Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Теорема
Работа добавлена на сайт samzan.net:
37. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Теорема. Если функции и дифференцируемы в рассматриваемом промежутке, то
Доказательство. Согласно правилу дифференцирования произведения функций
Следовательно, и поэтому
.
В силу свойств неопределенного интеграла .
Таким образом
Произвольную постоянную в правой части этого равенства можно опустить, так как неопределенный интеграл содержит в качестве слагаемого произвольную постоянную, а сумма двух произвольных постоянных есть произвольная постоянная.
Теорема доказана.
33. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение первообразной: ф-я F(x) называется первообразной от f(x) на нек-м промежутке, если во всех точках этого промежутка праведливо: F(x)’= f(x)
Теорема 1. Если – первообразная для функции , то , где – любое число, также первообразная для функции .
Доказательство. Так как – первообразная для функции , то . Так как , то согласно определению – первообразная для функции .
Теорема 2. Если и – первообразные для функции , то разность есть постоянная величина.
Доказательство. Согласно определению первообразной, имеем:
и из рассматриваемого промежутка.
Следовательно, . Согласно критерию постоянства функции разность при из рассматриваемого промежутка.
Из теорем 1 и 2 следует, что если для функции существует какая-нибудь первообразная , то для существует бесконечное множество первообразных отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема 3. Если – первообразная для функции и – функция, у которой существует , то – первообразная для .
Доказательство. Согласно определению первообразной: . Найдем производную от сложной функции , где :
Согласно определению, сложная функция есть первообразная для функции .
Определение неопределенного интеграла: Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+ С называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx.Таким образом по определению, ∫ f(x)dx= F(x)+ С, если F′ (x)= f(x). При этом функцию f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, знак ∫- знаком интеграла. Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y= F(x)+ С. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оу.
2. Следовательно для того чтобы усвоить буквы необходимо очень чётко ориентироваться в звуках- уметь правиль
3. Антисоветское движение в Чечне в 19201930-е годы
4. варианта ответа из которых только один правильный
5. КУРСОВОЙ ПРОЕКТ по дисциплине Теплотехника и теплотехническое оборудование в технологии строительных ма
6. Национально - государственное устройство и особенности политической системы ССС
7. Как подготовить компанию к проверке
8. по просьбам трудящихся
9. ПіслясмертіВолодимираміжйогосинамирозпочаласяжорстокаборотьба за владу.html
10. Constable John
11. Введение В настоящее время ни одно государство в мире не может успешно развиваться без интеграции в мир
12. Анализ и оценка кредитоспособности заемщика
13. Реферат- Роль мелкого бизнеса в экономике
14. Технология превращения мечты в цель или как выбрать хорошую профессию является эффективным ИНСТРУМЕНТОМ
15. Информационно-образовательная среда как фактор повышения качества образования
16. Анализ хозяйственной деятельности предприятия
17. Современные тенденции объединения избирательных систем как оптимальный инструмент влияния общества на власть
18. на тему- Розничный товарооборот- тенденции его развития на современном этапе методы прогнозирования на мат.html
19. Средняя общеобразовательная школа 4 Локтевского района Алтайского края Конспект
20. Статья- Установки и стереотипы массового сознания