Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.1.Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу (рис.1.1), образуют прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости.
Ось Ох наз-я осью абсцисс, ось Оу ─осью ординат, а обе оси вместе ─осями координат. Точка О пересечения осей - начало координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу - координатная плоскость и обозначается Оху.
Пусть М ─ произвольная точка плоскости. Опустим из неё перпендикуляры МА и МВ на оси Ох и Оу. Точке М на плоскости ставят в соответствие два числа:
– абсциссу х0,равную расстоянию от О до А, взятому со знаком «+», если А лежит правее О, и со знаком «-», если А лежит левее О;
– ординату у0, равную расстоянию от точки О до В, взятому со знаком «+», если В лежит выше О, и со знаком «-», если В лежит ниже О.
Абсцисса и ордината точки М наз-я прямоугольными (декартовыми) координатами точки М. Запись М(х0;у0) означает, что точка М имеет абсциссу, равную х0, и ординату, равную у0.
Введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, что даёт возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.
Полярная система координат.
Полярная система координатсостоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из неё луча ОЕ ─полярной оси. Кроме того, задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть М - произвольная точка плоскости. Пусть ─ расстояние от М до полюса О; ─ угол, на который надо повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис.1.2).
Полярными координатами точки М наз-ся числа и . При этом число считается первой координатой и называется полярными радиусами, число ─ второй координатой и наз-я полярным углом. Точка М с полярными координатами и обозначается М(;), причём 0≤<+∞, 0≤<2. Однако в ряде случаев приходится рассматривать углы, большие 2, а также отрицательные углы, т.е. отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке. Полюсу О соответствует полярный радиус = 0, а полярный угол для него не определён.
Связь между полярными и декартовыми координатами.
Чтобы установить связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами, будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные
координаты х0 и уо и полярные координаты и (рис.1.3).
Нетрудно доказать, что при любом расположении точки М, верны равенства х0= cos, у0 = sin.(1)
Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат через прямоугольные следуют из формул (1): = , tg = . (2) . Формула tg = определяет два значения полярного угла , т.к. 0≤<2. Из этих двух значений угла выбирают то, при котором удовлетворяются равенства (1).
2.1.Пусть задана прямоугольная система координат.
Теорема 1.1. Для любых двух точек М1(х1;у1) и М2(х2;у2) плоскости расстояние d между ними выражается формулой: d = . (3)
Доказ-о: Опустим из точек М1 и М2 перпендикуляры М1В и М2А соответственно на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М1В и М2А (рис.1.4).
Возможны следующие случаи:
1)Точки М1, М2 и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х2;у1). Нетрудно заметить что М1К = х2 – х1, М2К = у2 – у1. Т.к. ∆М1КМ2 прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М1М2 = = .
2) Точка К совпадает с точкой М2, но отлична от точки М1 (рис.1.5). В этом случае у2 = у1 и d = М1М2 = М1К = х2 – х1= =.
3) Точка К совпадает с точкой М1, но отлична от точки М2 . В этом случае х2 = х1 и d =М1М2 = КМ2 = у2- у1= =.
4) Точка М2 совпадает с точкой М1. Тогда х1 = х2 , у1 = у2 и d = М1М2 = О =.
2.2. Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М ─ любая точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис.1.6).
Число , определяемое равенством = =, наз-я отношением, в котором точка М делит отрезок М1М2.
Теорема 1.2. Если точка М(х;у) делит отрезок М1М2 в отношении , то координаты этой точки определяются формулами:
х = , у = , (4), где (х1;у1) ─ координаты точки М1, (х2;у2) ─ координаты точки М2.
Доказ-о первой из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.
1)Прямая М1М2 перпендикулярна оси Ох. Тогда х1 = х = х2 и поэтому
х = х1 = = = .
2)Прямая М1М2 не перпендикулярна оси Ох (рис.1.6). Опустим перпендикуляры из точек М1, М, М2 на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р1, Р, Р2. По теореме о пропорциональных отрезках = . Т.к. Р1Р = х – х1, РР2 = х2 – х и числа (х – х1) и (х2 – х) имеют один и тот же знак (при х1< х2 они положительны, а при х1> х2 отрицательны), то = = ,х – х1 = (х2 – х), х + х = х1 + х2,х = .
Следствие: Если М1(х1;у1) и М2(х2;у2) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М1М2, то х = , у = . (5)
Доказ-о: Так как М1М = М2М, то = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).
2.3. Теорема: Для любых точек А(х1;у1), В(х2;у2) и С(х3;у3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой S = (х2 – х1)(у3 – у1) – (х3 – х1)(у2 – у1). (6)
Доказ-о: Площадь ∆ АВС, изображённого на рис.1.7, вычисляется следующим образом: SABC = SADEC + SBCEF – SABFD.
Вычисляем площади трапеций:
SADEC= ,
SBCEF= ,
SABFD= .
Для другого расположения ∆ АВС формула (6) доказывается аналогично, но может получиться со знаком «-». Поэтому в формуле (6) ставят знак модуля.
3.1. Пусть l─ прямая, не параллельная оси Oy (рис.2.2). Обозначим точку пересечения l с осью Oy буквой B(0,b), а угол между положительным направлением оси Ox и прямой l обозначим φ. Угол φ, отсчитываемый от оси Ox против часовой стрелки (0 ≤ φ <), наз-я углом наклона прямой l к оси Ox.
Пусть M(x;y) ─ произвольная точка прямойl. Из ∆ BMN имеем: tgφ = = . Эту величину tgφ обозначают k и называют угловым коэффициентом прямой. Тогда k =, откуда y = kx + b. (1)
Уравнение (1) наз-я уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В частности, если k = 0, то φ = 0 и получаем уравнение прямой y = b, параллельной оси Ox и проходящей через точку B(0,b). Если к тому же b = 0, то y = 0 ─ уравнение координатной оси Ox.
3.2. Теорема: Каждая прямая на плоскости с прямоугольной системой координат определяется уравнением первой степени Ax + By + C = 0 (1), где A и B одновременно не равны0 и, обратно, уравнение (1) при произвольных коэффициентах A, B и C (A и B одновременно не равны нулю) определяет некоторую прямую на плоскости.
Доказ-о:Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то она определяется уравнением первой степени y = kx + b или kx – y + b = 0, т.е. уравнением вида (1), где A = k, B = -1, C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то ее уравнение имеет вид x = a или x – a = 0, т.е. является уравнением вида (1) при A = 1, B = 0 и C = -a. Тем самым первое утверждение доказано.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (1), причём хотя бы один из коэффициентов A или B отличен от нуля. Если B 0, то уравнение (1) можно записать в виде:
y = - x - ,т.е. в виде уравнения с угловым коэффициентом. Это уравнение определяет на плоскости прямую. Если же B = 0, то A 0 и уравнение (1) имеет вид x = - . Уравнение первой степени (1) наз-я общим уравнением прямой на плоскости.
3.3.Пусть прямая пересекает оси Ox и Oy соответственно в точках A и B (рис.2.3). Пусть A(a,0) и B(0,b). Из уравнения ( = .) имеем: = , + = 1.
Уравнение + = 1 (6)наз-я уравнением прямой в отрезках на осях координат.Прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнением этого вида.
3.4.Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2). Искомое уравнение прямойy = kx + b , где k и b─ неизвестные числа.
Так как прямая проходит через точку М1, то по уравнению y – y1 = k(x – x1).
Поскольку координаты точки М2 также удовлетворяют этому уравнению, то y2 – y1 = k(x2 – x1), откуда
k= . (3) Тогда искомое уравнение прямойy – y1 = (x – x1) или = . (4)
Замечание 1.Формула (3) определяет угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M1 и M2.
Замечание 2. В уравнении (4) один из знаменателей (x2 – x1) или (y2 – y1) может оказаться равным нулю (оба этих числа одновременно не могут быть равны нулю, ибо точки M1 и M2 различные).
4.1.Рассмотрим на плоскости две прямые 1 :y = k1x + b1 и 2 : y = k2x + b2 с углами наклона к оси Ox соответственно φ1 и φ2 (рис.2.4).
Опред-е: Углом между прямыми 1 и 2 будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми. На рис.2.4 таким является угол φ. Очевидно, что 0 ≤ φ ≤ . Из геометрических соображений устанавливается зависимость между углами φ1, φ2 и φ : φ = φ2 – φ1.
Возможны два случая:
1) Угол φ = , т.е. прямые1 и 2 перпендикулярны.
2) 0 ≤ φ <. Тогда tgφ = tg (φ2 – φ1) = =
Формула tgφ = , где (7) позволяет вычислить угол между неперпендикулярными прямыми.
4.2. 1) Если прямые1 и 2 параллельны, то φ = 0. Тогда tg φ = 0 и из формулы (tgφ = ,) имеем k2 - k1 = 0 или k2 = k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.
2) Если прямые1 и 2 перпендикулярны, то φ = . Так как φ = φ2 – φ1 , то
φ2 = + φ1 и tgφ2 = tg( + φ1) = ctg φ1 = - , т.е. k2 = - . (8)
Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
5.1. Теорема:Расстояние d от данной точки М(х0;у0) до прямой ℓ, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 на плоскости определяется: d = (1)
Доказ-о: Пусть в прямоугольной системе координат прямая ℓ имеет уравнение Ах + Ву + С = 0, а точка М ─ координаты (х0;у0). Возьмём на прямой ℓ две произвольные точки Е(х1;у1) и F(х2;у2). Нетрудно заметить, что d = h =.
По формуле имеем: S = (х2 – х1)(у3 – у1) – (х3 – х1)(у2 – у1)
По формуле расстояния между точками на плоскости:
EF=.Тодаг d= (2)
Запишем уравнение прямой ℓ по двум точкам E и F:
Преобразуем это уравнение в общее уравнение прямой:
(у – у1)(х2 – х1) = (х – х1)(у2 – у1),
(у2 – у1)х + (х1 – х2)у + (у1(х2 – х1) – х1(у2 – у1)) = 0.
По условию, общее уравнение прямой ℓ имеет вид Ах + Ву + С = 0, след-о,
А = m(y2 – y1),
B = m(x1 – x2),
C = m(у1(х2 – х1) – х1(у2 – у1)).
для некоторого целого числа m 0.
Тогда из (2) имеем
d==
= =
5.2. Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы своими общими уравнениями. Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у: (3)
Решаем эту систему:
а)
(А1В2 – А2В1)у = С1А2 – А1С2 . (4)
б) (5)
Возможны следующие случаи:
1) А1В2 – А2В10 т.е. А1В2 А2В1 . Тогда из формул (4) и (5) находим
единственное решение системы (3):
х =, у =. (6)
Единственное решение означает, что прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются. Формулы (6) дают координаты точки пересеченияx и y.
2) А1В2 – А2В1 = 0 т.е. А1В2 = А2В1 .
2.1) С2В1 – С1В2 = 0 и С1А2 – А1С2 = 0.
Тогда А1В2 = А2В1, С2В1 = С1В2 и С1А2 = А1С2, откуда, , .
Таким образом, . Тогда А1 = kA2, B1 = kB2, C1 = kC2. Теперь, уравнение прямой ℓ1 имеет вид: kA2x + kB2y + kC2 = 0 или A2x + B2y + C2 = 0.
Следовательно, прямые ℓ1 и ℓ2, имея одно и то же уравнение, совпадают.
2.2) С2В1 – С1В2 0 или С1А2 – А1С2 0.
Пусть, для определённости С2В1 – С1В2 0, т.е. С2В1 С1В2. Тогда равенство (5) имеет вид 0 х = С2В1 – С1В2. Следовательно, это уравнение, а значит и система (3) решений не имеет. Это означает, что прямые ℓ1 и ℓ2 на плоскости не пересекаются, т.е. они параллельны. Аналогичный вывод можно сделать в случае, когда С1А2 – А1С2 0. Итак, если:
1, то прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются в точке с координатами (6);
2), то прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны;
3), то прямые ℓ1 и ℓ2 совпадают.
6.1. Линии, уравнения которых в прямоугольной систем координат являются уравнениями второй степени, называются линиями второго порядка. К важнейшим линиям второго порядка относятся эллипс, окружность, гипербола и парабола.
Эллипс.
Эллипс- множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Пусть F1(-c,0) и F2(c,0) ─ фокусы. Тогда F1F2 = 2c─фокусное расстояние (рис.4.1). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении эллипса, обозначим 2a.
Пусть M(x,y) ─ произвольная точка эллипса.Тогда по определению F1M + F2M = 2a> 2c, откуда a>c.Так как F1M = , F2M = , то имеем уравнение + = 2a.
Преобразуем это уравнение: ()2 = (2a − )2 ,
(x2 + 2cx + c2) + y2 = 4a2 – 4a+ (x2 – 2cx + c2) + y2,
a = a2 – cx.
Возводя в квадрат последнее уравнение, имеем
a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2cxa2 + c2x2,
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2).
Так как a>c, то a2 – c2> 0 и можем обозначить b2 = a2 – c2. Тогда b2x2 + a2y2 = a2b2, = 1 (1)
Т. образом, координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (1).
Покажем обратное: если координаты точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (1), то точка M лежит на эллипсе.
Из (1) найдём y2 :y2 = b2(1 - ).
ТогдаF1M=== = = = ││
Т.к. c<a и из (1) ≤ 1, т.е. x2 ≤ a2 , │x│ ≤ a, то . Следовательно,
││=. Аналогично можно вычислить: F2M =.
Теперь F1M + F2M =.
Из уравнения (1) :b2> 0 a2 – c2> 0, т.е. a>c, откуда 2a> 2c. Значит, точка M лежит на эллипсе.
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. Изображён эллипс с уравнением (1) на рис 4.2.
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Оси симметрии эллипса (оси Ox и Oy) называют осями эллипса. Точка пересечения осей ─центр эллипса. Осями называют также отрезки A1A, B1B. Отрезки OA, OB и их длины называют полуосями. В нашем случае a>b, поэтому а называют большой полуосью, b─малой полуосью.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси, т.е. ε =
Т.к. 0 c<a, то 0 ε< 1. Фокальными радиусами точки Mназывают отрезки F1M и F2M. Их длины r1 и r2 вычисляют по формулам:
r1 = a + εx,
r2 = a – εx.
6.2. Окружность.
Уравнение x2/a2+y2/b2=1 можно рассматривать и в случае, когда b>a, оно определяет эллипс с большой полуосью OB = b, фокусы такого эллипса лежат на оси Oy, причём a2 = b2 – c2.
Когда a = b, уравнение (1) принимает вид:= 1 или x2 + y2 = a2
И определяет окружность радиуса а с центром в начале координат (рис.4.3). В этом случае c = 0, поэтому ε = 0. Из школьного курса известно уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0(x0,y0):(x – x0)+(y – y0)=R.Такое уравнение называют каноническим уравнением окружности.
6.3.Гипербола.
Гипербола - множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Пусть F1(-c,0) и F2(c,0) ─ фокусы. Тогда F1F2 = 2c─фокусное расстояние (рис.4.4).
Постоянную величину, о которой идёт речь в определении, обозн. 2a. Тогда по опред-ию 2a< 2c, т.е. a<c. Пусть M(x;y) ─ произвольная точка гиперболы. Рассуждая можем получить уравнение:= 1, (2), где b2 = c2 – a2.
Уравнение (2) называют каноническим уравнением гиперболы. Гипербола с уравнением (2) изображена на рис.4.5.
Прямоугольник MNKL, стороны которого MN = LK = 2a, ML = NK = 2b, называется основным прямоугольником. Прямые MK и NL называют асимптотами гиперболы, их уравнения :y =-x и y =x, соответственно.
Гипербола имеет две ветви: левую и правую. Центр симметрии гиперболы называется её центром. Оси симметрии гиперболы называются её осями. Одна ось пересекает гиперболу в двух точках (на рис.4.5 это т. A1 и A2), эта ось называется действительной осью гиперболы, другая ось ─мнимой осью, она не имеет общих точек с гиперболой. Длины отрезков A1A2 и B1B2 также называют осями. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, то гипербола называется равносторонней, её уравнение: x2 – y2 = a2.
Уравнение : - = 1 (3) определяет гиперболу с действительной осью Oy (рис.4.6).
Гиперболы, определяемые уравнениями (2) и (3) в одной и той же системе координат, называются сопряжёнными.Эксцентриситет гиперболы ─ это отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами гиперболы (т.е. точками пересечения гиперболы с осями). Для уравнения (2) ε=.
Так как c>a, то ε > 1. Фокальные радиусы точки M гиперболы ─ это отрезки F1M и F2M. Их длины r1 и r2 для правой ветви: r1 = εx + a, r2 = εx – a, для левой ветви: r1 = -εx − a, r2 = - εx + a.
6.4.Парабола.
Парабоа- множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, и не проходящей через фокус.
Возьмём в прямоугольной системе координат точку F(,0), где p> 0 и пусть она будет фокусом. Директрисой будет прямая x = - (рис.4.7).
Пусть M(x,y) ─ произвольная точка параболы. Если K─ основание перпендикуляра из точки M к директрисе, то она имеет координаты (-,y). По определению:MK = MF. Тогда
=, =, т.к. x ≥ 0.
Возводим уравнение а квадрат и приводим подобные члены: ;y2 = 2px(4)
Уравнение (4) наз-я каноническим уравнением параболы. Величину p называют параметром параболы. Парабола с уравнением (4) изображена на рис.4.8. Точка O называется вершиной параболы, ось симметрии ─осью параболы. Если парабола имеет уравнение y2 = - 2px, то её график расположен слева от оси Oy (рис.4.9). Уравнения x2 = 2py и x2 = -2py, p> 0 определяют параболы, изображённые на рис.4.10 и рис.4.11, соответственно.
7.1.Таблица чисел аikвида: , (1)состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей размера m × n. Числа аik называются её элементами. Если mn, то матрица называется прямоугольной. Если же m = n, то матрица называется квадратной. В частности, если m = 1, n> 1, то матрица (а11 а12 … а1n) называется матрицей-строкой. Если же m> 1, n = 1, то матрица называется матрицей-столбцом.
Число строк в квадратной матрице называют порядком такой матрицы. Матрица - квадратная матрица второго порядка, а матрица - квадратная матрица третьего порядка.
Матрицы обозн-я большими латинскими буквами. Две матрицы A и B называются равными (А = В), если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. Так, если А =, В = и а11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22, то А = В.
Квадратная матрица порядка n вида называется единичной матрицей и обозначается En.
7.2. Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера.
Суммой двух матриц А и В размера m × n называется матрица С размера m × n, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Обозначается : А + В = С.
Опред-е:Матрица О размера m × n, элементы которой все равны нулю, называется нулевой матрицей.
Разностью двух матриц А и В размера m × n называется матрица С размера m × n такая, что А = В + С. Обозначается : А – В = С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.
Свойства сложения матриц:
1) Сложение матриц коммутативно, т.е. А + В = В + А для любых матриц А и В размера m × n.
2) Сложение матриц ассоциативно, т.е. (А + В) + С = А + ( В + С) для любых матриц А, В, С одинакового размера.
3) А + О = О + А = А для любой матрицы А размера, совпадающей с размером нулевой матрицы О.
7.3.Произведением матрицы А на число α называется матрица αА, элементы которой равны произведению числа α на соответствующие элементы матрицы А.
Произведением матрицы А размерности m × n и матрицы В размерности n × k, элементы которой сij вычисляются как сумма произведений соответствующих элементов аilI – й строки матрицы А и элементов bljj – го столбца матрицы В, т.е. cij = ai1b1j + ai2b2j+ … + ainbnj, I = 1,2, …, m; j = 1,2, …, k.
Свойства умножения матриц
1) Умножение матриц некоммутативно, т.е. ABBA.
2) Умножение матриц ассоциативно, т.е. A(BC) = (AB)C, если такие произведения существуют.
3) Если A─ матрица размера m×n, B─ матрица размера n×k, то AEn=A, EnB=B.
7.4.Если в матрицеА =сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу Аt =которую называют транспонированной к матрице А.
Свойства транспонирования матриц.
1) (At)t = A;
2) (A + B)t = At + Bt;
3) (AB)t= BtAt
4)(A)t =At
7.5.Элементарными преобразованиями строк матрицы называют след-ие преобразования:
1) умножение строки матрицы на ненулевое действительное число;
2) прибавление к одной строке матрицы другой её строки, умноженной на произвольное действительное число.
Лемма1:С помощью элементарных преобразований строк матрицы можно поменять местами любые две строки.
Доказ-о.
А=..
7.6.Ступенчатой называют матрицу, которая обладает следующими свойствами:
1) если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая,
2) если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1)-й строк расположены в столбцах с номерами k и , соответственно, то k<.
Условие 2) требует обязательного увеличения нулей слева при переходе от i-й строки к (i+ 1)-й строке.
Рангом матрицы называют число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.
8.1.А =. - Определителем второго порядка, соответствующим матрице А,называется число, вычисляемое по формуле: │А│= =.
Элементы aij наз-яэлементами определителя│А│, элементы а11, а22 образуют главную диагональ, а элементы а12, а21─побочную.
А =. - Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число, вычисляемое по формуле:
│А│==.
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», а какие ─ со знаком «минус», полезно запомнить правило, называемое правилом треугольника:
= ─ .
Ещё один способ вычисления определителя третьего порядка.
Опред-е. Минором Mij элемента aij определителя наз-я определитель, полученный из данного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя наз-я его минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j.
Теорема: Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Формула: │А│= А21 +А22 +А23.Разложение определителя│А│ по элементам второй строки. Аналогично разложение можно получить по элементам других строк и любого столбца.
Опред-е: Определителем n-го порядка, соответствующим матрице n-го порядка
А = наз-я число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. │A│= Аi1 + Ai2 + … + Ain = А1j + A2j + … + Anj
При n = 2 получается формула для вычисления определителя второго порядка. Если n = 1, то по определению будем считать |A|=|а11|=а11.
Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя его удобно разложить по элементам этой строки (столбца).
Свойства:
Матрицу видаили
называюттреугольной матрицей.
Св-о 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т.е.== .
Св-о 2. Определитель матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.
Св-о 3. При транспонировании матрицы определитель не изменяется, т.е.
│А│= │Аt│
Св-о 4. Если матрица В получается из матрицы А умножением каждого элементанекоторой строки на число k, то │В│= k│А│.
Св-о 5.
=+.
Св-о 6. Если матрица В получается из матрицы А перестановкой двух строк,
то│В│= −│А│.
Св-о 7. Определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю, в частности, нулю равен определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.
Св-о 8. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки матрицы, умноженные на некоторое число.
Замечание. Так как по свойству 3 определитель матрицы не меняется при транспонировании, то все свойства о строках матрицы верны и для столбцов.
Св-о 9. Если А и В ─ квадратные матрицы порядка n, то │АВ│=│А││В│.
8.2.Квадратная матрица А порядка n наз-яобратимой, если существует матрица В такая, что АВ = ВА = Еn. В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Теорема:Справедливы следующие утверждения:
1) если матрица А обратима, то существует точно одна ей обратная матрица;
2) обратимая матрица имеет определитель, отличный от нуля;
3) если А и В ─ обратимые матрицы порядка n, то матрица АВ обратима, причём (АВ)-1 =
= В-1А-1 .
Доказ-о:1) Пусть В и С ─ матрицы, обратные к матрице А, т.е. АВ = ВА = Еn и АС = СА = Еn. Тогда В = ВЕn= В(АС) = (ВА)С = ЕnС = С.
2) Пусть матрица А обратима. Тогда существует матрица А-1, ей обратная, причём
АА-1 = Еn.По свойству 9 определителя │АА-1│=│А││А-1│. Тогда │А││А-1│=│Еn│, откуда│А││А-1│= 1.
След-о, │А│ 0.
3) Действ-о, (АВ)(В-1А-1) = (А(ВВ-1))А-1 = (АЕn)А-1 = АА-1 = Еn.
(В-1А-1)(АВ) = (В-1(А-1А))В = (В-1Еn)В = В-1В = Еn.
След-о, АВ ─обратимая матрица, причём (АВ)-1 = В-1А-1.
Следующая теорема даёт критерий существования обратной матрицы и способ её вычисления.
Теорема: Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Если│А│ 0, то
А-1 =.
9.1. Совокупность уравнений вида
Наз-я системой m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2,…, хn. Числа aij наз-я коэффициентами системы, а числа bi─свободными членами.
Решением системы наз-я совокупность чисел с1, с2,…, сn, при подстановке которых в систему вместо х1, х2,…,хn, получаем верные числовые равенства. Решить систему─ значит найти все её решения или доказать, что их нет. Система наз-я совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. Матрица, составленная из коэффициентов системы
А = - наз-я матрицей системы. Если к матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим матрицу:
В = ,которую называют расширенной матрицей системы.
Если обозначим:
Х = , С = , то систему можно записать в виде матричного уравнения АХ=С.
9.2.Критерий совместности системы линейных уравнений даёт теорема Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.
9.3.Метод Гаусса применяется для произвольной системы линейных уравнений.
Опред-е: Система линейных уравнений наз-я ступенчатой, если матрица этой системы ступенчатая.
При решении системы линейных уравнений прим-я след-ий алгоритм:
1. Записываем расширенную матрицу системы (1) и приводим её к ступенчатому виду,
определяем ранги матрицы и расширенной матрицы системы.
2. Если найденные ранги не равны, то система несовместна.
3. Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу r. В
этом случае система совместна и надо найти её решение.
4. Используя ступенчатый вид расширенной матрицы системы, записываем соответствующую ступенчатую систему.
5. Если число r равно числу неизвестных n, то ступенчатая система имеет вид
(2)
Из системы (2) послед-о находим значения для х1, х2,…, хт, начиная с последнего уравнения. В этом случае система (1) имеет единственное решение.
6. Если число r меньше числа неизвестных, то ступенчатая система имеет вид
(3)
В системе (3) r уравнений и n неизвестных. Неизвестные х1,…,хj1, которые первыми встречаются в уравнениях системы (3), наз-я главными неизвестными, остальные ─свободными неизвестными. Из системы (3) послед-о выраж-я главные неизвестные через свободные, начиная с последнего уравнения. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. В этом случае система имеет бесконечно много решений.
9.4. Система линейных уравнений наз-я крамеровской, если тело уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля.
Теорема: Крамеровская система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
, где ─ определитель матрицы системы, ─ определитель, полученный из, заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.
Доказ-о: Пусть дана крамеровская система:
(4) .Тогда│А│= ∆ = 0.
По теореме матрица системы А имеет обратную матрицу А-1. Запишем крамеровскую систему (4) в матричном виде:АХ = В; (5), где
А = , Х = , В = .
Умножим обе части матричного уравнения (5) слева на А-1:
А-1(АХ) = А-1В,Ввиду ассоциативности умножения матриц имеемА-1(АХ) = (А-1А)Х = ЕТХ = Х.
Таким образом, Х = А-1В ─ решение системы.
1) Решение единственно. Предположим, что Х1 и Х2─ два решения матричного уравнения (5). Тогда АХ1 = В и АХ2 = В, откуда АХ1 = АХ2. Умножая обе чисти равенства на А-1 слева, имеемА-1(АХ1) = А-1(АХ2),
(А-1А)Х1 = (А-1А)Х2,ЕnХ1 = ЕnХ2,Х1 = Х2.
След-о, система (4) имеет единственное решение:
2) Решение системы (4). Из равенства Х = А-1В имеем:
= ,откуда
,
,
.
Обозначая определители в правой части равенств соответственно, получим формулы .
9.5.Этот метод применяется для решения крамеровских систем. Основан он на равенстве Х = А-1В, которое получилось при доказательстве теоремы, когда крамеровская система имеет единственное решение.
10.1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей Ох, Оу и Оz. Точка О наз-я началом координат, Ох ─осью ординат, Oz─осью аппликат (рис).
Пусть М ─ произвольная точка пространства (рис.). Проведём через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения с осями Ох, Оу и Оz обозначим соответственно Мх, Му и Мz.Прямоугольными (декартовыми) координатами точки М в пространстве наз-я числа х0, у0 и z0, соответствующие точками Мх, Му и Мzна соответствующих осях. При этом х0 наз-яабсциссой, у0─ординатой, z0─аппликатой точки М. То, что точка М имеет координаты х0, у0 и z0 обозначается: М(х0; у0;z0).Плоскости Оху, Оуz и Охz наз-якоординатными плоскостями. Они делят всё пространство на восемь частей, наз-ыхоктантами.
10.2. Температура, масса, объём, длина - такие величины наз-я скалярными. Сила, скорость, ускорение наз-я векторными.
Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок с заданными на нём направлением. Направленный отрезок наз-я вектором. На рисунке направление вектора изображают стрелкой. Если в упорядоченной паре точка А первая, то её называют началом вектора, а точку В ─концом вектора, в этом случае вектор обозначается . Иногда векторы обозначают малыми буквами , и т.д.
Модулем вектора наз-я его длина. Обозначают модуль или . Нуль-вектор(или нулевой вектор)─ это вектор, начало и конец которого совпадают; обозначается он . Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление не определено. Единичнымназ-я вектор, длина которого равна единице.
Векторы и наз-я коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно (рис.8.2).
Векторы и наз-я равными(обозначается = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули.
Векторы и наз-я противоположными(обозначается = −), если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют равные модули.
Три вектора , , наз-я компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Линейные операции над векторами:
1.Суммой двух векторов и наз-я вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если вектор отложен из конца вектора (рис.8.3). Обозначается: = + .
Суммой векторов наз-я вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , если каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего для = 1,2,…,n-1.
Св-а суммы векторов:
1.Коммутативности: + = + (рис.8.4).
2. Ассоциативности: ( + ) + = + ( + ) (рис.8.5).
3. + = ;
4. + (−) = .
2.Разностью двух векторов и (обозначается:−) наз-я такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т.е. = − , если += (рис.8.6). Нетрудно заметить, что = − = + (−).
3.Произведение вектора ≠ 0 на число α ≠ 0 наз-я вектор (обозначается = α), удовлетворяющий следующим условиям:
а) ;
б) векторы и коллинеарны;
в) векторы и одинаково направлены при α>0 и противоположно направлены при α<0.
Св-а произведения вектора на число.
1). ;
2). ;
3). ;
4). Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда = α для некоторого α.
10.3. Пусть в пространстве задана ось ℓ и некоторый вектор (рис.8.7). Пусть А1─ проекция точки А на ось ℓ, В1─ проекция точки В на ось ℓ.
Проекцией вектора на ось ℓ наз-я величина А1В1 вектора , взятая со знаком «+», если совпадает с направлением оси ℓ, и со знаком «−», если противоположно направлен направлению оси ℓ. Обозн-я: прℓ.
Св-а проекции векторов на ось:
1) прℓ = cos( ^ℓ) (рис.8.8).
2) прℓ( + ) = прℓ + прℓ (рис.8.9).
3) прℓ( ) = прℓ+ … + прℓ.
4) прℓ() = (прℓ) (рис.8.10).
5) прℓ () = (прℓ + … + (прℓ ).
10.4. Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор . Пусть Х = прх, У = прх, Z = прх. Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут = (Х, У, Z).
Теорема: Для любых точек А(х1;у1;z1) и В(х2;у2;z2) координаты вектора , определяются формулы:
Х = х2 – х1, У = у2 – у1, Z = z2 – z1.
Доказ-о. По определению Х = прх. Если вектор направлен одинаково с осью Ох (рис.8.11), то прх А(х1;у1;z1) и В(х2;у2;z2) = ││= = х2 – х1, т.к. точке А1 соответствует координата х1, а точка В─ координата х2.
Если вектор направлен противоположно с осью Ох (рис.8.12), то прх = −││= − = −(х1 – х2) = х2 – х1.
Т. образом, для любых точек А(х1;у1;z1) и В(х2;у2;z2) координата Х вектора вычисляется по формуле Х = х2 – х1.
Пусть = (х1;у1;z1), = (х2;у2;z2),…, = (хn;уn;zn) ─ векторы пространства, ─ ненулевые числа. Используя свойства проекции векторов на ось, получим след-ие утверждения:
1) = ().
2) + + … + = (х1 +…+ хn; y1 +…+ уn; z1 + …+ zn).
3) − = (х1 – х2; у1 – у2; z1 – z2).
4)+ ..+ =).
5) = х1 = х2, у1 = у2, z1 = z2.
|
- |
|||
|
- |
|||
|
- |
11.1. Скалярным произведением двух векторов и наз-я число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами. Обозначение . Итак, по определению = cosφ, где φ ─ угол между и .
Св-а скалярного произведения:
1. = = cos0 = .
2. Коммутативности: = .
3. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда = 0.
4. Косинус угла φ между векторами и вычис-я по формуле cosφ = .
5. (. α) = ()α , (α)(β) = ()(αβ).
6. ( + ) = +
Теорема: Если векторы = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то = х1х2 + у1у2 + z1z2.
Доказ-о: Запишем разложение векторов и по базисным векторам:
= + + , = + + .Тогда, используя свойства скалярного произведения, имеем: = ( + + )( + + ) ()() + ()() + ()() +
+ ()() + ()() + ()() + ()() + ()() + ()() (х1х2) + ()у1х2 + ()z1x2 + ()x1y2 + (y1y2) + ()z1y2 + ()x1z2 + ()y1z2 + (z1z2)
Теперь, по свойству 1): = ││ = 1, = 1, = 1.
По свойству 3): = = = = = = 0. След-о,
= х1х2 + у1у2 + z1z2.
11.2. Векторным произведением вектора на вектор наз-я вектор × , который удовлетворяет следующим условиям:
1) │×│ = ││││sinφ, где φ ─ угол между векторами и ;
2) вектор × перпендикулярен каждому из векторов и ;
3) тройка векторов ,, × ─ правая.
Св-а векторного произведения:
1. × = 0 для любого вектора .
2. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда × = 0.
3. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах и , равна │ × │.
4. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах и , равна │ × │.
5. × = - (× ).
6. ( + )× = × + × .
7. (α)×(β) = ( × )(αβ).
Теорема: Если = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то
× = = − + .
Доказ-о: Разложение векторов и по базисным векторам: = + + , = + + .
Составим таблицу векторных произведений базисных векторов; используя рис.9.4:
Схема: → × ↓ =
Теперь: × = ( + + ) × ( + + ) ()×() + ()×() + ()×() + + ()×() + ()×() + ()×() + ()×() + ()×() + ()×()
(×) + (×) + (×) + (×) + (×) + (×) +
+ (×) + (×) + (×) −() + () + () − () − − () + () = ( − ) − ( − ) + ( − ) = −
− + = .
Следствие: Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2) равна модулю векторного произведения × , т.е. Sпаралл.=│×│= .
Следствие: Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах
= (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2) вычисляется по формуле
Sтреуг.=.
11.3.Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на. В результате получим число (× ), которое называют смешанным произведение трёх векторов , и .
Теорема: Смешанное произведение (× )трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «−», если эта тройка ─ левая.
Доказ-о:.. =│× │соsφ.= Sh = Vпараллелепипеда.
Следствие: Векторы , и компланарны тогда, когда их смешанное произведение (× ) = 0.
Теорема: Если = (х1;у1;z1), = (х2;у2;z2), = (х3;у3;z3), тогда смешанное произведение =
Доказ-о:
= (×) = х3 − у3 + z3 = .
12.1. Уравнением поверхности в заданной системе координат в пространстве наз-я такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.
Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка.
Пусть дана точка М0(х0;у0;z0) и ненулевой вектор = (А,В,С). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно указанному вектору (Рис.10.1). В таком случае вектор называют нормальным вектором плоскости.
Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка плоскости. Так как вектор = (х-х0;у-у0;z-z0) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору . След-о, их скалярное произведение равно нулю, т.е.
= 0. Тогда А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0 (1) искомое уравнение по нрмальному вектору и точке.
12.2.Раскроем скобки в уравнении А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0:
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0
Ах + Ву +Сz + (- Ах0 – Ву0 – Сz0) = 0
Обозначим через D = - Ах0 – Ву0 – Сz0. Получаем уравнение Ах + Ву +Сz + D = 0, (2), которое называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи:
1)D = 0. Уравнение Ах + Ву +Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
2)С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;В;0) перпендикулярен оси Оz. Поэтому плоскость Ах + Ву +D = 0 параллельна оси Оz.
3)С = 0, D = 0. С учётом п.1) и п.2) плоскость Ах +Ву = 0 проходит через ось Oz.
4)В = 0, С = 0. В этом случае нормальный вектор (А;0;0) перпендикулярен плоскости Oyz. Поэтому плоскость Ах + D = 0 параллельно оси Oyz.
5)В = 0, С = 0, D = 0. Плоскость Ах = 0 или х = 0 определяет координатную плоскость Oyz.
Аналогично рассматриваются всевозможные другие случаи.
12.3.Пусть даны три точки пространства М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2), M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка этой плоскости
(х – х0;у – у0;z – z0), (х2 – х1;у2 – у1;z2 – z1), (х3 – х1;у3 – у1;z3 – z1) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:
= 0.
След-о, уравнение плоскости по трем точкам:
= 0.
12.4.Пусть даны две плоскости:
А1х + В1у +С1z + D1 = 0,
А2х + В2у +С2z + D2 = 0.
Первая плоскость имеет нормальный вектор (А1;В1;С1), вторая плоскость (А2;В2;С2). Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = для некоторого числа . Поэтому
─ условие параллельности плоскости.
, условие совпадения плоскостей.
Так как в этом случае умножая второе уравнение на = , получим первое уравнение.
Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы ,. Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.
Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.
12.5.Угол между двумя плоскостями А1х + В1у +С1z + D1 = 0, А2х + В2у +С2z + D2 = 0 - это угол между их нормальными векторами и , поэтому cos= = .
13.1. Направляющим вектором прямой наз-я любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) и имеющей направляющий вектор = (а1;а2;а3) (Рис.).
Отложим из точки М0 вектор . Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а ─ её радиус- вектор точки М0. Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
13.2. . Параметрические уравнения прямой. В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х0;у0;z0) + (а1;а2;а3)t. Отсюда параметрические уравнения прямой: х = х0 + а1t, у = у0 +а2t, z = z0 +a3t. (4)
Канонические уравнения прямой.
Из уравнений (4) выразим t:
t= , t = , t = , откуда получаются канонические уравнения прямой
= = . (5)
13.3.Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а1;а2;а3) и .
Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому
cos= = (7)
Условие перпендикулярности прямых: а1в1 + а2в2 + а3в3 = 0.
Условие параллельности прямых: ,
т.е. . (8)
14.1. Пусть заданы две плоскости: А1х + В1у +С1z + D1 = 0, А2х + В2у +С2z + D2 = 0
Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие
. Пусть, например .
Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор:
= × = = .
Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение z = z0 и решая систему :
, получаем значения х = х0, у = у0. Итак, искомая точка М(х0;у0;z0).
Искомое уравнение
.
14.2.Пусть задана прямая х = х0 + а1t, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t и плоскость А1х + В1у +С1z + D1 = 0.
Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений:
,откуда А1(х0 + а1t) + B1(y0 + a2t) + C1(z0 + a3t) + D1 = 0,
(A1a1 + B1a2 + C1a3)t + (A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1) = 0.
Если А1а1 + В1а2 + С1а3 0, то система имеет единственное решение t = t0 = - .
В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М1(х1;у1;z1), где х1 = х0 + а1t0,
y1 = y0 + a2t0, z1 = z0 + a3t0.
Если А1а1 + В1а2 + С1а3 = 0, А1x0 + В1y0 + С1z0 + D1 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.
Если же А1а1 + В1а2 + С1а3 = 0, А1x0 + В1y0 + С1z0 + D1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.
14.3. Найдём угол между прямой: = =
и плоскостью А1х + В1у +С1z + D1 = 0.
Поскольку вектор = (А1;В1;С1) образует с направляющим вектором = (а1;а2;а3) угол = - или = + (Рис.10.3 и Рис.10.4), то cos = cos( - ) или cos = cos( + ), откуда cos = sin или cos = - sin.
Значит,sin=cos= .
15.1. Цилиндрической поверхностью наз-я поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.
Цилиндром второго порядка наз-я цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.
Рассмотрим цилиндры второго порядка, у которых образующая параллельна оси Оz.
1). Эллиптический цилиндр (рис.10.5).
.В частности эллиптический цилиндр имеет в качестве направляющей окружность. Его уравнение : или .
2). Гиперболический цилиндр (рис. 10.6)
--
3) Параболический цилиндр (рис. 10.7).
х2 = 2ру.
15.2. Поверхностью вращения второго порядка наз-я поверхность, образованная вращением линии второго порядка её оси.
1) Эллипсоид вращения. При вращении эллипса , х = 0 вокруг оси Оzполучим поверхность, которая называется эллипсоидом вращения. (рис.10.8).
При а = с получаем сферу х2 + у2 + z2 = a2.
2) Однополостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.
(рис.10.9).
3) Двуполостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.
(рис.10.10).
4) Конус вращения образуется при вращении прямых, х = 0 вокруг оси Оz. (рис.10.11).
5) Параболоид вращения получается вращением параболы у2 = 2рz , х = 0 вокруг оси Оz
х2 + у2 = 2рz или (рис.10.12).
16.1.Рассмотрим непустое множество V и множество действительных чисел R. Определим операцию сложения элементов множества V (её называют внутренней операцией): любой упорядоченной паре элементов х,уV поставим в соответствие третий элемент zV, называемый их суммой; будем писать в этом случае z = x + y. Введём также операцию умножения элементов множества V на действительные числа (эту операцию называют внешней): каждому элементу х V и действительному числу R поставим в соответствие элемент z = x = xV. Потребуем, чтобы операция сложения элементов множества V и операция умножения элементов V на действительные числа удовлетворяли следующим аксиомам:
1) Сложение коммутативно, т.е. х + у = у + х для любых х, у V.
2) Сложение ассоциативно, т.е. х + (у + z) = (x + y) + z для любых х, у, zV.
3) В V существует нулевой элемент, обозначим этот элемент символом О. Это такой элемент, который в сумме с любым элементом хV даёт тот же элемент х, т.е.
х + О = О + х = х.
4) Для каждого элемента хV существует противоположный элемент, т.е. такой элемент, который в сумме сданным даёт нулевой элемент; элемент, противоположный элементу х обозначим (-х), тогда х + (-х) = 0 для любого хV.
5) Для любого хV и числа 1R верно равенство 1х = х.
6) Для любых х, уV, ,Rверны равенства:
6.1) (х) = ()х,
6.2) (х + у) = х + у,
6.3) ( + )х = х + х.
Непустое множество V, в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие аксиомам 1) – 6), называется действительным линейным пространством или действительным векторным пространством. Элементы такого пространства называют векторами.
Из определения действительного линейного пространства нетрудно получить следующие его простейшие свойства:
1). В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент:
2). Для любого элемента хV существует единственный противоположный элемент (-х).
3). Для любого элемента хV произведение Ох = О1, где слева ОR, а справа О1V.
4). Для любого элемента хV (-1)х = -х, где –х ─ противоположный элемент для х.
5). Для любого числа R произведение О1 = О1, где О1─ нулевой элемент V.
6). Если х = О1 и 0, то х = О1.
7). Если х = 0 и х0, то = 0.
16.2.Рассмотрим векторы х1,х2,…,хn линейного пространства V. Вектор у=1х1+ 2х2 + …+nхn, где 1,2,…, nR, называется линейной комбинацией векторов х1,х2,…,хn, а числа 1,2,…, n─коэффициентами этой линейной комбинацией. Система векторов х1,х2,…,хnназывается линейно независимой, если равенство: 1х1 + 2х2 + …+ nхn= 0 выполняется только при 1 = 2 = … = n= 0. Если же существуют числа 1,2,…, nне все равные нулю, при которых выполняется равенство (1), то векторы х1,х2,…,хnназываются линейно зависимыми.
Из определения нетрудно получить следующие свойства:
1) Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2) Система из одного нулевого вектора линейно независима.
3) Если k из n векторов линейно зависимы, то и вся система из n векторов линейно зависима.
4) Если из системы х1,х2,…,хnлинейно независимых векторов отбросить векторов (<n), то оставшиеся векторы также будут линейно независимы.
5) Если в системе векторов имеются векторы хiи хj такие, что хi = xj для R, то вся система векторов линейно зависима.
Теорема 1. Векторы х1,х2,…,хnдействительного линейного пространства линейно зависимы тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.
Доказ-о: Пусть векторы х1,х2,…,хn линейно зависимы. Тогда существуют числа 1,2,…, nне все равные нулю такие, что 1х1 + 2х2 + …+ nхn= 0 .
Пусть, например, k 0. Тогда kxk = - 1x1 - … - k-1xk-1 - k+1xk+1 - … - nxn и
xk = - x1 - … - xk-1 - xk+1 - … - xn, т.е. хk─ линейная комбинация всех остальных векторов.
Пусть теперь один их векторов, например х1, является линейной комбинацией остальных векторов, т.е. х1 = 2х2 + 3х3 + …+ nхn. Тогда (-1)х1+ 2х2 + …+ nхn = 0. Это означает, что векторы х1,х2,…,хnлинейно зависимы.
16.3.Число n наз-я размерностью линейного пространства V, если выполняются следующие условия:
1) в V существует n линейно независимых векторов;
2) любая система n + 1 векторов из V линейно зависима.
Размерность линейного пространства V обозначают dimV = n, то V называют n-мерным линейным пространством. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Итак, размерность линейного пространства ─ это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нём.
Базисом n-мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.
Пример базисов линейных пространств.
1)Базисом действительного пространства R3 явл-я любая тройка некомпланарных векторов. Базис действительного линейного пространства R2─ любые два неколлинеарных вектора.
17.1.Понятие функции ─ одно из основных понятий современной математики.
Рассмотрим множество X элементов х и множество Y элементов y. Если каждому элементу хΧ поставлен в соответствие единственный элемент уΥ, обозначаемый у = f(x), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f(x) со значениями в множестве Y. Элементы хΧ наз-я значениями аргумента, а элементы уΥ ─значениями функции. Множество Х называется областью определения функции, множество всех значений функции ─областью значений этой функции.
Употребляются следующие обозначения функции: у = f(x), y = F(x), y = Ф(х), у = φ(х) и т.п. Значение, которое функция у = f(x) принимает при х = а, обозначается f(a).
К традиционным способам задания функции относятся: аналитический, графический и табличный.
Аналитический─ задание функции с помощью формул.
Функция заданная формулой у = f(x), правая часть которой не содержит у, называется явной функцией, а если содержит у наз-я неявной.
Табличный ─ задание ф-ции при помощи таблицы.(примеры: таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.)
Графический─ задание ф-ции при помощи графика. Графиком функции у = f(x) наз-я множество точек (x;f(x)) плоскости хОу, где х принадлежит области определения функции. Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность.
Кроме тригонометрических и обратных тригонометрических функций изучаются ф-ции: степенная у = ха (а = const), показательная у = ах (а = const), логарифмическая у = logax (a = const). Все эти функции наз-я основными элементарными функциями.Элементарными функциями наз-я ф-ции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.
17.2.Рассмотрим функцию у = f(x), определённую в некотором интервале, содержащем точку х = а.
Число А наз-я пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к a (или в точке а), если для любого числа >0 существует такое >0, что при всех х, удовлетворяющих условию: 0 <│х − а│< (1), выполняется неравенство:│f(x) − A│<. (2)
Обозначения предела функции f(x) при х, стремящемся к а:f(x) = A;f(x) →A при х → а.
Выясним геометрический смысл этого определения, воспользовавшись, графиком функции у = f(x) (рис.12.1). Неравенство (1) означает, что х отстоит от точки а не далее, чем на , т.е. принадлежит интервалу (а − ; а + ). Неравенство (2) означает, что значения функции у = а(ч) не выходят из интервала (А − ; А + ) оси Оу. След-о, точки М графика функции у = f(x) должны находится в полоске шириной 2, ограниченной прямыми у = А − , у = А + для всех значений х, удалённых от точки а не далее, чем на .
17.3. Число А наз-я правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а <x<a + (a −<x<a), выполняется неравенство │f(x) − A│<. Обозначение f(x) = A (f(x) = A).
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Теорема:Ф-ция у = f(x) имеет в точке а предел тогда, когда в этой точке существует как левый, так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-ции равен односторонним пределам.
Доказ-о: 1) Пусть f(x) = f(x) = A. Тогда по определению односторонних пределов, для любого >0 существуют числа 1>0 и 2>0 такие, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x<a+1, a−2<x<a, выполняется неравенство │f(x)−A│<. Возьмём = min{1,2}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам а−<x<a+(или 0<│х−а│<) выполняется неравенство │f(x)−A│<. Это означает, что f(x) = A.
2) Пусть теперь f(x) = A. Тогда по определению, для любого >0 существует число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 <│х − а│<, выполняется неравенство │f(x)−A│<. След-о, для >0 существует >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x<a+, (или a−<x<a), выполняется неравенство │f(x)−A│<. Это означает, что существует односторонние пределы f(x) и f(x), причём оба они равны числу А.
17.4.Ф-ция = (х) наз-я бесконечно малой при х→а (или при х→), если (х) = 0 ((х) = 0).
Св-а бесконечно малых функций.
1) Если функция у = у(х) имеет предел А при х→а, то у(х) = А + (х), где (х) ─ бесконечно малая функция при х→а.
2) Если функция у(х) = А + (х), где А ─ число, (х) ─ бесконечно малая функция при х→а, то у(х) = А.
3) Сумма конечного числа бесконечно малых функций при х→а есть бесконечно малая функция при х→а.
4) Произведение двух бесконечно малых функций при х→а есть бесконечно малая функция при х→а.
5) Произведение бесконечно малой функции при х→а на ограниченную функцию, есть бесконечно малая функция при х→а.
6) Произведение бесконечно малой функции при х→а на постоянную функцию, есть бесконечно малая функция при х→а.
Ф-ция у = f(x) наз-я бесконечно большой при х→а, если для любого положительного числа N можно найти такое число >0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 <│х−а│<, выполняется неравенство │f(x)│>N.
Бесконечно большая функция не имеет предела при х→а, но иногда условно говорят, что её предел равен бесконечности и пишут f(x) = или f(x)→ при х→а. Если f(x) стремится к бесконечности, принимая только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут f(x) = +, f(x) = −.
18.1. Теорема 1. Функция у = у(х) не может иметь более одного предела при х→.
Доказ-о: Пусть функция у = у(х) при х→ имеет два предела А1≠А2. По св-ам бесконечно малых ф-ций у(х)=А1 + 1(х) и у(х)=А2+2(х), где 1(х), 2(х) ─ б.м.ф. при х→. Тогда А1 + 1(х) = А2 + 2(х) или А1 – А2 = 1(х) – 2(х). Но последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой ─ бесконечно малая функция.
Теорема 2. Если каждая из функций у = у(х), z = z(x) имеет предел при х→, то сумма, разность, произведение этих функций также имеют пределы, причём
1) (у(х) z(x)) = y(x) z(x);
2) (y(x) z(x)) = y(x) z(x), если кроме того, z(x) ≠ 0, то частное имеет предел, причём
3) = .
Доказ-о:Пусть y(x) = А, z(x) = В. Тогда по св-ам бесконечно малых ф-ций. у(х)=А + (х), z(x) = B + (x), где (х), (х) ─ б.м.ф. при х→. Получаем: 1) у(х) z(x) = (А В) + ((х) (х)). По свойствам б.м.ф. (х) (х) ─ б.м.ф., поэтому (у(х) z(x)) = А В, т.е. (у(х) z(x)) = y(x) z(x).
2) y(x) z(x) = (А + B + (x) = АВ + (х) B + А(x) + (х)(x). По свойствам б.м.ф. функция (х) B + А(x) + (х)(x) ─ б.м.ф. при х→.
Поэтому (y(x) z(x)) = АВ = y(x) z(x).
3) Пусть В≠0. Рассмотрим разность
−.
По свойствам б.м.ф. функция ─ б.м.ф. при х→.
Рассмотрим функцию =.
Очевидно, что =.
Это означает, что для , равного, например, найдутся х, расположенные вокруг такие, что │−│<, т.е.
−<−<, <<.
Но это означает, что функция ограничена. Тогда по свойствам б.м.ф. произведение
─б.м.ф. при х→.
Обозначим её 1(х), т.е. = 1(х). Тогда + 1(х). По свойствам б.м.ф. = = .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак прела.
Следствие 2. Если у(х) = А, то (у(х))m = (у(х))m = Am.
Теорема 3. Пусть три функции u = u(x), v = v(x), y = y(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку . Если для любого х из этого промежутка выполняется неравенства
u(x) y(x) v(x)
и функции u = u(x), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х→, то функция у = у(х) имеет тот же предел при х→.
Доказ-о:Пусть u(x) = v(x) = A.
Т.к. u(x) y(x) v(x), то u(x)−А y(x)−А v(x)−А.
По определению предела функции >0 существуют 1>0 и 2>0 такие, что из неравенств 0<│х − │<1 следует │u(x)−A│<, а из неравенств 0<│х − │<2 следует │v(x)−A│<. Обозначим = min{1,2}. Тогда для х, удовлетворяющих неравенствам 0<│х − │<следует −<u(x)−A<и −<v(x)−A<. Поэтому из неравенств u(x)−А y(x)−А v(x)−А следует −< у(x)−A<, т.е. │у(x)−A│<. Это означает, что у(х) = А.
Теорема 4. Пусть функция у = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку . Если при х→ функция у = f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся такой промежуток вокруг точки , что для всех х из этого промежутка функция положительна (отрицательна).
Доказ-о: Пусть f(x) = А. Это означает, что >0 можно указать такое число >0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0<│х−│<, выполняется
Неравенство │f(x)−A│<, т.е. −<f(x)−A<.
Если А>0, то взяв = А из неравенства A− <f(x) получим f(x)>A−= =A− A = A>0, т.е. f(x)>0 при −<x−<, т.е. при −<x<+.
Если А<0, то взяв = −А, из неравенства f(x)<A+ получим f(x)<A+ = =A− A = A<0, т.е. f(x)<0 при −<x<+.
Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей предел.
Теорема 5. Если функции u(x), v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку , и для всех х из этого промежутка, кроме х=, выполняется неравенство u(x)<v(x), причём функции u(x) и v(x) имеют пределы при х→. Тогда u(x) v(x).
Доказ-о: Пусть u(x) = А, v(x) = В. Положим, что А>B. По теореме2(u(x)−v(x)) = А−В>0. По теореме 4 найдётся промежуток вокруг точки такой, что для всех х из этого промежутка u(x)−v(x)>0, т.е. u(x)>v(x), что противоречит условию.
18.2.Отношение двух ф-ций f(x)g(x) есть неопределённость вида (или ) при х→, если числитель и знаменатель дроби─ бесконечно малые функции (бесконечно большие функции) при х→. В этом случае о пределе отношения f(x)g(x) при х→ ничего определённого сказать нельзя: он может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределённости─ значит вычислить предел отношения f(x)g(x), если он существует, или доказать, что он не существует. Для раскрытия неопределённостей применяют различные методы.
1. Сокращение общего множителя.
2. Деление на степень х.
3. Для раскрытия неопределённости вида иногда удобно использовать первый замечательный предел.
.
4. С помощью тождественных преобразований кводу или можно свести неопределённости других видов, таких как Часто для раскрытия неопределённости вида используют второй замечательный предел
. В частности,
19.1.Ф-ция у=f(x), определённая на интервале (а;b), наз-я непрерывной в точке х0(а;b), если f(x) = f(x0).
Пусть х0, х0(а;b). Разность ∆х = х − х0 наз-я приращением аргумента в точке х0, а разность ∆у =f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0) ─приращением функции в точке х0.
Теорема 1. Ф-ция у = f(x) непрерывна в точке х0(а;b) тогда и только тогда, когда ∆у = 0.
Доказ-о:1) Пусть ф-ция у = f(x) непрерывна в точке х0(а;b). Это означает, что f(x) = f(x0). Положим х = х0 + ∆х. Получим f(x0 + ∆x) = f(x0), откуда f(x0 + ∆x) − f(x0) = 0, ((x0 + ∆x) − f(x0)) = 0, т.е. ∆у = 0.
2) Пустьтеперь∆у = 0. Тогда((x0 + ∆x) − f(x0)) = 0, откудаf(x0 + ∆x) − −f(x0) = 0, f(x0 + ∆x) = f(x0). Это означает, что ф-ция у = f(x) непрерывна в точке х0.
Теорема 2. Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке х0, то непрерывны в это точке их сумма f(x) + φ(x), разность f(x) − φ(x), произведение f(x)φ(x), а также частное f(x)φ(x) при условии, что φ(х0) ≠ 0.
Доказательство этой теоремы следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.
Теорема 3. Пусть ф-ция z = φ(x) непрерывна в точке х0, а ф-ция у = f(z) непрерывна в точке z0 = φ(x0). Тогда сложная ф-ция у = f(φ(x)) непрерывна в точке х0.
Эта теорема позволяет сделать вывод о непрерывности функций, которые являются композициями непрерывных функций.
Опре-е:Ф-ция наз-я непрерывной на интеграле, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если ф-ция определена при х= и при этом f(x) = f(), то говорят, что f(x) в точке непрерывна справа. Аналогично, если f(x) =f(), то говорят, что f(x) в точке непрерывна слева. Ф-ция называется непрерывной на[], если она непрерывна в каждой его точке (в точке ─ непрерывна справа, в точке ─ непрерывна слева).
Ф-ции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами.
Теорема 4.(первая теорема Больцано-Коши). Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка[], в которой f() = 0.
Теорема 5. (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [], причём f()=A, f()=B. Пусть С ─ любое число, заключённое между А и В. Тогда на отрезке [] найдётся точка такая, что f() = C.
Теорема 6. (первая теорема Вейерштрасса). Если ф-ция f(x) определена и непрерывна на [], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 7. (вторая теорема Вейерштрасса). Если ф-ция f(x) непрерывна на [], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения, т.е. существуют такие точки х1, х2[], что для всех х[] f(x1) f(x) f (x2).
19.2.Точки, в которых нарушается непрерывность функции, наз-я точками разрыва этой функции. Если х = х0─ точка разрыва функции у = f(x), то в ней выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции, а именно:
1) Ф-ция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0.
2) Ф-ция определена в точке х0 и её окрестности, но не существует предела f(x) при х→х0.
3) Ф-ция определена в точке х0 и её окрестности, существует f(x), но этот предел не
равен значению функции в точке х0: f(x)≠f(x0).
Все точки разрыва ф-ции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва х0 наз-я точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. f(x)=A1 и f(x)=A2. При этом:
а) если А1 = А2, то х0─ точка устранённого разрыва.
б) если А1 ≠ А2, то х0─ точка конечного разрыва.
Величина │А1−А2│ называется скачком ф-ции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва х0 наз-я точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
20.1.Пусть на некотором промежутке (а;b) определена ф-ция у=f(x). Возьмём произвольную точку х0(а;b) и придадим аргументу х в точке х0 произвольное приращение ∆х токое, что точка х0 + ∆х(а;b). Производной функции у = f(x) в точке х0 наз-я предел при ∆х→0 отношения приращения ф-ции в этой точке к приращению аргумента, если этот предел существует. Обозначается предел функции f(x) в точке х0 через f '(x0), т.е.f '(x0) = =.
Если ф-ция у=f(x) имеет конечную производную в каждой точке х(а;b), то производную f '(x) можно рассматривать как ф-зию от х, определённую на (а;b).
Если для некоторого значения х0 выполняется условие = + ∞ (или = − ∞),
то говорят, что в точке х0 ф-ция f(x) имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке М(х0;f(x0)), т.е.
f '(x0) = tgφ (рис.15.1).
Опред-е: Ф-ция у = f(x) наз-я дифференцируемой в точке х0, если она имеет в этой точке конечную производную. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (а;b), то она называется дифференцируемой на(а;b).
В связи с этим определением операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.
Если ф-ция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то справедливы следующие утверждения:
1) ∆у = А∆х + α(∆х)∆х, где ∆х ─ приращение аргумента, ∆у ─ приращение функции, А ─
число, не зависящее от ∆х, α(∆х) ─ бесконечно малая функция при ∆х→0.
Очевидно, что А = = f '(x0).
2) ф-ция у = f(x) непрерывна в точке х0. Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Опред-е:Пусть ф-ция у = f(x) дифференцируема в точке х0. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется часть приращения ф-ции dy = f '(x0)∆x.
Дифференциалом независимой переменной х наз-я приращение этой переменной, т.е. dx = ∆x.
20.2. Правила дифференцирования ф-ций в след-ей теореме:
Теорема 1. Если ф-ции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих ф-ций (частное при условии, что v(x0)≠0) также дифференцируемы в этой точке, причём имеют место следующие формулы:
1) ; 2) ; 3) .
Доказ-о:
1) =
=
.
2)
=
=+
+=.
3) Пусть .
=
=.
Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции:
Теорема 2. Если ф-ция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х0 = φ(t0), то сложная функция f(φ(t)) имеет производную в точке t0, причём имеет место следующая формула
у'(t0) = f '(x0)φ'(t0).
Замечание. В теореме 2 у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость ─ с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.
Опред-е:Пусть функция у = f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x)dx называется дифференциалом первого порядка функции у = f(x). Дифференциалы высших порядков (второго, третьего и т.д.) определяются следующей формулой
dny = f(n)(x)(dx)n, n = 2,3,… .
21.1. Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена () и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f(x)=0.
Доказ-о: Пусть для определённости в точке х0 функция f(x) имеет наибольшее значение, т.е. для любого х() выполняется неравенство f(x) f(x0). Это означает, что ∆у = f(x0+∆x) − f(x0) 0 для любого приращения аргумента ∆х.
Возможны два случая:
1) ∆х > 0. Тогда 0 и, след-о, = 0.
2) ∆х < 0. Тогда 0 и, след-о, = 0.
По условию, f(x) существует, поэтому существует . Но тогда существует односторонние пределы и , причём
0 = = 0. Всё это возможно только при = 0, т.е. при f(x)=0.
Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 ф-ция f(x) имеет наименьшее значение.
Теорема Ролля. Пусть на [] определена функция f(x), причём: 1) f(x) непрерывна на []; 2) f(x) дифференцируема на (); 3) f() = f(). Тогда существует точка (), в которой f() = 0.
Доказ-о:Так как ф-ция f(x) непрерывна на [], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т.е. существуют такие точки х1, х2 [], в которых f(x1) = m, f(x2) = M и выполняются неравенства mf(x) Mдля всех х[].
Возможны два случая:
1) M = m. Тогда f(x) = const = M = m. В этом случае для любого х() имеем f '(x) = 0. Теорема верна.
2) m<M. Так как f() = f(), то хотя бы одно значение m или М достигается на (), т.е. существует () такая, что f() = m или f() = M. Поскольку f(x) дифференцируема в точке , то по теореме Ферма f '() = 0.
Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке [] определена функция f(x), причём 1) f(x) непрерывна на []; 2) f(x) дифференцируема на (). Тогда существует точка () такая, что справедлива формула
.(формула Лагранжа или формула конечных прирощений).
Доказательство. Введём в рассмотрение на [] вспомогательную функцию
F(x) = f(x) −f() − (x−).
Функция F(x) удовлетворяют всем трём условиям теоремы Ролля:
1) F(x) непрерывна на [] как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной функции f() + (x−);
2) F(x) дифференцируема на (). Действительно, f(x) дифференцируема на () по условию, поэтому производная
F'(x) = f '(x) − существует на ();
3) F() = 0; F() = 0, т.е. F() = F().
Тогда по теореме Ролля существует точка() такая, что F'() = 0, т.е. f '() = .
Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [] и дифференцируемы на (). Пусть, кроме того, g'(x)≠0. Тогда на () существует точка такая, что справедлива формула
(формула Клши или обобщенная формула конечных прирощений).
Доказ-о. Прежде всего отметим, что g() ≠ g(), т.е. формула (*) имеет смысл. Если предположить, что g() = g(), то по теореме Ролля для функции g(x) на () найдётся точка h такая, что g'(h) = 0. Это противоречит условию g'(x) ≠ 0 на ().
Рассмотрим на [] вспомогательную функцию:
F'(x) = f '(x) − g'(x),т.еf '() − g'() = 0,
откуда, учитывая g'() ≠ 0, получим
Замечание. Если в формуле Коши взять функцию g(x) = x, то получим формулу Лагранжа.
21.2. Теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале (), содержащем точку х0, за исключением, быть может, самой точки х0. Пусть, далее, f(x) = g(x) = 0 и g'(x) ≠ 0 на (). Тогда, если существует , причём
=
Замечание 1. Теорема Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости
Замечание 2. Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя-Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость , то правило Лопиталя-Бернулли применяют повторно.
Замечание 3. Теорема Лопиталя-Бернулли остаётся верной и в случае, когда х→∞, х→+∞, х→−∞.
Замечание 4. Если в теореме Лопиталя-Бернулли заменить требование
f(x) = g(x) = 0 на условие f(x) = g(x) = ∞, то теорема остаётся верной. В такой формулировке правило Лопиталя-
Бернулли позволяет раскрывать неопределённости вида
Замечание 5. Неопределённости вида 0 ∞ и ∞ − ∞ можно свести к неопределённостям вида и , а затем раскрыть с помощью правила Лопиталя-Бернулли.
Замечание 6. Неопределённости вида 00, 1∞, ∞0 имеют место при рассмотрении функций у = f(x)g(x). Эти неопределённости с помощью тождества f(x)g(x) = еg(x)ℓnf(x)сводятся к неопределённостям, которые рассмотрены выше.
Замечание 7. Однако правило Лопиталя-Бернулли не всегда применимо, т.е., когда не существует предела.
22.1. Под «исследованием функции» понимают изучение её поведения (изменения) в зависимости от изменения аргумента. На основании исследования функции строят её график, предварительно изображая характерные точки.
Исследование функций и построение графиков можно проводить по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать вопрос о чётности функции, о периодичности.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Изучить поведение функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения.
5. Найти точки экстремумов, промежутки возрастания и убывания функции.
6. Определить промежутки выпуклости функции, найти точки перегиба.
7. Найти асимптоты графика функции.
Порядок исследования иногда целесообразно выбирать исходя из конкретных особенностей данной функции.
22.2.Ф-ция у = f(x) на интервале () наз-я:
а) постоянной, если f(x) = c, где с = const, для любого х();
б) возрастающей, если для любых двух значений х1, х2() из неравенства х1 < х2
следует неравенство f(x1) <f(x2);
в) убывающей, если для любых двух значений х1, х2() из неравенства х1 < х2 следует
неравенство f(x1) >f(x2).
Теорема (достаточное условие возрастания и убывания функции).
Если в данном промежутке производная ф-ции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке; если же производная равна нулю, то функция постоянна на промежутке.
Доказ-о:Рассмотрим ф-цию y = f(x) на (). Возьмём произвольно х1,х2 () такие, что х1 < х2. По теореме Лагранжаf(x2) – f(x1) = f '(c)(x2 − x1),где с(х1;х2). Возможны следующие случаи:
1) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x2 − x1 > 0 и поэтому f(x1) − f(x2) > 0, т.е. f(x1) <f(x2). Следовательно, f(x) возрастает на ().
2) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x2 − x1 > 0 и поэтому f(x1) − f(x2) < 0, т.е.
f(x1) >f(x2). Следовательно, функция у = f(x) убывает на ().
3) производная f '(x) = 0 на (). Тогда f '(c) = 0, откуда f(x1) − f(x2) = 0, т.е. f(x1) = f(x2).
Это означает, что ф-ция у = f(x) постоянна на ().
22.3.Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке (). Пусть х0(), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х0 интервал (х0 − δ;х0 + δ) и обозначать его О(х0;δ).
Опред-е: Если можно указать такую δ-окрестность точки х0, принадлежащую (), что для всех хО(х0;δ), х ≠ х0, выполняется неравенство f(x0) >f(x), то у0 = f(x0) называют максимумом функции у = f(x) и обозначают через maxf(x) (рис.17.1).
Если же для всех хО(х0;δ), х ≠ х0, выполняется неравенство f(x0) <f(x), то у0 = f(x0) называют минимумом функции у = f(x) и обозначают через minf(x) (рис.17.2.).
Максимум и минимум ф-ции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов ой же функции (рис.17.3).
Опред-е: Максимум и минимум функции называют экстремумом. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифференцируемой ф-ции производная её равна нулю.
Доказ-о: Пусть х0─ точка экстремума дифференцируемой функции f(x). Для определённости положим, что х0─ точка максимума. Тогда для достаточно малых . Теперь< 0 при > 0; > 0 при < 0; откуда ≤ 0, ≥ 0.
Так как ф-ция дифференцируема, то 0 ≤ = f '(x0) = ≤ 0, откуда следует f '(x0) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х0─ точка минимума функции.
Замечание 1. Если f '(x0) = 0, то отсюда ещё не следует, что х0─ точка экстремума.
Замечание2. Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует.
Опред-е:Точка, в которой производная равна нулю, наз-я стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых ф-ция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими. Т. образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.
Опред-е: Говорят, что функция у = f(x)меняет знак при переходе через точку х=х0, если f(x1)f(x2) < 0 для любых х1, х2 из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х1<x0<x2; знак меняется с плюса на минус, если f(x1)>0, f(x2) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f(x1) < 0, f(x2) > 0.
Теорема (достаточное условие экстремума).
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. если в точке х = х0 производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 является точкой экстремума, причём: 1) х0─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х0─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.
Доказ-о: Пусть в точке х0 производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е. f '(x0) = 0, f '(x) < 0 при х0 −δ <x<x0, f '(x) > 0 при х0<x<x0 + δ (δ>0). Тогда функция f(x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывание (х0 −δ;х0) и возрастает на интервале (х0;х0+δ), т.е. f(x0) <f(x) для всех хО(х0,δ)= =(х0−δ;х0+δ), х ≠ х0. Следовательно, х0─ точка минимума. Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с плюса на минус. Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью второй производной.
Теорема (достаточное условие экстремума).
Если в точке х = х0 первая производная дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 функции у = f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х0 является точкой экстремума, причём: 1) х0─ точка минимума, если f ''(x0) > 0; 2) х0─ точка максимума, если f ''(x0) < 0.
22.4.Опред-е: График ф-ции у=f(x) наз-я выпуклым вниз в данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рис.17.7). График ф-ции у = f(x) наз-я выпуклым вверх в данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рис.17.8).
Теорема (достаточный признак выпуклости графика функции).
Если вторая производная ф-ции у = f(x) положительна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке; если же вторая производная отрицательна в данном промежутке, то график ф-ции является выпуклым вверх в этом промежутке
Опред-е: Точкой перегиба графика ф-ции у = f(x) наз-я такая его точка М0 (рис.17.9.), в которой меняется направление выпуклости.
Теорема (достаточный признак существования точки перегиба).
Если в точке х = х0 вторая производная ф-ции у = f(x) обращается в нуль и меняет знак при переходе через неё, то М0(х0;f(x0)) ─ точка перегиба графика этой ф-ции.
22.5.Если график ф-ции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптоты. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Опред-е:Прямая х = наз-я вертикальной асимптотой графика у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x), f(x) является бесконечным.
Опред-е:Предположим, что функция у = f(x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента. Для определённости будем рассматривать положительные значения аргумента. Прямая у = наз-я наклонной асимптотой графика ф-ции у = f(x), если эта ф-ция представима в виде f(x) = ,где ─ бесконечно малая функция при х→ +.
Теорема (необходимые и достаточные условия существования асимптоты).График ф-ции у = f(x) имеет при х→ + наклонную асимптоту у = тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела , . (*)
Доказ-о:Пусть график ф-ции у = f(x) имеет асимптоту у = . Тогда f(x) = , где = 0. Следовательно,
,
.
Обратно. Пусть существуют пределы (*). Тогда из равенства можем записать также, что . Это означает, что функция является бесконечно малой функцией при х→ +. Отсюда f(x)=и по определению прямая у = является наклонной асимптотой.
23.1.Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.
Опред-е: Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений () из некоторого множества X соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = ().
Некоторые примеры функции нескольких переменных:
1)Ф-ция z = , где , − постоянные числа, называется линейной.
2) Ф-ция z = , где − постоянные числа, называется квадратической.
3)Одно из базовых понятий экономической теории − функция полезности. Эта функция z = (), выражающая полезность от n приобретённых товаров .
4)Также часто в экономике встречается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов. Например, при n = 2 для величины общественного продукта z = , где − затраты труда, − объём производственных фондов, − постоянные числа.
23.2.Множество всех точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству , наз-я − окрестностью точки М0(х0;у0) − это всё внутренние точки круга с центром М0 и радиусом (рис.21.2).
Опред-е: Пусть ф-ция z = определена в некоторой окрестности точки М0(х0;у0), кроме быть может, самой этой точки. Число А наз-я пределом функции z = при и (или, что то же самое, при М(х;у) → М0(х0;у0)), если для любого > 0 существует такое, что для всех и из −окрестности точки М0, выполняется неравенство Записывают:
А = или А = .
Вычисление пределов функции двух переменных оказывается существенно более трудной задачей 7по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего 2 направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке − а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений − бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствами предела функции одной переменной.
Определение. Функция z = называется непрерывной в точке , если она:
1)определена в точке ;
2)имеет конечный предел при и ;
3)этот предел равен значению функции в точке , т.е. = .
Геометрический смысл непрерывности очевиден: график функции z = в точке представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхность. Напомним, что графиком функции z = называется совокупность точек трёхмерного пространства (рис.21.3).
23.3.Пусть задана ф-ция z = . Так как и ─ независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять своё значение. Дадим независимой переменной приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда z получим приращение, которое называется частным приращением z по xи обозначается . Итак, = .
Аналогично определяется частное приращение zпо у:= .
Полное приращение функции z определяется равенством =.
Если существует предел = , то он наз-я частной производной функции z = в точке М по переменной и обозначается одним из символов: , , , . Частные производные по в точке М0 обозначают символами ,
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = по переменной :
= = .
Т. образом, частная производная ф-ции нескольких переменных (двух, трёх и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные ф-ции находят по формулам и правилам вычисления производных ф-ций одной переменной (при этом соответственно и считается постоянной величиной).
23.4.Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как ф-ции от. Эти ф-ции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
= = = ;
= = = ;
= = = ;
= = = .
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.Частные производные и наз-я смешанными частнымипроизводными.
Теорема 1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличаются лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для z = имеем:= .
23.5.Пусть ф-ция z = определена в некоторой окрестности точки М. Полное приращение функции в точке М: .
Опред-е. Ф-ция z = наз-я дифференцируемой в точке М, если её полное приращение в этой точке можно представить в виде А+В+,где и при, . Сумма первых двух слагаемых в этом равенстве наз-ся главной частью приращения функции. Главная часть приращения ф-ции z = наз-я полным дифференциалом этой ф-ции и обозначается символом : = А+ В.
Выражения Аи В называют частным дифференциалами. Для независимых переменных и полагают = , . Поэтому dz=Adx+Bdy.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).Если ф-ция z = дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
и , причём= А, = В. Т. образом, полный дифференциал ф-ции z = вычисляется по формуле .
Следующая теорема даёт достаточные условия дифференцируемости ф-ции.
Теорема. Если ф-ция z = имеет непрерывные частные производные и в точке М, то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой
.
Из определения дифференциала функции z = следует, что при достаточно малых и имеет место приближённое равенство . Так как , то имеем формулу
.Эта формула используется в приближённых расчётах.
23.6.Пусть ф-ция z = определена в некоторой области D, точка .
Точка наз-я точкой максимума ф-ции z = , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки , отличной от, из этой окрестности выполняется неравенство: . Аналогично определяется точка минимума ф-ции: для всех точек , отличных отизокрестности точки выполняется неравенство: .
Значение ф-ции в точке в точке максимума (минимума) наз-я максимумом (минимумом) ф-ции. Максимум и минимум называют её экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к . В области определения ф-ция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Теорема (необходимые условия экстремума).
Если в точке дифференцируемая функция z = имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю: , .
Определение. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = равны нулю, т.е. , , наз-я стационарной точкой ф-ции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, наз-я критическими точками.
Для нахождения экстремумов ф-ции в данной области необходимо каждую критическую точку ф-ции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой её окрестности ф-ции имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения , , . Обозначим
= .Тогда:
1)если , то ф-ция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0: минимум, если А>0;
2)если , то ф-ция в точке экстремумов не имеет.
В случае, когда экстремум в точке может быть, а может и не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
24.1.Ф-ция F(x), определённая в промежутке (а;b), наз-я первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого значения х(а;b) выполняется равенство F'(x) = f(x).
Теорема 1. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), то множество {F(x) + CC─ произвольная постоянная} есть множество всех первообразных функции f(x).
Доказ-о: Очевидно, что любая функция Ф(х) = F(x) + C0, где С0─ некоторая постоянная, является первообразной функции f(x), т.к. Ф'(х)= (F(x) + C0)' = F'(x) + C'0= f(x). Обратно, если Ф(х) ─ некоторая первообразная функции f(x), то (Ф(х) – F(x))' = Ф'(х) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0. Но это означает, что функция Ф(х) – F(x) постоянна, т.е. существует произвольная постоянна С1 такая, что Ф(х) – F(x) = С1, откуда Ф(х) = F(x) + С1.
24.2.Если ф-ция F(x) ─ первообразная ф-ции f(x), то множество всех ф-ций F(x) + С, где С─ произвольная постоянная, наз-я неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx = F(x) + C.
При этом функция f(x) наз-я подинтегральной функцией, f(x)dx─подинтегральным выражением. Операция нахождения неопределённого интеграла называется также интегрированием.
Св-о1. Производная неопределённого интеграла равна подинтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению, т.е. (f(x)dx)' = f(x); d(f(x)dx) = f(x)dx.
Св-о2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. d((x)) = (x) + С.
Св-о3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е. kf(x)dx = k f(x)dx (k = const, k0).
Св-о4. Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x) + f2(x) также имеет первообразную, причём (f1(x) + f2(x))dx = f1(x)dx + f2(x)dx.
Св-о5. Если функции f1(x), f2(x),…, fn(x) имеют первообразные, то функция f1(x) + f2(x) +…+ fn(x) также имеет первообразную, причём (f1(x) +…+ fn(x))dx = f1(x)dx + … +fn(x)dx.
24.3. 1)dx = x + C, 2)xdx = + C,(> 0), 3) dx = ℓnx+ C, 4)axdx = + C, (a> 0), 5)exdx = ex + C, 6)cosxdx = sinx + C, 7)sinxdx = - cosx + C,8)dx = tgx + C, 9)dx = - ctgx + C, 10)=arcsinx + C =-arccosx+ C, 11)dx = arctgx + C = - arcctgx + C.
Замечание. Формулы этой таблицы остаются справедливыми и в случае, когда вместо х поставить некоторую дифференцируемую функцию u = u(x), т.е. можно записать обобщённую таблицу простейших неопределённых интегралов: 1. du = u + C, 2. udu = + C ( 1)и т.д.
24.4.К числу важным методам интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования; замены переменной; интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 4 неопределённого интеграла (Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные, то функция f1(x) + f2(x) также имеет первообразную, причём
(f1(x) + f2(x))dx = f1(x)dx + f2(x)dx.) и использует таблицу основных неопределённых интегралов.
Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.
Теорема. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), а х = (t) ─ дифференцируемая функция f((t))'(t) также имеет первообразную, причём f((t))'(t)dt = F((t)) + C.
Доказ-о: По правилу дифференцирования сложной функции (F((t)))' = F'((t)) '(t) = f((t))'(t), т.е. функция f((t))'(t) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F((t)). След-о, f((t))'(t)dt = F((t)) + C. Поскольку F((t)) + C = F(х) + C = f(х)dх, тоf(х)dх = f((t))'(t)dt. (*)
По формуле (*) осуществляется замена переменной в неопределённом интеграле.
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле udv = uv─vdu , где u = u(x), v = v(x) ─ некоторые дифференцируемые функции.
25.1.Пусть дана ф-ция , определённая на [], где . Отрезок [] точками = разобьём на n элементарных отрезков , , …, , длины которых обозначим через , т.е. , k=1,2,…,n. В каждом из элементарных отрезков выберем произвольно одну точку , значение ф-ции f() умножим на длину отрезка и составим сумму всех таких произведений Sn = (1)
Сумма (1) наз-я интегральной суммой для функции на []. Обозначим через λ длину наибольшего из элементарных отрезков , т.е.
λ=max, k=1,2,…,n.
Опред-е: Определённым интегралом от ф-ции на [] наз-я, конечный предел её интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.
Обозначается: . наз-я подинтегральной функцией, ─переменной интегрирования, ─нижним пределом интегрирования, ─верхним пределом интегрирования.
След-о, по определению:
= (3)
Из определения следует, что величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
= = … = .
Функция, для которой существует предел (3), называется интегрируемой на [].
Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что если и f(x)≥0, то определённый интеграл от функции по отрезку [] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми, снизу осью .
Св-а определенного интеграла:
1. По определению полагаем
= 0.
2. при перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный, т.е.
= −.
3. Св-о аддитивности.
Если промежуток интегрирования [] разбит на конечное число отрезков , , …, , то
= + + … + .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е. = .
5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, = +…+ .
6. если ф-ция интегрируема на [], где , и ≥0 для всех [], то ≥ 0.
7. Если ф-ции , φ(x) интегрируемы на [], где , и ≤ φ(x) для всех [] , то
≤ .
8. Если фция интегрируема на [], где , то функция ││ также интегрируема на [], причём
.
25.2. Теорема (об оценке определённого интеграла).
Если ф-ция интегрируема на отрезке [], где , и для всех [] выполняется неравенство
m ≤ ≤ M, тоm(b-a) ≤ ≤ M(b-a).(*)
Доказ-о:На основании свойства из неравенства m ≤ f(x) ≤ M находим, что ≤ ≤ .
Из свойства определенного интеграла(Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
= )имеем: ≤ ≤ . Покажем, что =. Действительно,
= = = . Теперь получаем
m ≤ ≤ M.
Теорема доказана.
Неравенство (*) позволяет оценить определённый интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение.
Теорема (о среднем значении). Если функция непрерывна на отрезке [], то на этом отрезке существует точка такая, что = (**).Формула (**) наз-я формулой среднего значения.
Доказ-о: Так как функция непрерывна на [], то по второй теореме Вейерштрасса, существует числа m и M такие, что m ≤ ≤ M, Тогда по теореме об оценке определённого интеграла находим
m(b-a) ≤ ≤ M(b-a) и след-о,m ≤ ≤ M. Положим = μ, (m ≤ μ ≤ M).
Так как μ заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции на [], то, учитывая вторую теорему Больцано-Коши, можем указать точку [] такую, что = μ.
Таким образом, = . Теорема доказана.
25.3.Рассмотрим функцию , интегрируемую на []. Если [], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке []. Предположим, что меняется на [], тогда на этом интеграле определена функция
Ф() = , где ─ переменная интегрирования, ─ переменный верхний предел. Эту ф-цию называют определённым интегралом с переменным верхним пределом.
Св-о 1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является непрерывной на [] функцией.
Св-о 2. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная определённого интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подинтегральной функции для этого предела интегрирования, т.е.
= f(x).
Следствие. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подинтегральной функцией, т.е. для любой непрерывной функции существует производная.
25.4. Теорема (о формуле Ньютона-Лейбница).
Пусть ф-ция непрерывна на отрезке []. Тогда, если функция F(x) является некоторой её первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула
= F() – F(). (формула Ньютона-Лейбница).
Доказ-о: Пусть Ф(х) является первообразной для функции на []. Пусть F(x) ─ некоторая постоянная. Подставим в последнее равенство .Тогда = F() + C, т.е. О = F() + C, откуда С = − F().
Итак, для любого [] = F() – F(). Полагая , получим = F() – F().
Теорема доказана.
Разность F() – F() принято условно записывать в виде F(). Тогда формула Ньютона-Лейбница принимает вид
= F(). Эта формула не только устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами, но и даёт простой метод вычисления определённого интеграла.
25.5. К таким относятся методы: замены переменной; интегрирования по частям.
Теорема (о замене переменной в определённом интеграле).
Пусть ─ непрерывная функция на отрезке []. Тогда если:
1) функция = φ(t) дифференцируема на и φ'(t) непрерывна на ;
2) множеством значений функции = φ(t) является отрезок [];
3) φ, φ, то справедлива формула
= (*)
Доказ-о:По формуле Ньютона-Лейбница = ,где некоторая первообразная для на . Рассмотрим сложную функцию . По правилу дифференцирования сложной функции
.То означает, что функция является первообразной для функции , непрерывной на , и, поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем
= = = =.
Теорема доказана.
Формула (*) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.
Замечание 1. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной мы возвращались от новой переменной к старой, то при замене переменной в определённом интеграле делать этого не надо.
Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле).
Если функции и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива формула(**) (формула интегрирования по частям в определённом интеграле).
Доказ-о:Так как ф-ции и имеют по условию производные, то по правилу дифференцирования произведения,т.е. ф-ция является первообразной для функции . Так как эта функция непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница
= .
Тогда = , откуда .
Теорема доказана.
25.6.Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции на равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми, снизу осью .
Осью Oy
25.7.Пусть плоская кривая задана уравнением , где непрерывная на
функция. Если производная также непрерывна на , то длина дуги данной кривой (Рис.19.5.) вычисляется по формуле
.
25.8. Пусть кривая задана уравнением , , и пусть функция
неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на . Тогда поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси (Рис.19.7.), имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле .
Если же поверхность получается вращением кривой , заданной уравнением , , вокруг оси , то площадь такой поверхности вычисляется по формуле
.
25.9. Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объём . Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси . С изменением меняется и площадь сечения, т.е. площадь сечения является некоторой функцией . Если эта функция непрерывна на , то объём тела
.В частности, если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии , где (Рис.19.10.), то и получаем формулу:.
Если же тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной дугой линии , , то его объём .
26.1.При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция ограничена на . В этом случае определённый интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.
26.2.Пусть ф-ция непрерывна при любом . Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом. Предположим, что при функция имеет конечный предел; этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается .
Если же этот предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной ф-ции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева прямой , снизу осью (В случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося бесконечной) (Рис.20.1.).
Если первообразная для, то = = , где = и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределам и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами +, где с любая точка из интервала .
С помощью следующих двух теорем можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов.
Теорема 1. Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причём
;если же расходится, то расходится и интеграл .
Теорема 2. Если в промежутке функция меняет знак и сходится, то сходится также .
26.3.Если функция не ограничена в окрестности точки с отрезка и непрерывна при и , то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой
= +, где (1). В случае, когда или , получаем = (2)
= (3)
Несобственный интеграл (2) или (3) называется сходящимся, если существует конечный предел соответствующего определённого интеграла; в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл (1) называется сходящимся, если существует и конечны оба предела в правой части.
27.1.Рассмотрим ф-цию , определённую в области S, которая ограничена замкнутой линией (рис.22.1).
Область S сетью дуг разобьём на n элементарных областей . Предполагается, что область S и элементарные области имеют площади, которые обозначим теми же символами. В каждой элементарной области произвольно выберем точку Мk, значение ф-ции в этой умножим на площадь , составим сумму всех таких произведений: In= .
Эта сумма наз-я интегральной суммой для ф-ции по области S. Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей .
Двойным интегралом от ф-ции по области S наз-ся предел её интегральной суммы при:
= .
Ф-ция наз-я подинтегральной фц-ией, а область S─областью интегрирования. Двойной интеграл от ф-ции по области S обозначается также следующим образом: .
Если предел существует, то ф-ция наз-я интегрируемой в области S.Отметим, что непрерывные в области S ф-ции всегда интегрируемы.
Геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от ф-ции ≥ 0 по области S равен объёму цилиндроида с основанием S, который ограничен сверху поверхность (рис.22.2).
Св-а двойного интеграла:
1)Если ф-ции и интегрируемы в области S, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причём = ±
2)Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла = , с = const.
3)Если интегрируема в области S и S разбита на две непересекающиеся области S1 и S2, то
= + .
4)Если ф-ции и интегрируемы в области S, в которой ≤, то ≤ .
5)Если ф-ция интегрируема в области S, то также интегрируема в ней, причём ≤
6)Если в области S ф-ция удовлетворяет условиям , то ,где S1─ площадь области S.
27.2.Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область V и определённую в ней непрерывную ф-цию . Аналогично строится интегральная сумма по данному объёму и определяется тройной интеграл от функции по пространственной области V: = или=.
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствами двойного интеграла.
Предположим, что область V явл-я стандартной в направлении оси , т.е. удовлетворяет следующим условиям:
1)всякая прямая, параллельная оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;
2)проекция S области V на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .
Если стандартная область V ограничена сверху поверхностью , снизу ─ поверхностью , а проекция S области V стандартна в направлении оси и определяется неравенствами, ,то= .
Замечание 1. Если область S явл-я стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то = .
Замечание 2. Если область V явл-я стандартной в направлении каждой координатной оси и её проекции на координатные плоскости явл-я стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трёхкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.
Замечание 3. Если V─ прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами ,, , то = .
28.1.Пусть дана бесконечная последовательность чисел . Символ
обозначаемый, наз-я числовым рядом или просто рядом, а числа членами числового ряда. Суммы конечного числа членов ряда , …, наз-я частными суммами (или отрезками) числового ряда.
Рассмотрим последовательность . Если существует предел , то числовой ряд наз-я сходящимся, а число суммой этого ряда. В этом случае пишут
= = . Если же последовательность не имеет предела, то ряд наз-я расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Основные свойства числовых рядов:
1)Если в ряде = отбросить конечное число n первых членов, то получим ряд
,который наз-я n-ым остатком данного ряда. n-ый остаток данного ряда сходится (или расходится) одновременно с данным рядом. Это означает, что при исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его первых членов.
2)Необходимый признак сходимости ряда:общий член сходящегося ряда стремится к нулю при , т.е. = 0. Это означает, что если 0, то ряд расходится.
3)Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд , где произвольное число, также сходится и его сумма равна .
4)Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится и его сумма .
28.2. Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.
1)Признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда
=(1)
=(2)
Если выполняется условие , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда, а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
2) Признак Даламбера. Если члены положительного ряда таковы, что существует предел , то при ряд расходится, а при сходится.
3) Интегральный признак Коши. Пусть члены положительного ряда такие, что где функция при непрерывна, положительна убывает. Тогда данный ряд и несобственный интеграл
сходится или расходится одновременно.
28.3.Знакочередующимся рядом наз-я ряд вид (1), где
1) признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) удовлетворяют условиям
а) ;
б) = 0,то знакочередующийся ряд сходится.
28.4. Рядам с членами, имеющими любой знак. С каждым таким рядом (1) связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд (2)
Опред-е: Ряд (1) наз-я абсолютно сходящимся, если ряд (2) сходится. Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) наз-я условно сходящимся.
Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
28.5.Ряды, членами которых явл-я не числа, а функции: (1) наз-я функциональными.
Например, ряд явл-я функциональным.
Если в ряде (1) положим , где значение из области определения функций , , то получим числовой ряд(2)
Если ряд (2) сходится, то наз-я точкой сходимости ряда (1). Если же ряд (2) расходится, то точка наз-я точкой расходимости ряда (1).
Опред-е:Совокупность всех точек сходимости функционального ряда наз-я областью его сходимости.
28.6. Степенным рядом наз-я функциональный ряд вида , (1) где действительные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
А) Если степенной ряд сходится лишь в точке , то он относится к рядам первого класса.
Б) Если ряд (1) сходится на всей числовой прямой, то он относится к рядам второго класса.
В) Ряд (1), не принадлежит первому и второму классам, относят к рядам третьего класса.
Теорема Абеля.Если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится для любого , удовлетворяющего условию;если же степенной ряд (1) расходится при , то он расходится и при любом , удовлетворяющем условию .
Следствие. Для каждого степенного ряда (1) третьего класса существует число , наз-ое радиусом сходимости этого ряда, для которого выполняется условия: при ряд (1) сходится абсолютно, при ряд (1) расходится.
Промежуток наз-я интервалом сходимости степенного ряда. Для степенного ряда (1) второго класса интервал сходимости .
Областью сходимости степенного ряда (1) явл-я интервал , к которому в отдельных случаях добавляется один или оба конца этого интервала (это исследуется для конкретных рядовпри и ).
Для степенного ряда (1) первого класса полагают ; для степенного ряда (1) второго класса .
Теорема 2. Пусть для степенного ряда (1) существует и отличен от нуля предел
.Тогда .
29.1.
29.2.
29.3.
29.4.
29.5.
30.1. Дифференциальное уравнение называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую ф-ию и её производные. Если искомая ф-ция есть ф-ция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение наз-я обыкновенным.Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, наз-я порядком данного уравнения. След-о, общий вид ДУ n-го порядка следующий: = 0. (1)
Ф-ция , которая при подстановке её в уравнение (1) обращает это уравнение в тождество, наз-я решением этого уравнения.
ДУ первого порядка.ДУ 1-го порядка имеет общий вид (2)или вид,(3) если уравнение (2) можно разрешить относительно .
Решение уравнение (3), содержащее произвольную постоянную , т.е. имеющее вид ,наз-я общим рядом этого уравнения. Иногда решение получается в неявной форме или . Такое решение называют общим интегралом уравнения (2). Решение, которое получается из общего при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , наз-я частным решением. Условие, что при ф-ция должна равняться числу , наз-я начальным условием. Начальное условие даёт возможность выделить из общего решения частное решение.
30.2.Уравнение вида (4) наз-я уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение (4) можно записать в виде
, .
Делим обе части уравнения на.
Интегрируя обе части, получаем общий интеграл уравнения (4):
.
30.3.Ф-ция наз-я однороднойизмерения , если имеет место тождество
Уравнение наз-я однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ции и однородные ф-ции одного и того же измерения.
С помощью подстановки , где некоторая новая искомая ф-ция от , однородное уравнение производится к уравнению с разделяющимися переменными.
30.4.Уравнение наз-я линейным ДУ 1-го порядка.
Для решения используют подстановку , где новая неизвестная ф-ция, выбирают специальным образом.,.Ф-цию выбирают так, чтобы .
31.1.Общий вид ДУ второго порядка
Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Если заданы начальные условия , при, то из системы
, можно определить постоянные и ичастное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным уравнениям.
Рассмотрим некоторые случаи, когда уравнение второго порядка решается применением операций неопределённого интегрирования:
1)Пусть. Интегрируя, получим.Интегрируя ещё раз, получим, где и произвольные постоянные.
2)Пусть . Положим . Тогда .
След-о, исходное уравнение принимает вид . Разделяя переменные, получим .
Интегрируя последнее уравнение, находим
или , . Разделим переменные . Тогда
.
3)Пусть . Полагаем . Тогда и данное уравнение принимает вид .
Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь , .
Определив из этого уравнения величину , путём вторичного интегрирования можно найти и .
31.2. Два случая, когда ДУ второго порядка(*)приводится к ДУ первого порядка.
1)Пусть уравнение (*) имеет вид.Полагая и , получим ДУ первого порядка,где роль независимой переменной играет .
2)Пусть уравнение (*) имеет вид . Полагая и , получим уравнение первого порядка с неизвестной функцией .
31.3.Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
1. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: (*). Для решения данного уравнения составляют характеристическое уравнение
Возможны три случая:
а) . Тогда корни характеристического уравнения и уравнение (*) имеет общее решение вида .
b) . Тогда и общее решение уравнения (*) имеет вид .
с) . Тогда общее решение уравнения (*) имеет вид
.
2.Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: (**), где постоянные числа, известная ф-ция от .
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (**) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (*) и частного решения данного неоднородного уравнения.
Способ нахождения частного решения данного неоднородного линейного ДУ. При рассмотрении этой задачи можно ограничиться лишь простейшими правыми частями уравнения.
1) Правая часть уравнения есть показательная ф-ция, т.е. .
а)Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде .
б)Если характеристическое уравнение имеет два равных корня и один из корней, то частное решение ищем в виде .
В)Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, равных числу , то частное решение ищут в виде .
2) Правая часть неоднородного уравнения есть тригонометрический полином.
Частное решение ищут в форме тригонометрического полинома , где и неопределённые коэффициенты, или .
3) Правая часть линейного уравнения представляет собой многочлен, например, второй степени
.Ищем частное решение этого уравнения в виде ,где неопределённые коэффициенты, если . Если же , то при частное решение ищем в виде .