Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Схема управления электродвигателем объекта»
Выполнил: студент группы АТР-131
Колядинцев Иван
Принял: доц. Купцов Валерий Семенович
Воронеж
2013г.
Содержание
Условие задачи _____________________________________________
Теоретические сведения ______________________________________
Решение ___________________________________________________
Анализ решения _____________________________________________
Список используемой литературы ______________________________
Условие задачи
Разработать схему управления электродвигателем объекта. Цель управления - выставить объект в центре рабочего участка. Положение объекта относительно центра определяется датчиками «Слева» и «Справа». Остановка происходит при отсутствии сигналов с обоих датчиков. Орган управления: ключ «Пуск»
Теоретические сведения
Булевы функции
Булевы функции находят применение в конструировании и упрощении логических схем. Такие схемы встречаются в электронных устройствах, используе мых в компьютерах, калькуляторах, телефонных системах и ряде других устройств.
Обозначим множество {0;1} через , т. е. .
Функция f из множества называется булевой функцией n переменных. Напомним, что
Переменные булевых функций могут принимать только значения 0 или 1 и называются булевыми переменными.
Множества всех булевых функции n переменных обозначается , т.е.
.
Количество всех булевых функции n переменных находится по формуле
.
Например, булевых функции 1 переменной
,
булевых функции 2 переменных
,
булевых функции 3 переменных
.
Булевы функции часто задаются таблично. Эти таблицы напоминают таблицы истинности логических операций, поэтому сами булевы функции часто называют булевыми операциями, а соответствующие им таблицы - таблицами истинности.
Булевы функции одной переменной
|
|
|
Значения переменной х |
0 |
1 |
|
|
Название функции |
Обозначение функции |
Значения функции |
|
|
f1 |
Тождественный нуль |
0 |
0 |
0 |
|
f2 |
Тождественная |
х |
0 |
1 |
|
f3 |
Отрицание |
1 |
0 |
|
|
f4 |
Тождественная единица |
1 |
1 |
1 |
Булевы функции двух переменных
|
|
|
Значения переменных |
x1 |
0 0 |
0 1 |
1 0 |
1 1 |
|
x2 |
|||||||
|
|
Название функции |
Обозначение функции |
Значения функции |
||||
|
f1 |
Тождественный нуль |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
f2 |
Конъюнкция |
&, , · |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
f3 |
Отрицание импликации |
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
f4 |
Тождественная первой переменной |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
|
f5 |
Отрицание импликации |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
f6 |
Тождественная второй переменной |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
f7 |
Сумма по модулю два, строгая дизъюнкция |
, |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
f8 |
Дизъюнкция |
0 |
1 |
1 |
1 |
||
|
f9 |
Стрелка Пирса |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
f10 |
Эквиваленция |
, , ~ |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
f11 |
Инверсия второй переменной |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
f12 |
Импликация |
1 |
0 |
1 |
1 |
||
|
f13 |
Инверсия первой переменной |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
|
f14 |
Импликация |
1 |
1 |
0 |
1 |
||
|
f15 |
Штрих Шеффера |
1 |
1 |
1 |
0 |
||
|
f16 |
Тождественная единица |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Как уже говорилось ранее, имеется 256 булевых функции 3 переменных. Перечислять их все нет необходимости, приведем лишь примеры задания такой функции:
,
(тождественная единица) и др.
Тема 3.2. Реализация функций формулами
Так же, как составные высказывания строятся из более простых, с помощью логических операций, можно комбинировать булевы переменные с помощью булевых опе раций, получая булевы выражения, которые называются формулами.
Всякой формуле однозначно соответствует некоторая функция, при этом говорят, что формула реализует функцию.
ПРИМЕР
Построить таблицу истинности для формулы .
|
x1 |
x2 |
||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Таким образом, формула реализует функцию (тождественная единица).
ПРИМЕР
Построить таблицу истинности для формулы .
|
x1 |
x2 |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Таким образом, формула реализует функцию (дизъюнкция).
Тема 3.3. Равносильные формулы
Формулы называются равносильными, если реализуют одну и ту же функцию.
Формула называется тождественно-истинной или тавтологией, если она реализует тождественную единицу.
Формула называется тождественно-ложной, если она реализует тождественный ноль.
Законы булевой алгебры
Законами булевой алгебры называются следующие равносильности:
1. Идемпотентность
.
2. Коммутативность
.
3. Ассоциативность
.
4. Дистрибутивность
.
5. Закон поглощения
.
6. Закон склеивания
.
7. Закон нуля
.
8. Закон единицы
.
9. Закон дополнения
.
10. Инволютивность
.
11. Законы де Моргана
.
Тема 3.4 Принцип двойственности
Двойственной для булевой функции называется булева функция
.
ПРИМЕР
, , ,
,
.
Функция f называется самодвойственной если .
ПРИМЕР
Функция является самодвойственной, т.к. .
ТЕОРЕМА (Закон двойственности)
Если формула f1 равносильна формуле f2 , то формула f1* равносильна формуле f2*.
(Если две равносильные формулы заменить двойственными, то равносильность сохранится).
ТЕОРЕМА (Принцип двойственности)
Двойственная к булевой формуле может быть получена заменой констант 0 на 1, 1 на 0, Ù на Ú, Ú на Ù и сохранением структуры формулы (т.е. соответствующего порядка действий).
Тема 3.5. СДНФ и СКНФ
Определим степень следующим образом:
, т.е. , .
Выражение вида
называется полной совершенной элементарной конъюнкцией.
Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.
Выражение вида
называется полной совершенной элементарной дизъюнкцией.
Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.
Совершенной нормальной конъюнктивной формой (СКНФ) функции называется конъюнкция полных совершенных элементарных дизъюнкций.
Совершенной нормальной дизъюнктивной формой (СДНФ) функции называется дизъюнкция полных совершенных элементарных конъюнкций.
ПРИМЕР
Составим СДНФ и СКНФ для функции .
В первой главе была приведена формула:
,
таким образом, получили СКНФ для функции, состоящую из одной элементарной дизъюнкции.
Продолжим преобразования, получим
.
Таким образом, получили СДНФ для функции, состоящую из трех элементарной конъюнкции.
На этом примере покажем связь между таблицей истинности функции и ее совершенными нормальными формами:
|
х1 |
х2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
СДНФ:
СКНФ:
.
При нахождении СДНФ пользуемся правилом: каждый набор аргументов определяет элементарную конъюнкцию, в которой значению 0 соответствует инверсия переменной, а значению 1 – сама переменная. СДНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 1.
|
х1 |
х2 |
элементарные конъюнкции |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
При нахождении СКНФ пользуемся правилом: каждый набор аргументов определяет элементарную дизъюнкцию, в которой значению 1 соответствует инверсия переменной, а значению 0 – сама переменная. СКНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 0.
|
х1 |
х2 |
элементарные дизъюнкции |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
Переключательные схемы.
В современных компьютерных технологиях булева алгебра является математической моделью цифровых логических схем. В алгебре логике рассматриваю коммутационные и переключательные схемы. Мы остановимся на переключательных схемах.
Переключательная схема – это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подается и с которых принимается электрический сигнал.
На рисунках показаны переключательные схемы последовательного и параллельного соединения переключателей и и проводов, соединяющих полюса и .
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Будем считать, что два переключателя и связаны таким образом, что когда замкнут, то разомкнут и наоборот.
Сопоставим переключателю переменную , которая принимает значение 1 в случае, когда переключатель замкнут, и значение 0 в случае, когда переключатель разомкнут. Переключателю соответствует переменная , которая принимает значение 1 в случае, когда переключатель замкнут, и значение 0 в обратном случае. Тогда сеть на рис. 1 пропускает ток, если и , то есть, если функция . Сеть на рис. 2 пропускает ток, если или , то есть, если функция .
Всей переключательной схеме можно поставить в соответствие некоторую функцию, принимающую значение 1, если устройство проводит ток, и – значение 0, если не проводит. Эта функция зависит от переменных, соответствующих всем переключателям и называется функцией проводимости. Функцию проводимости записывают в виде формулы с использованием булевых переменных, логических операций и скобок левой и правой.
Рассмотрим одну из задач прикладного характера, которую можно решить средствами булевой алгебры.
Пример 6.5. По данной функции проводимости
построить переключательную схему с помощью трёх переключателей , , . Определить, при каких положениях переключателей ток в сети отсутствует.
Решение. Формуле соответствует переключательная схема вида:
Формуле соответствует переключательная схема:
Из рисунков следует, что данной функции соответствует схема:
Определим, при каких положениях переключателей ток в сети на последнем рисунке отсутствует. В таблицу запишем все возможные наборы значений переменных , и , и найдем для них соответствующие значения функции проводимости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод. Из последнего столбца таблицы следует, что ток в сети отсутствует в трех случаях:
Практическая часть (Решение)
Если K=0 – сигнал есть, движение в центре.
|
K1 |
K2 |
S |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Y=K1^K2^SvK1^K2^S=K1^K2(S^S)=K1^K2^1=K1^K2
|
K1 |
K2 |
S |
Y |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Y=K1^K2
Заключение:
В процессе написания курсовой работы по дискретной математике, я разработал схему управления электродвигателем, который совершает поступательные движения на рабочем участке, а именно перемещается влево и вправо. Освоил булевы функции. С помощью метода СДНФ я минимизировал получившиеся уравнения булевой функции, которые я получил из таблицы истинности. В конце работы мы получаем уравнения:
Y=K1^K2 – двигатель находится в центре
Список используемой литературы
В.В.Глаголев "Методы дискретной математики" Уч.пособие.2000г., 220 стр.
В.В.Тишин "Дискретная математика в примерах и задачах" 2008г. 354ст.
С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова «Дискретная математика» 2005г.