Матрицы Виды матриц
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Билет № 1
1. Матрицы. Виды матриц.
2. Условия постоянства и монотонности функции.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1)Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
2)Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы этафункция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .
Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для . Для того, чтобы функция была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .
Билет № 2
1. Действия над матрицами.
2. Числовая последовательность и её предел.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Суммой двух матриц одинаковой размерности AVLB называетсяматрица С такой же размерности, получаемая из этих матриц сложением соответствующих элементов
С = А+В.
Разность матриц есть действие обратное сложению, т.е. чтобы найти разность двух матриц одинаковой размерности, следует произвести вычитание соответствующих элементов
Умножение матрицы на матрицу. Под произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности понимается матрица С размерности , получаемая перемножением элементов матрицы А на элементы матрицы В по
правилу т. е. по правилу «строки на столбец».
n=n 2*2=2*3
2) Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .
Число А называется пределом последовательности , если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности , то пишут
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Билет № 3
1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства.
2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Определителем 2-го порядка называется число, обозначаемое выражением
Определителем 3-го порядка называется число, обозначаемое выражением
Определителем п-го порядка называется число
2) взаимное расположение прямой и плоскости ,
Билет № 4
1. Канонические уравнения прямой в пространстве.
2. Замена переменной в неопределённом интеграле.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Уравнение прямой в каноническом виде
направляющий вектор прямой ; -точка ч/з которую проходит прямая
2)метод интегрирования- метод подстановки(замены переменной) x=φ(t) dx= φ’(t)dt- это формула замены переменной в неопределенном интеграле
Билет № 5
1. Уравнение плоскости «в отрезках на осях».
2. Таблица основных производных.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) уравнение плоскости в отрезках на осях где отрезки, которые отсекает плоскость на координатных осях
2) таблица основных производных:
Билет № 6
1. Общее уравнение плоскости в пространстве.
2. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Общее уравнение плоскости. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя неизвестными А, В, С не равны 0
2) Если при функции одновременно стремятся к нулю или , то предел их отношения равен пределу отношения их производных, т. е. При этом предполагается, что существуют и конечны.
Если же отношение производных также будет представлять случай или, можно снова и снова применять правило Лопиталя.
Билет № 7
1. Парабола.
2. Определённый интеграл, его основные свойства.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой ее фокусом и от данной прямой, называемой ее директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид где р— параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы.
эксцентриситет любой параболы равен единице
Общее уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси ординат, имеет вид
2) Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а,b] называется число, равное общему пределу всех интегральных сумм при стремлении к нулю максимального отрезка разбиения Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а,Ь] —промежутком интегрирования.
Свойства: 1. Определенный интеграл зависит только от вида функции /(х) и пределов интегрирования, но не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
2. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования
3. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
5. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций
6. Отрезок интегрирования можно разбивать на части
Билет № 8
1. Гипербола.
2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
где а—действительная полуось; b — мнимая полуось гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния гиперболы с к ее действительной оси, то есть
Уравнения директрис
Если полуоси гиперболы равны, то гипербола называется равносторонней и ее уравнение имеет вид Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к своим
асимптотам, как к осям координат, имеет вид
2) Необходимое условие экстремума). Если функция y =f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная f/( x 0 ) равна нулю.
Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.
Стационарная точка необязательно является точкой экстремума функции.
Точка в которой производная функции равна 0 или не существует, называется критической точкой.
Достаточное условие экстремума).
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a , b], а точка x0 из этого отрезка является критической. Тогда:
1) если f/(x) < 0 на (a;x0) и f/(x) > 0 на (x0;b), то точка x0–точка минимума функции f(x);
2) если f/(x) > 0 на (a;x0) и f/(x) < 0 на (x0;b), то точка x0–точка максимума функции f(x).
Билет № 9
1. Эллипс.
2. Основная формула интегрального исчисления (Ньютона – Лейбница).
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная
Каноническое уравнение эллипса имеет вид где — большая и малая полуоси эллипса.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния эллипса с к его большой оси
Директрисами эллипса называются прямые параллельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии
Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса
Фокальные радиусы некоторой точки М могут быть найдены по формулам
2) Пусть функция y=f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на всех [a;x], где x принадлежит [a;b]. - определенный интеграл с переменным верхним пределом x.
Если функция f(x) интегрируема на [a;b], то имеет место формула:
- где F(x) - первообразная.
Билет № 10
1. Окружность на плоскости.
2. Интегрирование «по частям» в неопределённом интеграле.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности имеет вид
Где — координаты центра окружности — радиус окружности.
2) Формула интегрирования по частям
Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение следует представить в виде произведения двух множителей За выбирается функция, которая
при дифференцировании упрощается, а за выбирается такое выражение, содержащее из которого посредством интегрирования можно найти
Билет № 11
1. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
2. Таблица основных неопределённых интегралов.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) здесь =(m, n)-вектор, параллельный прямой. Он называется направляющим вектором прямой
2)
Билет № 12
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
2. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства пределов.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
2) Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).
Обозначение предела функции
Предел функции обозначается как
или через символ предела функции:
Свойства пределов функции:
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2)Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
5)Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Билет № 13
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Первообразная и неопределённый интеграл, их основные свойства.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
2) Функция называется первообразной от функции на отрезке если во всех точках этого отрезка выполняется равенство
Если функция является первообразной для то выражение называется неопределенным интегралом от функции и обозначается
Таким образом, по определению если
Билет № 14
1. Смешанное произведение векторов, его свойства.
2. Производная функции в точке, её геометрический и механический смысл.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Смешаным произведнием трех векторов называется выражение вида Если векторы заданы своими координатами, то
2) Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке
Геометрический смыл
- угол наклона секущей
Механический смысл
v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по
времени: a = v’ ( t ).
Билет № 15
1. Векторное произведение векторов, его свойства.
2. Первый и второй замечательные пределы.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1)Векторное произведение векторов назыв вектор, обозначаемой ([],[]) и удовлетворяющий трем св-вам:
- длина векторного произведения равна-
- вектор перпендикулярен векторам
- вектор направлен в ту сторону с которой поворот от к видится против часовой стрелки.
Св-ва геометрические
- длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
- векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда *=0. В частности *=0
Алгебраические:
2. Замечательные пределы 1. Первый замечательный предел
2. Второй замечательный предел
Билет № 16
1. Скалярное произведение векторов, его свойства.
2. Основные правила нахождения производных. Примеры.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Скалярным произведением двух векторов называется скаляр (число), равное произведению модулей перемножамых векторов на косинус угла между ними
Свойства
- Переместительность
- Распределительность
3.Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля
5. Скалярное произведение единичных векторов определяется формулами
- Основные правила нахождения производной
Билет № 17
1. Проекция вектора на ось.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора
2)Наибольшим значением функции а некотором отрезке называется самое большое, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Если функция непрерывна в некотором интервале и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале (конечном или бесконечном).
Билет № 18
1. Базис и координаты вектора в пространстве.
2. Производная функции, заданной параметрически.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.
Коэффициенты в разложении называются координатами вектора относительно базиса (число , называют абсциссой, — ординатой, а — аппликатой вектора).
2)Если функциональная зависимость между переменными задана параметрически. TO производная от равна
Билет № 19
1. Базис и координаты вектора на плоскости.
2. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.
Коэффициенты и в разложении (1.3) называются координатами вектора а относительно базиса (число называют абсциссой, а — ординатой вектора ).
2) Ф-ция назыв бесконечно малой при x0, если limx0=0 Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .
Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α.
Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α.
Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
При справедливы следующие соотношения эквивалентности
Билет № 20
1. Векторы. Линейные действия над векторами.
2. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Вектором называется направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B.
Суммой векторов и называется вектор который получается при совмещении конца вектора с началом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора - конец вектора .
Сумма векторов обладает свойствами сочетательности и переместительности
Вектор называется разностью векторов если сумма векторов равна вектору т. е. если
2) Функция непрерывна в точке х = а, если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т. е.
Функция непрерывна в точке х = а, если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, вблизи точки а.
Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Непрерывная на отрезке функция принимает любое промежуточное значение между ее наименьшим т и наибольшим М значением, то есть
Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.
Если прислева функция имеет конечный предел а при справа функция имеет конечный предел то говорят, что функция при имеет разрыв первого рода.
Если значение функции при равно то говорят, что функция непрерывна слева; если же то говорят, что функция непрерывна справа.
Если говорят, что функция имеет в точке а устранимый разрыв.
Если при справа или слева, предел функции не существует или равен бесконечности, то есть то говорят, что при функция имеет разрыв второго рода.
Билет № 21
1. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых этот элемент находится. Так для элемента минор обозначается
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент—число четное и со знаком минус, если эта сумма — число нечетное. Алгебраическое дополнение элемента будет
2)Ф-ция назыв бесконечно малой при x0, если limx0=0
Ф-ция называется бесконечно большой при x0, если limx0=
(1/0)= обратная к бесконечно малой при x0, бесконечно большая и наоборот (1/)=0
Билет № 22
1. Обратная матрица и её вычисление.
2. Понятие функции. Классы функций. Сложная функция.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной матрице А называется такая квадратная матрица, обозначаемаякоторая удовлетворяет равенствам
Нахождение обратной матрицы :
- находим определитель |А| = Если он не равен нулю, то
- находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А
- составляем из них матрицу А*
- транспорируем ее (А*)Т
- получаем обратную матрицу
2)Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — функцией. Функция может задаваться аналитически, графически и таблично.
К основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Пусть каждому значению переменной х ставится в соответствие определенное значение переменной а каждому уже определенному значению и ставится в соответствие определенное значение тогда соответствие между значениями имеет вид и определяет у как сложную функцию от х, т. е. функцию от функции.
Утверждено на заседании кафедры « 16 09 2011 г., протокол № 2. Заведующий кафедрой ____________________________М.Е.Исин
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Павлодарский государственный университет имени С.Торайгырова
Кафедра математики
Экзаменационный билет по дисциплине «Математика I»
Составитель доц. Тихомиров Ю.В.
Билет № 23
1. Системы линейных алгебраических уравнений.
2. Взаимное расположение прямых в пространстве.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными — это система уравнений вида Матрица коэффициентов системы; столбец неизвестных Х(х1 х2 хn); В(b1 b2 bn) столбец свободных членов
2) Взаимное расположение прямых
y=k1x+b1 y= k2x+b2
k1=k2-параллельны, k1k2=-1-перпендикулярны
={А1, В1} ={А2, В2}
-параллельны прямые (прямые не совпадают и не пересекаются)
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых
Утверждено на заседании кафедры « 16 09 2011 г., протокол № 2. Заведующий кафедрой ____________________________М.Е.Исин
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Павлодарский государственный университет имени С.Торайгырова
Кафедра математики
Экзаменационный билет по дисциплине «Математика I»
Составитель доц. Тихомиров Ю.В.
Билет № 24
1. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.
2. Касательная и нормаль к плоской кривой.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Пусть дана система линейных уравнений
Если ввести матричные обозначения
то систему можно записать матричным уравнением Решение системы матричным методом определяется соотношением
2)Из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен значению производной в этой точке, т. е. касательной к кривой в точке имеет вид
Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной к кривой в этой точке. В силу условия перпендикулярности двух прямых уравнение нормали имеет вид
Утверждено на заседании кафедры « 16 09 2011 г., протокол № 2. Заведующий кафедрой ____________________________М.Е.Исин
Павлодарский государственный университет имени С.Торайгырова
Кафедра математики
Экзаменационный билет по дисциплине «Математика I»
Составитель доц. Тихомиров Ю.В.
Билет № 25
1. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
2. Вычисление площадей при помощи определённого интеграла.
3. Задачи 3, 4, 5 из приложения к билету.
1) Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
по формулам Крамера имеет вид
Где основной и дополнительные определители системы.
— система совместна, имеет единственное решение;
— система несовместна, не имеет решения;
— система неопределенна, т. е. имеет бесчисленное множество решений (система сводится к одному уравнению).
Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера решению
2) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
.
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b :
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:
2. Программа вступительных экзаменов по обществознанию в 2004г МГУ
3. і Рівень ефективної родючості ґрунтів залежить насамперед від таких показників як вміст та запаси гумусу в
4. Внебюджетные фонды РФ
5. Взаимоотношения со средствами массовой коммуникации Мир массмедиа является основным инструментом свя
6. правотворчествоформа гос
7. Лабораторная работа 2 Построение коэффициента корреляции тремя различными способами Excel Выпол
8. Теоретические основы 1
9. на тему- Дворец для Деда Мороза и Снегурочки
10. Реферат- Этапы экспертизы объектов техники на патентную чистоту
11. Импрессионизм как направление в искусстве
12. Звездой школы Начался выпускной год и в школу приходит новый ученик Найл Хоран
13. Курсовой проект Пояснительная записка Руководитель И
14. ДОГОВОРЫ О МЕЖДУНАРОДНОЙ ПЕРЕВОЗКЕ ГРУЗОВ
15. У меня в два счёта все станут счастливыми А кто не станет я того в бараний рог согну сотру в порошок и брошу
16. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Сімф
17. память Постоянные запоминающие устройства ПЗУ или ROM которые также часто называют энергонезависимыми о
18. тема взглядов чувств переживаний догматов и теоретических положений на мир в целом и место человека в этом
19. корректной краской стенам не желая к ним прикасаться
20. Зарубежный опыт работы с кадрами государственного управления