Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Определение производной. Геометрический смысл. 1) Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел при Δx->0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что предел существует). 2) Тангенс угла наклона касательной равен f '(x0), где х0 - точка касания. |
Уравнение касательной. y=f(x0)+f '(x0)(x-x0) |
Определение нормали. Уравнение нормали. Нормалью к кривой y=f(x) в точке x0 называется прямая, проходящая через точку M0(x0;f(x0)) перпендикулярно касательной. y=f(x0)-1/f '(x0)*(x-x0),если f '(x0) ≠ 0; если f '(x0)=0, то x=x0. |
|
Теорема о производной сложной функции. Если функция х=φ(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке х0= φ(t0), то сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t0 и справедлива формула: y '(t0)=f '(x0)φ '(t0). |
Теорема о производной обратной функции. Если функция y=f(x) имеет в точке х0 производную f '(x0) ≠ 0, то обратная функция х=φ(y) также имеет в соответствующей точке y0=f(x0) производную, причем: Φ '(y0) = 1/f '(x0). |
Дифференциал функции. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 называется главная, линейная относительно Δx, часть приращения функции в этой точке: dy=f '(x0)Δx. |
|
Условия монотонности функции. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и f '(x) ≥ 0 (f '(x) ≤ 0) на (a,b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). |
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Экстре́мум функции — максимальное или минимальное значение функции y=f(x) на заданном множестве (a,b). Точка x0 является точкой экстремума функции f(x) определенной на некотором интервале (a,b). Тогда либо производная f '(x0) не существует, либо f '(x0) = 0. |
Достаточные условия экстремума. |
|
Исследование направления выпуклости кривой. Кривая y=f(x) имеет на интервале [a;b] выпуклость вниз, если все точки кривой лежат выше любой касательной на интервале [a;b]. Кривая y=f(x) имеет на интервале [a;b] выпуклость вверх, если все точки кривой лежат ниже любой касательной на интервале [a;b]. |
Точки перегиба: определение, необходимые и достаточные условия. Точка, в которой происходит изменение направления выпуклости, называется точкой перегиба. Необходимое условие: Пусть M0(x0;f(x0)) является точкой перегиба кривой y-f(x). Тогда, если в точке х0 существует вторая производная, то она равна 0. |
Достаточное условие: Пусть функция f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х0. Тогда, если при переходе через х0 вторая производная меняет знак, то M0(x0;f(x0)) является точкой перегиба кривой y=f(x). |