Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Страхование – это социальный механизм, позволяющий индивидуумам и организациям компенсировать экономические потери, вызванные теми или иными неблагоприятными обстоятельствами. Страхование призвано заменить определённостью ту неопределённость в экономической стоимости, которая может быть обусловлена будущими потерями.
Страхование может быть определено как некоторый социальный инструмент, в котором индивидуумы, организации посредством своих вкладов редуцируют или исключают определённую долю риска возможных потерь.
В страховании не все виды “неопределённостей”, то есть не все “риски” подлежат страхованию. Здесь приняты следующие терминология и классификация, позволяющие обрисовывать сферу действия страхования. К физическим случайностям относят, например, землетрясения, экономические циклы, погоду, разные природные явления и т.п., затрагивающие или могущие затронуть всех членов сообщества.
С риском можно “бороться” разными способами.
Хотя страхование – вполне логичное и во многих отношениях замечательное средство “борьбы” с риском, не все, разумеется, неопределённости и связанные с ними финансовые потери им охватываются. Чтобы “риск” подлежал страхованию, он должен удовлетворять определённым требованиям, а именно:
В рассматриваемой теории полезности предполагается, что решения, принимаемые людьми в тех или иных ситуациях, определяются полностью, или хотя бы частично, предпочтениями, задаваемыми на множестве вероятностных распределений величин возможного ущерба (или дохода). А именно, предполагается, что “полезность” или “удовлетворение, испытываемое индивидуумом (или группой индивидуумов)” от детерминированного дохода возрастает не пропорционально , а его можно измерить некоторой, вообще говоря, нелинейной функцией . Так индивидуум с капиталом в один миллион долларов вряд ли испытывает то же удовлетворение от дополнительного дохода в один доллар, что и индивидуум с капиталом в один доллар. В этом случае естественно предполагать, что приращение полезности пропорционально не абсолютному изменению дохода, а , тогда Если доход представлен случайной величиной , то случайна и величина полезности , а её среднее значение равно Последняя величина служит критерием сравнения случайных величин в обсуждаемой теории: величина “лучше” , если . Как правило, рассматриваются монотонно возрастающие функции полезности , что отвечает так называемому принципу первого стохастического доминирования (вероятностный аналог правила “чем больше, тем лучше”). Более тонкие свойства функции полезности описывают, соответственно, более тонкие особенности правил предпочтения. В частности, выпуклость (вогнутость) характеризует склонность (не склонность) к риску.
Если - начальный капитал компании, суммарный страховой взнос определяется как решение уравнения
- здесь - суммарное случайное требование на возмещение ущерба, то есть страховой взнос выбирается так, чтобы средняя полезность до и после страхования была одна и та же.
В наших рассуждениях будем исходить из упрощённого понятия полезности, в соответствии с которым все побуждения представительного инвестора полностью описываются одной числовой величиной – доходом, и чем больше доход, тем больше полезность от обладания им. Таким образом, полезность рассматривается нами как неубывающая функция () с единственной переменной – доходом .
Теоретически могут существовать три типа возрастания функции : с затухающими, неизменными и нарастающими приростами полезности при движении аргумента по оси дохода с одинаковым шагом . Этим возможностям отвечают варианты графиков, изображённых на рис.1 .
U U U
D D D
C
G
C G F
F F
C G
a) – со спадающей б) – с постоянной в) – с возрастающей
отдачей отдачей отдачей
Рис. 1. Три типа возрастания полезности
Подумаем, какой из этих типов функции полезности больше соответствует поведенческой характеристике инвестора. На рис. 1 абсциссы соответствуют доходу, а ординаты – значениям полезности. При сравнении кривых просматривается разница между а), б) и в) в смысле оценок превышения полезности от выигрыша некоторой суммы (ВА) по сравнению с потерей той же суммы (ВО=ВА).
Так, для а) – при одинаковых выигрышах и потерях последние воспринимаются более ощутимо (GD<BC), в случае в) – более ощутимы выигрыши (GD>BC), а у б) – оценки одинаковых приобретений и потерь равнозначны (GD=BC).
Отсюда очевидно, что экономическое поведение по типу а), при котором человек больше боится потерять, чем желает приобрести, будет отличаться от типов б) и в) в пользу осторожных решений и умеренных действий. Этого почти достаточно, чтобы классифицировать кривую а) как полезность для несклонных к риску инвесторов.
Таким образом, каждый вид кривой полезности а), б), в) даёт один из возможных вариантов модели отношения человека к риску: не расположенный к риску а); безразличный (нейтральный) б); расположенный (склонный) к риску, у которого "полезность азарта" вытесняет полезность дохода в).
Следовательно, мы с полным основанием можем следующим образом ответить на поставленный в начале данного подраздела вопрос – наиболее адекватно поведение инвестора описывает графическая модель а), изображенная в левой части рис.1. Эту строго выпуклую вверх функцию называют функцией уклонения от риска, а линейную и строго выпуклую вниз функцию (рис. 1 б) и в)) – соответственно нейтральной относительно риска и функцией стремления к риску.
Примерами такого рода функций являются: квадратичная , логарифмическая , логарифмическая со сдвигом , экспоненциальная , степенная . Эти функции широко используют при математическом осмыслении инвестиционных задач и для выявления закономерностей финансового рынка.
Однако зависят они только от дохода r и поэтому не учитывают влияния внешних факторов на предпочтения человека (инвестора) и, следовательно, на течение кривых полезности. Тем не менее, при их конструировании математические свойства подбирались таким образом, чтобы соответствовать типовым разновидностям инвестиционного поведения. Это определяет возможности их прикладного и теоретического приложений.
Приведём некоторые общие рассуждения, определяющие выбор величины страхового взноса.
Пусть страховая компания обладает начальным капиталом , а её функция полезности равна . Пусть компания имеет дело с клиентами, причём предполагается, что все клиенты однородны – у них одна и та же функция полезности , один и тот же начальный капитал , величины исков одинаково распределены, не зависят друг от друга. Пусть - суммарное случайное требование на возмещение ущерба, а - цена одного страхового полиса, тогда - суммарный страховой взнос. Ориентируясь на ожидаемую полезность, страховая компания согласится страховать клиентов, если Клиент пойдёт на страхование если только Пусть - наименьшее из , для которых верно , а - наибольшее из , для которых верно Тогда если , то страхование невозможно. Если же , то страхование возможно. Возникает проблема выбора из отрезка . Опишем иной подход. Пусть тогда ожидаемая полезность есть вероятность неразорения. Допустим, что страховая компания «подотчётна» страхователям, т.е. единственная цель компании - осуществить перераспределение риска. В этом случае следует задаться неким уровнем надёжности , близким к 1. Те взносы , для которых , будут приемлемыми для страховой компании. Минимальное из таких (обозначим его ) и будет окончательным страховым взносом. Страхование возможно, если .
Пусть - величина страхового взноса, - случайная величина возможного суммарного ущерба, имеющая функцию распределения Остановимся на следующих частных случаях выбора величины страхового полиса.
1. Принцип ожидаемого значения (Expected value principle):
Величину в этом случае называют коэффициентом нагрузки – она указывает, на сколько страховой взнос должен быть выше среднего значения выплат. При мы приходим к упомянутому выше принципу эквивалентности (Net premium principle).
2. Принцип вариации (Variance principle):
Величина играет здесь роль весового коэффициента для дисперсии – чем больше , тем в большей степени взнос зависит от величины разброса значений выплат.
3. Принцип стандартного отклонения (Standard deviation principle):
Смысл здесь тот же, что и выше.
4. Принцип нулевой полезности (Zero utility principle). Пусть u(y) – функция полезности страхователя с обычными свойствами:
Если есть начальный капитал страховой компании, суммарный страховой взнос определяется как решение уравнения то есть страховой взнос выбирается так, чтобы полезность в среднем до и после страхования была одна и та же. В случае если функция полезности экспоненциальна:
последнее уравнение имеет явное решение вида
Этот случай называется экспоненциальным принципом (exponential principle).
5. Обобщённый прицип нулевой полезности. (Generalized principle of zero utility). Предположим, что начальный капитал является случайной величиной. Страховой взнос определяется как решение уравнения
6. Принцип Эшера (Escher principle).
7. Швейцарский принцип (Swiss-principle). В этом случае величина взноса находится как решение уравнения
где вещественная непрерывная функция с
8. Принцип Орлича (Orlicz principle). В этом случае величина взноса находится как решение уравнения
и - непрерывная строго возрастающая функция.
В моделях индивидуального риска изучается поведение одного выделенного сектора из всего набора рисков, принятых страховщиком. В таких моделях считается, что иск может быть предъявлен с вероятностью и число возможных исков фиксировано и равно n. Предполагая, что весь ущерб, указанный в иске страхователя, компенсируется страхующей организацией, будем всюду далее отождествлять понятия величины иска и величины выплаты. Суммарный иск здесь представляется как сумма заранее известного числа одиночных исков. Если одиночный иск с номером i представляется случайной величиной , то суммарный иск будет равен
В моделях индивидуального риска изучается поведение случайной суммы S.
Сначала рассмотрим простейший случай . Случайная величина X представляется в виде произведения
(1)
где I – индикаторная случайная величина, принимающая значение, равное 1 в том и только в том случае, если иск предъявляется, и 0 в противном случае, а B – случайный размер предъявленного иска. Относительно случайной величины I в (1) таким образом предполагается, что Рассмотрим пример.
Спросить какой из примеров нужно писать
Пример 1
В краткосрочном страховании жизни вероятность смерти застрахованного лица в результате несчастного случая равна 0.003, а в результате других причин – 0.002. При этом величина страхового возмещения равна 10000 при смерти от несчастного случая и 5000 при смерти от других причин. Это означает, что
откуда и распределение случайной величины B определяется как
Это означает, что в данном случае нетто-премия, равная среднему ущербу, равна 40.
Пример 2
Рассмотрим другой, более сложный пример. При страховании автомобилей известно, что иск предъявляется с вероятностью Функция распределения задается как
Следовательно, плотность распределения величины иска задается условиями
Приведенные соотношения показывают, что выплаты страховщика ограничены лимитом ответственности, равным 2000.
Из соотношения
следует, что значение F(x) функции распределения случайной величины X равно
При этом вероятности Кроме того,
Моменты случайной величины X в таком случае вычисляются по формуле
В частности,
В дальнейшем нам понадобятся известные из теории вероятностей следующий соотношения для случайных величин X,Y:
(2)
Из этих соотношений следует, что если известны среднее и дисперсия предъявляемых исков, то есть известны
то в силу равенств
справедливы отношения
Отсюда поулчаем, что
Заметим, что в последнем примере мы могли бы вычислять среднее и дисперсию случайной величины Х, исходя из полученных соотношений, так как
откуда вычисляется Теперь
Полученные формулы для вычисления среднего и дисперсии случайной величины Х по заданному распределению ущерба позволяют вычислить аналогичные характеристики для суммы S суммарного ущерба. Представление случайной величины Х в виду произведения IB может быть далее обобщено. Например, для страхования жизни величина иска может быть представлена как IJB, где индикаторная случайная величина I равна 1 в том и только в том случае, когда смерть застрахованного наступила в результате несчастного случая, при этом значение J равно 1 в том случае, когда несчастные случай произошел при исполнение служебных обязанностей.
Характеристики суммарного ущерба.
Рассмотрим различные подходы к описанию S- суммы n случайных величин. Поскольку нас интересуют неотрицательные величины, то в непрерывном случае для функция распределения суммы есть свертка функций распределения случайных величин X,Y:
аналогичное неравенств справедливо для плотности суммы:
в дискретном случае интеграл заменяется на соответствующую сумму. Если - функция распределения случайной величины , а - функция распределения суммы , то . В том случае, когда слагаемые в сумме S одинаково распределены, функция называется n- кратной сверткой функции F и обозначается как . Необходимо заметить, что в непрерывном случае непосредственное вычисление формулы для выражения свертки как правило представляет трудную задачу. В дискретном случае по заданным таблицам распределений случайных величин можно получить значения распределения свертки исходя из рекуррентной формулы
Подчеркнем, что в таком случае можно вычислить любое значение для распределения S, но если требуется получить качественное описание этого распределения, то в таком случае полезны производящие функции моментов: по определению, производящая функция моментов суммы S есть
Для независимых случайных величин величина
В дальнейшем нам потребуются производящие функции моментов для различных типов распределений. Важно отметить, что с одной стороны, производящая функция моментов определяется своим распределением, а с другой по заданной производящей функции моментов можно однозначно восстановить распределение. Рассмотрим такой пример.
Пусть три независимые случайные величины распределены по экспоненциальному закону с параметрами Требуется определить плотность распределения суммы
Для определения искомой плотности определим производящую функцию каждого слагаемого : поскольку плотность распределения случайной величины равна , то
Из независимости случайных величин следует, что производящая функция суммы есть
Теперь искомую плотность распределения будем искать в виде
где коэффициенты находятся из уравнения
Подставляя значения параметров в данное равенство, получим: Теперь нетрудно проверить, что производящая функция моментов для случайной величины с плотностью совпадает с найденной нами функцией .
Заметим, что плотность мы могил бы найти непосредственно, последовательно находя свертки:
Для обозначения натурального логарифма производящей функции моментов будем далее использовать обозначение . Функция позволяет вычислять первые три моменты случайной величины X:
Действительно, поскольку
то . Аналогично соотношения
дают равенства для второго и третьего центральных моментов:
6. Характеристики сумарного збитку. Центральна гранична теорема.
Теорема (третий способ описания распределения суммы S)
При большом значение n и независимых одинаково распределенных случайных величин слагаемых нормированная случайная величина
считается нормальной стандартно распределенной случайной величиной.
На практике проверкой независимости и сравнением распределений слагаемых часто пренебрегают, поскольку практически такая проверка бывает затруднительной. Кроме того, нормальная аппроксимация распределения S бывает единственным выходом из положения при недостаточной статистике.
Продемонстрируем, как можно использовать нормальную аппроксимацию для ответа на вопрос, каков должен быть размер собранных премий, чтобы с заданной вероятностью p его хватило для выплат по искам. Величину премии, соответствующую ущербу , будем представлять в виде . Здесь - так называемая относительная безопасная нагрузка, а - безопасная нагрузка на нетто-премию, которая равна . Суммарная безопасная нагрузка таким образом равна . Для значения будем искать величину из равенства
которое эквивалентно
Для стандартного нормального распределения 95-я процентиль равна 1.645, откуда из равенства
получаем значение величины . Если слагаемы независимы и одинаково распределены, то величина
Нетрудно заметить, что с ростом n значение величины убывает со скоростью .
7. Модель Лундберга. Мартингальный вывод неравенства.
Пусть случайная величина страховых требований, поступивших в страховую компанию на интервале имеет вид
.
Здесь случайные величины – величины последовательных страховых требований, а – число требований, поступивших в промежутке .
Будем предполагать, что независимы, одинаково распределены с функцией распределения , причем и
Относительно процесса предполагается, что он пуассоновский, не зависит от и имеет интенсивность , то есть .
В данных предположениях имеем, что среднее значение вычисляется по формуле:
Пусть – начальный капитал компании,
– текущий доход компании, интерпретируется как коэффициент нагрузки, то есть предполагается, что клиенты платят «чуть» больше, чем возможный средний ущерб.
Текущий капитал страховой компании, то есть доход за вычетом страховых выплат, описывается случайным процессом вида
.
Величину часто называют относительным коэффициентом нагрузки.
Процесс рассматривается на некотором временном интервале . Считаем, что цель компании умеренна – минимизировать, насколько возможно, вероятность разорения.
Пусть
а – решение уравнения вида
Лундбергом получено неравенство вида:
Это неравенство носит название неравенства Лундберга.
Докажем его мартингальными методами, опираясь на неравенство Колмогорова.
Так как последовательность событий
является сужающейся последовательностью множеств, то эта последовательность имеет предел
,
причём
тогда
Здесь – корень уравнения
Докажем, что случайный процесс
– мартингал относительно семейства-алгебр
Учитывая, что процесс – процесс с независимыми приращениями, так как число поступлений требований и величины исков, произошедшие на промежутке времени , не зависят от того, что происходило на промежутке . Таким образом, получаем
Действительно, величина
является -измеримой, поэтому ее вынесли из-под знака математического ожидания, в силу независимости приращений условное математическое ожидание превратилось в безусловное, а
Воспользовавшись неравенством Колмогорова, имеем
Нетрудно также показать, что
Действительно,
Таким образом, , и неравенство Лундберга доказано.
8. Модель Лундберга. Платежеспособность страховой компании. Пусть на вероятностном пространстве заданы следующие независимые объекты: – пуассоновский с интенсивностью , последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием и функцией распределения , - интерпретируется как размер выплат страховой компании клиентам. Число выплат за временной промежуток описывается пуассоновским процессом . Кроме того, компания получает страховые взносы от клиентов с интенсивностью ( – некоторая положительная постоянная). Начальный капитал равен . При таком описании капитал компании имеет вид
.
Процесс риска в данном случае , и в силу независимости и имеем, что Премии, собранные к моменту , – линейная функция времени. Выбирая коэффициент нагрузки получаем скорость поступления премий
Найдем вероятность неразорения
.
Сначала найдем условия дифференцируемости функции , предполагая, что имеет плотность. Поскольку разорение не может произойти до первого скачка пуассоновского процесса , то можно записать
,
где – плотность распределения . Заменой переменных последнее выражение приводится к виду:
Следовательно, если то Далее предполагаем, что . По формуле полной вероятности и свойству ординарности пуассоновского процесса
Член в первом слагаемом правой части разложим по формуле Тейлора:
Разделим обе части последнего равенства на , устремим к нулю и получим, что
.
(можно разделить на λ и выразить фи)
.
Для случая экспоненциально распределенных выплат решение данного интегрально-дифференциального уравнения выписываем в явном виде. Действительно, подстановкой
.
Продифференцируем обе части этого уравнения, затем выполним интегрирование по частям и получим
где вместо интеграла в квадратных скобках подставлено его выражение через исходное интегрально-дифференциальное уравнение.
Таким образом, приходим к дифференциальному уравнению
точное решение которого ищется, как известно, в виде
,
где и – константы.
Неравенство отражает положительность коэффициента нагрузки и, следовательно,
Неизвестные константы и можно найти из следующих соотношений:
Таким образом, приходим к следующему явному выражению для вероятности неразорения
В случае произвольного распределения выплат получение аналитического выражения для затруднительно, и поэтому для вероятности разорения находят различные оценки (сверху и снизу).
Рассмотрим модель страхования, в которой поступления исков и страховых взносов суть обобщенные пуассоновские процессы.
Пусть текущий капитал страховой компании описывается случайным процессом
где - начальный капитал компании;
- «доход» страховой компании в момент времени Тут
- - суммарный страховой взнос; - цена страхового полиса – го клиента; - число застраховавшихся в течение времени ; - общие страховые выплаты; - число исков к страховой компании, поступивших за время ; - величина – го иска.
Пусть и - независимые пуассоновские процессы с интенсивностью и соответственно, , - независимые между собой и от случайных процессов , последовательности случайных величин.
Допустим - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения (), имеющая числовые характеристики а последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения () имеет числовые характеристики
Процесс обладает следующими свойствами:
Действительно,
где
Итак, свойство 4 верно для функции .
назовем временем разорения и положим
,
тогда - мартингал относительно семейства - алгебр , поскольку
Далее будет использоваться следующий результат.
Утверждение. Пусть - ограниченный марковский момент, то есть , и - непрерывный справа мартингал относительно семейства - алгебр , тогда
где
Зафиксируем - неслучайный момент и рассмотрим ограниченный марковский момент . Поскольку - тривиальная - алгебра и , используя утверждение, получаем
Отсюда получаем
.
Устремляя к , получаем
.
При этом левая часть не зависит от Выберем так, чтобы правая часть не была минимальной. Обозначим оптимальное значение через , то есть
,
- это положительное решение неравенства
.
Таким образом, получаем «неравенство Лундберга»
.
Пусть, как и ранее, на стохастическом базисе удовлетворяющем обычным условиям, заданы следующие объекты: пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения Пусть также на данном вероятностном пространстве заданы также пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения
Тогда капитал страховой компании эволюционирует согласно уравнению:
(1)
Согласно актуарной традиции, в качестве меры платежеспособности страховой компании выбирается вероятность неразорения,
,
и исследование вероятностей неразорения на бесконечном и конечном промежутках
,
Стремление страховой компании к увеличению своего капитала накладывает условие положительности дохода, которое имеет вид
Для модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями приведем экспоненциальные оценки вероятностей неразорения и найдем точные формулы для
Теорема. Вероятность неразорения удовлетворяет интегральному уравнению
(2)
Если - положительное решение характеристического уравнения
(3)
то - мартингал и , где
Доказательство. Справедливость интегрального уравнения (2) следует из формулы полной вероятности. В течение малого промежутка времени возможны следующие несовместные события:
отсутствие скачков, как у процесса , так и у процесса , с вероятностью
один скачок процесса и отсутствие скачков , с вероятностью
один скачок процесса и отсутствие скачков , с вероятностью
одновременные скачки , или более одного скачка любого из процессов, с вероятностью
Тогда можем записать
что после деления на и предельного перехода при дает первое утверждение теоремы.
Далее, если - решение характеристического уравнения (2), то из стационарности и независимости приращений имеем для
Используя независимость премий и суммарных исков, вычислим
Момент разорения для согласованного непрерывного справа, имеющего пределы слева процесса - марковский, поэтому для всякого фиксированного имеем, что - ограниченный марковский момент и для мартингала :
откуда . Здесь использованы положительность и неравенство для
Пусть, как и ранее, на стохастическом базисе удовлетворяющем обычным условиям, заданы следующие объекты: пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения Пусть также на данном вероятностном пространстве заданы также пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения
Тогда капитал страховой компании эволюционирует согласно уравнению:
(1)
Согласно актуарной традиции, в качестве меры платежеспособности страховой компании выбирается вероятность неразорения,
,
и исследование вероятностей неразорения на бесконечном и конечном промежутках
,
Стремление страховой компании к увеличению своего капитала накладывает условие положительности дохода, которое имеет вид
Теорема (Случай единичных выплат) Справедливы следующие утверждения
(1) Если то
(2) Если то
Доказательство. (1) Условие положительности дохода Характеристическое уравнение имеет вид
или
откуда или 1. По теореме 1 имеем Равенство очевидно. Для целых интегральное уравнение (2) переходит в разностное:
(4)
откуда Константу найдем при подстановке в уравнение (4)
(2) Условие положительности дохода Характеристическое уравнение имеет вид:
откуда или 0. По теореме 1 имеем
Интегральное уравнение для имеет вид
(5)
Т.к.
и
То, дифференцируя уравнение (5) имеем
(6)
(7)
Правая часть (5) умноженная на , в сумме с правой частью уравнения (6), умноженной на , дает правую часть уравнения (7). Тогда получим:
(8)
откуда Константу найдем при подстановке в уравнение (5)
Пусть, как и ранее, на стохастическом базисе удовлетворяющем обычным условиям, заданы следующие объекты: пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения Пусть также на данном вероятностном пространстве заданы также пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения
Тогда капитал страховой компании эволюционирует согласно уравнению:
(1)
Согласно актуарной традиции, в качестве меры платежеспособности страховой компании выбирается вероятность неразорения,
,
и исследование вероятностей неразорения на бесконечном и конечном промежутках
,
Стремление страховой компании к увеличению своего капитала накладывает условие положительности дохода, которое имеет вид
Теорема (Рівняння для ймовірності не банкрутства на скінченному проміжку часу)
Вероятность неразорения на конечном промежутке удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению
В случае данное уравнение может быть сведено к уравнению в частных производных, причем где
(10)
(11)
Доказательство. По аналогии с предыдущими доказательствами для малого промежутка времени имеем
откуда и следует интегро-дифференциальное уравнение. Для экспоненциальных распределений премий и исков будем иметь
(12)
Дифференцируя по u, получим:
Дифференцируя еще раз по u, получим:
(14)
Правая часть (12) умноженная на , в сумме с правой частью уравнения (13), умноженной на , дает правую часть уравнения (14). Тогда получим:
(15)
Для решения полученного уравнения введем вспомогательную функцию и отметим для нее следующие факты:
Умножим уравнение (15) на и проинтегрируем затем по от до . Получим обыкновенное дифференциальное уравнение
(16)
Решая это уравнение, получим:
Параметр находится из уравнения (12) при
(17)
И имеет вид (11).
Пусть процесс поступления исков выглядит следующим образом:
y
:
:
:
* :
:
:
:
* :
:
* :
0 t
на временной оси отмечены моменты поступления исков (первый иск поступил в момент времени , второй - в момент времени и т.д. ).
На оси будем откладывать величины исков. Пусть - уровень (франшиза), соответственно иски, величины которых будут меньше, чем не будут рассматриваться. Уровень - ограничивает величину иска (отметим, что нетрудно рассмотреть и случай ).
Пусть
- некоторое разбиение отрезка . Пусть - число исков, которые поступили за промежуток времени от до и величины которых находились в пределах от до , тогда - число всех исков, поступивших за время от до , величины которых находились в пределах от до .
Пусть - некоторая средняя точка, тогда - средний суммарный иск к компании, от поступивших требований на промежутке от до , величины исков которых находились в пределах от до . Разобьем отрезок точками тогда величина
приблизительно равна суммарной величине исков, поступивших за время от до , величины которых находились в пределах от до .
Величина
,
близка при больших “” к суммарной величине всех исков, поступивших в страховую компанию за время от 0 до . Переходя к пределу при , получим, что суммарная величина исков к компании, которые будут приняты к рассмотрению (величина иска не меньше, чем ) равна
Заметим, что если иск величины “”, то он может быть лишь частично удовлетворен, например, будет выплачена сумма , величина иска может быть также трансформирована при помощи некоторой функции, зависящей от времени, например, будет произведено дисконтирование
В этом случае капитализированная стоимость потока исков, очевидно, будет равна величине
В последнем легко убедиться, повторив предыдущие рассуждения с дисконтированием.
В общем случае имеет смысл рассматривать преобразование величины иска “” вида . В этом случае суммарный результат от такого преобразования потока исков будет равен
Проанализируем свойства функции :
1) при каждом фиксированном - это мера (случайная мера) отрезка ;
2) для фиксированного отрезка - это неубывающая функция , действительно, очевидно, что
если ;
3)
4) для непересекающихся отрезков
;
5) Если - поток - алгебр, порожденный процессом поступления исков на , то - измерима;
6) для любого - целочисленная мера.
В силу известных теорем Мейера справедливо, причем единственное, представление
где - монотонно неубывающий интегрируемый предсказуемый процесс, компенсатор меры а - мартингальная мера, то есть при фиксированном :
В полученном разложении меры функция играет двойную роль. С одной стороны, разность - является мартингалом, с другой стороны функция является характеристикой (напомним, будет характеристикой мартингала , если опять будет мартингалом, в общем случае мера - случайная). Это обстоятельство является весьма важным обобщением элементарного факта: математическое ожидание и дисперсия пуассоновского процесса совпадают. Если выполнены перечисленные свойства, то мартингальная мера называется ортогональной. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональные меры. Если процесс поступления требований будет процессом с независимыми приращениями (это будет, если число поступивших требований на промежутке и величины исков этих требований не будут зависеть от того, что будет в дальнейшем, а также не будет зависеть от того, что было раньше на ), то мера будет пуассоновской, то есть
,
В данном случае
Это следует из того, что в силу единственности разложения Мейера
и того, что в случае процесса с независимыми приращениями
также является мартингалом, то есть мера обязана быть равной математическому ожиданию . Отметим, что мера равная среднему числу исков к компании, поступивших за время от до , величины которых находились во множестве неоднородна во времени, примером этого может быть различная интенсивность аварий для различного времени года (зимний период, летний и т.д.). Пусть - поток денежных средств поступивших в страховую компанию за период от до , может быть и случайной функцией времени, - собственные средства компании, тогда доход за вычетом страховых выплат будет описываться процессом.
Построим экспоненциальную оценку для вероятности разорения компании. Очевидно, что разорение наступит, если при каком – либо , тогда
- здесь случайный процесс имеет вид:
,
Пусть поток - алгебр, порожденный процессом Нетрудно убедиться в том, что случайный процесс будет мартингалом относительно потока . Для этого достаточно применить обобщённую формулу Ито к функции . Действительно, если
то для по этой формуле имеем:
Таким образом, в нашем случае
Заметим, что при интегрировании последнего члена в этой формуле получили стохастический интеграл по мартингальной мере.
Как известно условное математическое ожидание такого интеграла равна нулю, то есть
,
то есть
- это свойство будет использовано в дальнейшем.
Если потребовать, чтобы
, так как
с вероятностью 1, то применив неравенство Колмогорова, мы получим
Таким образом, вероятность разорения страховой компании в случае, если собственный капитал ее был равен “”, а поступления происходят как
не больше, чем , отсюда также следует, что, если
то вероятность разорения компании не превосходит .
Заметим, что в общем случае мера - случайная, таким образом, соотношение
должно выполняться с вероятностью 1.
Пусть дисконтированный поток выплат - ому клиенту страховой компании за период страхования описывается величиной
где - некоторая мера, - компенсатор меры ( в общем случае случайная мера), - сила роста процентов. Предположим, что в компании застраховано клиентов, каждый из которых покупает страховой полис за сумму . Пусть собственный капитал компании “”. Предположим, что выплаты клиентам - независимые одинаково распределенные случайные величины, тогда - сумма независимых случайных величин равна суммарной выплате страховой компании своим клиентам за период от нуля до .
Вероятность разорения компании тогда будет
Так как
где
то, воспользовавшись обобщенной формулой Ито, для имеем
откуда
В силу того, что
имеем
Таким образом
(1)
Очевидно, что если компенсирующая мера - неслучайная, то вместо неравенства (1) легко получить неравенство
(2)
Из (2) следует: пусть вероятность разорения - некоторая заданная малая величина, тогда
,
откуда
а с учетом того, что получаем
Из последней формулы видно, чем меньше - вероятность разорения компании, тем больше цена страхового полиса. При большом числе застрахованных, чтобы было существенное влияние начального капитала компании на величину страхового полиса капитал компании должен быть сравним с . Чем больше процентная ставка , тем меньше цена страхового полиса, это согласуется с действительностью, так как при большей процентной ставке эквивалент выплат клиенту, рассчитанный на начало страхования будет меньше, так что хватит и меньшей стоимости полиса, чтобы не разориться.
Очевидно также следующее: если компенсирующая мера - случайная, а
то из (2) следует, что
.
Несмотря на необычайную популярность модели Самуэльсона:
, (1)
которая описывает эволюцию цены рискового актива (акции), где -стандартный винеровский процесс, все же, исходя из задач практики, во-первых вряд ли можно предполагать непрерывность случайных воздействий на цену акции, во-вторых вряд ли можно предполагать нормальность логарифма приращений! Если первый факт не вызывает сомнений - цена акции меняется скачками, то второму факту следует уделить особое внимание.
В модели (1) «основным» процессом является винеровский процесс, приращения которого имеют нормальное распределение. Вместе с тем замечено, что на интервалах времени сравнительно небольшой длины (до 2-3 недель) приращения отличны от нормальных. Первые работы, в которых отмечено это явление, появились ещё в 1915 году. Результаты очень серьёзного статистического анализа, подтверждающего отличие упомянутых распределений от нормального, были опубликованы М.Кендаллом в 1953 году. Оказалось, что отмеченный феномен является всеобщим: ненормальность приращений проявляется на всех биржах независимо от объекта торговли! Отмеченная ненормальность приращений проявлялась в том, что в действительности наблюдалось заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, нежели их должно быть в соответствии с нормальным распределением. Другими словами, наблюдаемые распределения приращений биржевых цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, имея заметно более тяжёлые хвосты. Стоит отметить, что подобными свойствами обладают распределения, эксцесс которых положителен! Поэтому винеровские процессы оказались отнюдь не бесспорными для построения моделей динамики биржевых цен!
Вместо «основного» винеровского процесса П.Кларк предложил для описания биржевых цен использовать модель с «основным» процессом , то есть в качестве «основного» П.Кларк предложил взять подчинённый винеровский процесс, где -стандартный винеровский процесс, а - процесс с неубывающими траекториями, начинающимися в нуле. Если в качестве взять процесс Пуассона с параметром , независящий от , то величина будет иметь положительный эксцесс. Действительно,
тогда - коэффициент эксцесса будет равен
, (2)
что означает большую, чем у нормального «островершинность» распределения. Из (2) , в частности, следует, что с ростом времени коэффициент эксцесса убывает, а наибольшая «островершинность» наблюдается при малых !
Таким образом предложенная П.Кларком эволюции цены рискового актива модель
больше соответствует реальным данным, чем модель П.Самуэльсона.
Предложенная П.Кларком эволюции цены рискового актива модель
Далее в качестве модели, описывающей цену акции везде в дальнейшем будет взята модель
(3).
Модель (3) отличается от модели П.Кларка тем, что параметр как и в модели П.Самуельсона имеет смысл локальной доходности.
Если в качестве взят процесс Пуассона с параметром , независящий от , то процесс очевидно допускает представление
(4)
где – независимые - распределённые величины. В силу того, что для сложного процесса Пуассона справедливо представление
(5)
в виде стохастического интеграла по пуассоновской мере , в данном случае
(6)
Далее, у существует экспоненциальный момент
,
пусть
,
так как
а
то введём процесс
,
тогда процесс, описывающий эволюцию цены акции (3) примет вид
(7)
Из (7) воспользовавшись обобщённой формулой Ито, имеем
(8)
откуда имеем
то есть - средняя локальная доходность рискового актива (акции).
Нетрудно заметить, что по исходной мере процесс будет мартингалом лишь при то есть безарбитражность (3) модели будет иметь место лишь при нулевой доходности, что вполне естественно, но не соответствует реальности, так как теряется смысл в использовании такого актива! Вместе с тем хорошо известно, что для безарбитражности достаточно показать мартингальность процесса эволюции цены рискового актива по некоторой мере , которая эквивалентна исходной мере !
Найдем плотность перехода от меры к мере , по которой будет мартингалом. Если такая плотность существует, то модель (3) безарбитражна. Плотность должна удовлетворять следующим условиям:
- мартингал, т.е.
При подстановке в обобщенную формулу Байеса] должно выполняться соотношение
.
Плотность ищем в виде .
Воспользовавшись обобщённой формулой Ито нетрудно убедиться в том, что если имеет вид
,
где - та же центрированная мера, что и в процессе , то процесс будет мартингалом.
Используя обобщенную формулу Байеса получим уравнение
или
.
Обозначим , тогда , т.е. процесс должен быть мартингалом.
Далее, если
то опять применив формулу Ито, получим
Для того, чтобы процесс был мартингалом, достаточно взять в место корень уравнения
(8)
которое равносильно уравнению
(9)
Нарисовав функции, нетрудно заметить, что уравнение (9) всегда имеет единственный корень Тогда процесс примет конкретный вид
, (10)
эквивалентная мере мера будет определена, а процесс будет мартингалом по этой мере. Безарбитражность модели (3) установлена.
Если инвестор вкладывает имеющиеся средства как в рисковые активы (например, в акции) так и в безрисковые (например, на банковский счёт), то говорят, что он оперирует на (B, S)-рынке. В данном параграфе в качестве инвестора будет выступать страховая кампания. Везде в дальнейшем будем предполагать, что величина банковского счёта меняется по закону
– начальная величина счёта. Цена рискового актива (акции) пусть описывается процессом (3) .В данной параграфе будет рассмотрена следующая задача. Инвестор – страховая компания, начальный капитал которой равен , свой капитал на момент времени делит следующим способом: долю отводит на покупку акций, оставшуюся долю отводит на то, чтобы положить средства на банковский счёт. Тогда в денежном отношении это будет соответственно величины и . Если в момент времени акция стоила , то на сумму можно будет купить акций и положить на банковский счет . Тогда к моменту времени на банковском счёте будет
, (11)
каждая акция согласно модели (3) будет стоить
. (12)
Таким образом, на момент времени от нашей инвестиционной деятельности на (B, S)-рынке мы за счёт пакета акций будем иметь сумму
(13)
и сумму за счёт банковских вложений. Далее, будем предполагать, что скорость поступления премий в страховую компанию постоянна и равна . Суммарный иск к страховой компании за время от до описывается сложным пуассоновским процессом и равен
, (14)
где – стандартный процесс Пуассона с параметром , -независимые неотрицательные одинаково распределённые случайные величины, не зависящие от , описывают величины исков к страховой компании принимают значения во множестве B, функция распределения которых Хорошо известно, что величину можно представить в виде стохастического интеграла по пуассоновской мере, а именно, имеет место представление
, (15)
где – пуассоновская мера, такая, что
(16)
- здесь , то есть . Везде в дальнейшем будем предполагать независимыми меры и процеccа .
Учитывая (11), (13),(15) получим
(17)
где .
Из (17) имеем балансовое уравнение
. (18)
Поставлена следующая задача: найти управление , такое, чтобы вероятность неразорения страховой компании за бесконечное время была оценена величиной, которая стремится к единице при стремлении начального капитала к бесконечности и эта оценка должна быть наименьшей по .
Будем искать решение (18) следующим образом. Пусть
, (19)
где
, (20)
где будет соответствующим образом подобрана.
Воспользовавшись формулой дифференцирования произведения, получим
(21)
если
(22)
Взяв из (22) имеем из (20) уравнение
(23)
а
(24)
Таким образом
(25)
Формулу (25) можно записать в следующем виде. Так как
,
то, вводя центрированную мартингальную меру
,
будем иметь
, (26)
где .
Из (23) следует
(27)
Из (27) следует
(28)
Откуда
(29)
Пусть
(30)
Из (30) имеем
(31)
Тогда: 1) если для взятого имеем , то существует точка такая, что и, следовательно, является точкой максимума для функции на промежутке ;2) если для взятого имеем и то опять существует точка такая, что и, следовательно, является точкой максимума для функции на промежутке ;3) если корень уравнения такой, что , то
Пусть
, (32)
тогда из (29) и (32) следует, что
. (33)
Пусть
,
где
,
-здесь -пуассоновская мера со средним .
В дальнейшем нам понадобится следующий результат
Теорема. Пусть , если для какого -то целого
то имеет место неравенство
(34)
-здесь
Продолжим рассуждения. Нетрудно убедиться в том, что решением (23) является процесс
(35)
из (35) следует, что процесс с вероятностью 1 и имеет место оценка (33).
Далее, при , в силу положительности процесса , воспользовавшись неравенством (34), имеем
(36)
В силу того, что имеет место вложение
,
имеем последовательность множеств, которые сужаются. Такая последовательность имеет предел: и справедлив предельный переход
.
Переходя к пределу из (36) имеем
(37)
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть - начальный капитал страховой компании, которая функционирует на -рынке, на котором эволюция рискового актива описывается соотношением (3). Пусть действующая процентная ставка, суммарные иски к страховой компании описываются сложным процессом Пуассона (15), где - интенсивность стандартного процесса Пуассона , который описывает число исков, которые пришли к страховой компании за время ,, (- независимы между собой и от , одинаково распределенные величины исков , имеют конечные моменты, , тогда если такая, что то если денег вкладываются в акции, а остаток на банковский счет, тогда для вероятности неразорения страховой компании справедлива оценка
(38)
Рассмотрим численный пример. Сравним вероятности неразорения при и , т.е. рассмотрим два случая: 1) компания работает на (B,S) - рынке, т.е. денег вкладываются в акции, а остаток на банковский счет; 2) компания все средства вкладывает в банк. Из теоремы легко видеть, что чем меньше числитель в (38)
(39)
тем больше вероятность неразорения. Поэтому, пусть, например, тогда воспользовавшись пакетом Maple, получим 1) 2) Подставим полученные значения в (39), получим
Откуда, получаем, что где - числитель и оценка вероятности неразорения для -го случая соответственно. Следовательно, при оптимальном управлении, компания, работающая на полном (B.S) – рынке (вложения как в рисковые так и в безрисковые активы), имеет вероятность неразорения большую, чем компания, которая вкладывает все средства только в безрисковые активы.
19. Постанова задачі Мертона для моделі Кларка
Пусть ξ(t) - капитал инвестора на момент времени tє[0,Т], ξ(0) - начальный его капитал. Инвестор управляет своим капиталом следующим образом:
причем и1(t, x) — скорость потребления на момент времени t є [0,Т ], если капитал инвестора на этот момент был равен x .
Уравнение для цены акции имеет вид:
,
тогда приращение цены акции:
В денежном исчислении доля средств uє [0;1]будет составлять сумму uξ(t). На сумму uξ(t) можно купить штук акций, вклад в банк составит сумму . Так как u1(t,x) - скорость расходования средств в момент времени t , при капитале x , то расход средств за время [t;t+∆t]. Нетрудно заметить, что справедливо «приблизительное» равенство
и при ∆t→0 получаем:
Везде в дальнейшем будем предполагать, что скорость потребления и1(t,x) принадлежит классу функций ,
непрерывны по совокупности аргументов и ограничены).
Этих ограничений достаточно для того , чтобы процесс для всех 0 оставался положительным.
Далее, функции дважды непрерывно дифференцируема по х и дифференцируема по t.
20. Задача про накопичувально-споживчий фонд із функціями страхової компанії.
Рассмотрим следующую модель накопления, потребления и “страхования”, являющуюся компиляцией в некотором смысле динамической модели “страхования” и известной модели портфельного анализа Р. Мертона. Будем предполагать, что цена рискового актива (акции) S (t), 0 t T описывается моделью П. Кларка, т.е.
,
где W(t), 0 t T - стандартный винеровский процесс, а X(t) - процесс Пуассона с параметром , независящий от W(t), откуда следует, что
,
а с точностью до бесконечно малых высшего порядка имеем
Предположим, что в момент времени t капитал страховой компании равен , часть средств u, 0u1 выделяется на покупку акций, оставшаяся часть средств, 0u1 ложится на банковский счет под простую процентную ставку r>0 (мы будем считать, что µ>r). Будем также предполагать, что в момент времени 0t <T происходит потребление средств со скоростью 0, суммарные выплаты страховой компании на промежутке времени от t до t + ∆t описываются величиной: , где - случайные величины, управляющие величинами выплат компании, независимые положительные одинаково распределенные. Возьмём конструкцию управляющей величины, принадлежащую А.В.Баеву.
Управляющая величина строится следующим образом:,где – величинa иска к фонду, K > 0 - некоторое число, которое может быть достаточно большим,тогда =
А суммарные выплаты за время [t; t + ∆t ] составят величину , Z (t) - процесс Пуассона с параметром 𝞴0 > 0 (MZ(t) = 𝞴0t, Z (0) = 0), Z(t)- интерпретируется как число исков, что пришли в фонд за время (0, t ]; - независимые от Z(t) и между собой величины исков с функцией F(x), (F(0) = 0), ) -величина выплаты по иску, которая определяется как:
)
Пусть класс допустимых скоростей потребления состоит из функций
Поставлена следующая задача: найти такие управления , которые максимизируют плату
где- коэффициент непрерывного дисконтирования. Составим уравнение, описывающее эволюцию капитала компании. В момент времени капитал компании равен , часть средств выделяется на покупку акций (остаток ложится на банковский счёт), цена акции на этот момент равна , стало быть, на выделенную
сумму мы купим акций, каждая из которых к моменту времени будет стоять , то есть весь пакет акций будет стоить
к моменту времени на банковском счете будет
на промежутке времени от до потреблено средств страховой компании суммарные выплаты равны
В силу представления сложного пуассоновского процесса в виде стохастического интеграла по пуассоновской мере, имеем
Учитывая сказанное, на момент времени будем иметь
Перейдем к дифференциалу, получим стохастическое дифференциальное уравнение
Откуда получим стохастическое дифференциальное уравнение с не центрированной мерой Пуассона:
(6)
Пусть
цена управления функционалом Р. Мертона, капитал компании в момент времени стартует из точки . Везде в дальнейшем считаем, что для любого . Действительно в силу условий, наложенных на класс решение уравнения баланса (6), стартующее в момент времени из точки, остается положительным на всем промежутке времени .
Таким образом, действительно с вероятностью 1, то есть в любой момент времени капитал фонда не обращается в нуль.
Оптимальное управление накопительно-потребительским фондом с функциями страховой компании имеет вид
а цена
(8)
Если , тогда получим
и тогда
Резюмируем полученный результат
Теорема. Пусть - корень уравнения
тогда если если -здесь -оптимальная доля вложения в рисковый актив. Пусть
где
тогда оптимальным будет потребление со скоростью
и цена управления равна
здесь - момент времени, начиная с которого стартует функционирование фонда,- капитал фонда в момент времени