Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СТОИМОСТИ ЦЕННЫХ БУМАГ
В рыночной экономике важную роль играют типовые ценные бумаги, которые служат для получения дивидендов, совершения финансовых операций, заключения договоров и для других целей. Акции предприятия являются формой коллективного владения собственностью предприятия и механизмом распределения доходов от предприятия, а стоимость акции является барометром эффективности производственных мощностей. Акции и другие ценные бумаги покупаются и продаются на бирже, образуя финансово-экономический процесс, который при достаточном числе однородных элементов (акций) можно рассматривать как континуальный процесс. В главе рассматриваются математические модели, описывающие такие процессы средствами уравнений с частными производными.
[Лекция 21]
7.1. Ценные бумаги
Акция предприятия – ценная бумага (документ), которая означает, что ее владелец является собственником доли предприятия, а стоимость акции означает стоимость этой доли. Таким образом, акция – это бумага специального назначения, имеющая определенную рыночную стоимость. Естественно, в зависимости от экономической ситуации стоимость акции изменяется со временем. Акции продаются и покупаются на бирже и дают право получать дивиденды (доход) [12, с. 19]. Стоимостью обладают и другие объекты: любые виды товара на рынке, иностранная валюта, долговые бумаги, контракты. Все виды объектов, имеющих стоимость, покупающихся и продающихся на рынке в большом количестве, называются активом соответствующего вида. Актив – это или акции, или товар, или иностранная валюта, или банковские счета, или облигации, или контракты и т. д. [12, с. 5, 17].
По поводу активов предпринимателями заключаются различные финансовые договора, контракты, обязательства, которые оформляются в виде документов (ценных бумаг), которые также обладают определенной стоимостью. Такие ценные бумаги называются финансовыми производными от исходного актива.
Производной ценной бумагой (финансовой производной) называется ценная бумага, стоимость которой зависит от стоимости других лежащих в основе активов [12, с. 20]. Пусть – стоимости видов активов, а – стоимость некоторой производной от этих активов. Тогда .
Дадим определение одной из самых распространенных финансовых производных, называемой опционом.
Опцион – соглашение, заключаемое между двумя партнерами, которое оформляется как ценная бумага определенного вида и которое действует на интервале времени от до , где – текущий момент времени, – некоторый фиксированный момент времени в будущем. Имеются два вида опционов – колл-опцион и пут-опцион.
Колл-опцион – соглашение в момент времени о том, что покупателю (первому партнеру) предоставляется право купить акцию (актив), имеющую цену в настоящий момент времени , в определенный момент времени в будущем по согласованной цене у второго партнера (продавца). При этом первый партнер платит второму стоимость опциона . Заметим, что при наступлении времени второй партнер обязан продать актив по договорной цене вне зависимости от цены актива на рынке. Первый же партнер под любым предлогом может отказаться от покупки актива.
Таким образом, первый партнер покупает опцион у второго партнера и становится владельцем опциона. В дальнейшем первый партнер может продать опцион третьему лицу и т. д. Опцион становится ценной бумагой, которая является финансовой производной от актива (акции). Дата называется датой исполнения или датой погашения опциона.
Между партнерами может быть совершена сделка другого сорта. Первый партнер может купить пут-опцион у второго партнера.
Пут-опцион – соглашение в момент времени о том, что первому партнеру предоставляется право продать актив, имеющий цену в момент времени , в определенный момент времени в будущем по договорной цене второму партнеру. При этом первый партнер платит второму стоимость тут-опциона и становится владельцем опциона. При наступлении времени второй партнер обязан купить актив по цене у первого партнера, если первый захочет продать.
Указанные опционы называются европейскими опционами, так как покупка актива должна совершаться точно в момент времени .
Стохастическое дифференциальное уравнение для стоимости акции. Рассмотрим ось на которой точка изображает акцию, а координата точки означает цену акции в момент времени . Физические размерности: , . Очевидно, что со временем точка будет перемещаться, так как цена акции изменяется. Функцию будем называть функцией цены акции, множество П- пространством цен (пространством Блэка-Шоулса). В простейшем случае функция подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению [14, с. 337]:
, , (7.1)
где - стохастический процесс, определяемый переходной функцией плотности вероятностей , для которой выполнены соотношения (5.10) при постоянных и ; - постоянные: - норма возврата акций, - волатильность акций, если процесс винеровский, то есть .
Дадим интерпретацию коэффициенту . Пусть стоимость акции растет на процентов в месяц, тогда за время цена акции вырастет на рублей и в момент времени составит рублей. Вычислим скорость перемещения акции в пространстве цен:
.
В дальнейшем будем рассматривать более общее уравнение
, (7.2)
описывающее динамику цены акции.
Дифференциальное уравнение для пакета акций. Уравнение (7.2) описывает динамику цены отдельной акции. Предположим, что имеется акций, цена которых описывается одним и тем же уравнением (7.2). Так как акции одного сорта продаются в различных условиях, то их цены в фиксированный момент времени могут различаться. Это означает, что акции некоторым образом распределены по оси Поместим на оси точек. Координата каждой точки (акции) означает цену, по которой данная акция была приобретена к моменту времени На оси рассмотрим достаточно малый интервал длины , и пусть – число точек (акций) на отрезке в момент времени
Введем функцию
, (7.3)
где - функция плотности распределения акций на положительной части оси (плотность акций). Размерность .
Понятно, что - число акций, приобретенных по ценам в пределах отрезка к моменту времени Имеем
. (7.4)
Выведем дифференциальное уравнение для функции . Для этого рассмотрим произвольный интервал П. Обозначим дополнение: .
Считается, что акции постоянно продаются, покупаются и со временем их цена меняется, поэтому точки, обозначающие акции, перемещаются по оси . За промежуток времени часть акций попадет на отрезок , часть выпадет из этого отрезка. Запишем уравнение баланса акций для интервала за промежуток времени от до :
, (7.5)
где - изменение числа акций за время от до , которые имеют цену в пределах интервала ; - число акций, которые попадут на интервал за время от до за счет детерминированной части уравнения (7.2); - за счет случайных процессов.
Вычислим величину . Используя формулу (6.19), по аналогии определяем
. (7.6)
Вычислим величину Аналогично, используя преобразования вида (6.20)-(6.22), определяем
. (7.7)
Вычислим Для этого рассмотрим два момента времени и и две оси , изображающие пространства цен в эти моменты времени. Вычислим число акций , которые попадут на отрезок к моменту времени из множества в момент времени за счет случайного процесса. Множество разобьем на элементарные отрезки длиной . Пусть точка принадлежит отрезку . На элементарном отрезке , согласно с определением (7.3), находится в момент времени акций. Эти акции через промежуток времени распределятся по всей полуоси , но в момент времени . Чтобы определить это распределение, запишем уравнение (7.2) для конечного интервала времени :
, (7.8)
где - реализованное значение стохастического процесса в момент времени ; – значение стохастического процесса в момент времени . При этом случайная величина описывается плотностью вероятностей
. (7.9)
Рассмотрим акцию с ценой в момент времени , тогда .
В равенстве (7.8) отождествим , тогда , .
Далее, пусть случайная величина принимает значения в интервале , то есть
, . (7.10)
Таким образом, если выполнено условие (7.10), тогда величина для функции (7.9) изменяется в пределах при .
Отсюда можно заключить, что если величина в момент времени приняла значение , то величина в момент времени примет значение из интервала с вероятностью
.
Умножив эту вероятность на число акций , определим число акций , которое перейдет из интервала в момент времени на отрезок , но в момент времени . В результате
при .
Суммируя по всем в пределах множества , получаем при интеграл
.
Производя замену переменных интегрирования , получаем
.
Аналогично вычислим число акций, которые покинут отрезок и попадут на множество к моменту времени :
.
Вычислим приращение числа акций на отрезке за интервал времени :
=
.
Сделав замену переменной , вычислим интеграл справа:
. (7.11)
Вычислим внутренний интеграл и произведем замену переменной интегрирования на новую переменную . Тогда
где
. (7.12)
Воспользуемся формулой (5.25) из леммы 5.1:
.
Вычислим производные от функции (7.12):
,
,
где означает производную по первому аргументу функции .
Суммируя эти интегралы по всем элементарным интервалам , на которые разбивается временной отрезок , получаем интегральную сумму, которая преобразуется в интеграл при :
(7.13)
Подставляя формулы (7.6), (7.7), (7.13) в уравнение баланса (7.5) и опуская интегралы, получаем уравнение для плотности акций:
.
Если , то
, , (7.14)
где
, , . (7.15)
Параболическое уравнение (7.14) называется уравнением для плот-ности акций. Запишем это уравнение в дивергентном виде:
. (7.16)
Такая форма записи позволяет легко вывести закон сохранения числа акций на пространстве цен П. Действительно, интегрируя уравнение (7.16) по в пределах от до и используя (7.4), получаем
.
Следовательно, , то есть число акций на пространстве цен не зависит от времени .
7.3. Смешанная задача для уравнения плотности акций
Предположим, что в начальный момент времени акции распределены на полуоси и известна функция плотности их распределения . Требуется определить плотность акций из уравнения (7.14) в последующие моменты времени .
Для этого решим следующую смешанную задачу для полубесконечного пространства :
в , (7.17)
, , (7.18)
, , (7.19)
где , , .
Введем новую неизвестную функцию , производя замену , тогда
,
(7.20)
, .
Далее произведем замену независимых переменных , вводя новые переменные :
, , .
Вычислим производные
, , .
После подстановки вычисленных производных в уравнения (7.20) получим задачу Коши, аналогичную задаче (2.62), (2.63) для уравнения теплопроводности:
в области ,
(7.21)
, ,
где , ; граничное условие (6.48) преобразуется в условие на бесконечности: при .
Решим задачу (6.50), используя интеграл Пуассона (2.64):
,
где .
Заменим переменную интегрирования , тогда
.
Возвращаясь к старым величинам, получим решение исходной задачи (7.17)-(7.19):
, (7.22)
где .
Пример 7.1. Рассмотрим пакет из акций, каждая из которых в момент времени стоила рублей. Тогда начальная плотность акций в условии (7.18) может быть представлена в виде
,
где – дельта-функция Дирака.
Подставляя в формулу (7.22) и используя свойство (2.71), получаем
. (7.23)
При функцию (7.23) можно интерпретировать как плотность вероятностей, с которой будет распределена цена одной акции в момент времени при условии, что в начальный момент времени акция стоила рублей. ■
Утверждение 7.1. Функция
=, (7.24)
, , , ,
является переходной функцией плотности вероятностей сильно непрерывного марковского стохастического процесса, определяемого функциями
, , (7.25)
и удовлетворяет уравнению Колмогорова (7.16). ■
210