Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Исследование функций
Определение: Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x, взятому из области её изменения, соответствует по определенному правилу или закону единственное значение y.
Запись y=f(x) показывает, что величины x и y находятся в функциональной зависимости.
Определение: Под областью определения (существования) функции y=f(x) понимается совокупность всех действительных значений аргумента x, при которых функция определена и выражается действительным числом. Обозначается D(f)=X.
Интервалы монотонности
Определение: Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале (а;b), если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Теорема1 (достаточное условие монотонности функции): Если функция y=f(x) дифференцируема и f ` (x)˃0 (f `(x)˂0) в некотором интервале, то функция в этом интервале строго возрастает (строго убывает).
Экстремум функции.
Определение: Точка х0 называется точкой минимума(максимума) функции y=f(x), если имеет место неравенство: f(х0)˂f(x) [соответственно: f(х0)˃f(x)] для любого x из некоторой окрестности точки х0. Значение функции в точке минимума (максимума) f(х0 ) называется минимумом (максимумом) функции y=f(x). Минимумы и максимумы функции называют экстремумами функции, а точки минимума и максимума – точками экстремумами.
Теорема2: (необходимое условие экстремума).
Если функция y=f(x) имеет в точке х0 экстремум, то производная f `(х0) обращается в нуль или не существует.
Определение: Внутренние точки из области определения функции, в которых f `(x) равна нулю или не существует, называются критическими точками функции f(x).
Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.
Теорема3: (первое достаточное условие экстремума).
Пусть х0 – критическая точка функции y=f(x). Если при переходе через точку х0 слева направо производная f `(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке х0 имеет максимум (минимум); если же производная f `(x) не имеет знака в окрестности точки х0, то данная функция не имеет в точке х0 экстремума.
Теорема 4: (второе достаточное условие экстремума).
Если в критической точке х0 функция f(x) дважды дифференцируема и f ``(х0)˂0 (f ``(х0)˃0), то в этой точке функция f(x) имеет максимум (минимум).
Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты.
Определение: График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на (a;b), если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке с абсциссой x(a;b).
Теорема5: (достаточное условие выпуклости (вогнутости)).
Если функция f(x) в интервале (a;b) дважды дифференцируема и f ``(x)˂0 (f ``(x)˃0) для любого x(a;b), то график функции в этом интервале выпуклый (вогнутый).
Определение: Точка (х0;f(х0)) графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.
Определение: Внутренние точки из области определения функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода.
Теорема 6: (достаточное условие существования точки перегиба).
Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и дважды дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, кроме, быть может, самой точки х0, и в указанной окрестности вторая производная f ``(x) имеет разные знаки слева и справа от х0, то (х0;f(х0)) – точка перегиба графика функции y=f(x).
Определение: Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки M(x;y), лежащей на кривой, до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат по какой-либо ветви этой кривой.
Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Схема исследования функции y=f(x)и построения её графика.