Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Кубанский государственный технологический университет
Факультет нефти, газа и энергетики
Кафедра электроснабжения промышленных предприятий
РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
(Решение прикладных задач электроэнергетики в пакете MathCAD)
Методические указания к лабораторной работе № 2 по дисциплине
«Математические модели в электроэнергетике»
Составители: докт. тех. наук проф. Богдан А.В.
Печатается по решению кафедры электроснабжения промышленных
предприятий и методической комиссии факультета нефти, газа и энергетики
Предназначена для студентов очного и заочного факультетов
Математическая среда MathCAD professional при использовании матричных операций позволяет производить решение систем линейных уравнений с большим количеством неизвестных. В энергетике одним из наиболее характерных отраслей практического применения систем уравнений может служить задача расчета разветвленных электрических сетей.
Задача №1.
На рис. 1 показана схема, в которой нужно определить токи в ветвях. Задано, что ЭДС равны: Е=10 В, Е3=30 В, а сопротивления ветвей схемы равны: R1=3 Ом, R2=5Ом, R3=10 Ом.
Решение
1. Нумеруем ветви схемы и задаем их произвольное направление – в нашей схеме 3 ветви, нумеруем их: 1,2,3.
2. Намечаем независимые контуры, нумеруем их: I, II. Выбираем направление обхода каждого контура (произвольно).
3. Составляем матрицу инциденции N, которая показывает связь выбранных контуров и пронумерованных ветвей. Матрицу составляем на основе таблицы, у которой количество строк m равно количеству контуров, а число столбцов n - количество ветвей схемы, а каждый элемент таблицы Nm.n подчиняется правилу:
, если n-я ветвь принадлежит m-му контуру и направление ветви совпадает с направлением обхода;
, если n-я ветвь принадлежит m-му контуру, а направление ветви противоположно направлению обхода;
, если n-я ветвь не принадлежит m-му контуру.
|
Номера ветвей |
||||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
Номера контуров |
I |
1 |
-1 |
0 |
|
II |
0 |
1 |
-1 |
Тогда матрица N будет иметь вид:
.
4. Составляем матрицу ЭДС. Она имеет вид столбцовой матрицы, в которой по порядку записаны значения ЭДС, имеющиеся в ветвях.
При составлении матрицы Е следует учитывать совпадение направления ЭДС и направления ветви. Если направления не совпадают, то знак ЭДС меняется на обратный.
5. Составляем матрицу сопротивлений ветвей Z. Она имеет вид квадратной матрицы, по главной диагонали которой по порядку записаны величины сопротивлений ветвей. Остальные члены матрицы равны нулю.
.
6. После составления матриц исходных данных записываются вычисления токов в ветвях в следующей последовательности:
,
,
,
где Ik – неизвестные контурные токи,
,
.
Пример решения задачи, выполненный в пакете MathCAD приведен ниже.
Таким образом, токи в ветвях схемы равны:
, , .
Знак «минус» говорит о несовпадении рассчитанного направления тока с принятым.
Для более сложной схемы решение задачи определения токов будет аналогичным.
Задача №2
Найти значения токов в ветвях электрической схемы (рис.2), если известны значения ЭДС (Е) во всех ветвях Е1, Е2, Е3, Е4, Е5, Е6 и сопротивления (Z) в ветвях Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6.
Решение
Токи в ветвях найдем методом контурных уравнений. Действия производим по уже известному алгоритму:
1. Пронумеруем ветви схемы, приведя данные En и Rn в соответствие, где n-номер соответствующей ветви.
2. Задаем произвольно направление ветвей.
3. Запишем исходные данные в форме вектора ЭДС Е и диагональной матрицы Z, причем количество строк вектора Е и количество строк и столбцов матрицы Z должно быть равно числу ветвей l схемы (если в l-й ветви нет источника ЭДС, то Е1=0, когда направление ЭДС ветви противоположно выбранному направлению ветви в матрице E , она должна быть со знаком «-»).
4. Формирование матрицы инцинденции N:
, если l-я ветвь принадлежит m-му контуру и направление тока в ней совпадает с направлением обхода контура;
, если l-я ветвь принадлежит m-му контуру, а направление тока в ней противоположно направлению обхода контура;
, если l-я ветвь не принадлежит m-му контуру.
|
Номера ветвей |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
Номер контура |
I |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
II |
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
|
|
III |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
|
|
IV |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
5. Вычисление контурных ЭДС производится по формуле .
6. Вычисление контурных сопротивлений
7. Нахождение контурных токов . По закону Ома для каждого контура имеет место линейное уравнение , которое нужно решить относительно . Систему уравнений представим и решим в матричном виде. Решение системы методом обратной матрицы будет .
8. Вычислим токи в ветвях .
Затем для
получения результата (токов в ветвях) нужно вызвать значение переменной . вызовет появление вектора токов (тек первой ветви – сверху). Если значение тока получилось отрицательным, значит, ток течет в противоположном выбранному первоначально направлении.
Для решения задачи для переменного тока задайте и в комплексной форме. Вносить изменения в алгоритм вычислений MathCAD при этом не надо.
Пример решения задачи, выполненный в пакете MathCAD приведен ниже.
Функция располагает вектор z по главной диагонали квадратной матрицы
При решении задачи определенное неудобство вносит то, что элементы матрицы по умолчанию MathCAD нумерует, начиная с 0, а элементы схемы нумерованы, начиная с 1.
Для большей наглядности рассмотрим применение метода узловых уравнений для схемы (рис.3).
Задача №3. Найти значения токов в ветвях электрической схемы (рис.3), если известны значения ЭДС (Е) во всех ветвях Е1, Е2, Е3, Е4, Е5, Е6 и сопротивления (Z) в ветвях Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6.
Рисунок 3
Решение. Токи в ветвях найдем методом узловых уравнений. Действия можно описать алгоритмом:
, если l-я ветвь связана с m-м узлом и ток в ней направлен из узла;
, если l-я ветвь связана с m-м узлом и ток в ней направлен в узел;
, если l-я ветвь не связана с m-м узлом.
|
Номера ветвей |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
Номер узла |
I |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
|
II |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
III |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
Пример решения задачи для переменного тока
Принимаем нумерацию элементов массивов с 1.
Для этого вводим ORIGN:=1.
Исходные данные:
. Функция располагает вектор z по главной диагонали квадратной матрицы Z.
Расчет узловых ЭДС
- это стандартная функция MathCAD, находящая решение системы линейных уравнений вида .
Величины токов ветвей полностью совпадают с решением по методу контурных уравнений.
Задача №4. Пример моделирования режимов для электрической сети.
Пусть известно, что питание электроустановок происходит по 3-х фазной цепи 0,4 кВ. Каждый из потребителей 1, 2, 3 присоединен к разным фазам и может иметь различную нагрузку. Необходимо определить зависимость напряжения на вводе у каждого из потребителей при изменении величины нагрузки и ее характера (cos) одного из них. Кроме того, существует возможность аварийного разрыва нулевого рабочего провода проводника между источником питания и потребителями. Нужно узнать, что произойдет с величинами напряжения у потребителей при различной величине нагрузки у одного из них.
Рисунок 4
|
Исходные данные по кабелю: Кабель алюминиевый, =0,03 Ом∙мм2/м |
||||
|
l1, м |
l2, м |
l3, м |
S1, мм2 |
S2, мм2 |
|
200 |
5 |
5 |
20 |
6 |
|
Исходные данные по нагрузкам |
|||||
|
Р1, кВт |
cos1 |
Р2, кВт |
cos2 |
Р3, кВт |
cos3 |
|
1.5 |
0.9 |
2 |
0.95 |
120 |
0.8 |
Для исходной схемы выполним принципиальную схему, на которой отразим все учитываемые ЭДС и сопротивления (рис.5). Принятые обозначения:
Rk1 – сопротивление жилы питающего кабеля;
Rk2, Rk3 – сопротивления жил распределительных кабелей;
Zнг1, Zнг2, Zнг3 – сопротивления нагрузки потребителей.
Рисунок 5
По принципиальной схеме составляем расчетную схему (рис.6), количество сопротивлений в которой уменьшается за счет сложения сопротивлений последовательно включенных жил кабелей.
На схеме Z4, Z5, Z6 – комплексные сопротивления нагрузок 1,2 и 3 соответственно.
На расчетной схеме нумеруем ветви, выбираем их направление и намечаем независимые контуры I, II, III.
Рисунок 6
Используя пакет MathCAD, проведем анализ возможного изменения напряжения у потребителей.
В данном случае покажем, как можно использовать вычисления с размерностью. Рассчитаем токи и напряжения, задавая параметры схемы с использованием размерности величин.
По результатам расчета получим матрицы токов ветвей и напряжений на ветвях . Комплексные значения напряжений переводим в модули .
Создаем аварийный режим. Для этого изменяем величину сопротивления нулевого провода кабеля питания (это сопротивление Z9 по расчетной схеме). Принимаем и проводим расчет для тех же нагрузок Р3, что и в нормальном режиме. Результатами расчета заполняем таблицу (матрицу) .
Графики зависимости напряжений на потребителей
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
Параметры схемы
|
Е1 |
Е2 |
Е3 |
Е4 |
Z1 |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
Z5 |
Z6 |
Z7 |
Z8 |
|
10 |
20 |
5-5j |
100 |
1 |
2 |
3 |
8 |
12 |
100 |
1-10j |
5+5j |
Варианты заданий для задачи 4:
|
Вариант |
Исходные данные |
||||||||||
|
l1 |
l2 |
l3 |
S1 |
S2 |
P1 |
cos1 |
P2 |
cos2 |
P3 |
cos3 |
|
|
м |
м |
м |
мм2 |
мм2 |
кВт |
кВт |
кВт |
||||
|
1 |
100 |
10 |
5 |
20 |
10 |
110 |
0,85 |
2 |
0,85 |
2 |
0,85 |
|
2 |
150 |
20 |
6 |
20 |
10 |
1 |
0,8 |
120 |
0,9 |
2 |
0,85 |
|
3 |
200 |
20 |
7 |
30 |
10 |
2 |
0,9 |
1 |
0,8 |
120 |
0,85 |
|
4 |
250 |
10 |
8 |
30 |
6 |
3 |
0,95 |
115 |
0,7 |
2 |
0,85 |
|
5 |
300 |
30 |
9 |
30 |
10 |
115 |
0,75 |
2 |
0,85 |
2 |
0,7 |
|
6 |
200 |
10 |
10 |
20 |
6 |
2 |
0,9 |
115 |
0,8 |
1 |
0,85 |
|
7 |
100 |
5 |
20 |
10 |
10 |
1 |
0,95 |
2 |
0,7 |
115 |
0,85 |
|
8 |
200 |
10 |
5 |
10 |
10 |
2 |
0,8 |
120 |
0,7 |
2 |
0,7 |
|
9 |
250 |
10 |
5 |
20 |
6 |
115 |
0,8 |
2 |
0,8 |
2 |
0,8 |
|
10 |
150 |
10 |
5 |
10 |
10 |
2 |
0,9 |
2 |
0,8 |
120 |
0,9 |