Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическая работа № 5
Вычисление вероятности появления события в n-независимых испытаниях с помощью формул Бернулли и Пуассона, теоремы Лапласа.
Цель работы:
Задача № 1.
Задача № 2.
а) Вероятность появления события в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р. Найти вероятность того, что событие наступит ровно т раз.
|
№ варианта |
п |
т |
Р |
|
0а |
245 |
50 |
0.25 |
|
1 |
144 |
120 |
0.8 |
|
2 |
110 |
18 . |
0.15 |
|
3 |
220 |
140 |
0.6 |
|
4 |
112 |
13 |
0.1 |
|
5 |
99 |
17 |
0.2 |
|
6 |
117. |
85 |
0.7 |
|
7 |
240 |
80 |
0.3 |
|
8 |
115 |
100 |
0.9 |
|
9. |
62 |
5 |
0.1 |
|
10 |
154 |
90 |
0.6 |
б) Вероятность появления события в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р. Найти вероятность того, что событие наступит не менее т1 раз. и не более т2 раз.
|
№ варианта |
п |
т1 |
т2 |
р |
|
Об |
245 |
45 |
60 |
0.25 |
|
11 |
144 |
115 |
125 |
0.8 |
|
12 |
110 |
15 |
20 |
0.15 |
|
13 |
220 |
130 |
145 |
0.6 |
|
14 |
112 |
10 |
14 |
0.1 |
|
15 |
99 |
15 |
20 |
0.2 |
|
16 |
117 |
80 |
100 |
0.7 |
|
17 |
240 |
70 |
90 |
0.3 |
|
18 |
115 |
100 |
110 |
0.9 |
|
19 |
62 |
5 |
10 |
0.1 |
|
20 |
154 |
80 |
100 |
0.6 |
в) Вероятность производства бракованной детали равна р. Найти вероятность того, что из взятых на проверку п деталей т бракованных.
|
№ варианта |
п |
т |
Р |
|
0В |
1000 |
5 |
0.002 |
|
21 |
1000 |
6 |
0.008 |
|
22 |
2500 |
2 |
0.001 |
|
23 |
1500 |
10 |
0.006 |
|
24 |
3500 |
5 |
0.002 |
|
25 |
10000 |
4 |
0.0005 |
|
26 |
8000 |
6 |
0.0008 |
|
27 |
4500 |
5 |
0.0008 |
|
28 |
2000 |
1 |
0.0001 |
|
29 |
5000 |
й |
0.0008 |
|
30 |
7000 |
4 |
0.0006 |
Задача № 2.0а. См. условие.
Решение: Так как число испытаний велико (245), то пользоваться формулой Бернулли крайне затруднительно. Формально ответ может быть получен. Однако нахождение окончательных численных значений связано с очень громоздкими вычислениями. Поэтому для таких случаев были найдены приближенные формулы, которые дают достаточно точные значения искомых вероятностей при сравнительно несложных вычислениях.
В данном примере воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит ровно т раз в п независимых испытаниях, приближенно равна ,где функция φ(х) определяется равенством
По условию, n=245, m=50, p=0,25, q=1-p=0,75. Получим .
Так как φ(х) – функция четная (φ(-1,66)=φ(1,66)), то по приложению находим искомую вероятность Р245(50)≈ φ(1,66)=0,1006.
Задача № 2.0б. См. условие.
Решение: Если требуется найти вероятность того, что число наступлений события А заключено в каких-то границах, то в этом случае используют интегральную теорему Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит в п независимых испытаниях число раз, заключенное в границах от т1 до т2 включительно, приближенно равна Pn(m1 т т2) Ф(х2)-Ф(х1), где функция Ф(х)- функция Лапласа - определяется равенством
По условию, n=245, m1=45, m2=60, p=0,25, q=1-p=0,75. Получим
.
Так как Ф(х) – функция нечетная (φ(-1,66)=φ(1,66)), то по приложению находим: Ф(-2,40)=-Ф(2,40)≈-0,4918, Ф(-0,18)=-Ф(0,18)≈-0,0714. Таким образом, искомая вероятность:
Р245(45.
Задача № 2.0в. См. условие.
Решение: Если число независимых испытаний п достаточно велико (n > 100), а вероятность появления события в каждом испытании р постоянна, но мала (р≤0,3), и произведение nр остается небольшим (не больше 10), то для отыскания вероятности того, что в этих испытаниях событие А появится ровно т раз, используют приближенную формулу Пуассона:
, где λn = np (среднее число появлений события А).
Поскольку число независимых испытаний n=1000 достаточно велико, а вероятность р = 0,002 мала, то воспользуемся формулой Пуассона. По условию задачи т = 5. Так как λп=nр = 1000 · 0,002 = 2, то искомая вероятность:
.