У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематики и математического моделирования экономических систем Реферат Параметрические интегралы

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

Министерство сельского хозяйства Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Мичуринский государственный аграрный университет

Кафедра математики и математического моделирования экономических систем

Реферат

«Параметрические интегралы»

                                                                                                    Выполнил:

                                                                                                    Студент         

                                                                                                    экономического

                                                                                                    факультета

                                                                                                    21 Э группы

                                                                                                    Бахарев А.С

                                                                                                    Проверил:

Мичуринск-Наукоград 2012

Интегралы, зависящие от параметра

  1.  Непрерывность интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

F(y) =

для области вида

Где f определена в области D (замкнутая), x1(y), x2(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].

Теорема. Если f непрерывна на D , x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на  [c,d].

Доказательство. Функция f доопределим на прямоугольнике  [a,b] [c,d] содержащем область D, как показано на рисунке, следующим образом: положим f(x,y) = f(x1(y), y) при фиксированном y  [c,d]  и x[a, x1(y)], аналогично в правой части области f(x,y) = f(x2(y), y) при y  [c,d]  и x[ x2(y), b]. Доопределенную функцию по прежнему будем обозначать f(x,y). Эта функция будет непрерывна на [a,b] [c,d].

Далее |F(y+y) - F(y)| =  = ++ M|x1|+(b - a) + M|x2|.

Здесь используется ограниченность функции f и ее равномерная непрерывность.

Определение. Пусть функция  f(x,y) определена на [a,b] для любого  yY . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 если

 >0 >0x[a,b]yU(y0): |f(x,y) - g(x)|< .

Можно доказать, что если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. Выпишем неравенства

|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)-g(x0)+ f(x0,y)| | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ |g(x0)- f(x0,y)|. Для заданного сначала выбираем окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|<  для любых y из некоторой окрестности точки y0 . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также <   выбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .

Теорема. Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то

.

Доказательство. |b - a| .

  1.  Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Предположим, что область является одновременно и областью типа А и В . Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы

F(y) =

  1.  Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f  и   непрерывны в [a,b] [c,d] , то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и .

Доказательство.

==, 0< <1. Тогда

.

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции  следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике [a,b] [c,d], содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на [a,b] [c,d], x1(y), x2(y)  имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) =  также имеет производную

+-.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(y,u,v) = . Для нее существуют непрерывные частные производные (не очевидным является непрерывность функции ). Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x1(y), x2(y)) получим требуемое равенство. Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции  .

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

  1.  Равномерная сходимость несобственного  интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

 (1)

, yY.

Предположим, что при некоторых y  интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором  y  интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого [a,b) интеграл  (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие  не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Сходящийся на Y  интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

 >0 >0(b-,b)yY:  (для интеграла 2-го рода)

 >0M(M,+)yY:  (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для интеграла 2-го рода)

Если g(x) на [a,b), интегрируемая на любом [a, ), (b-,b) такая, что

1) |f(x,y)|  g(x), a  x < b, yY

2)  сходится ,

то интеграл (1) сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .

Теорема: Пусть и  f(x,y) определена и непрерывна на [a,b) по x для всех yY. Если для любых функция f(x,y)  равномерно сходится к g(x) на [a,b-] при yy0 ,  интеграл  равномерно сходится на Y, сходится. Тогда

.

Доказательство.

=.

 можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости функции f(x,y)  к g(x). Интеграл  можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости интеграла . Интеграл  можно сделать сколь угодно малым в силу сходимости интеграла .

Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы

 >0>0 y  Y,(b-,b): .

Достаточность. При выполнении условия  для  y  Y,(b-,b) можно перейти к пределу при   b . Тогда для  y  Y(b-,b) : , что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость.  Имеем  >0>0 y  Y(b-,b): . Тогда при ,(b-,b) будет выполнено . 

  1.  Непрерывность интеграла от параметра

Теорема 2. Если f(x,y)  определена и непрерывна на [a,b)[c,d] , интеграл (y) =  сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

|(y+y) - (y)| =++.

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного  выбором в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора  первый интеграл может быть сделан меньше заданного  выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции.

  1.  Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d], интеграл (y) =  сходится равномерно на [c,d] , то

==.

Доказательство. Для любого   в разумных пределах

=. Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что  сходится равномерно на [c,d] к  при b.

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d), интеграл  сходится равномерно на [c,] , интеграл   сходится равномерно на [a,] и существует один из повторных интегралов

,

, то существует и другой и выполняется равенство

=.

Без доказательства.

  1.  Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

 Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)[c,d] , то сходимость интеграла  эквивалентна условию для любой последовательности nb сходится ряд .

Аналогично для равномерной сходимости.

Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на [a,b)[c,d] . Если сходится для всех y а  сходится равномерно на [c,d] , то функция (y) =  непрерывна дифференцируема на этом отрезке и

.

Доказательство: Пусть nb . Согласно лемме

(y) = =, .

Далее применяется теорема о дифференцировании функционального ряда.

Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0.

Непрерывность на (0, ).

Рассмотрим два интеграла , .

1) , p[ , 1) . Признак Вейерштрасса.

      - собственный для p[1 , ).

2)   , p[1 , A] . Признак Вейерштрасса.

     , p( 0 , 1] .

Докажем формулу

 (1)

Для этого сделаем замену x  xy . (p) = ==.

2. Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .

Сделаем замену  , dx = .

В(p,q) = =.

В(p,q) =    (2)

3. Некоторые свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим  . Откуда, используя (2)

Г В(p,q) = Г  Г .

В(p,1-p) = Г  Г ==.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл  сходится равномерно на любом [ , A ], 0 < < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл .

В окрестности нуля |ln x|  для > 0 существует C1().

В окрестности бесконечности |ln x|  для > 0 существует C2().

Интеграл Г(k)(p)=  сходится равномерно на любом компакте. Это следует из оценок + , p[ , A]. Здесь для степеней логарифма справедливы оценки:

В окрестности нуля интеграл  сходится при 0<<1, действительно т. к. x-lnkx = .

В окрестности бесконечности  сходится, действительно

xA-1|ln k x|  C xA  т. к. и кроме того .

4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл  существует для любого A > 0.

=, =====- f(0).

= f(0).

Интегрированием по частям вычисляются интегралы

,   0, ,   0 .

Другой способ: Положим = - + i , , откуда и следуют указанные формулы.

Вычислить

.

, =+С.

==  С = 0.

Интеграл Пуассона

I = .

I 2 = =====.

Интеграл  I = .

Интегрирование по частям I = ==.

=I , , I = C , I(0) = ==, I = .

Вычислить интеграл F(a,b) =, a>0, b>0 (1)

(2),

из (2) F(a,b) =+С(b).

===

F(a,b) =+C(b)=+C(b).

ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = .




1. ВМА УТВЕРЖДАЮ Заместитель начальника института по научно
2. ~атынасты~ ~орытындысын не деп атаймыз Кедендік ба~ылау органдарында бас~ару ж~йесі Бас~ару механизімі
3. Мировые ресурсы никеля
4. Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия на примере ОАО Воронежский станкостроительный заво
5. Менеджмент Управление персоналом Профиль- Управление малым бизнесом 2 курс очной формы обучения 4 с
6. тема.Рациональность как норма поведения
7. 2 Медсестра під час обстеження пацієнтки виявила що її біологічний вік випереджує календарн
8. Technicl writing thing is. Someone my even hve told you
9. Разbeatые поколения
10. ТЕМАТИКИ ИНФОРМАТИКИ СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для студентов зао