Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3
t = 0
E
R
C
c
Рисунок 1.
uc
t
uc0
t1
t2
t0
tn
tn+1
h
ucn
Рисунок 2. Дискретизация напряжения по времени.
x
t
tn
tn+1
xn
xn+1
ошибка
Рисунок 3. Определение тангенса угла наклона кривой в методе Эйлера.
α
uC,n
h/C
iC,n+1
uC,n+1
iL,n
uL,n+1
iL,n+1
L/h
Рисунок 4. Дискретные схемы замещения для емкости (а) и индуктивности (б).
а)
б)
Моделирование переходных процессов и частотных характеристик.
1. Моделирование переходных процессов.
Под расчетом (моделированием) переходных процессов в схеме подразумевают необходимость определения токов и напряжений в любой точке схемы в заданные моменты времени.
Если цепь содержит индуктивности L или емкости C , то аналитически параметры цепи, зависящие от времени можно рассчитать только путем решения дифференциальных уравнений. На рисунке 1 показан простой пример такой цепи, в которой емкость подключается к источнику постоянного напряжения.
В начальный момент времени t = 0, uc = uc0. При постоянной времени τ = RC, аналитическое решение выглядит следующим образом:
. (1.1)
При использовании ЭВМ для решения дифференциальных уравнений используются численные методы. В этом случае мгновенные значения каждого параметра цепи определяются только для дискретных моментов времени. На основании начальных условий (t = 0) вычисляются параметры цепи сначала в момент t1, затем в моменты t2, t3, … и так далее, до требуемого момента времени. Каждый параметр вычисляется на основании значений, полученных в предыдущие моменты времени. Например, напряжение u1, определяется на основании известного uc0 , а uc2 на основании рассчитанного uc1 (рисунок 2).
В общем случае обозначим последние уже вычисленные значения параметров цепи индексом n, а еще неизвестные параметры, которые предстоит определить на следующем шаге – индексом n + 1. Интервал времени h, равный:
h = tn+1 - tn (1.2)
называется шагом интегрирования. В общем случае шаг интегрирования может изменяться при расчете переходного процесса.
При расчете переходных процессов цепи с несколькими реактивными элементами необходимо для каждого момента времени решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Разработано достаточно много численных методов решения систем дифференциальных уравнений. Наиболее известные из них: явный метод Эйлера, метод трапеций, неявный метод Эйлера.
Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение первого порядка:
(1.3)
Требуется найти функцию x(t), при известных начальных условиях, удовлетворяющую уравнению (1.3).
Функцию x(t) между точками tn и tn+1 можно аппроксимировать прямой линией с тангенсом угла наклона α, равным:
(1.4)
Уравнение (1.4 ) описывает производную как в момент времени tn:
(1.5)
так и в момент времени tn+1:
(1.6)
В явном методе Эйлера очередное значение функции x(t) вычисляется по выражению полученному из (1.5):
(1.7)
Значение , рассчитывается по исходному уравнению (1.3) на каждом шаге. Метод, называется явным, так как неизвестная есть только в одной части (уже имеется.).
В неявном методе Эйлера очередное значение функции x(t) вычисляется по выражению полученному из (1.6):
(1.8)
Так как в обеих частях уравнения есть неизвестные, метод называется неявным. В этом случае приходится на каждом шаге решать уравнение (1.8), относительно xn+1.
Основное преимущество неявных методов: отсутствие ограничений на шаг интегрирования (или эти ограничения незначительны). Поэтому в программах СМ нашел применение неявный метод Эйлера (метод первого порядка), а также методы второго порядка (метод трапеций, он же – модифицированный метод Эйлера) и другие.
Опуская некоторые теоретические рассуждения, отметим, что для решения численным методом системы дифференциальных уравнений моделируемой схемы в базисе узловых потенциалов компонентные дифференциальные или интегральные уравнения необходимо привести к дискретному виду. Напомним, компонентные уравнения для емкости и индуктивности в базисе узловых потенциалов имеют вид:
; (1.9)
Для решения неявным методом Эйлера дискретизированные формулы можно представить в следующем виде:
; ; (1.10)
где компоненты и играют роль фиктивных проводимостей для емкости и индуктивности соответственно.
При решении задачи в базисе узловых потенциалов, вектор токов составляется на основе уравнений (1.10), если ветвь содержит емкость или индуктивность. При этом значения и заменяются через разности потенциалов, а значения и предполагаются известными из предыдущих вычислений или начальных условий.
Дискретные схемы замещения, соответствующие выражениям (10) показаны на рисунке 4.
При формировании матрицы узловых проводимостей G вклад каждой емкости или индуктивности равен их фиктивной проводимости с соответствующими знаками.
Таким образом, для решения задачи численными методами, заменяем реактивные элементы их дискретными моделями и приходим к системе конечно-разностных (не дифференциальных) уравнений, в общем случае нелинейной (если схема содержит еще и нелинейные элементы). Процесс перехода от дифференциальных уравнений к их конечно-разностным аппроксимациям называется алгебраизацией.
В этом случае теоретическая модель схемы в базисе узловых потенциалов имеет вид:
. (1.11)
где - вектор поправок, - матрица проводимостей (матрица Якоби); k – номер ньютоновской итерации, n – номер текущего (уже рассчитанного) момента времени.
Итак, вычислительный процесс расчета переходных процессов в схеме состоит из следующих процедур:
1. Составляем модель схемы в форме уравнений (1.11), заменяя реактивные элементы схемы их дискретными моделями (вид которых зависит от метода интегрирования).
2. На первом шаге интегрирования, исходя из начальных условий и заданного шага интегрирования h, решаем систему (1.11), в общем случае нелинейных уравнений, методом Ньютона. Напомним, что на каждой итерации по методу Ньютона решается система линейных уравнений (на каждой итерации ищутся поправки Δφn+1). В результате получаем значения узловых потенциалов для первого момента времени, отстоящего на h от начального.
3. Далее на очередном шаге полагаем, что , и снова решаем (1.11), относительно неизвестных φn+1 узловых потенциалов. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет пройден заданный интервал времени.
2. Расчет частотных характеристик схемы.
Основная задача расчета частотных характеристик схемы состоит в определении амлитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной характеристик (ФЧХ) схемы.
Перед выполнением расчета в частотной области, сначала рассчитывается режим схемы по постоянному току (расчет статического режима). Затем линеаризуются все нелинейные элементы (диоды, транзисторы, пассивные компоненты с нелинейными параметрами, нелинейные управляемые источники), при этом в схеме замещения постоянные источники напряжения закорачиваются, а постоянные источники тока размыкаются. Далее выполняется расчет комплексных амплитуд узловых потенциалов и токов ветвей для линейной схемы.
В программах СМ получил распространение численный подход решения задачи, когда АЧХ вычисляется как численное значение F(jω) при разных значениях ω , то есть поточечно.
В качестве входного сигнала используется источник напряжения с единичной комплексной амплитудой, нулевой начальной вазой и малым внутренним сопротивлением. В базисе узловых потенциалов этот источник преобразуется в единичный источник тока .
При указанном входном сигнале будет верно соотношение:
, (2.1)
где F(jω) – комплексная АЧХ.
То есть, рассчитывая в любой ветви схемы, мы тем самым рассчитываем АЧХ этой ветви.
Метод узловых потенциалов позволяет формировать уравнения не только для временной, но и для частотной области. В этом случае вся ранее рассмотренная методика сохраняется, изменяются лишь компонентные уравнения реактивных ветвей:
, (2.3)
где φнач, φкон – потенциалы на концах реактивных ветвей; j – мнимая единица; ω – частота.
Соответственно проводимости ветвей равны:
, . (2.4)
Уравнения (2.3) используются для формирования вектора узловых токов, (2.4) – матрицы узловых проводимостей.
В результате получим систему уравнений линейной схемы в частотной области:
(2.5)
В отличие от (1.11) для временной области, которое в каждый момент времени нужно решать несколько раз до сходимости, уравнения (2.5) на каждой частоте нужно решать лишь один раз, поскольку схема линейная.
Для решения системы уравнений (2.5) используются программы оперирующие с комплексными коэффициентами. Для каждой частоты определяются действительные и мнимые части узловых потенциалов, по ним находят амплитуду и фазовый угол каждой спектральной составляющей, что и позволяет построить, АЧХ, ФЧХ, найти собственные частоты колебательной системы и т.п.