Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематики и естественных наук МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Учебнометодический комплекс

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 25.11.2024

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФБГОУ ВПО   «Тюменский государственный университет»

Нижневартовский экономико-правовой институт (филиал)

Кафедра математики и естественных наук

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебно-методический комплекс

для студентов групп ЗЭ11,СЭ11 заочной формы обучения

Осенний  семестр

2013

1. Тематика дисциплины

  1.  Множества и функции.    Понятие множества. Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и функции. Способы их задания. Общие характеристики функций. Ограниченные и монотонные функции. Обратные функции. Элементарные функции. Преобразование графиков.

  1.  Теория пределов.  Понятие предела последовательности. Окрестность точки и геометрическая интерпретация предела. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Арифметические и порядковые свойства предела последовательности. Число е и его применение в финансовых схемах начисления сложных процентов. Понятие предела функции в смысле Коши и Гейне. Геометрическая интерпретация предела. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Понятие эквивалентности функций. Замечательные пределы. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

  1.  Непрерывность функции.    Понятие непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Коши. Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных.

  1.  Производная и дифференциал.   Понятие производной функции в точке. Геометрический и экономический смысл производной. Односторонние производные Свойства производных. Таблица производных. Логарифмическая производная. Понятие дифференциала функции. Его геометрический смысл. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные неявных функций. Инвариантность формы первого дифференциала.

  1.  Теоремы о дифференцируемых функциях.   Локальные экстремумы функции. Теорема Ферма. Достаточные условия экстремума. Теорема Ролля. Формула Лагранжа. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

  1.  Исследование функций и построение графиков.  Критические точки первого рода. Участки монотонности. Выпуклость функции. Критические точки второго рода. Участки выпуклости. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

  1.  Интегральное исчисление.  Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Тригонометрические подстановки. Схема Римана построения определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема и формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел вращения. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона.

2.  Контрольные вопросы

  1.  Какие бывают множества на числовой прямой?
  2.  Каковы действия над множествами?
  3.  Что такое простейшие элементарные функции?
  4.  Как определяются элементарные функции?
  5.  Каковы общие характеристики функций?
  6.  Какая функция называется ограниченной?
  7.  Какая функция называется монотонной?
  8.  Что такое обратная функция?
  9.  Что такое неявная функция?
  10.  Какие бывают простейшие преобразования графиков?
  11.  Что такое последовательность?
  12.  Что такое предел числовой последовательности?
  13.  Каков геометрический смысл предела последовательности?
  14.  Какая последовательность называется сходящейся?
  15.  Что такое бесконечно малая последовательность?
  16.  Что такое бесконечно большая последовательность?
  17.  Какая связь между бесконечно малыми и большими последовательностями?
  18.  Каковы свойства бесконечно малых последовательностей?
  19.  Каковы свойства пределов последовательностей?
  20.  Что такое предел функции в точке?
  21.  Каков геометрический смысл предела функции в точке?
  22.  Что такое односторонний предел?
  23.  Если функция имеет предел, то всегда ли она имеет односторонние пределы?
  24.  Если функция имеет односторонние пределы, то всегда ли она  имеет предел?
  25.  Что такое бесконечно малая функция?
  26.  Что такое бесконечно большая функция?
  27.  Какая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями?
  28.  Каковы арифметические свойства пределов?
  29.  Каковы порядковые свойства пределов?
  30.  Что такое замечательные пределы?
  31.  Как определяется порядок малости функции?
  32.  Какие бесконечно малые называются эквивалентными?
  33.  Каково содержание таблицы эквивалентных бесконечно малых?
  34.  Как используется такая таблица при вычислении сложных пределов?
  35.  Каковы бывают типы неопределенностей?
  36.  Какие типы неопределенностей раскрываются с помощью предварительного логарифмирования?
  37.  Какая функция называется непрерывной в точке?
  38.  Каково определение непрерывности функции через приращения?
  39.  Что такое односторонняя непрерывность?
  40.  Если функция непрерывна, то всегда ли имеет место односторонняя непрерывность?
  41.  Если функция имеет одностороннюю непрерывность, то всегда ли она  непрерывна?
  42.  Какова классификация точек разрыва?
  43.  Являются ли непрерывными элементарные функции?
  44.  Какая функция называется непрерывной на отрезке?
  45.  Какова формулировка теоремы Вейерштрасса?
  46.  Какова формулировка теоремы Коши?
  47.  Как используется теорема Коши при решении нелинейных уравнений?
  48.  Что такое производная функции?
  49.  Каков геометрический и экономический смысл производной?
  50.  Каковы основные свойства производных?
  51.  Каково содержание простейшей таблицы производных?
  52.  Что такое односторонняя производная?
  53.  Если производная функции существует, то всегда ли существует односторонняя производная?
  54.  Если односторонние производные функции существуют, то всегда ли существует производная этой функции?
  55.  Что такое дифференциал функции?
  56.  Каковы свойства дифференциала?
  57.  Каков геометрический смысл дифференциала?
  58.  Каково уравнение касательной к кривой на плоскости в заданной точке?
  59.  Каково уравнение нормали к кривой на плоскости в заданной точке?
  60.  Как определяются производные высших порядков?
  61.  Как определяются дифференциалы высших порядков?
  62.  Как вычисляются производные неявных функций?
  63.  Каковы основные теоремы о дифференцируемых функциях?
  64.  Что такое экстремум функции в точке?
  65.  Какова формулировка теоремы Ферма?
  66.  Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то является ли это достаточным для существования экстремума в этой точке?
  67.  Каковы достаточные условия экстремума?
  68.  Как формулируется теорема Ролля?
  69.  В чем состоит геометрический смысл теоремы Ролля?
  70.  Как формулируется теорема Лагранжа?
  71.  В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?
  72.  Является ли теорема Лагранжа частным случаем теоремы Ролля?
  73.  В чем состоит правило Лопиталя?
  74.  Какие типы неопределенностей можно раскрыть по правилу Лопиталя?
  75.  Что такое критические точки 1 рода?
  76.  Как исследуется функция на монотонность?
  77.  Что такое участки монотонности?
  78.  Какая функция называется выпуклой вверх?
  79.  Какая функция называется выпуклой вниз?
  80.  Как исследуется функция на выпуклость?
  81.  Что такое участки выпуклости?
  82.  Что такое точки перегиба?
  83.  Что такое вертикальная асимптота?
  84.  Что такое наклонная асимптота?
  85.  Как определяются параметры наклонных асимптот?
  86.  Какова общая схема исследования функции и построения графика?
  87.  Что называется первообразной?
  88.  Всякая ли функция имеет первообразную?
  89.  Сколько первообразных имеет функция?
  90.  Что такое неопределенный интеграл?
  91.  Каковы свойства неопределенного интеграла?
  92.  Совпадает ли интеграл суммы функций с суммой интегралов от каждой из функций?
  93.  Совпадает ли интеграл произведения функций с произведением интегралов от каждой из функций?
  94.  Какова роль таблицы интегралов в нахождении первообразных сложных функций?
  95.  Что такое непосредственное интегрирование?
  96.  В чем состоит метод замены переменной в неопределенном интеграле?
  97.  Как выполняется метод подведения под знак дифференциала?
  98.  В чем сущность метода интегрирования по частям?
  99.  Что такое рациональная функция?
  100.  Какая функция называется правильной?
  101.  Каковы типы простейших дробей?
  102.  Как проводится разложение рациональной функции на простейшие дроби?
  103.  В чем состоит метод неопределенных коэффициентов?
  104.  Как интегрируются простейшие дроби 3 типа?
  105.  В чем особенность интегрирования простейших дробей 4 типа?
  106.  Каким образом используются рекуррентные соотношения при интегрировании дробей 4 типа?
  107.  Как интегрируются неправильные рациональные функции?
  108.  Как формулируется теорема Чебышева об интегрировании биномиальных дифференциалов?
  109.  Какова формулировка теоремы Остроградского об интегрировании выражений, содержащих квадратный корень из квадратичной формы?
  110.  Как интегрируются выражения, содержащие корни из дробно-линейной функции?
  111.  Каков вид универсальной тригонометрической подстановки?
  112.  Приводит ли универсальная подстановка к рационализации тригонометрического интеграла?
  113.  Какая подстановка более целесообразна, если подынтегральная функция четна относительно входящих в нее синуса и косинуса?
  114.  Как интегрируются тригонометрические выражения, содержащие степени синуса и косинуса?
  115.   Как применяются тригонометрические подстановки при интегрировании иррациональных выражений?
  116.  Что такое простейшая криволинейная трапеция?
  117.  Какая геометрическая задача способствовала появлению определенного интеграла?
  118.  Каковы этапы построения определенного интеграла по схеме Римана?
  119.  Что такое интегральная сумма?
  120.  Каковы свойства определенного интеграла?
  121.  Как изменится величина интеграла, если поменять местами пределы интегрирования?
  122.  Что такое аддитивность определенного интеграла?
  123.  Что больше: модуль определенного интеграла или интеграл от модуля функции с теми же пределами интегрирования?
  124.  Как можно оценить величину интеграла через границы подынтегральной функции?
  125.  Как формулируется теорема о среднем?
  126.  Что такое интеграл с переменным верхним пределом?
  127.  В чем сущность теоремы Ньютона-Лейбница?
  128.  Какова формула Ньютона-Лейбница?
  129.  Могут ли пределы интегрирования быть несобственными числами?
  130.  Может ли подынтегральная функция быть неограниченной?
  131.  Как определяется несобственный интеграл первого рода?
  132.  Какой интеграл первого рода называется сходящимся?
  133.  Каковы условия сходимости интеграла Дирихле первого рода?
  134.  Как формулируется и применяется теорема сравнения несобственных интегралов первого рода для исследования сходимости интеграла?
  135.  Как определяется несобственный интеграл второго рода?
  136.  Какой интеграл второго рода называется сходящимся?
  137.  Каковы условия сходимости интеграла Дирихле второго рода?
  138.  Как формулируется и применяется теорема сравнения несобственных интегралов второго рода для исследования сходимости интеграла?
  139.  Что такое криволинейная трапеция?
  140.  Можно ли считать круг криволинейной трапецией?
  141.  Как вычисляются площади плоских фигур в декартовой системе координат?
  142.  Что такое простейший криволинейный сектор?
  143.  Как применяется схема Римана построения определенного интеграла к задаче вычисления площади простейшего криволинейного сектора?
  144.  Что такое криволинейный сектор?
  145.  Как вычисляются площади плоских фигур в полярной системе координат?
  146.  Как вычисляются объемы тел вращения с помощью определенного интеграла?
  147.  Каковы простейшие методы приближенного вычисления определенного интеграла?
  148.  В чем сущность метода Симпсона?
  149.  Почему метод Симпсона эффективнее метода прямоугольников или трапеций?

3.  Варианты контрольных заданий

Инструкция к оформлению

  1.  Контрольную работу (КР) оформлять в среде Word с использованием таблицы Excel или математических пакетов для выполнения расчетной части
  2.  Каждая КР выполняется согласно выбранному варианту. Номер варианта соответствует номеру фамилии студента в списке студенческой группы
  3.  Все задачи должны быть решены четко и ясно со ссылками на известные теоремы и формулы
  4.  В конце работы проставляется дата и подпись
  5.  В случае, если КР не зачтена,  делается работа над ошибками и она снова отправляется на проверку преподавателю

Тексты контрольных заданий  (часть 1)

  1.  Найти пределы функций   
  2.  Исследовать функции и построить график  (см. свой вариант ниже)

№ зад

Вариант  0

1

2

№ зад

Вариант  1

1

2

№ зад

Вариант  2

1

2

№ зад

Вариант  3

1

2

№ зад

Вариант  4

1

2

№ зад

Вариант  5

1

2

№ зад

Вариант  6

1

2

№ зад

Вариант  7

1

2

№ зад

Вариант  8

1

2

№ зад

Вариант  9

1

2

№ зад

Вариант  10

1

2

№ зад

Вариант  11

1

2

№ зад

Вариант  12

1

2

№ зад

Вариант  13

1

2

№ зад

Вариант  14

1

2

№ зад

Вариант  15

1

2

№ зад

Вариант  16

1

2

№ зад

Вариант  17

1

2

№ зад

Вариант  18

1

2

№ зад

Вариант  19

1

2

№ зад

Вариант  20

1

2

№ зад

Вариант  21

1

2

№ зад

Вариант  22

1

2

№ зад

Вариант  23

1

2

№ зад

Вариант  24

1

2

№ зад

Вариант  25

1

2

№ зад

Вариант  26

1

2

№ зад

Вариант  27

1

2

№ зад

Вариант  28

1

2

№ зад

Вариант  29

1

2

№ зад

Вариант  30

1

2

№ зад

Вариант  31

1

2

№ зад

Вариант  32

1

2

№ зад

Вариант  33

1

2

Тексты контрольных заданий  (часть 2)

  1.  Найти неопределенные интегралы
  2.  Вычислить площадь, ограниченную линиями

№

Вариант  0

1

2

№

Вариант  1

1

2

№

Вариант  2

1

2

№

Вариант  3

1

2

№

Вариант  4

1

2

№

Вариант  5

1

2

№

Вариант  6

1

2

№

Вариант  7

1

2

№

Вариант  8

1

2

№

Вариант  9

1

2

№

Вариант  10

1

2

№

Вариант  11

1

2

№

Вариант  12

1

2

№

Вариант  13

1

2

№

Вариант  14

1

2

№

Вариант  15

1

2

№

Вариант  16

1

2

№

Вариант  17

1

2

№

Вариант  18

1

2

№

Вариант  19

1

2

№

Вариант  20

1

2

№

Вариант  21

1

2

№

Вариант  22

1

2

№

Вариант  23

1

2

№

Вариант  24

1

2

№

Вариант  25

1

2

№

Вариант  26

1

2

№

Вариант  27

1

2

№

Вариант  28

1

2

№

Вариант  29

1

2

№

Вариант  30

1

2

№

Вариант  31

1

2

№

Вариант  32

1

2

№

Вариант  33

1

2

№

Вариант  34

1

2

№

Вариант  35

1

2

4. Решение варианта 0 контрольной работы  (часть 1)

Задача 1.   Найти пределы функций:   

  1.  Сначала подставим предельную точку  x=2: числитель и знаменатель дроби равны нулю. Значит, мы имеем неопределенность первого типа .  По теореме Виета или через дискриминант найдем корни квадратичной формы в числителе и разложим ее на линейные множители:

x2-x-2=(x-2)(x+1)

Теперь предел можно записать так:

  1.  Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

sin2x~2x

(Это следствие из первого замечательного предела)

Тогда

Решим эту же задачу по правилу Лопиталя. Напомним, что по этому правилу отношение дифференцируемых бесконечно малых можно заменить отношением их производных. Тогда

  1.  Сделаем следующие преобразования:

Обозначим  v=x/4  и снова воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых, а именно,

(Это второй замечательный предел).

Тогда

Задача 2.    Исследовать функции и построить графики

Исследование функций проведем по следующей схеме:

А) общие характеристики

  •  область определения
    •  нули
    •  четность
    •  периодичность
    •  особые точки
    •  асимптоты

В) дифференциальные характеристики

  •  монотонность
    •  экстремумы
    •  выпуклость
    •  перегибы
  1.  Рассмотрим сначала функцию   
    •  область определения – вся числовая прямая:  D(y)=R
    •  нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Очевидно, что один корень  x1=2. Разделим (например, уголком) кубическую форму в правой части функции на линейный множитель  (x-2)  для отыскания еще двух других корней. Получим

x3-6x+4=(x-2)(x2+2x-2)

Квадратичная форма  x2+2x-2  (по теореме Виета или через дискриминант)  имеет два корня  x2=-1-√3,  x3=-1+√3.  Таким образом,

D0={-1-√3, -1+√3, 2}

  •  Очевидно, что это функция общего вида, т.е. не обладает свойством четности

y(x) = y(-x)

или нечетности

y(x) = - y(-x)

  •  Функция не является периодической, т.е. не найдется такого  Т, что

y(x)=y(x+Т)

  •  Особые точки:  y(0)=4.  Значит, график функции пересекает ось ординат в точке  (0,4).
  •  Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек существенного разрыва (разрыва второго рода) хотя бы с одним односторонним бесконечным пределом. Убедимся, что нет и наклонных асимптот. Действительно, угловой коэффициент асимптоты равен

  •  Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем производную

y’=3x2-6

и приравняем нулю:

x2-2=0.

Критические точки:  -√2, √2. Они делят область определения на три участка монотонности:

D=(-∞, -√2)U(-√2, √2)U(√2, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x

(-∞, -√2)

(-√2, √2)

(√2, ∞)

y’

+

-

+

y

↑

↓

↑

Итак, участки монотонности:  

(-∞, -√2) – участок возрастания функции

(-√2, √2) – участок убывания функции

(√2, ∞)   -  участок возрастания функции

  •  Из таблицы легко определить точки экстремума. А именно,  x=-√2 – точка локального максимума функции, а  x=√2 – точка локального минимума функции
  •  Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует.  Найдем производную второго порядка

y’’=6x

Приравнивая нулю, получаем одну точку  x=0. Она делит область определения функции на два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x

(-∞, 0)

(0, ∞)

y’’

-

+

y

∩

U

Итак, участки выпуклости:  

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

 (0, ∞)   -  участок выпуклости вниз

  •  Из таблицы легко определить точку перегиба. А именно,  x=0 – точка перегиба функции

Используя полученную информацию, построим график заданной функции   с помощью пакета  Maple.

plot(x^3-6*x+4,x=-3..3);

  1.  Рассмотрим теперь функцию    
    •  область определения – все точки числовой прямой, за исключением точки  x=0:  D(y)=R\{0}
    •  нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Приравнивая нулю числитель, получаем 

D0={-2, 2}

  •  Очевидно, что это нечетная функция. В самом деле,

Значит, график функции симметричен относительно начала координат.

  •  Функция также не является периодической, т.е. не найдется такого  Т, что

y(x)=y(x+Т)

  •  Особые точки:  x=0.  Найдем односторонние пределы в этой точке:

  •  Полученные значения односторонних пределов позволяются сделать вывод, что функция имеет вертикальную асимптоту  x=0. Убедимся, что функция имеет и наклонную асимптоту  y=kx+b. Действительно,

Следовательно,  y=-x+b.  Найдем параметр  b. 

Итак, наклонная асимптота заданной функции такова:  y=-x

  •  Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода. Найдем производную

Проверим правильность дифференцирования в среде  Maple:

> diff((4-x^2)/x,x);

Критическая точка: 0. Она не входит в область определения функции, но является граничной для нее. Область определения в этом случае естественным образом представляется объединением двух участков монотонности:

D=(-∞,0)U(0, ∞)

Исследуем направление монотонности с помощью таблицы

x

(-∞, 0)

(0, ∞)

y’

-

-

y

↓

↓

Итак, участки монотонности:  

(-∞, 0) – участок убывания функции

(0, ∞)   -  участок убывания функции

  •  Из таблицы видно, что экстремумов функция не имеет
  •  Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода.  Найдем производную второго порядка

Проверим правильность дифференцирования в среде Maple:

> diff(-(x^2+4)/(x^2),x);

Критическая тока:  x=0. Она делит область определения функции на те же два участка:

D=(-∞, 0)U(0, ∞)

Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы

x

(-∞, 0)

(0, ∞)

y’’

-

+

y

∩

U

Итак, участки выпуклости:  

(-∞, 0) – участок выпуклости вверх

 (0, ∞)   -  участок выпуклости вниз

  •  Точка  x=0  не является точкой перегиба, так как она не входит в область определения функции и в ней не существует производная второго порядка.

Используя полученную информацию, построим график заданной функции   

4. Решение варианта 0 контрольного задания  (часть 2)

Задача 1.   Найти интегралы:

  1.  Выделим в числителе производную от знаменателя:

Такое разложение позволяет использовать известные табличные интегралы

Тогда

Итак,

Очевидно, что результаты ручного и машинного вычислений совпадают.

  1.  Такой интеграл будем брать методом интегрирования по частям, а именно, по формуле

Пусть  u=x,  dv=cos3xdx.  Тогда  du=dx,  v=(1/3)sin3x.  Далее получаем

  1.  Подинтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Для этого в знаменателе выделим линейные или неприводимые квадратичные множители:

Из этого равенства получаем

x-2=A(x+3)+Bx

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х.

x-2=Ax+3A+Bx    или     x-2=(A+B)x+3A

Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Решая эту систему, находим  A=-(2/3),  B=5/3.

Подставим полученные значения (бывших) неопределенных коэффициентов Имеем

Переходя к интегралам, получаем

Итак,

Задача 2.   Вычислить площадь, ограниченную линиями:

 

Представим на графике указанную площадь.      Для этого вычертим параболу     и   прямую  , а затем выделим фигуру, заключенную между этими геометрическими объектами. Вычисление площади этой фигуры с помощью определенного интеграла потребует знания пределов интегрирования. Это нижняя и верхняя границы проекции фигуры на ось абсцисс.  Для нахождения таких границ приравняем правые части заданных уравнений:    x2-x+3=7-x.  Отсюда  x2-4=0.  Значит,  x1=-2, x2=2. 

Площадь выделенного участка вычислим с помощью определенного интеграла:

Литература

Основная литература

  1.  Бугров А.Г., Никольский С.М.   Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984
  2.  Бугров А.Г., Никольский С.М.   Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980
  3.  Бугров А.Г., Никольский С.М.   Задачник. – М.: Наука, 1984
  4.  Высшая математика для экономистов / под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 1997
  5.  Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. проф. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2005
  6.  Сборник задач по высшей математике для экономистов / под ред. проф. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2002
  7.  Шипачев В.С.    Высшая математика. – М.: ВШ, 2000
  8.  Шипачев В.С.    Задачник по высшей математике. – М.: ВШ, 2001

Дополнительная литература

  1.  Баринов В.А., Няшин А.Ф., Слезко И.В., Татосов А.В.  Краткий курс лекций, упражнения и задания по высшей математике. – Изд. ТюмГУ, 2001
  2.  Воронов М.В., Мещеряков Г.П.  Высшая математика для экономистов и менеджеров. – Ростов-на-Дону, ФЕНИКС, 2004
  3.  Высшая математика. Общий курс / под ред. А.И.Яблонского. – Минск: ВШ, 1993
  4.  Головина Л.И.  Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985
  5.  Гусак А.А.  Высшая математика. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – т.1,2
  6.  Гусак А.А.  Задачи и упражнения по высшей математике. – Мн.: Выш.шк., 1988. – т.1,2
  7.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.   Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: ВШ, 1986. - ч.1,2
  8.  Демидович Б.П.  Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977
  9.  Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975
  10.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978
  11.  Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И.  Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: ВШ, 1982. – ч.1,2
  12.  Карасев А.И. Калихман И.Л., Кремер Н.Ш.  Матричная алгебра. – М.: ВЗФЭИ, 1987
  13.  Колесников А.Н.  Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997
  14.  Кругликов В.И.  Основные формулы и методы математического анализа. – Изд. ТюмГУ, 2003
  15.  Кругликов В.И.  Конспект лекций по математике. – Изд. ТюмГУ, 2003
  16.  Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.  Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989
  17.  Малыхин В.И.  Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2000
  18.  Мантуров О.В., Матвеев Н.М.  Курс высшей математики. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. – М.: ВШ, 1986
  19.  Мордкович А.Г., Солодовников А.С.  Математический анализ. – М.: ВШ, 1990
  20.  Матвеев Н.М.  Обыкновенные дифференциальные уравнения. – С.-П.: Спец. литература, 1996
  21.  Матвеев Н.М.  Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: ВШ, 1987
  22.  Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. – ч.1,2
  23.  Сборник задач по высшей математике для втузов, ч.1,2  / под ред. проф. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. – М.: ВШ, 1985
  24.  Справочник по математике для экономистов   / под ред. проф.Ермакова В.И. – М.: Наука, 1986

PAGE  12




1. слесари при производстве работ согласно имеющейся квалификации обязаны выполнять требования безопасност
2. Афина
3. образовательных презентацийMicrosoft PowerPoint Мультимедийные презентации используются для того чтобы выступаю
4.  Предмет этнологии
5. Минеральные гидравлические вяжущие вещества
6. Российская буржуазия
7. Cальвадор Дали
8. Съемное протезирование зубов
9. УТВЕРЖДАЮ Зав
10. Вариант 1 Особенности полой капиллярной колонки ПКК
11. Тема I ~ Проекционное черчение I-{{1}}; K; S- Какое максимальное количество основных видов может быть на чертеж
12. тематизованих і розміщених в певному порядку наприклад по алфавіту темам рядкам
13. на тему- Личностные качества предпринимателя Выполнила- студентка 4 курса специальности Эк.html
14. Средняя общеобразовательная школа’2 городского округа ЗАТО Светлый Саратовской области
15. Возрастные периоды развития быстроты
16. Модуль Алгебра Сравнение рациональных чисел
17. Особенности воспитания доброжелательного отношения к сверстникам у старших дошкольников [0
18. Отчет по производственной практике в Вычислительном центре УГМТУ (Компьютерные сети
19. УТВЕРЖДАЮ Очно Про.
20. Смысл любви Смысл любви цикл статей Владимира Соловьева опубликованный в журналах 1892 1893 годах

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе