Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задачи с решениями на нахождение производной
Задача 1. Исходя из определения производной, найти .
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой .
-уравнение нормали,
Задача 3. Найти дифференциал .
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
, .
Выберем следовательно
Задача 5. Найти производную.
Задача 6. Найти производную.
Задача 7. Найти производную.
Задача 8. Найти производную.
Задача 9. Найти производную.
Задача 10. Найти производную.
.
Задача 11. Найти производную.
Задача 12. Найти производную.
Задача 13. Найти производную.
Задача 14. Найти производную.
Задача 15. Найти производную .
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .
- уравнение касательной,
- уравнение нормали.
Задача 17. Найти производную -го порядка.
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
Задача 19. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.
Задача 20. Показать, что функция удовлетворяет данному уравнению.
.
Дифференциал
Постановка задачи. Найти дифференциал функции .
План решения.
Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):
. (1)
Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Так как для функции имеем , то, согласно формуле (1), имеем, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . Поэтому формулу (1) можно записать так:
, (2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Задача 3. Найти дифференциал .
Задача 5. Найти производную.
.
Задача 6. Найти производную.
.
Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.
Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f’(u)·u’(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:
Кроме того, полезно помнить следующие формулы:
Итак, найти производную сложной функции. Примеры.
1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).
2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).
Здесь f=tgu, u=5x+π/8. π- число, значит, π/8 — тоже число, то есть (5x+π/8)’=5
8) y=sin²x. Здесь f=u², u=sinx. Почему так? Но ведь sin²x=(sinx)². Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Итак, производная данной сложной функции есть
y’=2·sinx·(sinx)’=2sinxcosx=sin 2x.
Найти производную сложной функции. Примеры для самопроверки.