решение. Будем считать исходами любые группы из 13 книг по 9. Таких групп конечное число и вероятность отбора любой из них одинакова. Применимо классическое определение вероятности.
Отбираемые группы отличаются хотя бы одной книгой (элементом), причем порядок книг в группах безразличен. Число таких групп равно числу сочетаний из 13 элементов по 9, т.е.
, где
Благоприятные исходы – это те группы, в которых по 5 справочников. Чтобы найти их число, выделим среди книг справочники: 13=8+5. Число различных групп, составленных из 8 справочников по 5, равно , а из оставшихся 5 книг по 4 книги − . Объединяя (комбинируя) эти группы различными способами, получим благоприятные исходы. Их число .
По классическому определению,
.
Практический смысл полученного результата: если из 13 книг отбирать многократно по 9, то в среднем 4 раза из 10 (в 40% случаях) отобранная группа книг будет содержать 5 справочников.
Пример. В студенческой группе 20 человек, среди которых 5 отличников. Деканат случайным образом отобрал от группы для участия в конференции трудового коллектива 3 человек. Какова вероятность, что среди них окажется 2 отличника, которые сорвут план двоечников голосовать за удаление из учебной программы факультета дисциплины «Математика»?
Решение: N = 20 (общее количество студентов в группе), m = 5 (количество отличников), n = 3 (количество отобранных на конференцию), k = 2 (количество отличников среди отобранных).
Тогда искомая вероятность:
Пример. В библиотеке имеется 5 методичек выпуска 2009 года и 9 методичек по той же теме выпуска 2011 года. Библиотекарь выдает на группу 6 методичек. Какова вероятность того, что первой пришедшей группе будет выдано 5 методичек выпуска 2011 года, если библиотекарь берет методички произвольно?
Решение: Пусть A – искомое событие. Согласно классической формуле вероятность искомого события равна:
, где m – количество благоприятных исходов; n – количество благоприятных исходов.
Имеем неупорядоченную выборку (порядок выбора методичек не имеет значения) без повторений (одну и ту же методичку нельзя взять два раза). Следовательно, имеем:
Отсюда вероятность того, что первой пришедшей группе будет выдано 5 методичек выпуска 2011 года равна:
Свойства вероятностей
1) , т.к. , а .
2) , т.к. .
3) , т.к. .
4) , т.к. .
Если число равновозможных исходов бесконечно, и они целиком заполняют некоторую область, то используют геометрическое определение вероятности.
Рис. 6.1. К геометрическому определению вероятности
Пусть каждый результат испытаний определяется случайным положением точки в некоторой области, мера которой G (рис.6.1). Под мерой области будем понимать длину, площадь, объем. Если − мера той области, попадание в которую благоприятствует событию А, то .
Геометрическое определение: вероятность события А есть отношение мер областей (попадание в которую благоприятствует событию А) и (попадание в которую равновероятно, равно возможно и единственно возможно при данном опыте или испытании).
Пример. На отрезке наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам:
Решение. Нам известно, что и . Для их изображения воспользуемся системой координат. Точки с координатами заполнят квадрат со стороной, равной ед. Решим графически систему неравенств: , .
Рис. 6.2. Графическое решение системы неравенств
Применим геометрическое определение вероятности, причем в качестве меры областей выступает площадь.
Пример. Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попадания в отрезок [0,5; 1,4]?
Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок G = [0; 2], а множество благоприятствующих исходов G0 = [0,5; 1,4], при этом длины этих отрезков равны G=2 и G0=0,9 соответственно. Поэтому P(A)=G0/G=0,9/2=0,45
Пример. Два студента условились встретиться в около столовой между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего идет обедать один. Чему равна вероятность встречи двух студентов, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
Решение. Обозначим момент прихода студента 1 через х и студента 2 – через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы ôх-уô£20. Изобразим х и у как координаты на плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы представляются точками квадрата со стороной 60, а благоприятствующие встрече располагаются в заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (рис.6.3) к площади всего квадрата: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.
Рис. 6.3. Графическое решение примера
Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.
Определение. Суммой или объединением событий А и В называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение суммы:
А+В или А В.
Пример. Если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В – попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А+В.
Если ответ на первый вопрос из билета на экзамене есть событие А, а В – ответ на второй теоретический вопрос, то ответ на хотя бы один вопрос билета из двух есть сумма данных событий А+В.
Теорема (сложения вероятностей) Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.
Как сказано выше, событие называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не происходит. Противоположные события всегда несовместны и в сумме дают достоверное событие. Вероятность достоверного события равна единице. Легко видеть, что
Р(А+)=Р(А)+Р()=1
Пример. В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 – денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.
Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В – денежный. Тогда А+В – купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему 1 для вычисления искомой вероятности:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=20/1000+10/1000=30/1000= 0,03.
Пример. В лотерее 1000 билетов. На 40 из них падает выигрыш. Найти вероятность покупки невыигрышного билета.
Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет выигрыш, тогда событие не выпадает выигрыш. События А и несовместны и противоположны, поэтому можно применить теорему 1 для вычисления искомой вероятности:
Р(А+)=Р(А)+Р()=1; Р() = 1 - Р(А); Р(А) = 40/1000 = 0,004;
Р() = 1 – 0,004 = 0,996
Теорема сложения вероятностей для совместных событий будет рассмотрена ниже.
Определение. Произведением или пересечением событий А и В называют событие, состоящее в одновременном наступлении событий и А, и В. Обозначение произведения: АВ или А В.
Пример. Двукратное попадание в цель есть произведение двух событий. Ответ на оба вопроса билета на экзамене есть произведение двух событий.
События А и В называют несовместными, если их произведение – событие невозможное, т.е. АВ = V.
События А – выпадение герба и В – выпадение цифры при однократном бросании монеты наступить одновременно не могут, их произведение событие невозможное, события А и В несовместные.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию.
Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация произведения(а) и суммы(б) двух совместных событий
Пусть событие А – множество точек области А; событие В – множество точек области В. Заштрихованная область соответствует событию АВ на рис.6.4,а; событию на рис.6.4,б.
Для несовместных событий А и В имеем: АВ=V (рис.6.5,а). Событию А+В соответствует заштрихованная область на рис.6.5,б.
Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация произведения(а) и суммы(б) двух несовместных событий
События и называют противоположными, если они несовместны и в сумме составляют достоверное событие, т.е.
;
Например, произведем один выстрел по цели: событие – стрелок попал в цель, не попал; подброшена монета: событие – выпадение орла, − выпадение цифры; школьники пишут контрольную работу: событие – ни одной ошибки в контрольной работе, − есть ошибки в контрольной работе; студент пришел сдавать зачет: событие А − сдал зачет, − не сдал зачет.
В классе есть мальчики и девочки, отличники, хорошисты и троечники, изучающие английский и немецкий язык. Пусть событие M – мальчик, О – отличник, А – изучающий английский язык. Может ли случайно вышедший из класса ученик быть и мальчиком, и отличником, и изучающим английский язык? Это и будет произведение или пересечение событий МОА.
Пример. Бросают игральный кубик – куб, сделанный из однородного материала, грани которого занумерованы. Наблюдают за числом (числом очков), выпадающим на верхней грани. Пусть событие А – появление нечетного числа, событие В – появление числа, кратного трем. Найти исходы, составляющие каждое из событий: U, А, А+В, АВ и указать их смысл.
Решение. Исход – появление на верхней грани любого из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Множество всех исходов составляет пространство элементарных событий Ясно, что событие , событие
Событие − появление либо нечетного числа, либо числа, кратного трем. При перечислении исходов учтено, что каждый исход в множестве может содержаться только один раз.
Событие − появление и нечетного числа и числа, кратного трем.
Пример. Проверено домашнее задание у трех студентов. Пусть событие − выполнение задания -м студентом, Каков смысл событий: и ?
Решение. Событие − выполнение задания хотя бы одним студентом, т.е. или любым одним студентом (или первым, или вторым, или третьим), или любыми двумя, или всеми тремя.
Событие − задание не выполнено ни одним студентом: ни первым, ни вторым, ни третьим. Событие − выполнение задания тремя студентами: и первым, и вторым, и третьим.
При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.
Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называется зависимым от события В. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого, зависимыми – в противном случае. События называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы друг от друга.
Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А·В)=Р(А)·Р(В)
Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.
Пример. Студент сдает три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго 0,65, третьего – 0,35. Найти вероятность того, что он не сдаст хотя бы один экзамен.
Решение: Обозначим А – событие студент не сдал хотя бы один экзамен. Тогда Р(А) = 1- Р(А), где А – противоположное событие студент сдал все экзамены. Поскольку сдача каждого экзамена не зависит от других экзаменов, то Р(А)=1-Р(А)= 1- 0,9*0,65*0,35=0,7953.
Определение. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А при условии появления В и обозначается РВ(А) или Р(А/В).
Теорема Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:
Р(А·В)=Р(А)·РА(В)=Р(В)·РВ(А).(*)
Пример. Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?
Решение: Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда А·В – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):
Р(А·В) = Р(А)·РА(В) = (4/34)*(30/33)= 20/187
Заметим, что полученная в решении вероятность ≈0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!
Теорема. (Расширенная теорема сложения) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения):
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В).
Пример. Два студента решают задачу. Вероятность того, что первый студент решит задачу (событие А), равна 0,9; вероятность того, что второй студент решит задачу (событие В), равна 0,8. Какова вероятность того, что задача будет решена?
Решение. Нас интересует событие С, которое состоит в том, что задача будет решена, т.е. первым, или вторым студентом, или двумя студентами одновременно. Таким образом, интересующее нас событие С=А+В. События А и В совместны, значит применима теорема сложения вероятностей для случая совместных событий: . Для нашего случая (события А и В совместны, но независимы).
Пример Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность ответить на три вопроса, предложенных из 25?
Решение. Введем событие − студент знает ответ на -й предложенный вопрос, События зависимые. Поэтому
При отыскании вероятностей событий использовалось классическое определение вероятности.
Систему событий называют полной группой событий, если выполняются условия: 1) ; 2) при . Это значит, что события полной группы попарно несовместны и в результате каждого испытания должно обязательно появляться одно из событий . Обозначим P(Ai)=pi, тогда
Другой пример. Проводится опыт, состоящий в бросании игральной кости. Пусть ─ событие, заключающееся в выпадении очков на верхней грани этой кости, тогда события − попарно несовместны ( при ) и в результате опыта обязательно должно появиться одно из событий (). Значит, события составляют полную группу событий, чего нельзя сказать о событиях − появление герба на первой монете и − появление цифры на второй монете в опыте, состоящем в одновременном подбрасывании двух монет (этому мешает хотя бы совместность событий и ).
Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.
Пусть некоторое событие А происходит только с каким-нибудь одним из событий Н1, Н2, Н3, …, Нn, которые образуют полную группу событий и называются гипотезами. В этом случае событие А можно представить в виде: А=АН1 + АН2 + АН3 + … +АНn. Отсюда, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что гипотезы попарно несовместны, получим:
(**)
которая называется формулой полной вероятности. Используя формулы (*) и (**), можно получить формулу Байеса (формулу вероятности гипотез):
События полной группы H1, H2, …Hn обычно называют гипотезами. Их вероятности были известны до проведения опыта.
Пример. В районе имеется три кинотеатра. Вероятность того, что Света пойдет в первый кинотеатр, равна 0,5; во второй – 0,3; в третий – 0,2. Вероятность встретить Ирину в одном из этих кинотеатров равна соответственно 0,7; 0,5 и 0,3. Света пошла в кино. Найти вероятность того, что она встретит Ирину.
Решение: Обозначим А – событие, состоящее в том, что Света встретит Ирину в кинотеатре; Н1 – встреча состоялась в первом кинотеатре, Н2 -во втором, Н3 – в третьем. Из условия задачи известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2, а также , , . По формуле полной вероятности имеем:
Р(А) = 0,50,7 + 0,30,5 + 0,20,3 = 0,56 .
Пример. Данные из предыдущего примера. Известно, что Света встретила Ирину в одном из кинотеатров. Найти вероятность того, что встреча состоялась в первом кинотеатре.
Решение: Используя полученные выше результаты, по формуле Байеса находим:
Пример. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
Решение. Обозначим через гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи
, , .
Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи
, , .
По формуле полной вероятности получаем:
.
Пример. Данные из предыдущего примера. Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т.е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?
Решение. Вероятность получить «неуд» равна . Требуется вычислить условные вероятности. По формулам Байеса получаем:
, и аналогично,
,
.
Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.
Пример. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой группе из 30 студентов 8 выполнили работу на «отлично», во второй, где 28 студентов, – 6 «отличных» работ, в третьей, где 27 студентов, – 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая выбранная наудачу работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется «отличной».
Решение: Имеем три гипотезы: H1 – выбрана работа из 1-й группы, H2 – выбрана работа из 1-й группы, H3 – выбрана работа из 1-й группы. Очевидно, что
Обозначим искомое событие A – выбрана работа, выполненная на «отлично». Определим по классической формуле условные вероятности:
Отсюда по формуле полной вероятности
Пример. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 студента подготовлены отлично, 4 - хорошо, 2 - удовлетворительно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, удовлетворительно подготовленный - на 10, плохо подготовленный - на 5. Вызванный наугад студент ответил на все три заданных преподавателем вопроса. Найти вероятность того, что этот студент: а) подготовлен отлично; б) подготовлен плохо.
Решение. Пусть событие А={студент ответил все три вопроса}. Введем систему гипотез:
H1={студент подготовлен отлично};
H2 ={студент подготовлен хорошо};
H3={студент подготовлен удовлетворительно};
H4 ={студент подготовлен плохо}.
Находим вероятности гипотез:
P(H1) = 0,3; P(H2) = 0,4; P(H3) = 0,2; P(H4) = 0,1.
Находим условные вероятности события А.
По формуле Байеса находим:
Ответ: 0,58; 0,002.
Одним из самых наглядных способов решения задач по теории вероятности служит применение размеченных графов или деревьев вероятности.
Размеченный граф вероятностей рисуют (как правило) слева направо. Опыты [испытания] обозначаются в виде жирных точек или в виде прямоугольников, а каждый исход – сплошной линией (ветвью), идущей от соответствующей точки или прямоугольника. Около каждой ветви указывается вероятность соответствующего исхода. Сумма вероятностей на ветвях, выходящих из одного прямоугольника, равна единице. Двигаясь по ветвям и перемножая соответствующие вероятности, в конце пути мы получаем вероятность сложного события. Сложив нужные вероятности, найдем вероятность искомого события.
Имеется две основные разновидности графов: неориентированные и ориентированные. Неориентированный граф – совокупность точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из них отрезками (ребрами графа; ветвями). Ориентированный граф – это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками). В этой работе мы будем пользоваться только ориентированными графами.
Правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу
1) вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута (рис.6.6, жирный маршрут);
Рис. 6.6. Вероятность попадания в одну конечную вершину
2) если же нас интересует вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются (рис.6.7, жирные маршруты).
Рис. 6.7. Вероятность попадания в несколько вершин
Пример. В каждой из трех групп по 25 студентов. Число студентов группы, сдавших экзамен по математике, равно 22, 20 и 18 соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный студент сдал экзамен по математике?
Решение: Построим размеченный вероятностный граф (рис.6.8):
Рис. 6.8. Вероятность сдачи экзамена студентами разных групп
Обозначим через A событие, заключающееся в том, что случайно выбранный студент сдал экзамен. Этому событию на графе благоприятствуют три маршрута. Поэтому
Пример. Студент пришел на экзамен, зная 25 из 30 билетов. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если после отказа отвечать на билет ему предоставляется возможность вытянуть еще один?
Решение: Построим размеченный вероятностный граф (рис.6.9):
Рис. 6.9. Вероятность сдачи экзамена студентом
Обозначим через A событие, состоящее в том, что студент сдал экзамен. На графе вероятностей этому событию благоприятствуют два маршрута. Следовательно,
Пример. В первой урне находятся 7 белых и 9 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение: Построим размеченный вероятностный граф (рис.6.10):
Рис. 6.10. Вероятность вынуть белый шар
Пусть событие A - извлеченный из второй урны шар оказался белым. Этому событию на графе благоприятствуют четыре маршрута. Поэтому
Страница 28 из 28 Глотова М.Ю., Самохвалова Е.А.