Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Основоположником теории цепей с распределенными параметрами был английский ученый Оливер Хевисайд. Работая в одно время телеграфистом, он обнаружил, что из Англии в Данию можно передавать телеграммы в два раза быстрее, чем обратно. Оказалось, что при передаче электрических импульсов на большие расстояния появляются новые физические явления.
Суть этих явлений заключается в том, что в простых электрических цепях активные и реактивные сопротивления проводов и оборудования принимали как сосредоточенными в одном месте. На самом деле величины, которые называются первичными параметрами, распределены по всей длине электрической цепи.
В цепях с распределенными параметрами происходит следующее. Вокруг любого проводника с током возникает магнитное поле. Магнитный поток создаваемый каждым элементом проводника пропорционален току. Так же как и прежде коэффициент пропорциональности (L) есть индуктивность элемента (Ф = L i). При этом:
L0 – индуктивность на единицу длины прямого и обратного провода.
Электрические провода обладают электрическим сопротивлением;
R0 – активное сопротивление на единицу длины прямого и обратного провода.
Если к линии приложено напряжение, то заряд, находящийся на проводах, пропорционален напряжению (g = C u). Коэффициент пропорциональности (С ) есть емкость между проводами. В цепях с распределенными проводами:
С0 – емкость на единицу длины.
Несовершенство изоляции учитывается проводимостью между проводами:
G0 – проводимость изоляции на единицу длины.
Рассмотрим однородную двухпроводную линия связи или электропередачи. Возьмем бесконечно малый участок линии dx на расстоянии х от начала. Величины сопротивлений такого участка определяются как произведение сопротивления на единицу длины на длину участка. Эквивалентная схема замещения линии с обозначенными сопротивлениями приведена на рис. 3.1.
В начале участка протекает ток i . В конце участка ток получает приращение из за утечек тока через изоляцию и заряда емкости
, (3.1)
где дi / дх – скорость изменения тока вдоль линии.
Аналогично напряжение получает приращение
. (3.2)
Ток и напряжение зависят не только от времени, но и от расстояния. Поэтому здесь используются частные производные. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx , обойдя его по часовой стрелке:
. (3.3)
После сокращения и деления на dx получим
. (3.4)
По первому закону Кирхгофа для точки в
. (3.5)
Ток di равен сумме токов, протекающих через проводимость G0 dx и емкость C0 dx:
. (3.6)
После раскрытия скобок появляются слагаемые второго порядка малости (dxdx), которыми можно пренебречь. После деления оставшихся членов на dx получаем
. (3.7)
Запишем вместе уравнения (3.4) и(3.7):
.
Эти уравнения называются основными уравнениями цепи с распределенными параметрами или телеграфными уравнениями Хевисайда, и являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Они связывают скорость изменения тока во времени с изменением напряжения от расстояния, и скорость изменения напряжения во времени с изменением тока от расстояния.
Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений. Конкретное решение может быть получено с использованием начальных (t = 0) и граничных условий (значений тока и напряжения в начале или в конце линии).
Приведенные выше уравнения справедливы для любых законов изменения приложенного напряжения. Однако для начала необходимо рассмотреть работу линии при синусоидальном напряжении, имеющем комплексное изображение:
→ . (3.8)
Ток также изменяется по синусоидальному закону
→ . (3.9)
Полученные комплексные выражения уже не являются функциями времени, а только расстояния. С учетом этого и используя правила дифференцирования комплексных выражений, основные уравнения запишутся в виде:
, , (3.10)
, , (3.11)
где R0 + jωL0 = Z0 – полное комплексное сопротивление на единицу длины,
G0 + jωC0 = Y0 – полная комплексная проводимость на единицу длины.
Решим систему уравнений (3.10) (3.11) относительно U . С этой целью продифференцируем уравнение (3.10) по х :
. (3.12)
Подставим правую часть уравнения (3.11):
. (3.13)
Уравнение (3.13) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение записывается как обычно в виде
, (3.14)
где γ – корень характеристического уравнения ,
А1 , А2 – комплексные постоянные интегрирования, подлежащие определению через начальные условия.
Комплексное число
(3.15)
называют коэффициентом распространения; его можно представить в виде
γ = α + jβ , (3.16)
где – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы.
Ток найдем из выражения (3.10):
. (3.17)
Отношение , имеющее размерность сопротивления, обозначают ZВ и называют волновым сопротивлением:
, (3.18)
где zв – модуль; в – аргумент волнового сопротивления.
Следовательно,
. (3.19)
В начале линии при х = 0 имеются напряжение Ú1 и ток İ1 . Составим уравнения для определения постоянных интегрирования. Из уравнений (3.14) и (3.19) при х = 0 следует:
, (3.20)
. (3.21)
Решая систему уравнений, путем сложения и вычитания, получим:
, (3.22)
. (3.23)
Подставим уравнения (3.22) и (3.23) в (3.14):
. (3.24)
С учетом того, что здесь появились гиперболические функции, и такие же преобразования можно произвести для тока, запишем:
, (3.25)
. (3.26)
По этим формулам можно найти напряжение и ток в любой точке линии, если известны ток и напряжение в начале линии. Однако, бывают известны требуемые ток и напряжение в конце линии.
Если в качестве граничных условий использовать значения тока и напряжения в конце линии, то получим такие же уравнения:
, (3.28)
. (3.29)
где y – расстояние от рассматриваемой точки до конца линии (y = l - x)
Во многих случаях использование в качестве граничных условий значений тока и напряжения в конце линии удобнее для определения других выражений, например, входного сопротивления линии и др.
Постоянные интегрирования А1 и А2 являются комплексными величинами:
, .
Запишем уравнение (3.14) с учетом последних выражений и того, что γ = + jβ:
. (3.30)
Аналогичную операцию проделаем с выражением (3.19) с учетом ZВ = Z e j φ .
. (3.31)
Для перехода к функциям времени умножим правые части формул (3.30) и (3.31) на и от произведений возьмем мнимые части:
, (3.32)
. (3.33)
Последние выражения поясняют физическую сторону происходящих процессов. Они состоят из двух составляющих, зависящих от двух переменных – t и х . Для каждого момента времени (t = const) составляющие представляют собой возрастающие в зависимости от расстояния от начала линии синусоиды. Вторые слагаемые – затухающие синусоиды.
Рассмотрим фазу второй составляющей. При некотором увеличении времени t для сохранения постоянства фазы необходимо увеличить координату х . Это означает, что синусоида с течением времени передвигается в направлении возрастания координаты с уменьшением амплитуды (рис. 3.2). Поэтому вторая составляющая называется прямой волной напряжения или тока. Наоборот, первые составляющие передвигаются в направлении уменьшения координаты так же с уменьшением амплитуды. Эти составляющие можно назвать обратными волнами.
Прямая и обратная волны в любой точке суммируются и дают значение напряжения и тока для этой точки линии. Если эти волны изобразить графически, то можно увидеть, что обратная волна является как бы продолжением прямой волны, если перегнуть лист чертежа в конце линии (рис. 3.3). Поэтому прямая волна называется падающей волной, обратная – отраженной.
Фазовой скоростью vф называется скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания. Для этого необходимо, чтобы
. (3.34)
Возьмем производную по времени:
, или . (3.35)
Откуда
. (3.36)
Расстояние, которое проходит волна за один период называется длиной волны:
. (3.37)
Пример. Определить длину волны при частотах f = 50 Гц и f = 50.106 Гц.
Решение. При f = 50 Гц
.
При f = 50.106 Гц λ = 6 м.
Каждая линия имеет коэффициент распространения – уравнение (3.16):
. (3.38)
По линиям связи передаются разного рода сигналы, состоящие из синусоид различных частот – разложения в ряд Фурье. Как было показано выше, фазовая скорость распространения волны и затухание зависят от частоты. Следовательно, составляющие придут к концу линии в разное время, и форма сигнала будет искажена.
Вынесем за скобки L0 и C0 в уравнении (3.38):
. (3.39)
Если принять, что
, (3.40)
то ,
или не зависит от частоты.
Коэффициент фазы . Фазовая скорость
(3.41)
также не зависит от частоты.
Итак, для получения линии без искажения достаточно соблюсти условие (3.40). В реальных кабелях величина L0 несколько меньше требуемой величины, поэтому необходимо его искусственное увеличение. Следует отметить, что линия без потерь также является неискажающей
Пусть линия замкнута в конце на сопротивление Zн (рис.3.4). При этом
Ú2 = İ2 ZН .
Запишем основные уравнения в гиперболической форме с учетом сопротивления нагрузки:
, (3.42)
, (3.43)
Эти уравнения позволяют вычислить ток и напряжение в любой точке линии, в том числе и в начале линии, если известны значения в конце линии, и координата у = l . Входное сопротивление определяется как обычно по закону Ома:
. (3.44)
После некоторых преобразований имеем окончательно
. (3.45)
Если сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению, то входное сопротивление тоже равно волновому. В этом случае отраженная волна полностью отсутствует. Вся энергия генератора поглощается нагрузкой, т.е нет колебания энергии между генератором и нагрузкой. Такой режим наиболее благоприятен для работы линии связи и называется режимом согласованной нагрузки.
Рассмотрим уравнение (3.22), которое определяет амплитуду отраженной волны напряжения
. (3.46)
Если нагрузка согласованная, то Ú1 =İ1 Zв , и А1 = 0.
В качестве вторичных параметров линии можно выделить волновое сопротивление ZВ, коэффициент распространения γ , фазовую скорость vФ , и длину волны λ .
В цепях с распределенными параметрами происходят волновые процессы. В параграфе (3.6) были получены аналитические выражения (3.32) и (3.33), характеризующие падающие о отраженные волны. Из этих выражений видно, что амплитуда волны тока меньше амплитуды напряжения на ZВ а фаза отличается на величину В . Это значит, что волновое сопротивление есть отношение меду волной напряжения и волной тока, которое зависит только от параметров линии.
Коэффициент распространения состоит из коэффициента затухания и коэффициента фазы β:
.
От величины зависит затухание волн по мере передвижения вдоль линии. От величины β зависит сдвиг по фазе напряжений в различных точках линии.
Фазовая скорость волны в воздушных линиях равна скорости света. В кабелях она становится меньше. Длина волны λ зависит от частоты и на радиочастотах принимает очень малые размеры – метры, дециметры и меньше. Волновые процессы начинают проявляться в том случае, когда длина линии становится соизмеримой с длиной волны. Поэтому, даже относительно короткие линии с этой точки зрения принято считать “длинными линиями”.
Если замкнуть линию в конце то ZH =0 , U2 = 0 . Тогда из выражения для входного сопротивления получается
, (3.47)
где γ = +jβ = 0 + jβ .
Гиперболический синус от чисто мнимого аргумента jx равен круговому синусу от аргумента х, умноженному на j :
.
Соответственно
.
Тогда
. (3.48)
Итак ZВХ = jtgβy . (3.49)
Исследуем характер сопротивления линии при изменении расстояния от конца линии у . В интервале значений βу от 0 до π / 2 tg βу изменяется от 0 до ∞ (рис. 3.5), и имеет индуктивный характер.
В интервале значений βу от π / 2 до π входное сопротивление имеет емкостный характер. Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой линии можно создавать различные по величине индуктивные и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой линии без потерь длиной в четверть волны имеет входное сопротивление, равное бесконечности.
В линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании возникают стоячие электромагнитные волны. Рассмотрим основные уравнения в гиперболической форме:
,
.
В данном случае эти уравнения упрощаются до
, (3.50)
. (3.51)
Умножим правые части этих формул на и от произведений возьмем мнимые части.:
, (3.52)
. (3.53)
Амплитуда напряжения изменяется по синусоидальному закону в зависимости от расстояния от конца линии (рис. 3.6). Здесь есть точки, в которых амплитуда напряжения равна нулю. Такая точка называется узлом. Точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями.
Картина изменения тока имеет такой же вид, но сдвинута на четверть длины волны вправо
50