Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство сельского хозяйства Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Мичуринский государственный аграрный университет
Кафедра математики и математического моделирования экономических систем
Реферат
«Параметрические интегралы»
Выполнил:
Студент
экономического
факультета
21 Э группы
Бахарев А.С
Проверил:
Мичуринск-Наукоград 2012
Рассмотрим интеграл
F(y) =
для области вида
Где f определена в области D (замкнутая), x1(y), x2(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].
Теорема. Если f непрерывна на D , x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на [c,d].
Доказательство. Функция f доопределим на прямоугольнике [a,b] [c,d] содержащем область D, как показано на рисунке, следующим образом: положим f(x,y) = f(x1(y), y) при фиксированном y [c,d] и x[a, x1(y)], аналогично в правой части области f(x,y) = f(x2(y), y) при y [c,d] и x[ x2(y), b]. Доопределенную функцию по прежнему будем обозначать f(x,y). Эта функция будет непрерывна на [a,b] [c,d].
Далее |F(y+y) - F(y)| = = ++ M|x1|+(b - a) + M|x2|.
Здесь используется ограниченность функции f и ее равномерная непрерывность.
Определение. Пусть функция f(x,y) определена на [a,b] для любого yY . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 если
>0 >0x[a,b]yU(y0): |f(x,y) - g(x)|< .
Можно доказать, что если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].
Доказательство. Выпишем неравенства
|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)-g(x0)+ f(x0,y)| | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ |g(x0)- f(x0,y)|. Для заданного сначала выбираем окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|< для любых y из некоторой окрестности точки y0 . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также < выбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .
Теорема. Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то
.
Доказательство. |b - a| .
Предположим, что область является одновременно и областью типа А и В . Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы
|
F(y) = |
Теорема (Лейбниц). Если f и непрерывны в [a,b] [c,d] , то F(y) =
дифференцируема на [c,d] и .
Доказательство.
==, 0< <1. Тогда
.
Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции следует требуемое утверждение.
Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике [a,b] [c,d], содержащем область D.
Теорема. Если f и ее производная непрерывны на [a,b] [c,d], x1(y), x2(y) имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) = также имеет производную
+-.
Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(y,u,v) = . Для нее существуют непрерывные частные производные (не очевидным является непрерывность функции ). Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x1(y), x2(y)) получим требуемое равенство. Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции .
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Рассмотрим интеграл
(1)
, yY.
Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела
.
Если при заданном y интеграл сходится, то для любого [a,b) интеграл (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде
.
Определение. Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если
>0 >0(b-,b)yY: (для интеграла 2-го рода)
>0M(M,+)yY: (для интеграла 1-го рода)
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для интеграла 2-го рода)
Если g(x) на [a,b), интегрируемая на любом [a, ), (b-,b) такая, что
1) |f(x,y)| g(x), a x < b, yY
2) сходится ,
то интеграл (1) сходится равномерно на Y.
Утверждение следует из неравенств .
Теорема: Пусть и f(x,y) определена и непрерывна на [a,b) по x для всех yY. Если для любых функция f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b-] при yy0 , интеграл равномерно сходится на Y, сходится. Тогда
.
Доказательство.
=.
можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости функции f(x,y) к g(x). Интеграл можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости интеграла . Интеграл можно сделать сколь угодно малым в силу сходимости интеграла .
Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы
>0>0 y Y,(b-,b): .
Достаточность. При выполнении условия для y Y,(b-,b) можно перейти к пределу при b . Тогда для y Y(b-,b) : , что означает равномерную сходимость интеграла .
Необходимость. Имеем >0>0 y Y(b-,b): . Тогда при ,(b-,b) будет выполнено .
Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d] , интеграл (y) = сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.
Доказательство.
|(y+y) - (y)| =++.
Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного выбором в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора первый интеграл может быть сделан меньше заданного выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции.
Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d], интеграл (y) = сходится равномерно на [c,d] , то
==.
Доказательство. Для любого в разумных пределах
=. Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что сходится равномерно на [c,d] к при b.
Эту теорему можно обобщить
Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d), интеграл сходится равномерно на [c,] , интеграл сходится равномерно на [a,] и существует один из повторных интегралов
,
, то существует и другой и выполняется равенство
=.
Без доказательства.
Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)[c,d] , то сходимость интеграла эквивалентна условию для любой последовательности nb сходится ряд .
Аналогично для равномерной сходимости.
Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на [a,b)[c,d] . Если сходится для всех y а сходится равномерно на [c,d] , то функция (y) = непрерывна дифференцируема на этом отрезке и
.
Доказательство: Пусть nb . Согласно лемме
(y) = =, .
Далее применяется теорема о дифференцировании функционального ряда.
Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0.
Непрерывность на (0, ).
Рассмотрим два интеграла , .
1) , p[ , 1) . Признак Вейерштрасса.
- собственный для p[1 , ).
2) , p[1 , A] . Признак Вейерштрасса.
, p( 0 , 1] .
Докажем формулу
(1)
Для этого сделаем замену x xy . (p) = ==.
2. Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .
Сделаем замену , dx = .
В(p,q) = =.
В(p,q) = (2)
3. Некоторые свойства функций Эйлера
Из формулы (1) следует, что
, . Интегрируя, получим . Откуда, используя (2)
Г В(p,q) = Г Г .
В(p,1-p) = Г Г ==.
Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).
Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).
Интеграл сходится равномерно на любом [ , A ], 0 < < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл .
В окрестности нуля |ln x| для > 0 существует C1().
В окрестности бесконечности |ln x| для > 0 существует C2().
Интеграл Г(k)(p)= сходится равномерно на любом компакте. Это следует из оценок + , p[ , A]. Здесь для степеней логарифма справедливы оценки:
В окрестности нуля интеграл сходится при 0<<1, действительно т. к. x-lnkx = .
В окрестности бесконечности сходится, действительно
xA-1|ln k x| C xA т. к. и кроме того .
4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра
Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл существует для любого A > 0.
=, =====- f(0).
= f(0).
Интегрированием по частям вычисляются интегралы
, 0, , 0 .
Другой способ: Положим = - + i , , откуда и следуют указанные формулы.
Вычислить
.
, =+С.
== С = 0.
Интеграл Пуассона
I = .
I 2 = =====.
Интеграл I = .
Интегрирование по частям I = ==.
=I , , I = C , I(0) = ==, I = .
Вычислить интеграл F(a,b) =, a>0, b>0 (1)
(2),
из (2) F(a,b) =+С(b).
===
F(a,b) =+C(b)=+C(b).
ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = .