Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
37. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Теорема. Если функции и дифференцируемы в рассматриваемом промежутке, то
Доказательство. Согласно правилу дифференцирования произведения функций
Следовательно, и поэтому
.
В силу свойств неопределенного интеграла .
Таким образом
Произвольную постоянную в правой части этого равенства можно опустить, так как неопределенный интеграл содержит в качестве слагаемого произвольную постоянную, а сумма двух произвольных постоянных есть произвольная постоянная.
Теорема доказана.
33. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение первообразной: ф-я F(x) называется первообразной от f(x) на нек-м промежутке, если во всех точках этого промежутка праведливо: F(x)’= f(x)
Теорема 1. Если – первообразная для функции , то , где – любое число, также первообразная для функции .
Доказательство. Так как – первообразная для функции , то . Так как , то согласно определению – первообразная для функции .
Теорема 2. Если и – первообразные для функции , то разность есть постоянная величина.
Доказательство. Согласно определению первообразной, имеем:
и из рассматриваемого промежутка.
Следовательно, . Согласно критерию постоянства функции разность при из рассматриваемого промежутка.
Из теорем 1 и 2 следует, что если для функции существует какая-нибудь первообразная , то для существует бесконечное множество первообразных отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема 3. Если – первообразная для функции и – функция, у которой существует , то – первообразная для .
Доказательство. Согласно определению первообразной: . Найдем производную от сложной функции , где :
Согласно определению, сложная функция есть первообразная для функции .
Определение неопределенного интеграла: Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+ С называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx.Таким образом по определению, ∫ f(x)dx= F(x)+ С, если F′ (x)= f(x). При этом функцию f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, знак ∫- знаком интеграла. Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y= F(x)+ С. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оу.