Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ТЕМА: «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ»
Непрерывность функции в точке
Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .
Это определение означает выполнение трех условий:
1) функция f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности;
2) функция имеет предел при x→x0;
3) предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.
|
Непрерывная функция |
Не определена в точке |
Определена, но не имеет предела |
Определена, имеет предел, но значение предела не совпадает со значением функции |
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятие приращения аргумента и функции.
|
Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (a;b). Возьмем произвольную точку x0(a;b). Для любого х(a;b) разность x-x0 называется приращением аргумента x в точке x0 в точке x и обозначается Δх. Тогда Δх= x-x0 . Отсюда x=x0+Δx. Разность соответствующих значений функции f(x) – f(x0) называется приращением функции f(x) в точке x0 и обозначается Δy: Δy= f(x) – f(x0)= f(x0+Δx) – f(x0). |
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции, если она определена в точке x0 и выполняется равенство , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Пример_1. Доказать непрерывность функции у=3x2-2x+1 в точке x0=3.
Приращение аргумента x=x0+Δx. Соответствующее приращение функции Δу= f(x) – f(x0) = 3(x0+Δx)2-2(x0+Δx) +1-(3(x0)2-2x0+1)=3(x0)2+6x0· Δx+3(Δx)2-2x0 -2Δx+1-3(x0)2+2x0-1= 6x0· Δx+3(Δx)2-2Δx.
Тогда: функция непрерывна в точке.
Пример_2. Исследовать на непрерывность функцию y=sin(x).
Функция y=sinx определена при всех действительных числах. Возьмем произвольную точку x0 и найдем приращений функции:
Тогда: sin (x) непр. в x0
Свойства непрерывных функций
1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного, за исключением тех значений аргумента, для которых делитель равен нулю);
2) Пусть функции u=φ(x) непрерывна в точке x0, а функция y=f(u) непрерывна в точке u0=φ(x0). Тогда сложная функция f(φ(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x0;
3) Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси 0х, то обратная функция y=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси 0y.
4) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a;b) и в точке x=a непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т.е. )
Теоремы о непрерывных функциях на отрезке
|
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Следствие из теоремы Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограниченна на этом отрезке. |
|
Теорема Больцано-Коши. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. |
|
|
Следствие из теоремы Больцано-Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(c)=0. |
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси 0x на другую, то он пересекает ось 0x.
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции. Они разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:
а) если А1=А2, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва;
б) если А1≠А2, то точка x0 называется точкой конечного разрыва. Величину | А1-А2| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
|
Точка устранимого разрыва
|
Точка конечного разрыва |
Точка разрыва x0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
Пример. Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.
Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x=3. Очевидно, что . Следовательно, и . Поэтому в точке x=3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен
1-(-1)=2.