Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Севастопольский Национальный Университет Ядерной Энергии и Промышленности
Кафедра ВчМ
Расчетно-графическая работа
по теме:
«Ряды»
Вариант № 16
Выполнил:
студент 124 класса
Проверил:
преподаватель
Чербунина Ольга Александровна
Севастополь 2012
Цель работы: научиться применять различные методы решения рядов для исследования их в среде MatLab.
Задание №1
Найти сумму ряда с заданной точностью. Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
a)
>> %Проверим Н.У.С.
>> syms n
>> Un=1/(1+(2/n))^n;
>> limit(Un,n,inf)
ans =1/exp(2)
НУС не выполняется. Ряд расходится.
Б)
function pr2
S=0;
Um=1/((sqrt(1^6+2))^3);
m=1;
while abs(Um)>10^(-7)
S=S+Um
m=m+1;
Um=1/((sqrt(m^6+2))^3);
end
disp('Числ слог')
disp(m-1)
disp('Оц суммы')
disp(S)
>> pr2
S = 0.1944
Числ слог
5
Оц суммы
0.1944
>> %Проверим Н.У.С.
>> Un=1/((sqrt((n^6)+2)))^(3/2);
>> limit(Un,n,inf)
ans =0
%Ряд сходится. НУС выполняется.
Задание №2
Установить сходимость знакопеременных рядов:
А)
>> syms n
>> Un=(sqrt(3))/((n+1)*log(n+1));
>> limit(Un,n,inf)
ans = 0
% НУС выполняется.
Проверим сходимость по признаку Лейбница
>> n=1:5;
>> Un=(sqrt(3))/((n+1).*log(n+1));
>> [n;Un]
ans =
1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000
1.2494 0.5255 0.3124 0.2152 0.1611
Лейбницовский ряд сходится
Проверяем ряд на абсолютную и условную сходимость
По интегральному признаку Коши
>> syms n
>> Un=(sqrt(3))/((n+1)*log(n+1));
>> int(Un,n,1,inf)
ans = Inf
Ряд расходится
Un-сходится условно
Б)
>> syms n
>> Un=((5*n-2)/(6*n-3))^(n/2);
>> limit(Un,n,inf)
ans = 0
% НУС выполняется.
Проверим сходимость по признаку Лейбница
>> n=1:5;
>> Un=((5.*n-2)./(6.*n-3)).^(n./2);
>> [n;Un]
ans =
1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000
1.0000 0.8889 0.8068 0.7347 0.6697
Лейбницовский ряд сходится
Проверяем ряд на абсолютную и условную сходимость
По радикальному признаку Коши
>> syms n
>> Un=((5*n-2)/(6*n-3))^(n/2);
>> limit(Un^(n/2),n,inf)
ans = 0
т.к 0<1 то ряд сходится
Un-сходится абсолютно
Задание №3
Найти область сходимости степенного ряда:
А) – степенной ряд , полный , по степени (x-5).
Замена X=x-5
Для нахождения радиуса сходимости используем формулу Даламбера.
>> an=gamma(n+1);
>> an1=gamma(n+2);
>> R=limit(an/an1,n,inf)
R =0
Находим x при R=0.
x-5=0
x=5
Ряд сходится в одной точке.
Б) – степенной ряд , полный , по степени (-x).
Для нахождения радиуса сходимости используем формулу Даламбера.
>> syms n
>> an=1/(3*n+2);
>> an1=1/(3*(n+1)+2);
>> R=limit(an/an1,n,inf)
R = 1
Интервал сходимости (-1,1)
Исследуем при X=-1
Исследуем знакочередующейся ряд
>> n=1:5;
>> Un=1./(3.*n+2);
>> [n;Un]
ans =
1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000
0.2000 0.1250 0.0909 0.0714 0.0588
>> syms n
>> Un=1/(3*n+2);
>> limit(Un,n,inf)
ans =0
Ряд Лейбницовский сходящийся.
Исследуем при X=1
Исследуем знакоположительный ряд
По интегральному признаку Коши
>> syms n
>> Un=(1^n)/(3*n+2);
>> int(Un,n,1,inf)
ans =Inf
ряд расходится
-1<X<1
-1<-X<1
-1>X>1
Ряд будет сходится в интервале -1>X>1.
Задание №4
Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию f(x)
F(x)=sqrt(x+10)
>> syms x
>> f=sqrt(x+10);
>> x0=0;
>> taylor(f,x,x0)
ans = (7*10^(1/2)*x^5)/25600000 - (10^(1/2)*x^4)/256000 + (10^(1/2)*x^3)/16000 - (10^(1/2)*x^2)/800 + (10^(1/2)*x)/20 + 10^(1/2).
Задание №5
Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора при n=2,3,4,5 и выполнить табуляцию полученных функций при изменении х в диапазоне [a,b]с шагом h.Построить полученные ффункции и сделать выводы о погрешности рядов.
F(x)=ln(x^2+3x+2), a=1, b=4, h=0.3
>> syms x
>> f=log(x^2+3*x+2);
>> x0=0;
>> %Выполним разложение в ряд Тейлора при n=2
>> taylor(f,2,x,x0)
ans =(3*x)/2 + log(2)
>> %Выполним разложение в ряд Тейлора при n=3
>> taylor(f,3,x,x0)
ans = - (5*x^2)/8 + (3*x)/2 + log(2)
>> %Выполним разложение в ряд Тейлора при n=4
>> taylor(f,4,x,x0)
ans = (3*x^3)/8 - (5*x^2)/8 + (3*x)/2 + log(2)
>> %Выполним разложение в ряд Тейлора при n=5
>> taylor(f,5,x,x0)
ans = - (17*x^4)/64 + (3*x^3)/8 - (5*x^2)/8 + (3*x)/2 + log(2)
>> %Выполним табуляцию
>> x=1:0.3:4;
>> y2=(3.*x)./2 + log(2);
>> y3=- (5.*x.^2)./8 + (3.*x)./2 + log(2);
>> y4=(3.*x.^3)./8 - (5.*x.^2)./8 + (3.*x)./2 + log(2);
>> y5=- (17.*x.^4)./64 + (3.*x.^3)./8 - (5.*x.^2)./8 + (3.*x)./2 + log(2);
>> z=[x;y2;y3;y4;y5];
>> z'
ans =
1.0000 2.1931 1.5681 1.9431 1.6775
1.3000 2.6431 1.5869 2.4108 1.6521
1.6000 3.0931 1.4931 3.0291 1.2883
1.9000 3.5431 1.2869 3.8590 0.3974
2.2000 3.9931 0.9681 4.9611 -1.2613
2.5000 4.4431 0.5369 6.3963 -3.9797
2.8000 4.8931 -0.0069 8.2251 -8.1017
3.1000 5.3431 -0.6631 10.5085 -14.0225
3.4000 5.7931 -1.4319 13.3071 -22.1893
3.7000 6.2431 -2.3131 16.6818 -33.1006
4.0000 6.6931 -3.3069 20.6931 -47.3069
>> %Построем полученные функции
>> x=1:0.3:4;
>> y2=(3.*x)./2 + log(2);
>> plot(x,y2)
>> hold on
>> x=1:0.3:4;
>> y3=- (5.*x.^2)./8 + (3.*x)./2 + log(2);
>> plot(x,y3)
>> x=1:0.3:4;
>> y4=(3.*x.^3)./8 - (5.*x.^2)./8 + (3.*x)./2 + log(2);
>> plot(x,y4)
>> x=1:0.3:4;
>> y5=- (17.*x.^4)./64 + (3.*x.^3)./8 - (5.*x.^2)./8 + (3.*x)./2 + log(2);
>> plot(x,y5,'r')
>> x=1:0.3:4;
>> y=log(x.^2+3.*x+2);
>> plot(x,y,'g')
Ответ: По графику видно, что есть некоторая погрешность функции y= ln(x^2+3x+2) при n=2;3;4;5.
Вывод: при выполнении расчетно-графической работы я научился применять различные методы решения для исследования рядов, а также рассмотрел ряд Тейлора.