Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Пусть f(x) (n+1) раз дифференцируема в окрестности т. х0 . В этом случае верна формула Тейлора:
− остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
При х0 = 0 имеем формулу Маклорена:
Если функция f (x) бесконечно дифференцируема, то формально мы можем написать степенные ряды (с центром в произвольной т. х0 или нуле): − ряд Тейлора или
− ряд Маклорена и найти их радиус сходимости. Естественно ожидать,
что внутри интервала сходимости ряды будут сходится к своей производящей функции f (x).
В этом случае говорят, что функция f (x) может быть разложена в ряд Тейлора (Маклорена) в
некотором интервале сходимости.
Теорема 1 (необходимое условие разложимости функции в степенной ряд). Если функция раскладывается в степенной ряд (Тейлора), то она имеет непрерывные производные всех порядков внутри интервала сходимости.
{Степенной ряд можно почленно дифференцировать произвольное число раз. При этом непосредственной подстановкой получаем:
Таким образом, разложение функции в степенной ряд является рядом Тейлора этой функции,
в коэффициенты которого входят производные всех порядков}
Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.
Замечание. Условие не является достаточным:
функция имеет все производные в нуле равными нулю:
Остальные производные вычисляются аналогично. Ряд Маклорена имеет вид: 0 + 0х +0х2 + … = 0 ≠
Теорема 2 (необходимое и достаточное условие разложимости). Бесконечно дифференцируемая
на интервале сходимости функция раскладывается в ряд Тейлора тогда и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора
{ По формуле Тейлора:
}
Следствие. Для разложимости в степенной ряд бесконечно дифференцируемой на интервале сходимости функции достаточно, чтобы все ее производные были ограничены одним числом.
{ }
Основные разложения в ряд Тейлора
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) x [-1, 1]