Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Рассмотрим -рынок, вообще говоря, неполный и будем изучать платежные обязательства на временном интервале . Из общей схемы расчетов на неполном рынке известно, что (совершенное) хеджирование требует в этом случае расширения класса на множество стратегий с потреблением.
Другой подход к решению проблемы хеджирования данного платежного обязательства был предложен Фельмером и Зондерманом. Их идея – это синтез идеи обычного (совершенного) хеджирования и портфельного инвестирования (с квадратичной "функцией полезности"). Для объяснения их подхода начнем с одношаговой модели рынка. Обозначим – дисконтированную величину обязательства . В начальный момент хеджер (продавец контракта с выплатой ) формирует портфель с капиталом
Соответственно, для дисконтированной величины этого капитала имеем, что
,
где .
В следующий момент рыночные цены изменяются, и хеджер меняет компоненту на . В соответствии с этим величина капитала становится равной
где должна быть найдена из условия реплицирования
или
Таким образом, нахождение предполагаемой "оптимальной" стратегии хеджирования сводится к построению . Для этого определим следующую ценовую последовательность :
Структура ее имеет ясный смысл: величина должна быть уплачена держателю опциона, – это "выигрыш-проигрыш" от использования на рынке стратегии . Желание минимизировать ценовую последовательность с целью идентификации приводит к следующей экстремальной проблеме: найти такую, что
Далее, если , то дисперсия имеет единственную точку минимума
и, следовательно,
Также естественна задача минимизации
решение которой доставляется с помощью уравнения
Рассмотрим теперь общий случай произвольного временного горизонта . Как это ясно уже из 1-шаговой модели, стратегии должны быть таковы, что определяется по "информации" (предсказуемость), а – по "информации" .
Для дисконтированного капитала мы имеем, что
Стратегию назовем допустимой, если выполнено равенство
или
Цена, или стоимость, такой стратегии в момент определяется разностью
Предполагая с целью упрощений выкладок, что исходная вероятность является мартингальной (), определим следующую риск-последовательность
При этом ее начальное значение будем называть риском стратегии .
Заметим, что в случае самофинансируемой стратегии ее (дисконтированный) капитал имеем вид
и, значит, ценовая последовательность постоянна.
Будем решать задачу минимизации риска в классе всех допустимых в указанном выше смысле стратегий.
Предполагая, что – квадратично-интегрируемый мартингал и 1 рассмотрим еще один мартингал
Докажем следующее разложение Кунита-Ватанабе, играющее ключевую роль в решении поставленной задачи:
где – предсказуемая последовательность, а мартингалы и ортогональны:
Для доказательства положим
в качестве искомой предсказуемой последовательности для этого разложения. Обозначая , находим, что – мартингал как разность двух других мартингалов.
Далее, по неравенству Коши-Буняковского имеем, что
и, следовательно, – также квадратично-интегрируемый мартингал.
Покажем, что произведение
является мартингалом.
Этот факт сводится к равенству
которое вытекает непосредственно из вида
Используя мартингальность произведения и предсказуемость , находим, что
Следовательно, ортогонален и и .
Прямой проверкой устанавливается, что разложение Кунита-Ватанабе единственно.
Для минимизации риска заметим, что должна быть равна , поскольку – мартингал. Более того, величина не зависит от изменений "банковской" компоненты стратегии .
Переписывая в следующей форме
мы приходим к заключению, что искомая риск-минимизирующая стратегия определяется единственно возможным способом:
, .
Те же аргументы приводят нас к соответствующему результату для риск-последовательности , равной .
Как результат приходим к общим формулам для оптимальной стратегии :
, , .
Для полноты изложения найдем цену выбранной стратегии :
Этот вид показывает мартингальность цены. Такие стратегии называют самофинансируемыми в среднем.
В качестве применения изложенного метода хеджирования приведем следующий пример.
Рассмотрим одношаговый -рынок с процентной ставкой и доходностью акций
С эволюцией цены акции на указанном рынке свяжем страховой контракт на дожитие со сроком действия 1 год и выплатами, равными при дожитии до этого момента держателя полиса. Будем считать вероятность смерти в течение года 0.004, и находить количество акций и начальную цену соответствующего полиса из минимизации и .
Ясно, что
и
.
Обозначая дисконтированное значение выплат через и
{держатель проживет > года},
получим, что
Далее, изменение дисконтированного значения цены акций имеет вид
и, следовательно, искомое значение количества акций равно
Искомый начальный капитал
Заметим, что в отсутствие дополнительного источника риска, связанного со смертью застрахованного (вероятность смерти равно 0) находим самофинансируемую реплицирующую стратегию из условий
1 Напомним, что на дискретном пространстве эти предположения квадратичной интегрируемости выполнены автоматически.
5