Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Синхронное детектирование является частным случаем преобразования частоты сигнала. Чтобы уяснить сущность синхронного детектирования, необходимо вспомнить, что понимается под преобразованием частоты.
Любой действительный сигнал можно описать двумя способами:
1) функцией времени ,
2) функцией спектральной плотности .
Оба представления сигнала связаны между собой преобразованиями Фурье (прямым и обратным). Для сигнала с конечной энергией преобразования Фурье имеют вид:
прямое
(1)
обратное
. (2а)
Периодический сигнал (сигнал с конечной мощностью) можно представить комплексным рядом Фурье (обратное преобразование Фурье) на бесконечном интервале времени :
(2б)
где , –период сигнала , - комплексная амплитуда гармонического колебания с частотой .При известном имеем:
(3)
Выражение (3) соответствует прямому преобразованию Фурье.
,
(4)
описывают амплитудно-частотный спектр.
описывают фазо-частотный спектр. Амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый –нечетной.
Поясним, почему оперируют с отрицательными частотами. Отметим, что физический сигнал может быть только действительной функцией времени. Обратимся к прямому преобразованию Фурье (1), (3). Видно, что смена знака у частоты соответствует операции комплексного сопряжения
, .
Обратимся к обратному преобразованию Фурье (2а), (2б). Интеграл по отрицательным частотам в (2а) есть величина, комплексно сопряженная интегралу по положительным частотам. Сумма двух комплексно-сопряженных функций дает действительную функцию . В основе алгоритма преобразования частот сигнала лежит замечательное свойство преобразования Фурье, которое формулируется в виде теоремы смещения [1]: если функции соответствует спектр , то функции соответствует спектр.
Геометрическая трактовка теоремы смещения представлена в графической форме для амплитудного спектра
Умножение на эквивалентно сдвигу спектра по оси частот на величину вправо (соответственно умножение на эквивалентно сдвигу влево). Функция является комплексной и на практике не реализуется (кстати, и сигнал в действительности не существует, что и отражается в нарушении четности амплитудного спектра).
Из теории сигналов известно, что функция несет информацию о том, что реальное колебание –гармоническое с частотой . Теорема смещения реализуется на практике как умножение сигнала на гармоническое колебание (назовем его опорным):
(6)
Пусть для определенности гармоническое колебание имеет вид:
(7)
. (8)
Произведение и :
. (9)
с учетом (8) преобразуем к виду
.
Пусть спектр действительного сигнала с известен и равен . Используя линейность преобразования Фурье и теорему смещения, получим спектр сигнала :
(10)
Первое слагаемое соответствует переносу спектра сигнала в положительном направлении частот, второе –в отрицательном. Перенос спектра частот полезного сигнала в заданный диапазон частот –суть алгоритма преобразования частот, осуществляемого с помощью операции (9).
Перечислим частные случаи преобразования частот, которые применяются на практике [2]:
- амплитудная модуляция,
- детектирование (демодуляция) амплитудно-модулированного сигнала,
- гетеродинирование,
- супергетеродинирование.
Кратко рассмотрим амплитудную модуляцию, (АМ). На спектральном языке АМ представляет перенос спектра полезного низкочастотного сигнала в диапазон высоких частот. Опорный сигнал (7) является высокочастотным, а частота его называется несущей частотой. Для удобства обозначим ее . Фазу, как несущественный параметр, полагаем равной . Низкочастотный сигнал называется управляющим или модулирующим. Обычно верхняя частота его спектра во много раз ниже несущей частоты. АМ сигнал имеет вид
На рис. 2 представлены графики управляющего, опорного и амплитудно-модулированного сигналов и соответствующих им амплитудно-частотных спектров.
сигнал называется управляющим или модулирующим. Обычно верхняя частота его спектра во много раз ниже несущей частоты. АМ
Детектирование (демодуляция) АМ сигнала на спектральном языке состоит в переносе спектра АМ сигнала из диапазона высоких частот в диапазон низких частот, и также может быть реализован с помощью операции преобразования частоты. Особенность состоит в том, что и опорный сигнал и АМ сигнал –высокочастотные
. (11)
После тригонометрических преобразований демодулированный сигнал примет вид:
. (12)
Если частота опорного сигнала точно равна несущей частоте
детектирование называется синхронным. Сигнал после перемножителя примет вид:
. (13)
Спектры сигналов –АМ, опорного и после перемножителя представлены соответственно на Рис. 3.
Полезный низкочастотный сигнал легко выделить с помощью низкочастотного фильтра. Фильтр является неотъемлемой частью синхронного детектора. Блок-схема синхронного детектора представлена на Рис. 4.
Если перемножитель и фильтр –идеальные, то продетектированный сигнал
(14)
( –постоянный коэффициент), с точностью до коэффициента совпадает с управляющим сигналом. Другими словами, синхронный детектор демодулирует АМ сигнал без искажений. Это основное достоинство синхронного детектора.
Другим свойством синхронного детектора является чувствительность к фазе. Из (14) видно, что сигнал на выходе низкочастотного фильтра зависит от сдвига фаз между несущим и опорным сигналами.
При полезный сигнал максимален. Этот случай соответствует синфазному синхронному детектированию.
При сигнал максимален, но имеет противоположный знак по сравнению с .
При эффект детектирования АМ-сигнала отсутствует. Для демодуляции АМ-сигнала зависимость от фазы является недостатком синхронного детектора.
Если сдвиг фаз является информационным параметром, то синхронный детектор играет роль фазового детектора. В частном случае на входе синхронного детектора действует непрерывное гармоническое колебание
,
есть величина постоянная. На выходе синхронного детектора (14) (точнее, на выходе низкочастотного фильтра) также будет постоянная величина
, (15)
которая определяется сдвигом фаз между входным и опорным сигналами. Постоянный коэффициент
.
При сдвигах фаз от 0 до связь и –однозначна.
Остановимся на избирательных свойствах синхронного детектора.
Предположим, что условие синхронности не выполняется. Тогда сдвиг фаз между входным и опорным сигналами является функцией времени
, (16)
где .
Низкочастотная составляющая на выходе перемножителя (12):
и представляет гармоническое колебание с разностной частотой. Амплитуда на выходе низкочастотного фильтра связана с амплитудой на входе
,
где - комплексный коэффициент передачи фильтра.
На практике интегрирующая цепь играет роль фильтра нижних частот, (Рис. 5). Её коэффициент передачи по напряжению равен
,
где - постоянная времени цепи.
Амплитудно-частотнаяхарактеристика:
Выходная амплитуда с учетом (16)
. (17)
По форме это –уравнение «резонансной» кривой для высокодобротного контура, где роль «добротности» играет величина
. (18)
Видно, что чем больше постоянная времени, тем острее резонансная кривая. Чем ближе частота входного сигнала к частоте опорного сигнала, тем больше амплитуда на выходе синхронного детектора. Максимум амплитуды достигается при синхронном режиме. Избирательное свойство синхронного детектора можно в принципе использовать для гармонического анализа входного негармонического сигнала.
В практических схемах стараются всегда выполнить условие синхронности. Технически это можно осуществить с помощью системы автоподстройки частоты входного сигнала и частоты опорного сигнала.
Давно было замечено, что синхронное детектирование является эффективным средством борьбы с помехами, но полное понимание этого вопроса стало возможным лишь с развитием теории оптимальных методов радиоприема. Реальный сигнал всегда искажен помехой. Примером неустранимой помехи является тепловой шум. Приемник выделяет полезный сигнал, и после обработки извлекает необходимую информацию. Оптимальный приемник должен выполнить свою задачу наилучшим образом. Фраза «наилучшим образом» означает, что задается количественный критерий качества. Критерии могут быть различными в зависимости от задачи, решаемой приемником. Перечислим эти задачи:
- обнаружение сигнала (в более общей постановке –различение двух сигналов).
- различение сигналов.
- оценка (измерение) параметров сигналов.
- оценка процессов (фильтрация).
Если помеха представляет собой аддитивный белый шум со спектральной плотностью мощности на интервале частот , полезный сигнал детерминированный и известного вида ( но может быть с неизвестными параметрами ), то основной операцией, которую необходимо выполнить приемнику при решении любой из первых четырех задач, является вычисление функции взаимной корреляции:
, (19)
где –время наблюдения,
- копия полезного сигнала,
- аддитивная смесь детерминированного сигнала с параметром и нормального белого шума
. (20)
Приемник, который формирует корреляционный интеграл (19), называется корреляционным. Его блок-схема представлена на Рис. 6.
Сравнивая его со схемой синхронного детектора, видим, что синхронный детектор играет роль корреляционного приемника, если полезный сигнал гармонический, а роль фильтра должен играть интегратор (в простейшем случае интегрирующая цепь).
Синхронный детектор играет роль оптимального приемника при оценке параметров гармонического сигнала.
Корреляционный приемник является активной цепью, так как содержит источник опорного сигнала . Функцию взаимной корреляции можно сформировать с помощью пассивной цепи. Известно, что отклик линейной цепи на любое воздействие описывается интегралом Дюамеля
,
где - импульсная характеристика линейной цепи, которая связана с комплексным коэффициентом передачи цепи парой преобразований Фурье
, (21)
Пассивной цепью, формирующей функцию взаимной корреляции , является согласованный фильтр, импульсная характеристика которого представляет зеркальное отображение полезного сигнала, задержанного на время , (Рис. 7). Чтобы пояснить, как образуется задержанный зеркальный сигнал, рассмотрим Рис. 7.
На Рис. 7а изображен сигнал , на Рис. 7б изображено зеркальное отображение сигнала, а на Рис. 7б –задержанное на время Т зеркальное отображение сигнала .Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра равна
. (22)
Ввиду того, что согласованный фильтр является линейной системой, можно воспользоваться интегралом Дюамеля и сигнал на выходе согласованного фильтра имеет вид
,
что с точностью до постоянного коэффициента совпадает с функцией взаимной корреляции.
Подставляя (22) в (21), получим соотношение между частотными характеристиками сигнала и согласованного фильтра:
,
где - функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности сигнала.
Множитель означает необходимость задержки сигнала на время . Амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает с амплитудно-частотной характеристикой сигнала.
Если в синхронном детекторе вместо фильтра нижних частот использовать согласованный фильтр для огибающей амплитудно-модулированного сигнала, получим разновидность оптимального приемника высокочастотного сигнала. Механизм оптимальной обработки амплитудно-модулированного сигнала основан на алгоритме синхронного детектирования сигнала. Перемножитель переносит спектр модулирующего сигнала из диапазона высоких частот в диапазон низких, а согласованный фильтр оптимальным образом его обрабатывает.
Кратко остановимся на вопросе оценки параметра известного сигнала, искаженного аддитивным шумом. Сигнал считается известным, если известна его форма во времени , но не известно количественное значение его параметра . Задача оценки параметра - получить количественное значение параметра . Вся доступная информация о параметре после принятия реализации заключена в апостериорной вероятности , которая является условной вероятностью. По теореме умножения совместная вероятность осуществления двух событий и равна
. (23 а)
Соотношение подобное (23 а) сохраняется и между соответствующими плотностями распределения вероятностей для непрерывных распределений
(23 б)
С точки зрения задачи оценки параметра введем обозначения для априорной и апостериорной плотностей вероятности параметра :
- априорная плотность распределения вероятности параметра ,
- функция правдоподобия - условная плотность распределения вероятности реализации выборки , рассматриваемая как функция
- апостериорная (после эксперимента) плотность распределения вероятности параметра при условии, что выборка имеет значение .
- плотность распределения вероятности выборки .
Подставляя введенные определения в формулу для совместной плотности вероятности (23 б), получим
.
Откуда
где - константа, не зависящая от параметра .
Если - реализация случайного процесса, функция правдоподобия переходит в функционал правдоподобия. Для аддитивной смеси (20) детерминированного сигнала и нормального белого шума функционал правдоподобия имеет вид:
(25)
- константа, не зависящая от .
Апостериорная плотность вероятности при непрерывном наблюдении принимает вид:
. (26)
где - корень уравнения . (27)
где - область изменения параметра .
Минимум среднеквадратической ошибки достигается, если в качестве оценки берется среднее значение апостериорного распределения.
В случае симметричного распределения с одним абсолютным максимумом оценки по первому и второму критерию совпадают.
,
где - корень уравнения
для дискретных наблюдений ,
для непрерывного наблюдения .
Корень уравнения не меняется при однозначном функциональном преобразовании функции (функционала) правдоподобия. В качестве преобразующей функции обычно берется логарифм. Поэтому уравнения для принимают вид:
, (28 а)
. (28 б)
При равномерном априорном распределении () оценка по критерию максимума правдоподобия совпадает с оценкой по максимуму апостериорной вероятности.
Обычно на практике априорное распределение параметра неизвестно и его полагают равномерным. Поэтому оценка по максимуму функции правдоподобия получила наибольшее распространение. Кроме того, при увеличении объема выборки () оценка по критерию максимума функции правдоподобия стремится по вероятности к истинному значению .
(29)
Первое слагаемое пропорционально энергии принятого колебания и от оцениваемого параметра явно не зависит. Интеграл в последнем слагаемом есть не что иное, как энергия детерминированного сигнала
. (30)
Если энергия –постоянная величина, не зависящая от , то параметр называется не энергетическим (например, частота, фаза и т.д.).
От оцениваемого не энергетического параметра зависит только корреляционный интеграл. В теории удобно оперировать не с функционалом правдоподобия, а с логарифмом функционала правдоподобия.
С учетом обозначения (19)
, (31)
где . (32)
Получили важный для практики результат: корреляционный приемник (или согласованный фильтр) с точностью до константы формирует значение логарифма функционала правдоподобия. Меняя параметр опорного генератора, можно искать максимум либо функционала правдоподобия, либо максимум апостериорной вероятности и таким образом получить оценку
Сосредоточим теперь свое внимание на функции взаимной корреляции (19)
, (33)
которая является выходным эффектом оптимального приемника (оптимального по критерию максимума функционала правдоподобия).
Примем следующие обозначения:
- истинное значение измеряемого параметра,
- оценка измеряемого параметра,
- опорное (предполагаемое) значение измеряемого параметра.
Обрабатываемый сигнал состоит из суммы исследуемого сигнала и шума :
.
, (34)
где
(35)
, (36)
- реализация шума.
является детерминированной составляющей. (Если - время запаздывания сигнала, то представляет «автокорреляционную функцию» сигнала). Сигнальная функция имеет абсолютный максимум при , равный - энергия сигнала.
В качестве примера на Рис. 8 представлена автокорреляционная функция для прямоугольного видеоимпульса.
- случайная составляющая на выходе корреляционного приемника. Для белого шума с математическим ожиданием, равным нулю, математическое ожидание функции также равно нулю.
Из-за наличия шумовой составляющей максимум логарифма функционала правдоподобия может смещаться. Оценка не всегда будет равна истинному значению и является случайной величиной. Если математическое ожидание равно истинному
,
такая оценка называется несмещенной
Из теории статистических оценок известно, что нижняя граница дисперсии оценки параметра определяется неравенством Рао-Крамера, которое для несмещенной оценки имеет вид
(37)
Если достигается знак равенства в (37), то такая оценка называется эффективной. Вычисление знаменателя (37) довольно трудоемкая операция. В математической статистике доказывается, что
.
Используя это равенство можно показать, что
. (38)
Среднеквадратическая ошибка определяет потенциальную точность однократного измерения параметра λ.
В качестве примера определим точность оценки начальной фазы высокочастотного колебания, (амплитуда и частота считаются точно известными).
, (39)
где –интервал наблюдения.
В случае синхронного детектора с интегрирующей цепью интервал равен постоянной времени интегрирующей цепи . Энергия гармонического сигнала на интервале равна
.
. (40)
Нижняя граница дисперсии оценки фазы согласно (38) удовлетворяет неравенству
,
Средняя мощность гармонического сигнала равна , а мощность случайного процесса (помехи) - . Запишем нижнюю границу дисперсии оценки фазы через мощности сигнала и шума
(41 а)
Если производится независимых оценок фазы, нижняя граница дисперсии оцениваемой фазы уменьшится в раз
, (41 б)
Отсюда следует, что оценка фазы тем точнее, чем больше амплитуда полезного сигнала и чем больше время интегрирования (постоянная времени) . Регулярная составляющая логарифма функционала правдоподобия максимальна при истинном значении начальной фазы ().
Получим аналогичные результаты для оценки частоты. Амплитуда и начальная фаза считаются известными, примем фазу, равной нулю.
Запишем функцию взаимной корреляции (19) при
,
где
- (42)
сигнальная функция,
- «шумовая составляющая», являющаяся реализацией случайной величины.
Второй интеграл в (42) во много раз меньше первого, поскольку .
;
;
при
.
При использовании синхронного детектора с интегрирующей цепью интервал равен постоянной времени интегрирующей цепи .
. (43)
Если производится независимых оценок частоты, нижняя граница дисперсии оцениваемой частоты уменьшится в раз
. (44)
Если постоянная времени одинаково и для оценки фазы, и для оценки частоты, видно, что дисперсия оценки частоты уменьшается с увеличением постоянной времени быстрее, чем дисперсия оценки фазы.
Для демодуляции амплитудно-модулированного сигнала используются также квадратичный и линейный детекторы. Эти детекторы являются нелинейными устройствами. Синхронный детектор является линейным. Поэтому отношение сигнал/шум на выходе равно отношению сигнал/шум на входе при любом соотношении сигнал/шум на входе. При нелинейном детектировании отношение сигнал/шум на выходе зависит от отношения сигнал/шум на входе, в частности, при малых амплитудах сигнала это отношение уменьшается –шум подавляет полезный сигнал.
Свойство синхронного детектора сохранять отношение сигнал/шум объясняет его широкое использование в когерентных системах передачи информации.
Получить от преподавателя значение мощности генератора шума, количество измерений фазы
1. Наблюдение эффекта синхронного детектирования амплитудно-модулированного сигнала при отсутствии шума.
Включить установку. Включить внутренний источник высокочастотного сигнала. Включить генератор Г3-33 - источник модулирующего сигнала, установить амплитуду сигнала не более 3 вольт, диапазон частот (1 –) кГц и подать на клеммы «Модуляция» модулирующий гармонический сигнал.
1.1. Модулированный сигнал снимается с клемм «Вх. сигнал (контроль)» и наблюдается на экране осциллографа. Меняя амплитуду модулирующего сигнала с Г3-33, получить коэффициент модуляции 10-20 %. Зарисовать осциллограмму.
.2 Подключить кабель 1-го канала АЦП (модуль Е330), к выходу синхронного детектора –клемма «Выход» установки. Наблюдать на экране монитора опорный гармонический сигнал и демодулированный сигнал для различных фазовых сдвигов - ().Зарисовать осциллограммы демодулированных сигналов. Проанализировать полученные осциллограммы, сравнить с теоретическими.
.3. Выявить влияние постоянной времени фильтра на вид демодулированного сигнала при значениях фазы опорного сигнала, равными 00, 900, 1500. Объяснить результаты наблюдений.
2. Оценка фазы.
.1. Построение сигнальной функции для фазы. Отключить внешний модулирующий сигнал. Для этого, не отключая генератор Г3-33, установить амплитуду выходного сигнала, равным нулю. Установить регулятор фазы по лимбу «Фаза» в нуль. Установить регулятор мощности шума на нуль. Изменяя фазу опорного сигнала (индикация по лимбу) с шагом 50, на панели «Сигнальная функция» монитора наблюдать и записать значения корреляционного интеграла при постоянной времени интегрирования, равной . На одном рисунке построить нормированные графики теоретической сигнальной функции и экспериментальной сигнальной функции.
2.2. Установить интервал интегрирования , установить произвольную фазу на лимбе «Фаза» и построить сигнальную функцию как в пункте 2.1, не изменяя . По максимуму сигнальной функции оценить по лимбу фазы опорного сигнала неизвестную фазу в отсутствии шума. Уточнить значение полученной фазы , изменяя фазу опорного сигнала с точностью 2.50.
В дальнейшем до конца выполнения пункта 2.3 не изменять установку фазы по лимбу «Фаза».
2.3. Измерить амплитуду высокочастотного сигнала. Для этого подсоединить 1-ый канал АЦП к выходу «Контроль» установки, переключить тумблёр «Режим работы» установки в положение «Внутренний» и, запуская программу измерения напряжения, записать показания мощности сигнала по индикатору «Мощность».
2.4. Установить заданную мощность шума. Для этого переключить тумблёр «Режим работы» установки в положение «Внешний». Изменяя положение регулятора мощности шума, запуская программу измерения мощности шума, на индикаторе «Мощность» установить мощность ума с точностью до первого десятичного знака. Оценить нижнюю границу дисперсии оцениваемой фазы по формуле (41 а).
.5. Вариируя фазу опорного сигнала в интервале с шагом 2.50 по максимуму сигнальной функции оценить фазу
Пункт 2.5 повторить раз. В результате получили последовательность оценок фазы .
.6. Статистическая обработка результатов измерений фазы. Вычислить среднее значение оценки фазы и оценку дисперсии фазы по формулам .
Вычислить теоретическую нижнюю границу дисперсии оценки фазы по формуле (41 б) и сравнить её с экспериментальной дисперсией . На оси (0, ) отложить точки , , и провести обсуждение результатов оценки фазы.
3. Оценка частоты. Выставить на генераторе Г3-33 напряжение от 1 вольта до 1.5 вольт с выходным сопротивлением 50 Ом. Подать сигнал от генератора Г3-33 на установку на гнездо «ВЧ сигнал», а тумблер «внешн.-внутрен.» поставить в положение «Внешн.». АЦП подсоединить к клеммам «Вых» установки.
3.1. Оценка частоты генератора установки при отсутствии шума. Изменяя частоту генератора Г3-33 в пределах от 90 кГц до 110 кГц , для каждого значения частоты определить значение сигнальной функции по индикатору «Вых. интегратора» на мониторе. Для этого предварительно пронаблюдать на экране монитора выходной сигнал интегратора. Для улучшения точности измерений на экране монитора должно быть не менее пяти периодов. Регулировка числа периодов осуществляется изменением числа точек отсчета, устанавливаемого в окне «Число точек отсчета». Меняя число точек отсчета, добиться наблюдения не менее пяти периодов. Измерить и записать значение сигнальной функции, частоту генератора и число точек отсчета при времени интегрирования для различных постоянных времени () интегрирующей цепи.
Построить нормированный график сигнальной функции в зависимости от частоты. Произвести оценку частоты для различных постоянных времени () интегратора.
.2. Оценка нижней границы дисперсии. Подключить кабель 1-го канала АЦП (модуль Е330), к выходу синхронного детектора –клемма «Контроль» установки. Запустить программу измерения мощности ВЧ сигнала и записать значения по индикатору «Мощность». Записать значения сигнала с генератора Г3-33 и, не отключая генератор от установки, установить амплитуду сигнала, равной нулю. Установить наибольшую мощность шума, запустить программу измерения мощности шума Записать значения мощности шума по индикатору «Мощность». Подсоединить кабель 1-го канала к клеммам «Выход» установки.
Оценить нижнюю границу дисперсии оцениваемой частоты для различных постоянных времени () интегратора по формуле (43).
.3. Оценка частоты генератора установки при наличии шума. По методике, изложенной в п. 3.1, оценить значение сигнала на выходе интегратора. Ввиду того, что сигнал искажен шумом, рекомендуется выставлять число точек отсчета в окне «Число точек отсчета», равным числу точек, принятым для выставленной частоты при отсутствии шума в п. 3.1. Оценку частоты произвести для различных постоянных времени () интегратора.
Список литературы………...……………………….…………………….25