Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
VII. Дослідження функцій
7.1. Зростання і спадання функцій
Означення. Якщо функція y=f(x) така, що більшому значеню аргумента відповідає більше значення функції, то функція y=f(x) називається зростаючою. Аналогічно означається спадна функція.
Зручно відповідно позначити: х) і х.
Теорема 1.
Y
рис.40 X
Скорочено можна записати:
Доведення. 1. Нехай зростає і в околі точки існує скінчена похідна . Розглянемо ліву похідну в цій точці
та праву похідну
.
Оскільки ліва і права похідні збігаються в точці , то із останніх нерівностей випливає .
2. Нехай в околі точки . Застосуємо до різниці формулу Лагранжа
. (1)
Розглянемо два випадки. а) , тоді і права частина , тобто із (1) випливає
- функція зростає
б) , тоді і , із (1) маємо - функція зростає.
Отже, в околі точки (як зліва так і справа) функція зростає, якщо .
Аналогічна теорема має місце, якщо функція f(x) спадає.
Теорема 2.
то f(x) спадає на [a, b].
Y
a b X
рис.41
Скорочено:
Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.
Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.
Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:
1. . 2. .
3. . 4. . 5. .
1. Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь
, .
Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб’ється на два інтервали і
()
За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.
Якщо , то
- функція зростає.
Отже, для ;
для .
2. - функція визначена для всіх . Її похідна
має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали
, ,
Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:
, функція зростає;
, функція спадає;
, функція зростає.
3. - функція не існує у точках . Знаходимо похідну
.
Корені похідної , та її точки розриву і розбивають числову вісь на 5 інтервалів, визначаємо знак похідної на кожному з них:
, функція спадає;
, функція зростає;
, функція зростає;
, функція спадає;
, функція спадає.
Тут числа - це пробні точки, з відповідних інтегралів, у яких визначався знак похідної.
4. Функція існує для всіх , її похідна
.
Оскільки похідна невід’ємна, то дана функція непарна для всіх .
5. Знайдемо спочатку область існування (визначення) функції ,
. Функція існує на проміжку . Похідна функції має вигляд
;
- корінь похідної, яка до того має таку область існування .
Для , функція зростає;
Для , функція спадає.
Відмітимо ще, що за допомогою похідної можна доводити деякі нерівності.
Приклади. Довести нерівності.
6. . 7. .
8. .
9. .
6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну
, якщо .
Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.
7. Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .
8. Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції
.
9. .
,
якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто
при .
Приклади для самостійного розв’язання.
Визначити проміжки монотонності функцій
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9.
Довести нерівності
10. , якщо .
11. .
12. .
13. .
Відповіді. 1. ; .
2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .
6. . 7. . 8. .
9. .
7.2. Максимуми і мінімуми функції
Означення 1. Функція y=f(x) має максимум в точці х0, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто
(х)(х0).
Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х1, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто
(х)(х1).
f(x2)=ymax
Y f(x0)=ymax
f(x3)=ymin
f(x1)=ymin
x0 x1 x2 x3 X
рис.42
Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.
Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.
Наприклад. На рисунку 42 точки x0,x1,x2,x3 – критичні точки.
Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х0, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто х0=.
Наприклад. На рис.1 (х0)=(х1)=(х2)=0.
Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43
Y
(х0)=0 y=f(x)
0 x0 X
рис.43
Точки в яких (х0)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.
Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де (х0)=0, також серед точок, в яких похідна (х) не існує. Наприклад в точці х3 (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х3 – не існує.
Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=(х):
Тоді, якщо при переході через точку х0 (зліва направо)
а) (х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х0 маємо максимум;
б) (х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х0 маємо мінімум;
в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х0 екстремуму не має.
Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=(х) в точці х=х0 має першу і другу похідну, причому (х0)=0, а (х0)0, і (х) неперервна в околі точки х=х0, то в точці х=х0 у=(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо (х0)<0, і мінімум, якщо (х0)>0.
Див., напр., рис. 44
Y
x0 x1 X
рис.44
Скорочено маємо:
Можуть зустрічатись випадки, коли (х0)=0 і (х0)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.
Теорема 4. Якщо функція у=(х) має в околі точки х=х0 неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо
в той час як f(n)(x0)0, то при n парному функція має максимум, якщо f(n)(x0)<0, i мінімум, якщо f(n)(x0)>0; якщо n – непарне, то функція екстремума в точці х=х0 не має.
Приклади.
Дослідити на екстремуми функції:
1. . 2. .
Розв’язання
1. 1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.
.
В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.
2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали
3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.
В даному випадку:
Якщо , то із маємо , функція - зростає;
Якщо , то із функція - спадає;
Якщо ж , то , функція - зростає.
Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.
4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак
з “-“ на “+”, то в точці - ,
з “+” на “-“, то в точці - .
У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,
.
При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум
.
Відповідь: .
2. . Область існування: .
Знаходимо похідну
.
Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали
на - ф. зростає;
на - ф. зростає;
на - ф. спадає;
на - ф. зростає.
У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) – максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) – мінімум.
;
.
Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм.
Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки – це квадрат зі стороною довжини . Площа дна
,
Висота коробки - , тоді об’єм
Рис.
Функцію дослідимо на екстремум, спростивши її
.
Знаходимо похідну
Прирівняємо похідну до нуля
.
.
Дослідимо знаки похідної.
Отже, при об’єм досягає максимуму.
Приклади для самостійного розв’язання
Дослідити на екстремум такі функції:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. . 7. .
8. . 9. . 10. .
Відповіді: 1. . 2. ; . 3. ; .
4. . 5. екстремума немає. 6. ; . 7..
8..
9. .
10, .
7.3. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Нехай у=(х) неперервна на відрізку [a, b], тоді відомо, що f(x) досягає свого найменшого m і найбільшого M значень. Задача полягає в тому, щоб їх знайти.
Припустимо, що на відрізку [a, b] f(x) має скінченне число критичних точок. Якщо найбільшого значення функція досягає внутрі [a, b], то це буде найбільший із максимумів. Але може бути, що найбільшого значення y=f(x) досягає на одному з кінців відрізка, тому знаходимо додатково ще f(a) i f(b).
Отже, щоб знайти найбільше значення функції y=f(x) на відрізку
[a, b] потрібно:
Аналогічним чином знаходять найменше значення функції на відрізку.
На прикладі слідуючого рисунка маємо
Y
M
m f(a) f(b)
a x1 x2 x3 b X
рис.45
M=max{f(a), f(x2),f(b)}=f(b) – найбільше значення f(x);
m= min{f(a), f(x1), f(x3), f(b)}=f(x1) – найменше значення f(x) на відрізку [a, b].
Приклади для самостійного розв’язання.
Знайти найменше та найбільші значення функцій на заданих проміжках.
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. .
8. . 9. .
Відповіді: 1. . 2. .
3. . 4. не існує; . 5. . 6. . 7. не існує. 8. не існує. 9. .
7.4. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину
Означення 1. Крива, що описується функцією y=f(x), називається опуклою в інтервалі (a, b) , якщо всі точки кривої лежать нижче довільної її дотичної проведеної в цьому інтервалі.
Аналогічно, якщо всі точки кривої лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі, то крива називається угнутою.
Y
y=f(x)
M
a b c X
рис.46
На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d).
Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.
На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b.
Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.
Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f(x) i f(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f(x)<0, i угнута, якщо f(x)>0, для всіх х з цього інтервала.
Так, напр., відповідно на рис.1 f(x)<0, якщо х(a, b), f(x)>0, якщо х(c, d).
Точки перегину знаходяться за наступною теоремою
Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо , або не існує і , змінює знак при переході через х0, то х0 є точкою перегину f(x).
Приклад. Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції.
.
Розв’язання. Задана функція визначена для всіх . Знайдемо її похідні
,
.
Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки.
Якщо на проміжку, то графік угнутий;
Якщо на проміжку, то графік опуклий.
У тих точках, де друга похідна міняє знак, буде точка перегину, за умови, що функція в цій точці неперервна.
Отже, розв’язуємо рівняння
;
на , графік угнутий;
на , графік опуклий;
на , графік угнутий.
В точках і друга похідна міняє знак. Це є точки перегину.
.
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину кривих.
1. .
2. .
3. . 4. . 5. .
6. . 7. .
Відповіді: 1. Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 2. Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину , і . 3. Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину ; , . 4. Угнутість на і , опуклість на ; точка перегину . 5. Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 6. Опуклість на , угнутість на ; точка перегину . 7. Опуклість на , угнутість на і на ; точка перегину .
7.5. Асимптоти графіка функції
Означення. Пряма (l) називається асимптотою графіка функції (кривої (L)), якщо відстань MN від змінної точки кривої (ML) до прямої прямує до нуля, якщо точка М віддаляється в нескінченність, тобто (див. рис. 47,48)
Y Y
M
M N
(L) N (L)
(l)
(l) X X
рис.47 рис.48
Асимптоти розрізняють:
1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при ха0, тобто
, або .
Y
M N
x x=a X
2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді y=kx+b, де
зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де
Приклади. Знайти асимптоти кривих:
1. . 2. .
Розв’язання
1. Із рівняння . Функція існує для .
Вертикальних асимптот функція немає оскільки при і .
Горизонтальних асимптот теж немає, бо .
Знайдемо похилі асимптоти за формулою ,
де .
Знайдемо
;
Знайдемо вільний член
.
Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи
.
2. . Дана функція визначена для , де .
Оскільки
,
то пряма є вертикальною асимптотою кривої.
Горизонтальних асимптот крива немає, оскільки
.
Знаходимо похилі асимптоти при і при .
.
.
Отже, існує права похила асимптота .
Знайдемо похилу асимптоту при .
оскільки , то - введемо під корінь
.
.
Отже, - ліва похі\ила асимптота.
На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.
Приклади для самостійного розв’язання.
Знайти асимптоти кривих
|
1. |
2. |
3. |
|
4. |
5. |
6. |
|
7. |
8. |
9. |
Відповіді: 1. - ліва похила асимптота.
2. - горизонтальна асимптота.
3. - вертикальна асимптота.
4. . 5. . 6.
7.. 8..
9..
7.6. Загальна схема дослідження функцій
Нехай задана функція y=f(x). Необхідно її дослідити і на основі отриманих результатів побудувати її графік.
Схема дослідження функцій.
1. Знаходимо область визначення функції. Якщо f(x) не існує в окремих точках, напр. х=х0, то рекомендується знайти Якщо якась із цих границь нескінченість, то х=х0 – вертикальна асимптота. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат.
2. Знаходимо похилі асимптоти.
3. Перевіряємо функцію на парність, непарність, періодичність.
Якщо f(–x)=f(x) – парна функція, то графік її симетричний відносно вісі ОY. Якщо ж функція непарна f(–x)= – f(x), то графік має центральну симетрію відносно точки О(0,0).
За допомогою другої похідної (х) знаходимо інтервали опуклості, угнутості, точки перегину графіка.
Будуємо на площині отримані характерні точки: точки перетину з осями, точки екстремумів, точки перегину. Будуємо асимптоти. І, накінець, будуємо графік функції.
Приклади дослідження функцій див. “Вказівки до розв’язування задач типового варіанту”, варіант “0”, задача 9.
Приклади для самостійного розв’язання
|
1. . |
2. . |
3. . |
|
4. . |
5. . |
6.. |
|
7. . |
8. . |
9. . |
|
10. . |
11. . |
12.. |
Відповіді: 1. Область визначення ; ; для - опуклість; для - угнутість; - точка перегину; асимптот – немає.
2. - обл. визнач.; ; ; `- точки перегину; для - угнутість; для - опуклість; асимптот – немає.
3.- обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; - асимптота.
4. - обл. визнач.; ; - т. перегину; для - угнутість; для - опуклість; - асимптота.
5. - обл. визнач.;
; для - угнутість; для - опуклість; - асимптота; - асимптоти.
6. - обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; асимптот - немає.
7. - обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; - вертик асимптота; - похила асимптота.
8. - обл. визнач.; ; - т. перегину; - асимптоти.
9. - обл. визнач.; ; - т. перегину; - асимптота.
10. - обл. визнач.; ; для - опуклість; для - угнутість; ,- асимптоти.
11. - обл. визнач.; ; - т. перегину.
12. - обл. визнач.; екстремумів - немає; - т. перегину.
PAGE 135
EMBED PBrush
EMBED PBrush