Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематики и математического моделирования экономических систем Реферат Параметрические интегралы

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 2.11.2024

Министерство сельского хозяйства Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Мичуринский государственный аграрный университет

Кафедра математики и математического моделирования экономических систем

Реферат

«Параметрические интегралы»

                                                                                                    Выполнил:

                                                                                                    Студент         

                                                                                                    экономического

                                                                                                    факультета

                                                                                                    21 Э группы

                                                                                                    Бахарев А.С

                                                                                                    Проверил:

Мичуринск-Наукоград 2012

Интегралы, зависящие от параметра

  1.  Непрерывность интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

F(y) =

для области вида

Где f определена в области D (замкнутая), x1(y), x2(y) непрерывные функции, определенные на [c,d].

Теорема. Если f непрерывна на D , x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d], то F(y) непрерывна на  [c,d].

Доказательство. Функция f доопределим на прямоугольнике  [a,b] [c,d] содержащем область D, как показано на рисунке, следующим образом: положим f(x,y) = f(x1(y), y) при фиксированном y  [c,d]  и x[a, x1(y)], аналогично в правой части области f(x,y) = f(x2(y), y) при y  [c,d]  и x[ x2(y), b]. Доопределенную функцию по прежнему будем обозначать f(x,y). Эта функция будет непрерывна на [a,b] [c,d].

Далее |F(y+y) - F(y)| =  = ++ M|x1|+(b - a) + M|x2|.

Здесь используется ограниченность функции f и ее равномерная непрерывность.

Определение. Пусть функция  f(x,y) определена на [a,b] для любого  yY . Говорят, что f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 если

 >0 >0x[a,b]yU(y0): |f(x,y) - g(x)|< .

Можно доказать, что если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то функция g(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство. Выпишем неравенства

|g(x)-g(x0)|=| g(x)-f(x,y) +f(x,y)-f(x0,y)-g(x0)+ f(x0,y)| | g(x)-f(x,y)|+ |f(x,y)-f(x0,y)|+ |g(x0)- f(x0,y)|. Для заданного сначала выбираем окрестность точки x0 так, чтобы в этой окрестности |f(x,y)-f(x0,y)|<  для любых y из некоторой окрестности точки y0 . Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f(x,y). Величины | g(x)-f(x,y)|, |g(x0)- f(x0,y)| можно сделать также <   выбором ещё меньшей окрестности точки y0 для всех x в силу равномерной сходимости f(x,y) к g(x) .

Теорема. Если f(x,y) непрерывна и равномерно сходится к g(x) на [a,b] при yy0 , то

.

Доказательство. |b - a| .

  1.  Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Предположим, что область является одновременно и областью типа А и В . Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы

F(y) =

  1.  Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f  и   непрерывны в [a,b] [c,d] , то F(y) =

дифференцируема на [c,d] и .

Доказательство.

==, 0< <1. Тогда

.

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции  следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f , определенную на прямоугольнике [a,b] [c,d], содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на [a,b] [c,d], x1(y), x2(y)  имеют непрерывные на [c,d] производные, то F(y) =  также имеет производную

+-.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(y,u,v) = . Для нее существуют непрерывные частные производные (не очевидным является непрерывность функции ). Дифференцируя сложную функцию F(y) = = Ф(y, x1(y), x2(y)) получим требуемое равенство. Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции  .

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

  1.  Равномерная сходимость несобственного  интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

 (1)

, yY.

Предположим, что при некоторых y  интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором  y  интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого [a,b) интеграл  (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие  не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Сходящийся на Y  интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

 >0 >0(b-,b)yY:  (для интеграла 2-го рода)

 >0M(M,+)yY:  (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для интеграла 2-го рода)

Если g(x) на [a,b), интегрируемая на любом [a, ), (b-,b) такая, что

1) |f(x,y)|  g(x), a  x < b, yY

2)  сходится ,

то интеграл (1) сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .

Теорема: Пусть и  f(x,y) определена и непрерывна на [a,b) по x для всех yY. Если для любых функция f(x,y)  равномерно сходится к g(x) на [a,b-] при yy0 ,  интеграл  равномерно сходится на Y, сходится. Тогда

.

Доказательство.

=.

 можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости функции f(x,y)  к g(x). Интеграл  можно сделать сколь угодно малым в силу равномерной сходимости интеграла . Интеграл  можно сделать сколь угодно малым в силу сходимости интеграла .

Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы

 >0>0 y  Y,(b-,b): .

Достаточность. При выполнении условия  для  y  Y,(b-,b) можно перейти к пределу при   b . Тогда для  y  Y(b-,b) : , что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость.  Имеем  >0>0 y  Y(b-,b): . Тогда при ,(b-,b) будет выполнено . 

  1.  Непрерывность интеграла от параметра

Теорема 2. Если f(x,y)  определена и непрерывна на [a,b)[c,d] , интеграл (y) =  сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

|(y+y) - (y)| =++.

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного  выбором в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора  первый интеграл может быть сделан меньше заданного  выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции.

  1.  Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d], интеграл (y) =  сходится равномерно на [c,d] , то

==.

Доказательство. Для любого   в разумных пределах

=. Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что  сходится равномерно на [c,d] к  при b.

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d), интеграл  сходится равномерно на [c,] , интеграл   сходится равномерно на [a,] и существует один из повторных интегралов

,

, то существует и другой и выполняется равенство

=.

Без доказательства.

  1.  Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

 Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)[c,d] , то сходимость интеграла  эквивалентна условию для любой последовательности nb сходится ряд .

Аналогично для равномерной сходимости.

Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на [a,b)[c,d] . Если сходится для всех y а  сходится равномерно на [c,d] , то функция (y) =  непрерывна дифференцируема на этом отрезке и

.

Доказательство: Пусть nb . Согласно лемме

(y) = =, .

Далее применяется теорема о дифференцировании функционального ряда.

Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0.

Непрерывность на (0, ).

Рассмотрим два интеграла , .

1) , p[ , 1) . Признак Вейерштрасса.

      - собственный для p[1 , ).

2)   , p[1 , A] . Признак Вейерштрасса.

     , p( 0 , 1] .

Докажем формулу

 (1)

Для этого сделаем замену x  xy . (p) = ==.

2. Бета функция Эйлера В(p,q) = , p > 0 , q >0 .

Сделаем замену  , dx = .

В(p,q) = =.

В(p,q) =    (2)

3. Некоторые свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим  . Откуда, используя (2)

Г В(p,q) = Г  Г .

В(p,1-p) = Г  Г ==.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл  сходится равномерно на любом [ , A ], 0 < < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Рассмотрим интеграл .

В окрестности нуля |ln x|  для > 0 существует C1().

В окрестности бесконечности |ln x|  для > 0 существует C2().

Интеграл Г(k)(p)=  сходится равномерно на любом компакте. Это следует из оценок + , p[ , A]. Здесь для степеней логарифма справедливы оценки:

В окрестности нуля интеграл  сходится при 0<<1, действительно т. к. x-lnkx = .

В окрестности бесконечности  сходится, действительно

xA-1|ln k x|  C xA  т. к. и кроме того .

4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл  существует для любого A > 0.

=, =====- f(0).

= f(0).

Интегрированием по частям вычисляются интегралы

,   0, ,   0 .

Другой способ: Положим = - + i , , откуда и следуют указанные формулы.

Вычислить

.

, =+С.

==  С = 0.

Интеграл Пуассона

I = .

I 2 = =====.

Интеграл  I = .

Интегрирование по частям I = ==.

=I , , I = C , I(0) = ==, I = .

Вычислить интеграл F(a,b) =, a>0, b>0 (1)

(2),

из (2) F(a,b) =+С(b).

===

F(a,b) =+C(b)=+C(b).

ln b = F(b,b)= ln 2 + C(b), C(b) = .




1. статья посвящена анализу фундаментальных причин экономических кризисов и циклов
2. летний опыт проведения курсов обучения разработка методик учебных и методических материалов
3. ОТЧЕТ ПО ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРИКТИКЕ Выполнил студент гр
4. М ОПИСАНИЕ ЦЕНА ЗА КВ
5. В конверте находится чистый лист бумаги
6. психическое состояние малыша еще неустойчиво и непрочно
7. Детский сад комбинированного вида 36 Жемчужинка МДОУ дс 36 г
8. Рефакторинг Виключення дублювання коду Розробка бібліотек класів та знайомство з багатопроектними рішеннями
9. і Для того щоб випередити конкурента а це потребує якнайшвидшого прийняття оптимальних управлінських рішен
10. слизистой теории болезни и качеств пищи
11.  Формальным источником уголовного права является- а
12. УЖГОРОДСКИЙ ФОТОКЛУБ ОБЪЕКТИВ ПРОЕКТА ТРОПЫ СРИБНОЙ ЗЕМЛИ Представляют Учебную програ
13. Subject to ' подлежать to engge in business ' заняться предпринимательством to py license fee ' оплатить сбор за выдачу л
14. Английский менталитет
15. Аналіз продуктивності праці
16. Курсовая работа- Методи збору журналістської інформації
17. одевание здания нового назначения в исторические формы
18. Дягиль лекарственный (дудник)
19. просьбы Письмаподтверждения Письманапоминания Письмаизвещения Письмаприглашения и т
20. Курсовая работа- Управление как система знаний