Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
23. Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.
Полиномы над кольцом.
Пусть R - некоторое кольцо. Полиномом (или многочленом) над R от x называется формальное выражение вида
где , а x - символ, который мы будем называть неизвестным или неизвестной. Здесь + и xi означают пока просто символы, используемые в записи полинома; при желании вместо (1) можно было бы использовать, например, строку (a0, a1 ,a2 ,...,an ) длины n+1 над R.
Элементы a0, a1 ,a2 ,...,an называются коэффициентами полинома f(x), при этом говорят, что ai - коэффициент при i-й степени x, а a0 - свободный коэффициент.
Два полинома f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn и g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm равны, если (при ) a0 =b0, a1 =b1, ..., an =bn, bi = 0 при i>n. Таким образом, f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + 0xn+1 = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + 0xn + 1 + 0xn + 2 = ...
Вообще, при записи полинома пропускают все "слагаемые" вида 0xi. Исключение составляет нулевой полином 0 = 0 + 0x = ..., все коэффициенты которого равны 0.
Если в (1) , то n называют степенью (обозначение стf), а коэффициент an - старшим коэффициентом полинома f = f(x). Нулевой полином не имеет степени, однако для единообразия формулировок иногда удобнее считать, что его степень равна . Многочлен a = a + 0x будем отождествлять с элементом a из R. Вместо (1) часто используется запись .
Кольцо полиномов.
Множество всех полиномов от x над кольцом R обозначим через R[ x]. Пусть . Определим сумму f(x)+g(x) как полином s(x) = (по определению равенства двух полиномов можно считать, что m = n), где . Определим произведение как многочлен , где . Здесь мы в соответствии с определением равенства многочленов считаем, что ai =bj =0 при i>n, j>m.
Теорема. Пусть R -- кольцо. Тогда R[ x] -- кольцо. Если R коммутативно, то R[x] коммутативно. Если R -- кольцо с 1, то R[x] -- кольцо с единицей.
Доказательство. Непосредственная проверка аксиом.
Кольцо многочленов над полем. Деление с остатком.
До конца главы k будет обозначать некоторое поле. Из теоремы и предложения предыдущего параграфа вытекает, что k[ x] -- коммутативное кольцо с 1, степень произведения в кольце k[ x] всегда равна сумме степеней сомножителей и старший коэффициент произведения равен произведению старших коэффициентов сомножителей. В частности, многочлен тогда и только тогда обратим в кольце k[x], когда его степень равна нулю.
Теорема. Пусть .
1. Существуют такие , что f=hg+r и стr< стg или r=0.
2. Многочлены h и r определяются однозначно по полиномам f и g. Полином h называется (неполным) частным, а r -- остатком от деления f на g .
Доказательство.
1. Индукция по стg . Если стf< стg, то f=0g+f и h=0,r=f. Пусть теорема доказана для всех пар (f1,g) , где стf1< стf . Можно считать, что . Положим f1=f-(an/bm)xn-mg . Тогда и коэффициент многочлена f1 при xn равен 0, поэтому стf1<n и по индукции f1=h1g+r , где r=0 или стr<m . Но тогда f=hg+r , где h=h1+(an/bm)xn-m.
2. Пусть hg+r=h1g+r1 , где каждый из полиномов r,r1 удовлетворяет условию б). Тогда (h-h1)g=r1-r . Если , то , а ст(r1-r)<m . Поэтому h-h1=0, откуда r1-r=0. Теорема доказана.
Корни и значения.
Пусть . Значением полинома f в точке (или на b, или при x=b) называется элемент , равный a0 +a1 b+a2 b2 +...+an bn. Элемент b называется корнем полинома f, если f(b)=0.
Теорема Безу. Значение полинома f в точке b равно остатку от деления f на x-b. Элемент b из k является корнем делится на x-b.
Доказательство. Подставив b в равенство
получим требуемое.