Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задание 1. Найти сумму ряда с заданной точностью. Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.
function z_1
clc
n=1
s=0;
while n*sin(5/n)>10^(-2)
s=s+n*sin(5/n);
n=n+1;
end
disp('Сумма ряда')
disp(s)
syms t
Un=n*sin(5/n)
x=1:n;
y=subs(Un,t,x);
plot(x,y)
grid on
n =
1
Сумма ряда
0
Un =
-0.9589
sum(n*sin(5/n),n)
>> vpa(ans,8)
ans =
1
т. к. число, р. сход.
;
function z_2
n=1;
s=0;
while 1/(n^3+2*n+50)^(1/3)>10^(-5)
s=s+1/(n^3+2*n+50)^(1/3);
n=n+1;
end
disp('Сумма ряда')
disp(s)
syms t
Un=1/(t^3+2*t+50)^(1/3);
x=1:n;
y=subs(Un,t,x);
plot(x,y,'g')
grid on
Сумма ряда
10.8926
>> vpa(ans,8)
ans =
1.54679843
т. к. число, р. сход.
Задание 2. Установить сходимость знакопеременных рядов.
>> syms n
>> Un=((-1)^(n+1)*(n+1))/n;
Находим сумму ряда
>> symsum(Un,n,1,inf)
ans =
2*log(2)-1/2*hypergeom([2, 2],[3],-1)
Исследуем на абсолютную и условную сходимость
вводим модуль общего члена;
>> un=(n+1)/n;
>> symsum(un,n,1,inf)
ans =
inf
>> %т.к. сумма р.=inf, то данный ряд cходитcя условно.
>> syms n
Общий член ряда;
>> Un=(-1)^(n+1)*(5^(3*n))/(gamma(n+1));
Находим сумму ряда
>> symsum(Un,n,1,inf)
ans =
-exp(-125)*(1-exp(125))
По признаку Лейбница определим сходимость ряда;
>> un=(5^(3*n))/(gamma(n+1));
>> ezplot(un,[1 60]), grid on
>> limit(Un,n,inf)
ans =
0
Необходимое условие сходимости выполняется;
Исследуем ряд на абсолютную и условную сходимость;
>> symsum(un,n,1,inf)
ans =
exp(125)*(1-exp(-125))
Определяем сходимость ряда, используя интегральный признак Коши
>> I=int(un,n,1,inf)
I =
int(1/gamma(n+1)*5^(3*n),n = 1 .. inf)
>> vpa(I,8)
ans =
1.19355760
Ответ: исследуемый ряд сходится абсолютно.
Задание 3. Найти область сходимости степенного ряда.
>> syms x n
Общий член ряда;
>> Un=5^n*(x+1)^n; m=n+1; Um=subs(Un,n,m)
Um =
(n+1)^2*(x+2)^(n+1)
>> abs(limit(Un/Um,n,inf))
ans =
1/abs(x+2)
Левая и правая границы интервала сходимости ряда;
>> r1=2; rr=1;
>> Unl=subs(Un,x,r1)
Unl =
n^2*4^n
>> symsum(unl,n,1,inf)
ans =
inf
>> Unr=subs(Un,x,rr)
Unr =
n^2*3^n
>> symsum(unr,n,1,inf)
ans =
inf
Ответ: область сходимости ряда [2 1];
Вводим коэффициент при аргументе х;
>> syms n
>> an=((-1)^n)/n^2;
Вводим коэффициент при аргументе х;
>> m=n+1;
>> am=subs(an,n,m)
am =
(-1)^(n+1)/(n+1)^2
Используя формулу радиуса сходимости ;
>> R=abs(limit(an/am,n,inf))
R =
1
>> x0=0;
Находим левую границу интервала сходимости:
>> rl=x0-R
rl =
-1
Находим правую границу интервала сходимости:
>> rr=x0+R
rr =
1
Исследуем сходимость ряда на границах интервала
>> syms x
Общий член;
>> Un=((-x)^n)/n^2;
Общий член ряда на границе интервала:
>> Unl=subs(Un,x,rl)
Unl =
1/n^2
>> symsum(Unl,n,1,inf)
ans =
1/6*pi^2
Общий член ряда на границе интервала (справа):
>> Unr=subs(Un,x,rr)
Unr =
(-1)^n/n^2
>> symsum(Unl,n,1,inf)
ans =
1/6*pi^2
>> Unr=subs(Un,x,rr)
Unr =
(-1)^n/n^2
>> limit(Unr,n,inf)
ans =
0
>> unr=1/n^2;
>> ezplot(unr,[0 100])
>> grid on
По признаку Лейбница ряд сходится, проверим ряд на абсолютную и условную сходимость:
>> int(unr,n,1,inf)
ans =inf
В точке ряд условно сходится;
Ответ: область сходимости ряда (-1; 1)
Задание 4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию .
способ “taylortool”
2-й способ разложения в р. Тейлора:
>> syms x
>> fx=x^2/(sqrt(4+x));
>> ezplot(fx,[-2 0.9]);grid on;hold on
>> ft=taylor(x^2/(sqrt(4+x)), 6+1, 0)
ft =
1/2*x^2-1/16*x^3+3/256*x^4-5/2048*x^5+35/65536*x^6
>> plot([-2:0.01:0.9],subs(ft,x,[-2:0.01:0.9]),'m*')
Задание 5. Разложить функцию в ряд Тейлора при и выполнить табуляцию полученных функций при изменении в диапазоне с шагом . Построить полученные функции и сделать выводы о погрешности рядов.
,
>> syms x
>> y=log(1+x-2*x^2);
>> x0=1.5;
>> yT3=taylor(y,4,x0)
yT3 =
log(2)-i*csgn(i*(1+x-2*x^2))*pi+5/2*x-15/4-17/8*(x-3/2)^2+65/24*(x-3/2)^3
>> yT4=taylor(y,5,x0)
yT4 =
log(2)-i*csgn(i*(1+x-2*x^2))*pi+5/2*x-15/4-17/8*(x-3/2)^2+65/24*(x-3/2)^3-257/64*(x-3/2)^4
>> yT5=taylor(y,6,x0)
yT5 =
log(2)-i*csgn(i*(1+x-2*x^2))*pi+5/2*x-15/4-17/8*(x-3/2)^2+65/24*(x-3/2)^3-257/64*(x-3/2)^4+205/32*(x-3/2)^5
>> a=1;b=4;h=0.3;
>> X=a:h:b;
>> yt3=subs(yT3,x,X)
yt3 =
Columns 1 through 2
-1.4266 0.0865 + 3.1416i
Columns 3 through 4
0.9246 + 3.1416i 1.5265 + 3.1416i
Columns 5 through 6
2.3309 + 3.1416i 3.7765 + 3.1416i
Columns 7 through 8
6.3021 + 3.1416i 10.3465 + 3.1416i
Columns 9 through 10
16.3484 + 3.1416i 24.7465 + 3.1416i
Column 11
35.9796 + 3.1416i
>> yt4=subs(yT4,x,X)
yt4 =
1.0e+002 *
Columns 1 through 2
-0.0168 0.0008 + 0.0314i
Columns 3 through 4
0.0092 + 0.0314i 0.0142 + 0.0314i
Columns 5 through 6
0.0137 + 0.0314i -0.0024 + 0.0314i
Columns 7 through 8
-0.0517 + 0.0314i -0.1597 + 0.0314i
Columns 9 through 10
-0.3598 + 0.0314i -0.6932 + 0.0314i
Column 11
-1.2088 + 0.0314i
>> yt5=subs(yT5,x,X)
yt5 =
1.0e+002 *
Columns 1 through 2
-0.0188 0.0008 + 0.0314i
Columns 3 through 4
0.0092 + 0.0314i 0.0149 + 0.0314i
Columns 5 through 6
0.0244 + 0.0314i 0.0617 + 0.0314i
Columns 7 through 8
0.1862 + 0.0314i 0.5120 + 0.0314i
Columns 9 through 10
1.2264 + 0.0314i 2.6083 + 0.0314i
Column 11
5.0473 + 0.0314i
>> hold on;grid on;
>> plot(X,yt3,'r--o')
Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.
>> plot(X,yt4,'m:x')
Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.
>> plot(X,yt5,'g-.*')
Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.
>> ezplot(y,[a b])