Задача 1. Найти (.) L  (2).  . Расстояние от  до

Решение. . . из  опустим перпендикуляр на , получили (.) .  Составим уравнение прямой LM: . (1)

Находим (.) М ,  подставляем в (1) нах. .

Запишем как находится расстояние от  до  и прировняем к 3

d==(3)

в (3) вместо  поставить  (2) т.к.  получается уравнение на  (может получиться 2 корня, либо один уйдет за счет модуля, либо получим 2 симметричные точки удаленные на расстояние 3 от плоскости) , нашли, поставили в (2) получили координаты (.).

Задача 2. Найти расстояние от (.)  до прямой , проходящую через  точку  параллельно m:    (1)

Из А опускаем перпендикуляр к  получаем точку Е. Построим плоскость проходящую через А, .

Д=-

. Находим t поставляем в (1) точки Е(х3,у3,z3).

Находим |ЕА|=

Задача 3. Найти (.) пресечения   и проекцией прямой   на плоскость   .

Строим  (проекция прямой  на ).

Проверим, лежит или нет прямая в

если 2 точки то  и есть проекция, если нет точек, то необходимо опускать перпендикуляр. Если одна точка А (х1,у1,z1) то . Проекция прямой  проходит через  и вектор (1). h  значит (h,N)=0. 0=(a,N)+,  подставляем в (1) нах. h(h1,h2.h3)

Находим  

(2)

Находим (.) пересечения

находим t подставляем в (2)точка  найдена

Задача 4. Написать уравнение плоскости  проходящую через прямую :  (соответственно – точка через которую проходит прямая) и основание  перпендикуляра (.) Е опущенного из (.) А(х1,у1,z1)   на плоскость =0 соответственно N (A,B,C)

 (1)

находим t подставляем в (1) Получаем Е(х2,у2,z2)

Находим

, A1x+B1y+Cz+D1=0 (. Выполнить проверку, подставить Е, l в .

Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящую через прямую :и через (.)В симметричную (.)А(х1,у1,z1)  относительно .

Из А опускаем перпендикуляр к  получаем точку Е. Построим плоскость проходящую через А, .

Д=-

АЕ:

. Находим t поставляем в (1) точки Е(х2,у2,z2).

Найдем координаты (.)В(х3,у3,z3)

Строим поверхность

, A1x+B1y+Cz+D1=0 (

Задача 6

Найти угол между прямой проекцией прямой   на плоскость

находим (. )A пересечения прямой  l и плоскости. если 2 точки то  и есть проекция, если нет точек, то необходимо опускать перпендикуляр из (.) на прямой до плоскости. Если одна точка А(х1,у1,z1) то . Проекция прямой  проходит через А и вектор h. h  значит (h,N)=0. 0=(a,N)+,  подставляем в (2) нах. h(h1,h2.h3)

Находим  

(2)

и m будет равен углу между направляющими векторами h и b 

Функан. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение в пространстве  и при  найти решение уравнения с точностью .

, если  сжимающее, то оно будет иметь единственное решение.

Проверим явл.  сжимающим.

(Pх(t), Pх’(t))=,  отображение будет сжимающим  в  существует единственное решение уравнения, значит применим принцип сжимающих отображений.

Нахождение точного решения при

…

Найдем такой номер , что (*)

Если  

, неравенство  (*) выполняется, и начиная с х5 требуемая точность достигается.

И тогда .Возможно проверить .

Задача 1. Найти значение параметра , при котором система   будет линейно зависима, выразить вектор  через . , , .

Система 3-х векторов будет линейно зависима, если ранг матрицы составленных из этих векторов будет < 3.

Ранг  будет < 3 при

При  система векторов  – линейно зав.

Задача 2. Найти ортогональный базис пространства заданное уравнением

, (1)

,

, . При проверке  подставляем в (1) верно.

Задача 3. Найти собственное значение и собственный вектор заданного оператора

-

,  

Собственный вектор

Задача 4. Найти кратность корня: . При каких  «3» - является корнем кратности 2.

значит при , ,  имеет корень 3 кратности 2.

Задача 1

, ,

, , ,

все

f(z) – аналитическая на , тогда

Задача 2

1)  - имеет аналитическое продолжение в

т.е.  определена в

2) изолированные особые точки

,

,

,  – полюсы

,  - полюс 1 порядка

,  - полюс 1 порядка

3)  - аналитическая в

4)  

,

Задача 3

a=1>0

имеет аналитическое продолжение в

определена в

Изолированные особые точки

при  (это не писать: )

вып. усл. леммы Жордана

– полюс

- полюс 1 порядка

Задача 4

=

f(z)=

Изолированные особые точки

, , ,

– полюс

- полюс 1 порядка

– полюс

 - полюс 1 порядка

==

Дифуры

y’’+2y’+y=2x+5e-x

у(0)=0, у’(0)=0

y=yoo+yч

y’’+2y’+y=0

Уоо=С1е-х+С2хе-х

2хе0х, 0-не является корнем характеристического уравнения, многочлен степени 1 поэтому

уч=ах+в подставляем в уравнение y’’+2y’+y=2x . 2а+ах+в=2х. х: а=2, х0:2а+в=0, значит в=-4

уч=2х-4

у= С1е-х+С2хе-х+2х-4

y’=- С1е-х+ С2е-х- С2хе-х+2

у(0)= С1-4=0, С1=4

y’(0)= - С1+ С2+2=0, С2=С1-2=4-2=2

у= 4е-х+2хе-х+2х-4

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = f(x) (1)

Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным в противном случае неоднородным.

Алгоритм решения однородного уравнения.

1. Составляется характир. уравнение

a0+a1+ … + an = 0

1….n – корни хар. уравнения

а) Если корни хар. уравнения действительны и различные, то имеют соответ. решения y1 = , …, yn =  

б) корни действительн. кратные

- корни кратности k, ему соответствует k – лин/нез решений

y1 = , y2 = x , …, yk =

в) корни комплексно-сопряженные

,. Паре комплс. сопряжен. корней соответствует 2 л/з решения

y1 = , y2 =

г) кратные комплексные сопряжен.

= - кр-ти k

2k – л/н решений

y1 = , y2 = , … , yk = , yk+1 = , …, y2k =

Квазимногочлен