Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
43
Севастопольський інститут банківської справи
Української академії банківської справи Національного банку України
Кафедра фінансів та кредиту
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідувач кафедри
канд. екон. наук, доцент
_______________ С.О. Хайлук
01.09.2010
ЗБІРНИК ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ
з дисципліни
"Економіко-математичне моделювання: оптимізаційні методи та моделі" освітньо-професійної програми підготовки за напрямами
6.030502 – «Економічна кібернетика», 6.030503 – «Міжнародна економіка», 6.030508 – «Фінанси і кредит», 6.030509 – «Облік і аудит»
Укладач канд. екон. наук, доцент _________________ С.О. Хайлук
01.09.2010
Розглянуто та схвалено на засіданні кафедри, протокол від 01.09.2010 № 1
Суми – 2010
ЗМІСТ
ВСТУП 3
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ 5
ПЕРЕЛІК ЗАВДАНЬ 6
1. ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ (ТЕМА 2 ) 6
2. ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ТА МЕТОДИ ЇЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ (ТЕМА 3) 16
3. ТЕОРІЯ ДВОЇСТОСТІ ТА АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ ЗАДАЧ (ТЕМА 4) 28
4. ЦІЛОЧИСЛОВЕ ПРОГРАМУВАННЯ (ТЕМА 5) 38
5. НЕЛІНІЙНІ ОПТИМІЗАЦІЙНІ МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ (ТЕМА 6 ) 41
6. ДИНАМІЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ (ТЕМА 7) 48
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА 52
ВСТУП
Економіко-математичне моделювання – одна з фундаментальних дисциплін у підготовці фахівців з економіки, побудована на основі математичних і економічних знань. Для засвоєння дисципліни потрібна ґрунтовна математична база, особливо з математичної алгебри, диференціального числення та математичної статистики. Важливо також мати ґрунтовну підготовку з економічної теорії, макро- та мікроекономіки, статистики, економічного аналізу. Дисципліна дозволяє визначити кількісні оцінки економічних процесів, що протікають в рамках економічної системи, що досліджується, в якості якої може розглядатися будь-який з господарюючих суб’єктів (підприємство, банк, страхова компанія і т.п.)
Зауважимо, що економіко-математичне моделювання з огляду на громіздкість обчислень та вимоги до точності результатів вивчається за комп’ютерної підтримки. Знання, здобуті студентами під час вивчення економіко-математичного моделювання, широко застосовуються в маркетингу, виробничому, фінансовому, податковому менеджменті і т.ін.
Мета вивчення дисципліни «Економіко-математичне моделювання» – формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.
Завдання дисципліни: вивчення основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови економіко-математичних моделей, методів їх розв’язування та аналізу з метою використання в економіці.
Предметом дисципліни є методологія та інструментарій побудови і розв’язування детермінованих оптимізаційних задач.
Під час вивчення дисципліни «Економіко-математичне моделювання» студенти мають опанувати методи побудови та реалізації економіко-математичних моделей за допомогою персонального комп’ютера; набути практичних навичок кількісного вимірювання взаємозв’язків між економічними показниками. Отже, в результаті вивчення дисципліни студенти повинні вміти:
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
Основним критерієм успішності засвоєння матеріалу дисципліни студентами є можливість застосування ними отриманих знань та вмінь до вирішення практичних завдань. Тому завдання на розв’язання практичних задач є ключовими елементами поточного та підсумкового контролю знань студентів.
При цьому основною метою поточного контролю знань студентів є перевірка рівня підготовленості студента до виконання конкретної роботи. Поточний контроль здійснюється під час проведення лабораторних занять і його результати враховуються при виставленні підсумкової оцінки.
Підсумковий контроль проводиться з метою оцінки результатів навчання на етапі завершення вивчення даної дисципліни – семестровий екзамен та після завершення навчання на певному освітньо-кваліфікаційному рівні з метою встановлення фактичної відповідності рівня підготовки студентів вимогам освітньо-кваліфікаційної характеристиці – державна атестація.
ПЕРЕЛІК ЗАВДАНЬ
1.1.1 Фірма має 1 млн грн обігових коштів. Відомі витрати грошей у кожному місяці, а також обов’язкові залишки обігових коштів на кінець кожного місяця. Також передбачається, що для успішного функціонування фірма витрачатиме значно меншу суму, ніж 1 млн грн. Отже, решту коштів можна надавати у кредит. Необхідно визначити оптимальний розподіл обігових коштів протягом кварталу для досягнення максимального прибутку за процентними ставками, якщо відомі витрати та потреби в резервах:
1.01 –31.01: витрати – 80 000 грн; необхідний запас на 31.01 – 300 000 грн;
1.02 –28.02: витрати – 30 000 грн; необхідний запас на 28.02 – 200 000 грн;
1.03 –31.03: витрати – 50 000 грн; необхідний запас на 31.03 – 190 000 грн.
Кредит терміном на 1 місяць дає 2 % прибутку, терміном на 2 місяці – 5 %, а терміном на 3 місяці – 8 %. Вважатимемо, що кредити надаються першого числа кожного місяця і погашаються також першого числа відповідного місяця.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.2 На ринок поставляється картопля з трьох фермерських господарств за цінами відповідно 80, 75 та 65 коп. за 1 кг. На завантаження 1 т картоплі в господарствах відповідно витрачається по 1, 6 та 5 хвилин. Замовлено 12 т картоплі, і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалося не більше сорока хвилин. Потрібно визначити, з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставляти картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо фермери можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.3 Стандартом передбачається, що октанове число бензину А-76 має бути не нижчим 76, а вміст сірки – не більшим, ніж 0,3 %. Для виготовлення такого бензину на заводі використовуються чотири компоненти. Дані про обсяги запасів компонентів, які змішуються, їх вартості, октанові числа та вміст сірки наведені в табл. 1:
Таблиця 1 – Техніко-економічні показники компонент бензину
|
Показник |
Компонента бензину |
|||
|
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№4 |
|
|
Октанове число |
68 |
72 |
80 |
90 |
|
Вміст сірки, % |
0,35 |
0,35 |
0,30 |
0,20 |
|
Наявний обсяг, т |
700 |
600 |
500 |
300 |
|
Вартість, грош. од./т |
40 |
45 |
60 |
90 |
Необхідно визначити, скільки тонн кожного компонента потрібно використати для того, щоб отримати 1000 т бензину А-76 з мінімальною собівартістю.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.4 Учасник експедиції складає рюкзак, і йому необхідно розв’язати питання про те, які взяти продукти. У розпорядженні є м’ясо, борошно, сухе молоко, цукор. У рюкзаку залишилось для продуктів лише 45 дм3 об’єму, до того ж необхідно, щоб загальна маса продуктів не перевищувала 35 кг. Лікар експедиції рекомендував, щоб м’яса (за масою) було більше, ніж борошна принаймні удвічі, борошна не менше, ніж молока, а молока хоча б у вісім разів більше, ніж цукру. Скільки і яких продуктів потрібно покласти в рюкзак, щоб сумарна калорійність продуктів була найбільшою? Характеристики продуктів наведені в табл. 1.
Таблиця 1 – Характеристики продуктів
|
Показники |
Продукт |
|||
|
м’ясо |
борошно |
молоко |
цукор |
|
|
Об’єм (дм3/кг) |
1 |
1,5 |
2 |
1 |
|
Калорійність (ккал/кг) |
1500 |
5000 |
5000 |
4000 |
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.5 Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні озимої пшениці і має три ділянки землі площею S1 = 40 га, S2 = 90 га, S3 = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпечить посів на 80 га, «Безоста-1» – 60 га та «Одеська – 51» – 45 га. Урожайність сорту «Миронівська-808» на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для сорту «Безоста-1» маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для «Одеської-51» – 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га.
Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.6 Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць – А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. 1.
Таблиця 1 – Тривалість виготовлення книжкових полиць
|
Верстат |
Тривалість обробки |
Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень |
|
|
А |
В |
||
|
1 |
30 |
15 |
40 |
|
2 |
12 |
26 |
36 |
Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В – 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.
Необхідно визначити обсяги виробництва книжкових полиць цих двох моделей, що максимізують прибуток фірми. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.7 Для невеликої птахоферми потрібно розрахувати оптимальний кормовий раціон на 1000 курчат, яких вирощують з 4-х до 8-тижневого віку. Нехтуючи тим, що потижневі витрати кормів для курчат залежать від їхнього віку, вважатимемо, що за 4 тижні курча споживає не менше 500 г суміші. Крім цього, кормовий раціон курчат має задовольняти певні вимоги щодо поживності. Сформулюємо ці вимоги у спрощеному вигляді, беручи до уваги лише дві поживні речовини: білок і клітковину, що містяться у кормах двох видів – зерні та соєвих бобах. Вміст поживних речовин у кожному кормі та їх вартість маємо у табл. 1.
Таблиця 1 – Поживність та вартість кормів
|
Корм |
Вміст поживних речовин |
Вартість 1 кг корму, у. о. |
|
|
білку |
клітковини |
||
|
Зерно |
10 |
2 |
0,40 |
|
Соєві боби |
50 |
8 |
0,90 |
Готова кормова суміш має містити не менше як 20 % білка і не більш як 5 % клітковини.
Визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, водночас задовольняючи вимоги до загальної маси кормової суміші та її поживності. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі.
1.1.8 Фірма виготовляє з одного виду сировини два продукти А та В, що продаються відповідно за 8 та 15 копійок за упаковку. Ринок збуту для кожного з них практично необмежений. Сировина для продукту А обробляється верстатом 1, а для продукту В – верстатом 2. Потім обидва продукти упаковуються на фабриці. Схему виробництва продуктів А та В зображено на рис. 1.
Рисунок 1 – Схема виготовлення продуктів
Ціна 1 кг сировини – 6 копійок. Верстат 1 обробляє за годину 5 т сировини, а верстат 2–4 т сировини із втратами, що становлять відповідно 10 і 20%. Верстат 1 може працювати 6 год на день, причому його використання коштує 288 грн/год; верстат 2–5 год на день, що коштує 336 грн/год.
Маса продукту А в одній упаковці дорівнює 1/4 кг, а продукту В – 1/3 кг. Фабрика може працювати 10 год на день, щогодини упаковуючи 12 000 одиниць продукту А або 8000 одиниць продукту В. Вартість її роботи протягом 1 год становить 360 грн.
Необхідно відшукати такі значення х1 та х2 обсягів використання сировини для виготовлення продуктів А та В (у тоннах), які забезпечують найбільший щоденний прибуток фірми.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.2.1 Однорідний вантаж, зосереджений у m постачальників в обсягах ai () необхідно поставити n споживачам в обсягах bj (). Відомі сij ;) – вартості перевезення одиниці вантажу від кожного i-го постачальника до кожного j-го споживача. Необхідно скласти такий план перевезень, використовуючи метод stepping-stone, при якому запаси усіх постачальників вивозяться повністю й сумарні витрати на перевезення усього вантажу мінімальні. Варіанти завдань
|
1 a = (30; 50; 20); b = (15; 15; 40; 30); |
2 a = (40; 30; 35); b = (20; 34; 16; 10; 25); |
3 a = (60; 70; 20); b = (40; 30; 30; 50); |
|
4 a = (30; 20; 40; 50); b = (35; 20; 55; 30); |
5 a = (40; 30; 20); b = (30; 25; 18; 20); |
6 a = (68; 55; 40); b = (2; 3; 3; 16); |
|
7 a = (130; 90; 40); b = (110; 30; 50; 80; 90); |
8 a = (20; 20; 40; 45); b = (25; 30; 40; 15); |
9 a = (45; 35; 70); b = (20; 60; 55; 45); |
|
10 a = (40; 30; 50); b = (20; 18; 44; 75); |
11 a = (30; 70; 50); b = (10; 40; 20; 60); |
12 a = (30; 40; 70; 60); b = (35; 80; 25; 70); |
|
13 a = (10; 20; 35; 45); b = (25; 30; 40; 15); |
14 a = (9; 4; 8); b = (3; 5; 6); |
15 a = (10; 15; 25); b = (5; 10; 20; 15); |
|
16 a = (17; 14; 21; 43); b = (19; 22; 23; 17; 14); |
17 a = (28; 13; 15; 30); b = (27; 16; 25; 11; 7); |
18 a = (9; 18; 23; 26); b = (11; 22; 31; 6; 6); |
|
19 a = (24; 14; 19; 17); b = (22; 9; 12; 13; 18); |
20 a = (12; 17; 18; 13); b = (10; 8; 12; 14; 16); |
21 a = (21; 21; 23; 23); b = (22; 22; 22; 11; 11); |
|
22 a = (24; 15; 16; 24); b = (12; 13; 14; 31; 9); |
23 a = (24; 12; 18; 16); b = (11; 13; 26; 10; 10); |
24 a = (16; 12; 14; 18); b = (7; 8; 4; 11; 30); |
|
25 a = (33; 25; 25; 17); b = (33; 11; 11; 11; 34); |
26 a = (18; 23; 17; 22); b = (21; 21; 9; 9; 20); |
27 a = (33; 33; 33; 11); b = (22; 22; 22; 22; 22); |
|
28 a = (16; 15; 24; 15); b = (15; 15; 15; 15; 10); |
29 a = (24; 27; 16; 13); b = (16; 16; 16; 16; 16); |
30 a = (14; 14; 14; 18); b = (12; 12; 12; 12; 12); |
|
31 a = (8; 10; 5); b = (5; 5; 10); |
32 a = (8; 7; 6); b = (7; 10; 6); |
33 a = (15; 10; 5; 20); b = (10; 20; 15); |
|
34 a = (10; 20; 40); b = (30; 10; 60); |
35 a = (30; 35; 60); b = (25; 25; 40; 30); |
36 a = (160; 80; 60); b = (60; 20; 40; 20; 100); |
|
37 a = (5; 20; 10); b = (10; 25; 15); |
38 a = (30; 40; 20); b = (40; 30; 20; 40); |
39 a = (30; 40; 50); b = (35; 30; 60); |
|
40 a = (10; 20; 80; 50); b = (30; 10; 60; 50); |
41 a = (40; 20; 50; 20); b = (20; 45; 35; 40); |
42 a = (10; 80; 15); b = (75; 20; 50); |
|
43 a = (80; 40; 60; 40); b = (70; 60; 80); |
44 a = (75; 40; 35; 40); b = (20; 60; 140); |
45 a = (60; 90; 50); b = (30; 80; 20; 40); |
|
46 a = (30; 80; 20; 40); b = (60; 80; 20); |
47 a = (10; 10; 30; 20); b = (20; 30; 20; 10); |
48 a = (20; 40; 30); b = (30; 20; 20); |
|
49 a = (20; 25; 20; 10); b = (20; 30; 40; 15); |
50 a = (20; 16; 14; 22); b = (16; 18; 12; 15); |
51 a = (10; 8; 15; 12); b = (15; 10; 5; 20); |
1.3.1 Розв’язати аналітичним методом транспортну задачу, варіанти якої подані в п. 1.2.1. Перевірити рішення, розв’язавши задачу за допомогою інструменту «Пошук рішення» в MS Excel.
1.3.2 Розв’язати наступну задачу: компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти 150, 60 та 80 тис.од. продукції щотижня. Компанія уклала договір з чотирма замовниками В1, В2, В3, В4, яким потрібно щотижня відповідно 110, 40, 60 та 80 тис.од. продукції. Вартість виробництва та транспортування 1000 од. продукції замовниками з кожної фабрики наведено в таблиці.
|
Фабрика |
Вартість виробництва і транспортування 1000 од. продукції за замовниками |
|||
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
А1 |
4 |
4 |
2 |
5 |
|
А2 |
5 |
3 |
1 |
2 |
|
А3 |
2 |
1 |
4 |
2 |
Визначити для кожної фабрики оптимальний план перевезення продукції до замовників, що мінімізує загальну вартість виробництва і транспортних послуг.
Відповідь: Z3 = 720 (ум. од.), .
2.1.1 Побудувати на площині множину розв’язків (багатокутник) системи лінійних обмежень-нерівностей і графічним методом знайти найбільше та найменше значення цільової функції в цьому багатокутнику (x10, x20). Варіанти завдань
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
15 |
|
16 |
17 |
18 |
|
19 |
20 |
21 |
|
22 |
23 |
24 |
|
25 |
26 |
27 |
|
28 |
29 |
30 |
|
31 |
32 |
33 |
|
34 |
35 |
36 |
|
37 |
38 |
39 |
|
40 |
41 |
42 |
|
43 |
44 |
45 |
|
46 |
47 |
48 |
|
49 |
50 |
51 |
2.1.2 Розв’язати задачу 1.1.6 графічним методом
Відповідь: Х* = (50; 60);
2.1.3 Розв’язати задачу 1.1.7 графічним методом
Відповідь: Х* = (375; 125); min Z = 262,5
2.1.4 Розв’язати задачу 1.1.8 графічним методом
Відповідь: Х* = (40/3; 20); max Z = 2992 грн.
2.1.5 Комерційна фірма рекламує свою продукцію, використовуючи місцеві радіо- та телевізійну мережі. Витрати на рекламу в бюджеті фірми становлять 10 000 грн на місяць. Одна хвилина радіореклами коштує фірмі 5 грн, а телереклами – 90 грн. Фірма має намір використовувати радіорекламу принаймні вдвічі частіше, ніж рекламу на телебаченні. Досвід свідчить, що обсяг збуту, який забезпечує 1 хв телереклами, у 30 разів перевищує обсяг збуту, що забезпечує 1 хв радіореклами.
Визначити оптимальний розподіл коштів, які щомісяця мають витрачатися на рекламу, за якого обсяг збуту продукції фірми був би найбільшим.
2.1.6 Невелике сільськогосподарське підприємство спеціалізується на вирощуванні овочів, зокрема капусти та томатів, використовуючи для підвищення їх урожайності мінеральні добрива (фосфорні та калійні). Норми внесення мінеральних добрив під кожну культуру та їх запаси у господарстві наведені в таблиці:
Таблиця 1 – Норми внесення мінеральних добрив та їх запаси
|
Мінеральні |
Норма внесення добрива під культури, |
Запас добрив, кг |
|
|
капуста |
томати |
||
|
Фосфорні |
150 |
400 |
6000 |
|
Калійні |
500 |
300 |
9000 |
Для вирощування овочів відведено земельну ділянку площею 20 га. Очікуваний прибуток господарства від реалізації 1 ц капусти становить 10 умовних одиниць, а 1 ц томатів – 20. Середня врожайність капусти в господарстві дорівнює 300 ц/га, а томатів – 200 ц/га.
Визначити такий варіант розміщення культур на земельній ділянці, який максимізував би прибуток господарства за умови, що витрати мінеральних добрив не перевищують їх запасів.
2.1.7 Фірма виготовляє продукцію А та В, використовуючи для цього два види сировини, добові запаси якої мають не перевищувати відповідно 210 та 240 кг. Витрати сировини для виготовлення одиниці продукції кожного виду наведені в таблиці:
Таблиця 1 – Норми витрат сировини для виготовлення продукції
|
Сировина |
Норма витрат сировини для виготовлення одиниці продукції, кг |
|
|
А |
В |
|
|
1 |
2 |
5 |
|
2 |
3 |
4 |
Працівники відділу збуту фірми рекомендують, щоб виробництво продукції В становило не більш як 65 % загального обсягу реалізації продукції обох видів. Ціни одиниці продукції А та В дорівнюють відповідно 10 та 40 грн.
Визначити оптимальний план виробництва продукції, за якого максимізується дохід фірми.
2.1.8 Фірма виготовляє деталі видів А та В до автомобілів, ринок збуту яких практично необмежений. Будь-яка деталь має пройти послідовну обробку на трьох верстатах, тривалість використання кожного з яких становить 10 год/добу. Тривалість обробки однієї деталі на кожному верстаті наведена в таблиці:
Таблиця 1 – Тривалість обробки деталей
|
Деталь |
Тривалість обробки деталі за верстатами, хв. |
||
|
А |
10 |
6 |
8 |
|
В |
5 |
20 |
15 |
Прибуток від оптової реалізації однієї деталі видів А та В становить відповідно 20 та 30 грн.
Визначити оптимальні добові обсяги виробництва деталей кожного виду, що максимізують прибуток фірми.
2.1.9 Підприємство виготовляє письмові столи типів А та В. Для одного столу типу А необхідно 2 м2 деревини, а для столу типу В – 3 м2. Підприємство може отримувати до 1200 м2 деревини на тиждень. Для виготовлення одного столу типу А потрібно 12 хв роботи обладнання, а для моделі В – 30 хв. Обладнання може використовуватися 160 годин на тиждень. Оцінено, що за тиждень можна реалізувати не більше 550 столів.
Відомо, що прибуток від реалізації одного письмового столу типу А становить 30 грн, а типу В – 40 грн. Скільки столів кожного типу необхідно виготовляти за тиждень, щоб прибуток підприємства за вищезазначених умов був максимальним?
2.2.1 Продукція чотирьох видів А, В, С і D проходить послідовну обробку на двох верстатах. Тривалість обробки одиниці продукції кожного виду наведена в табл. 1.
Таблиця 1 – Тривалість обробки продукції на верстатах, год.
|
Верстат |
Тривалість обробки одиниці продукції |
|||
|
А |
В |
С |
D |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
Витрати на виробництво одиниці продукції кожного виду визначають як величини, прямо пропорційні до часу використання верстатів (у машино-годинах). Вартість однієї машино-години становить 10 грн для верстата 1 і 15 грн – для верстата 2. Тривалість використання верстатів обмежена: для верстата 1 вона становить 450 машино-годин, а для верстата 2 – 380 машино-годин.
Ціна одиниці продукції видів А, В, С і D дорівнює відповідно 73, 70, 55 та 45 грн.
Визначити оптимальний план виробництва продукції всіх чотирьох видів, який максимізує загальний прибуток.
Відповідь: Х* = (48; 118; 0; 0; 0; 0); .
2.2.2 Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування. Варіанти завдань
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
15 |
|
16 |
17 |
18 |
|
19 |
20 |
21 |
|
22 |
23 |
24 |
|
25 |
26 |
27 |
|
28 |
29 |
30 |
|
31 |
32 |
33 |
|
34 |
35 |
36 |
|
37 |
38 |
39 |
|
40 |
41 |
42 |
|
43 |
44 |
45 |
|
46 |
47 |
48 |
|
49 |
50 |
51 |
2.3.1 Продукція чотирьох видів А, В, С і D проходить послідовну обробку на двох верстатах. Тривалість обробки одиниці продукції кожного виду наведена в табл. 1.
Таблиця 1 – Тривалість обробки продукції на верстатах, год.
|
Верстат |
Тривалість обробки одиниці продукції |
|||
|
А |
В |
С |
D |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
Витрати на виробництво одиниці продукції кожного виду визначають як величини, прямо пропорційні до часу використання верстатів (у машино-годинах). Вартість однієї машино-години становить 10 грн для верстата 1 і 15 грн – для верстата 2. Тривалість використання верстатів обмежена: для верстата 1 вона становить 450 машино-годин, а для верстата 2 – 380 машино-годин. Продукція С має виготовлятися обсягом не менш як 9 одиниць.
Ціна одиниці продукції видів А, В, С і D дорівнює відповідно 73, 70, 55 та 45 грн.
Визначити оптимальний план виробництва продукції всіх чотирьох видів, який максимізує загальний прибуток.
Відповідь: Х* = (57; 100; 9; 0; 0; 0; 0),
2.3.2 Фінансові ресурси фірми можуть використовуватися для вкладення у два проекти. За інвестування в проект А гарантується отримання через рік прибутку в розмірі 60 коп. на кожну вкладену гривню, а вкладення в проект В дає змогу отримати дохід у розмірі 2 грн на кожну інвестовану гривню, але через два роки. За фінансування проекту В період інвестування має бути кратним двом. Визначити, як потрібно розпорядитися капіталом у сумі 100 000 грн, щоб максимізувати загальний грошовий дохід, який можна отримати через три роки після початку інвестування.
Відповідь: ,
2.3.3 Продукція фабрики випускається у вигляді паперових рулонів стандартної ширини – 2 м. За спеціальним замовленням споживачів фабрика постачає також рулони інших розмірів, розрізуючи стандартні.
Типові замовлення на рулони нестандартних розмірів наведено в табл. 1.
Таблиця 1 – Замовлення на рулони паперу
|
Замовлення |
Потрібна ширина рулона, м |
Кількість замовлених рулонів |
|
1 |
0,8 |
150 |
|
2 |
1,0 |
200 |
|
3 |
1,2 |
300 |
Необхідно визначити оптимальний варіант розкрою стандартних рулонів, за якого спеціальні замовлення, що надходять, задовольняють повністю з мінімальними відходами паперу.
Відповідь: Х* = (0; 150; 0; 100; 150), min Z = 120.
2.3.4 Розв’язати задачу лінійного програмування
Відповідь: Х* = (0; 3/4; 1), min Z = 9/2.
2.3.5 Розв’язати задачу лінійного програмування
Відповідь: Х* = (57; 100; 9; 0), max Z = 1456.
3.1.1 Знайти розв’язок наступних задач лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:
а)
б)
3.1.2 На виготовлення двох видів продукції (П1 і П2) витрачаються три види ресурсів Наявність ресурсів дорівнює відповідно: 361, 520, 248. Витрати ресурсів на одиницю продукції П1 становлять відповідно:13, 7, 17; на одиницю продукції П2 - 16, 4, 9. Ціна за одиницю продукції дорівнює відповідно: 11, 8. Побудувати модель лінійного програмування початкової й двоїстої задач. Знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільшу виручку. Дати економічне тлумачення розв’язків задач.
3.1.3 Для плану визначити, чи він є оптимальним для наступних задач (застосовуючи теореми двоїстості й не розв’язуючи задачі симплексним методом):
а)
б)
3.1.4 Визначити, чи є оптимальними такі плани сформульованої задачі лінійного програмування:
min Z = 12x1 – 4x2 + 2x3;
а) Х = (8/7; 3/7; 0); б) Х = (0; 1/5; 8/5); в) Х = (1/3; 0; 1/3).
Відповідь: а) ні; б) так, Х* = (0; 1/5; 8/5), min Z = 12/5; в) ні.
3.1.4 Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема випускає дві моделі збірних книжкових полиць: А та В. Полиці обох моделей обробляють на двох верстатах: шліфувальному та полірувальному. Тривалість обробки у хвилинах однієї полиці кожної моделі відома:
|
Тип верстату |
Тривалість обробки однієї полиці, хв. |
|
|
А |
В |
|
|
Шліфувальний |
15 |
40 |
|
Полірувальний |
50 |
30 |
Час роботи обох верстатів обмежений і становить: для шліфувального 600 хв., для полірувального – 900 хв. на тиждень.
Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці обох типів не перевищує 20 одиниць.
Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А становить 300 грн., а моделі В – 400 грн. Визначити обсяги виробництва книжкових полиць різних моделей, що максимізують прибуток фірми.
Необхідно: 1) розв’язати задачу графічним методом; 2) визначити двоїсту оцінку для ресурсу – час роботи шліфувального верстату.
3.1.5 До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїсту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої задачі.
min Z = x1 + 2x2 + 2x3;
Відповідь: min Z = max F = 14/3; Х* = (0; 5/3; 2/3); Y* = (– 2/3; 4/3)
3.2.1
3.2.2 Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування. Визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач. Варіанти завдань
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
15 |
|
16 |
17 |
18 |
|
19 |
20 |
21 |
|
22 |
23 |
24 |
|
25 |
26 |
27 |
|
28 |
29 |
30 |
|
31 |
32 |
33 |
|
34 |
35 |
36 |
|
37 |
38 |
39 |
|
40 |
41 |
42 |
|
43 |
44 |
45 |
|
46 |
47 |
48 |
|
49 |
50 |
51 |
3.2.3 У наведених далі задачах:
а) Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів I, II, III. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в табл.1
Таблиця 1
|
І II III |
18 6 5 |
15 4 3 |
12 8 3 |
360 192 180 |
Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А - 9 ум.од., В -10 ум. од. і С - 16 ум.од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший доход.
Остання симплекс-таблиця даної задачі має такий вигляд (табл.2)
Таблиця 2
|
Базис |
Сб |
А0 |
9 |
10 |
16 |
0 |
0 |
0 |
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|||
|
X2 X3 X6 |
10 16 0 |
8 20 96 |
1 1/4 5/4 |
1 0 0 |
0 1 0 |
1/9 -1/18 –1/6 |
-1/6 5/24 -1/8 |
0 0 1 |
|
400 |
5 |
0 |
0 |
2/9 |
5/3 |
0 |
б) Підприємство виготовляє продукцію видів А, В і С, для чого використовує три види ресурсів І, II, III. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю кожної продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в табл.1.
Таблиця 1
|
Вид ресурсу |
Норма витрат на одиницю продукції за видами |
Запас ресурсу |
||
|
А |
В |
С |
||
|
І II III |
4 3 1 |
2 1 2 |
1 3 5 |
180 210 244 |
Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А - 10 ум.од., В -14 ум.од. і С - 12 ум.од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший доход.
Остання симплекс-таблиця, що містить оптимальний план задачі, має такий вигляд (табл.2)
Таблиця 2
|
Базис |
Сб |
А0 |
9 |
10 |
16 |
0 |
0 |
0 |
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|||
|
X2 X5 X3 |
14 0 12 |
82 80 16 |
19/8 23/8 -3/4 |
1 0 0 |
0 0 1 |
5/8 1/8 -1/4 |
0 1 0 |
-1/8 -5/8 1/4 |
|
1340 |
57/4 |
0 |
0 |
23/4 |
0 |
5/4 |
3.3.1 У наведених нижче задачах виконати такі дії:
1) записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;
2) записати оптимальні плани прямої та двоїстої задач, дати їх економічну інтерпретацію;
3) визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;
4) обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;
5) розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю рентабельної продукції.
а) Підприємство виготовляє три види продукції: А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2, 3. Норми витрат усіх ресурсів на виробництво одиниці продукції та запаси ресурсів наведені в таблиці:
|
Ресурс |
Норма витрат ресурсу на виробництво одиниці продукції виду |
Запас ресурсу |
||
|
А |
В |
С |
||
|
1 |
18 |
15 |
12 |
360 |
|
2 |
6 |
4 |
8 |
192 |
|
3 |
5 |
3 |
3 |
180 |
Відомі ціни реалізації одиниці продукції кожного виду: А — 9 ум. од., В — 10 ум. од. і С — 16 ум. од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший обсяг виручки.
Остання симплекс-таблиця даної задачі має такий вигляд:
|
Базис |
Сбаз |
План |
9 |
10 |
16 |
0 |
0 |
0 |
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
|
х2 |
10 |
8 |
1 |
1 |
0 |
1/9 |
–1/6 |
0 |
|
х3 |
16 |
20 |
1/4 |
0 |
1 |
–1/18 |
5/24 |
0 |
|
х6 |
0 |
96 |
5/4 |
0 |
0 |
–1/6 |
–1/8 |
1 |
|
Zj – cj ≥ 0 |
400 |
5 |
0 |
0 |
2/9 |
5/3 |
0 |
б) Підприємство виготовляє продукцію видів А, В і С, для чого використовує три види ресурсів. Норми витрат цих ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції та обсяги ресурсів, наявних на підприємстві, наведені в таблиці:
|
Ресурс |
Норма витрат ресурсу на виробництво одиниці продукції виду |
Запас |
||
|
А |
В |
С |
||
|
1 |
4 |
2 |
1 |
180 |
|
2 |
3 |
1 |
3 |
210 |
|
3 |
1 |
2 |
5 |
244 |
Відомі ціни реалізації одиниці продукції кожного виду: А — 10 ум. од., В — 14 ум. од. і С — 12 ум. од. Визначити план виробництва, що забезпечує підприємству найбільшу виручку від реалізації продукції.
Остання симплекс-таблиця, що містить оптимальний план задачі, має такий вигляд:
|
Базис |
Сбаз |
План |
10 |
14 |
12 |
0 |
0 |
0 |
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
|||
|
х2 |
14 |
82 |
19/8 |
1 |
0 |
5/8 |
0 |
–1/8 |
|
х5 |
0 |
80 |
23/8 |
0 |
0 |
1/8 |
1 |
–5/8 |
|
х3 |
12 |
16 |
–3/4 |
0 |
1 |
–1/4 |
0 |
1/4 |
|
Zj – cj ≥ 0 |
1340 |
57/4 |
0 |
0 |
23/4 |
0 |
5/4 |
4.1.1 На основі умовно-оптимального плану цілочисельної задачі побудувати допоміжне обмеження Гоморі, приєднати його до умовно-оптимального плану, показаного у наведений нижче таблиці, і знайти цілі значення змінних задачі лінійного програмування.
а)
|
І |
Базис |
Сб |
А0 |
-4 |
1 |
2 |
0 |
3 |
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
||||
|
1 |
Х1 |
-4 |
7/2 |
1 |
-5/2 |
0 |
5/2 |
-3/2 |
|
2 |
Х3 |
2 |
5/2 |
0 |
1/2 |
1 |
31/2 |
11/2 |
|
-9 |
0 |
10 |
0 |
21 |
14 |
б)
|
І |
Базис |
Сб |
А0 |
1 |
-1 |
3 |
4 |
2 |
|
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
||||
|
1 |
Х1 |
1 |
14/3 |
1 |
-2/3 |
0 |
5/3 |
1/3 |
|
2 |
Х3 |
3 |
11/3 |
0 |
1/3 |
1 |
7/3 |
1 |
|
47/3 |
0 |
4/3 |
0 |
14/3 |
11/3 |
4.1.2 Сільськогосподарське підприємство планує відкрити сушильний цех на виробничій площі 190 м2, маючи для цього 100 тис. грн і можливість придбати устаткування двох типів: А і В. Техніко-економічну інформацію стосовно одиниці кожного виду устаткування подано в табл. 1:
Таблиця 1
|
Показник |
Устаткування |
Ресурс |
|
|
А |
В |
||
|
Вартість, тис. грн |
25 |
10 |
100 |
|
Необхідна виробнича площа, м2 |
40 |
20 |
190 |
|
Потужність, тис. грн/рік |
350 |
150 |
— |
Відповідь: ,
4.1.3 Фермеру для удобрення земельної ділянки необхідно придбати 107 кг добрив. Він може купити добрива в упаковках по 35 кг вартістю 14 ум. од. або по 24 кг вартістю 12 ум. од. Метою фермера є закупівля не менше, ніж 107 кг добрив з мінімальними витратами. Причому потрібно купувати або цілу упаковку, або не купувати її зовсім, бо частину упаковки придбати неможливо.
Відповідь: , .
4.1.4 У цеху розрізують прути завдовжки 6 м на заготівки довжиною 1,4, 2 і 2,5 м. Цех обслуговує двох замовників, для кожного з яких окремо необхідно знайти:
як розрізати 200 прутів, щоб отримати не менше як 40, 60 і 50 заготівок завдовжки відповідно 1,4; 2 і 2,5 м. Критерій оптимізації — мінімум відходів;
як розрізати 200 прутів для формування з отриманих заготівок комплектів, що складаються з двох заготівок довжиною 1,4 м, та по одній довжиною 2 і 2,5 м. Критерій оптимізації – максимальна кількість комплектів.
Відповідь:
для першого замовника – , ,
для другого замовника – , .
4.1.5 Фермер планує виробляти три види продукції: озиму пшеницю, цукрові буряки та молоко. Загальні витрати складаються з двох частин: постійних та змінних. Відповідні дані наведені в табл. 1:
Таблиця 1
|
Показник |
Вид продукції |
||
|
озима пшениця |
цукрові буряки |
молоко |
|
|
Постійні витрати, тис. грн |
40 |
70 |
20 |
|
Змінні витрати на одиницю продукції, грн/т |
400 |
150 |
500 |
|
Норма потреби в ріллі, га/т |
0,2 |
0,02 |
0,25 |
|
Ціна одиниці продукції, грн/т |
800 |
300 |
1000 |
Необхідно визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду за умови, що фермер має 100 га ріллі.
Відповідь: .
4.2.1 Розв’язати задачі 4.1.2-4.1.5 методом гілок та меж
4.3.1 Розв’язати задачі 4.1.2-4.1.5 методом вектора спаду
5.1.1 Розв’язати графічним методом задачу нелінійного програмування; знайти глобальні екстремуми:
а)
б)
5.2.1 Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа. Варіанти завдань
|
1 , |
2 , |
3 , |
|
4 , |
5 , |
6 , |
|
7 , |
8 , |
9 , |
|
10 , |
11 , |
12 , |
|
13 , |
14 , |
15 , |
|
16 , |
17 , |
18 , |
|
19 , |
20 , |
21 , |
|
22 , |
23 , |
24 , |
|
25 , |
26 , |
27 , |
|
28 , |
29 , |
30 , |
|
31 , |
32 , . |
33 , |
|
34 , |
35 , |
36 , |
|
37 , |
38 , |
39 , |
|
40 , |
41 , |
42 , |
|
43 , |
44 , |
45 , |
|
46 , |
47 , |
48 , |
|
49 , |
50 , |
51 , |
5.3.3 Користуючись теоремою Куна-Таккера, скласти функцію Лагранжа та записати необхідні і достатні умови існування сідлової точки наступної задачі нелінійного програмування:
5.4.1 Розв’язати задачу опуклого програмування. Варіанти завдань
|
1 Z = -x1-2x2+x22 (min); 3x1 + 2x2 ≤ 6; x1 + 2x2 ≤ 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
2 Z=x21+x22 -6x1 (min); 3x1 + 2x2 = 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
3 Z=3x1+3x2- x21-3x22 (max); 3x1 + x2 = 16; -x1 + 3x2 = 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
4 Z =2x1x2 -x21 -x22 (max); 2x1 - x2 ≤ 6; x1 + 2x2 ≤ 10 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
5 Z=x21+x22-6x1-4x2 (min); x1 + 2x2 ≤ 12; 2x1 + x2 ≤ 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0. |
6 Z=2x1x2 + x1 - x22 (max); x1 + x2 = 8; x1 + x2 = 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
7 Z = (x1+x2+x3)2→min; x1 ≤ 2; x2 ≤ 4; x3 ≤ 6 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0. |
8 Z=x1-x22+2x2-x23 (max); x1 +2x2 - x3 = 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0. |
9 Z=x21+2x22-2x1x2+5x1-6x2 (min); 2x1 + 3x2 ≤ 8; x1 + 3x2 ≤ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
10 Z=2x21+2x22-3x1x2+5x1-6x2 (min); x1 - x2 ≥ 6; 2x1 + x2 ≥ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
11 Z=x21+2x22-2x1x2+5x1-6x2 (min); x1 + 3x2 ≤ 12; x1 + x2 ≤ 6; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
12 Z=4x21+2x22-6x1x2+5x1-3x2 (min); x1 - 2x2 ≥ 6; 5x1 + 3x2 ≥ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
13 Z=x21+2x22-2x1x2+5x1 (min); 2x1 - 3x2 ≤ 15; x1 + 2x2 ≥ 10; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
14 Z = 3x1 +4x2 - x21- x22 (max); x1 + 2x2 ≤ 20; x1 + x2 ≥ 8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
15 Z = x1 +2x2 - x21- x22 (max); x1 + 2x2 ≤ 16; x1 + x2 = 8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
16 Z=5x1+2x2-x21+2x1x2-x22 (max); 2x1 + 3x2 ≤ 15; x1 + 2x2 =8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
17 Z=32x1+120x2-4x21-3x22 (max); 2x1 + 5x2 ≤ 20; 2x1 - x2 =8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
18 Z = x21+ 2x22 -2x1 - 4x2 (min); x1 + 2x2 ≤ 20; x1 + x2 ≥ 8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
19 |
20 |
21 |
|
22 Відповідь: х*=(1;1). |
23 Z=x1+4x2+x1x2-2x21-2x22 (max); x1 + 2x2 ≤ 12; 3x1 + x2 ≤ 15; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Відповідь: х*=(8/15;17/15). |
24 Z=-x21-x22-2x23+2x2+3x3 (max); x1+x2+x3 ≤ 18; x1 +2x3 ≤ 14; x2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 . Відповідь: х*=(0;1;3/4). |
|
25 Z=8x1+2x2+4x3-x21-2x23 (max); 2x1+x2-x3 ≤ 16; 3x2 +4x3 ≤ 20; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 . |
26 Z=32x1+120x2-4x21-15x22 (max); 2x1 + 5x2 =20; 2x1 - x2 =8; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, |
27 Z=-x1-2x2+x22 (min); 3x1 + 2x2 ≤ 6; x1 +2x2 ≤ 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. |
|
28 Z =-2х1+8х2 -x21 -x22 (max); x1 +2 x2 ≤ 12; -x1 + x2 ≥ -8 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Відповідь: х*=(0;4). |
29 Z=x1-x22-2x1x3 (max); x1 + x2 = 8; x2 + x3 = 4; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0. |
30 Z=x1+8x2-x21-x22 (max); Відповідь: х*=(1/2;4). |
5.5.1 Розв’язати градієнтним методом наступну задачу нелінійного програмування, почавши процес з точки :
.
5.5.2 Методом Франка-Вульфа знайти розв’язок задачі, що полягає у визначенні максимального значення функції з допустимою похибкою 0,01
за наступних умов
Вихідний допустимий розв’язок взяти .
Відповідь: х*=(0,99528;0,96321).
5.5.3 Підприємство виробляє два види продукції (А і В) і використовує на виробництво три види ресурсів: І, ІІ, ІІІ. Витрати ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції подано в таблиці
|
Вид ресурсу |
Вид продукції |
Загальний обсяг ресурсу |
|
|
А |
В |
||
|
І |
1 |
3 |
30 |
|
ІІ |
1 |
1 |
15 |
|
ІІІ |
5 |
2 |
60 |
Ціна реалізації одиниці продукції виду А становить 20 ум. од., проте прибуток залежить від витрат на виробництво, які пропорційні квадрату кількості виготовленої продукції. Аналогічно визначається прибуток для продукції виду В, ціна реалізації якої дорівнює 18 ум. од.
Відповідь: х*=(8; 7).
5.5.4 На виробництво трьох видів продукції (A; B; C) використовують матеріальні, трудові та фінансові ресурси. Норми витрат цих ресурсів на одиницю продукції, їх запаси, а також формули визначення прибутку від реалізації одиниці продукції, що залежать від обсягів виробництва, наведено в таблиці
|
Вид ресурсу, |
Продукція |
Запас ресурсу |
||
|
А |
В |
С |
||
|
Матеріальні |
4 |
5 |
7 |
100 |
|
Трудові |
3 |
6 |
8 |
120 |
|
Фінансові |
2 |
1 |
4 |
75 |
|
Прибуток |
– |
|||
|
Обсяг виробництва |
– |
Передбачаючи, що попит на продукцію видів В і С відомий і становить 12 і 8 од., а ресурси необхідно використати повністю, визначте оптимальний план виробництва продукції кожного виду. Розрахуйте оцінки ресурсів і здійсніть економічний аналіз оптимального плану.
6.1.1 Виробнича система складається з чотирьох філіалів. За умови здійснення реконструкції обладнання на кожному філіалі можна досягти певного приросту прибутку. Фірма виділяє на додаткові капітальні вкладення 200 тис. ум. од. (для спрощення розрахунків допустимо, що додаткові вкладення будуть здійснені в обсягах 50, 100, 150 та 200 тис. ум. од.).
Необхідно визначити оптимальний розподіл коштів між філіалами для максимізації загального прибутку від усіх чотирьох філіалів за умови, що відомі прирости прибутку для кожного з них (табл.):
|
Капіталовкладення, |
Приріст прибутку в філіалах, тис. ум. од. |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
50 |
25 |
30 |
36 |
28 |
|
100 |
60 |
70 |
64 |
56 |
|
150 |
100 |
90 |
95 |
110 |
|
200 |
140 |
122 |
130 |
142 |
Відповідь: тис. ум. од.)
6.1.2 Фірма планує нарощувати виробничі потужності на чотирьох підприємствах, маючи для цього 4 млн грн. Для кожного підприємства розроблено інвестиційні проекти, які відображають прогнозовані загальні витрати С (обсяги капіталовкладень) та доходи D, пов’язані з реалізацією кожного проекту. Ці показники наведені в таблиці
|
Проект |
Підприємство |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
2 |
5 |
2 |
6 |
3 |
9 |
2 |
8 |
|
4 |
3 |
7 |
3 |
8 |
4 |
12 |
3 |
5 |
Перший проект не передбачає розширення виробництва, а тому має нульові витрати і доходи. Необхідно розробити план інвестування виділених коштів у зазначені підприємства так, щоб одержати максимальний прибуток.
Відповідь: , k2 = 1, k3 = 0, k4 = 2; х=15 млн грн..
6.1.3 Підприємство розробляє стратегію поповнення запасів деякої продукції для заданого періоду, який складається з N етапів (підперіодів). Для кожного з них відомий обсяг попиту, причому він не є однаковим для всіх етапів. Щоб задовольнити попит, підприємство може придбати необхідну кількість продукції, замовивши її у виробника, або виготовити її самостійно. Передбачається, що запаси поповнюються миттєво, запізнення поставки та дефіцит недопустимі. Залежно від ринкової кон’юнктури підприємству може бути вигідно створювати запаси продукції для задоволення попиту в майбутньому, що пов’язано, проте, з додатковими витратами на зберігання запасів.
Потрібно розробити програму управління запасами підприємства, тобто визначити обсяги замовлення й період його розміщення, щоб загальні витрати на постачання та зберігання продукції були мінімальними, а попит задовольнявся повністю й своєчасно.
Дані задачі подано в таблиці:
|
Період |
Обсяг попиту |
Витрати |
Витрати |
|
1 |
4 |
7 |
2 |
|
2 |
5 |
8 |
3 |
|
3 |
3 |
6 |
1 |
|
4 |
2 |
9 |
0 |
Відомо, що на початку планового періоду запас становить 2 тис. од., а під час купівлі продукції діє система оптових знижок. Витрати на придбання 1 тис. од. продукції становлять 15 тис. грн, а коли розмір замовлення перевищує 3 тис. од., то витрати знижуються на 12 % і становлять 12 тис. грн.
6.1.4. Фірма планує нарощування виробничих потужностей на трьох підприємствах, для чого виділяються кошти обсягом 18 млн гривень. Для кожного підприємства розроблено інвестиційні проекти, які містять обсяги загальних витрат (інвестицій) та прибутків, що пов’язані з реалізацією кожного проекту.
|
Інвестиційний проект |
Підприємство 1 |
Підприємство 2 |
Підприємство 3 |
|||
|
інвестиції, |
прибуток, |
інвестиції, |
прибуток, |
інвестиції, |
прибуток, |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
2 |
6 |
6 |
12 |
7 |
9 |
|
3 |
4 |
8 |
7 |
14 |
8 |
10 |
|
4 |
5 |
11 |
9 |
18 |
10 |
14 |
6.1.5 На підприємстві встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу користування ним підприємством, а також залежність витрат на його утримання та ремонт при різному часі його використання наведені в таблиці.
|
Показник |
Час, протягом якого використовується обладнання |
|||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
Річний випуск продукції у вартісному вираженні (тис. грн) |
80 |
75 |
65 |
60 |
60 |
55 |
|
Щорічні витрати, пов’язані з утриманням та ремонтом обладнання (тис. грн) |
20 |
25 |
30 |
35 |
45 |
55 |
Знаючи, що витрати, які пов’язані з купівлею та установкою нового обладнання, ідентичного з встановленим, складають 40 тис. грн., а обладнання, що замінюється, списується, скласти такий план заміни обладнання протягом 5 років, при якому загальний прибуток за даний період часу максимальний.
Відповідь: провести заміну обладнання на 3 році використання.
6.1.6 На підприємстві встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу користування ним підприємством, а також залежність витрат на його утримання та ремонт при різному часі його використання наведені в таблиці.
|
Показник |
Час, протягом якого використовується обладнання |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Річний випуск продукції у вартісному вираженні (тис. грн) |
25 |
24 |
24 |
23 |
23 |
23 |
22 |
22 |
21 |
20 |
|
Щорічні витрати, пов’язані з утриманням та ремонтом обладнання (тис. грн) |
15 |
15 |
16 |
16 |
17 |
17 |
18 |
18 |
19 |
19 |
Знаючи, що витрати, які пов’язані з купівлею та установкою нового обладнання, ідентичного з встановленим, складають 10 тис. грн., а обладнання, що замінюється, списується, скласти такий план заміни обладнання протягом 9 років, при якому загальний прибуток за даний період часу максимальний.
Відповідь: провести заміну обладнання на початку 3 та 6 років використання.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
Таблиця 1 – Перелік рекомендованої літератури
|
№ пор. |
Бібліографічний опис |
Кількість примірників |
УДК бібліотеки |
|
Основна література |
|||
|
Вітлінський, В. В. Математичне програмування [Текст] : навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. / В. В. Вітлінський, С. І. Наконечний, Т. О. Терещенко; [2-е вид., без змін]. – К. : КНЕУ, 2001. – 248 c. ISBN 966–574–263–9 |
519.85 В54 |
||
|
Клебанова, Т. С. Економіко-математичне моделювання [Текст] : Навчальний посібник / Т. С. Клебанова, О. В. Раєвнева, С. В. Прокопович, С. О. Степуріна, Р. М. Яценко, І. М. Чуйко. – Х. : ВД «ІНЖЕК», 2010. – 352 с. ISBN 978-966-392-254-6 |
5 |
330.4 (075.8) Е40 |
|
|
Наконечний, С. І. Математичне програмування [Текст] : Навч. посіб. / С. І. Наконечний, С. С. Савіна – К. : КНЕУ, 2003. – 452 с. ISBN 966–574–538–7 |
– |
||
|
Сборник задач по курсу "Экономико-математическое моделирование" [Text] : учебное пособие / В. П. Невежин, С. И. Кружилов ; Финансовая академия при правительстве РФ. - М. : Городец, 2005. - 320 с. - ISBN 5-9584-0080-0 |
330.45 (076.1) |
||
|
Додаткова література |
|||
|
Алесинская, Т. В. Учебно-методическое пособие по курсу «Экономико-математические методы и модели. Линейное программирование» [Текст] / Т. В. Алесинская, В. Д. Сербин, А. В. Катаев. – Таганрог : Изд-во ТРТУ, 2001. – 79 с. |
|||
|
Бугір, М. К. Посібник по розв`язуванню задач з математичного програмування [Текст] : Навч. посiбник / М. К. Бугір, Ф. П. Якімов, 1997. – 208 c. |
|||
|
Конюховский, П. В. Математические методы исследования операций в экономике [Текст] : Учебное пособие. / П. В. Конюховский. – СПб. : Питер, 2000. – 208 c. ISBN 5-8046-0190-3 |
|||
|
Кузнецов, А. В. Высшая математика: Математическое программирование [Текст] : учебник / А. В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – Мн. : Выш. шк., 1994. – 284 с. ISBN 5-339-00961-0 |
|||
|
Курицкий, Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Ехсеl 7.0. [Текст] / Б. Я. Курицкий. – СПб. : ВНV, 1997. – 384 с. |