Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 11
5. Точечные группы (классы) симметрии кристаллов
5.1. Понятие о точечной группе (классе) симметрии
Пусть имеется множество G однотипных (т. е. имеющих общие характерные признаки) элементов
G={g1 , g2 , ... , gk ,... } . (5.1)
Элементами множества G могут быть различные математические объекты: числа, матрицы, преобразования пространства, операторы и т.д.
Для каждой упорядоченной пары из этого множества ставится в соответствие по некоторому правилу единственный элемент из этого же множества G. Операция называется «умножением» и обозначается знаком «*». Смысл термина «умножение» должен быть объяснен в каждом конкретном случае и может не иметь ничего общего с обычным умножением.
Так, если элементы gi и gk принадлежат множеству G () , то и поставленный им в соответствие элемент gm также принадлежит множеству G , т. е.
, (5.2)
При этом обычно говорят, что множество G замкнуто относительно заданной операции умножения.
Рассмотрим пример определения операции «умножения» для вращения правильного треугольника против часовой стрелки вокруг оси, проходящей через его центр О (рис.5.1).
|
Рис. 5.1. К определению операции «умножения» при вращении правильного треугольника |
Будем считать два поворота совпадающими, если они отличаются друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на целочисленное кратное 360о), так как поворот на целочисленное кратное 360о ставит каждую вершину на ее первоначальное место (нулевой поворот). Очевидно, что из всех возможных поворотов треугольника лишь три поворота переводят треугольник в себя, а именно: повороты на 120о, 240о и нулевой поворот. Первый поворот переводит вершину А в вершину В, вершину В в вершину С, вершину С в вершину А (перемещает вершины в циклическом порядке А, В, С). Второй поворот перемещает А в С, В в А, С в В (перемешает в циклическом порядке А, С, В).
Теперь введем определение для умножения операций поворота. Умножить два поворота – это значит последовательно произвести их один за другим. Таким образом, поворот на 120о, умноженный с самим собой, дает поворот на 240о, умноженный с поворотом на 240о дает поворот на 360о, т.е. нулевой поворот. Два поворота на 240о дают поворот на 480о = 360о + 120о, т.е. их произведение есть поворот на 120о.
Если нулевой поворот обозначить ао, поворот на 120о через а1, поворот на 240о через а2, то получим следующие соотношения:
, ,
, , (5.3)
, .
Множество G называется группой, если для его элементов умножения выполняются следующие условия:
1. Умножение ассоциативно, т. е.
. (5.4)
2. Среди элементов gi множества G есть элемент такой, что
. (5.5)
Элемент е называется единичным (тождественным, нейтральным) элементом группы G.
3. Для каждого элемента gi можно найти элемент, обозначаемый обычно через , принадлежащий тому же множеству G , такой, что
. (5.6)
Элемент называется элементом, обратным элементу gi.
Перечисленные свойства множества G , определяющие его как группу, называются групповыми аксиомами.
Покажем, что совокупность всех симметрических преобразований любой пространственной фигуры образует группу в математическом смысле. Для того чтобы множество операций симметрии образовывало группу, должны выполняться следующие законы:
1. Произведение двух симметрических преобразований пространственной фигуры является симметричным преобразованием той же фигуры.
2. Справедлив сочетательный закон — в тройном произведении симметрические преобразования можно менять местами.
3. Существует единичное симметрическое преобразование, такое, что произведение его на любое симметрическое преобразование данной пространственной фигуры равно этому симметрическому преобразованию.
4. Для каждого симметрического преобразования пространственной фигуры существует обратное симметрическое преобразование, такое, что их произведение равно единичному преобразованию.
Возьмем для простоты пространственную геометрическую фигуру — прямоугольную пирамиду (рис. 5.2) и проверим на ней, подчиняются ли ее симметрические преобразования групповым законам.
|
Рис. 5.2. Симметрические преобразования группы mm2, иллюстрирующие выполнение групповых законов (прямоугольная пирамида, спроецированная на плоскость рисунка) |
Симметрия этой фигуры характеризуется следующими преобразованиями: отождествлением, поворотом на 180° и двумя отражениями в плоскостях mI и mII. Для удобства пронумеруем углы пирамиды, как показано выше.
Проверим первый признак группы и произведем последовательно две операции: поворот на 180° и отражение в плоскости mI. Произведение этих двух операций эквивалентно отражению в плоскости mII, а это симметрическое преобразование принадлежит к той же группе.
Одним из способов описания конечной группы является ее представление в виде таблицы умножения (таблица или квадрат Кейли). Чтобы получить квадрат Кейли для группы, строят квадратную таблицу, в первой строке и первом столбце которой записываются все элементы группового множества. На пересечении каждой строки и столбца записывается элемент группы, являющийся результатом умножения соответствующих элементов, находящихся в первой строке и первом столбце. Для вышеприведенной группы mm2 таблица Кейли (5.7) выглядит следующим образом:
|
е 2 mI mII е е 2 mI mII 2 2 е mII mI mI mI mII е 2 mII mII mI 2 е |
(5.7) |
Таблица Кейли обладает рядом важных свойств:
1. Ни в одной строке (или столбце) не содержится повторяющихся элементов.
2. Любая из строк является некоторой перестановкой верхней строки.
3. Нейтральный элемент расположен симметрично относительно главной диагонали.
Легко проверить и другие законы группового действия. За единичный элемент группы симметрических преобразований можно выбрать любой из них, а за обратный элемент — любое симметрическое преобразование в обратном направлении.
Итак, симметрические преобразования пространственных фигур образуют группы. Эти группы называют точечными - группами симметрии, потому что при всех преобразованиях остается неподвижной одна точка в начале координат.
Число различных операций симметрии (количество элементов группы), входящих в группу, называется порядком группы. Например, для группы 6 число операции симметрии равно 6: 1, , , , , или в условных обозначениях 61, , , , , ; для группы 2/m – 4: 1, 2z, mz, или 2/m1, 2z, mz, и т.д. Группа называется конечной, если число ее элементов конечно.
Структура группы определяется заданием результата «умножения» каждой упорядоченной пары элементов либо путем перечисления, либо же путем указания функционального закона, без какой бы то ни было конкретизации природы элементов.
В общем случае элементы группы могут не коммутировать, например, , поэтому порядок записи произведения должен быть четко определен. Из аксиом группы видно, что единичный элемент 1 коммутирует со всеми элементами группы.
В том случае, когда элементы группы коммутируют, группа называется абелевой; в этом случае таблица Кейли должна быть симметричной относительно главной диагонали. Например, группы mm2, 222, 2/m являются абелевыми:
|
mm2 1 mx my 2z 1 1 mx my 2z mx mx 1 2z my my my 2z 1 mx 2z 2z my mx 1 |
222 1 2x 2y 2z 1 1 2x 2y 2z 2x 2x 1 2z 2y 2y 2y 2z 1 2x 2z 2z 2y 2x 1 |
2/m 1 2y my 1 1 2y my 2y 2y 1 my my my 1 2y my 2y 1 |
Если все элементы группы могут быть получены как степени единственного элемента (например, для группы 6: , , , , ), то такая группа называется циклической.
Элемент группы или несколько элементов (если группа не циклическая), при помощи которых можно путем умножения получить все элементы группы, называются производящими элементами или генераторами.
Когда порядок группы велик, задание ее свойств при помощи таблицы Кейли оказывается слишком громоздким, и в этом случае более целесообразно описывать структуру при помощи множества производящих элементов (генераторов) и множества определяющих соотношений, которые показывают, как получить нейтральный элемент из генераторов и их произведений. Например, для группы 222 генераторами являются 2z, 2x; для группы mmm – 2z, 2x, .
В некоторых случаях, часть операций, входящих в группу, сама по себе составляет группу (меньшего порядка, чем исходная). Эта группа по отношению к исходной называется подгруппой, исходная по отношению к ней – надгруппой. Так у группы 2/m три подгруппы: 2{1, 2y}, m{1, my} и {, 1}; у группы 32 – четыре: 3{1, 3z, }, 2{1, 2x}, 2{1, 2y}, 2{1, 2z}.
Тот факт, что группа - подгруппа группы 2/m, обозначается . Группа 1, состоящая из единственной операции 1, - подгруппа любой группы, поэтому ее часто называют тривиальной подгруппой и опускают при перечислении подгрупп.
Отношение порядка группы к порядку подгруппы называется индексом подгруппы; так по отношению к группе 32 группа 3 оказывается подгруппой индекса 2, а группа 2 – подгруппой индекса 3; по отношению к группе 2/m группы 2, m и - подгруппы индекса 2.
Точечные группы, кроме свойств, перечисленных в аксиомах, могут иметь многие другие свойства: могут быть центросимметричными и ацентричными, голоэдрическими и мероэдрическими и т.д.
Кристаллографически различные точечные группы могут быть абстрактно одинаковыми, т.е. иметь одинаковые таблицы умножения. Такие точечные группы называются изоморфными. Всем кристаллографически различным, но изоморфным между собой группам соответствует одна и та же абстрактная группа; например, коммутативные группы 2/m, 222 и mm2.
5.2. Правила записи точечных групп симметрии
Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) симметрии применяются символы, основанные на теоремах об умножении операций симметрии. Существуют несколько систем обозначений точечных групп: международная система (Германа-Могена), Шенфлиса, Бравэ.
В международной системе обозначений Германа-Могена сначала записывают число, обозначающее порядок главной оси симметрии n (1, 2, 3, 4, 6), затем пишут символы т или 2 столько раз, сколько плоскостей или осей 2 существует наряду с главной осью симметрии. Если плоскость симметрии перпендикулярна главной оси, то перед ее символом т ставят косую черту, если она параллельна, то черту не ставят, или записывают в виде дроби. Символом обозначают инверсионно-поворотную ось.
Например, запись nm обозначает группу с одной осью n-го порядка и n плоскостей симметрии, прохо дящих вдоль нее; или п/т – группу, которой отвечает ось симметрии n-гo порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии; п2 - группу с осью симметрии п-го порядка и п осями 2-го порядка, ей перпендикулярных; или п/тт — группу с осью симметрии n-го порядка и плоскостями т, параллельными и перпендикулярными ей (п и могут иметь значения 1, 2, 3, 4, 6).
В системе Германа-Могена обозначений элементов симметрии указывается минимальное число элементов, достаточное для определения точечной группы симметрии – пишутся только порождающие элементы симметрии – плоскости или оси. Максимальное число позиций в обозначении группы – 3, каждая из них занята неэквивалентными особыми элементами.
При записи или чтении международ ного символа необходимо соб людать правила кристаллографичес кой установки и порядок записи: смысл цифры или буквы, обозначающей элемент симметрии, зависит от того, на какой позиции в символе она постав лена. Правила записи международных символов точечных групп и правила кристаллографической установки све дены в табл. 5.1.
В международной символике разли чают «координатные» элементы сим метрии, проходящие вдоль коорди натных плоскостей, и «диагональ ные» - по биссектрисам углов между ними.
В низшей категории элементы симметрии расположены следующим образом: особое направление по оси X – на 1-м месте, особое направление по оси Y – на 2-м месте, особое направление по оси Z – на 3-м месте (табл.5.1).
Таблица 5.1
Правила записи международного символа точечной группы
|
Сингония |
Позиция в символе |
Пример записи |
|||
|
1-я |
2-я |
3-я |
Полное |
Краткое |
|
|
Триклинная |
Один символ, соответствующий любому направлению в кристалле |
||||
|
Моноклинная |
Единственная ось 2׀׀Y или плоскость mY или |
||||
|
Ромбическая |
Ось 2 или плоскость m вдоль X |
Ось 2 или плоскость m вдоль Y |
Ось 2 или плоскость m вдоль Z |
||
|
Тригональная* |
Ось 3 или׀׀Z |
Ось 2 ׀׀ X, Y или плоскость m X, Y |
3 m |
3 m |
|
|
Гексагональная |
Ось 6 или׀׀Z или 6 ׀׀Z и m Z |
Ось 2 ׀׀ X, Y или плоскость m X, Y |
Ось 2 ׀׀ диагональ ному направлению или плоско сть m ей |
||
|
Тетрагональная |
Ось 4 или׀׀Z или 4 ׀׀Z и m Z |
Ось 2 ׀׀ X, Y или плоскость m X, Y |
Ось 2 ׀׀ диагональ ному направлению или плоско сть m ей |
||
|
Кубическая |
Ось 4 или׀׀X,Y,Z или m X,Y,Z |
Ось 3 или под углом 45о по отношению к осям X,Y,Z |
Ось 2 ׀׀ диагональ ному направлению или плоско сть m ей |
* В ромбоэдрической установке основная ось 3 расположена вдоль [111], оси 2 или плос кости m вдоль трех направлений и трех .
В моноклинной сингонии одно особое направление, поэтому бу дет занята одна позиция. Чтобы показать, как ориентирован кристалл, по двум другим позициям следует расположить оси первого порядка 1.
В триклинной сингонии нет особых направлений, в обозначении группы один символ: поворотная или инверсионная ось первого порядка.
В группах средней категории на первом месте располагается символ, обозначающий особое направление – ось высшего порядка: 3, 4, 6; на втором – побочное координатное направление, совпадающее с осями X и Y; на третьем – особое направление, образующее с побочными координатными направлениями угол α /2 , где α –
элементарный угол поворота главной оси.
В группах высшей категории обязательно наличие четырех осей 3-го порядка и символ этих осей 3 записывается на второй позиции, на первой указывается символ особых координатных направлений, на третьей – символ особых диагональных направлений.
В символике Бравэ приняты следующие обозначе ния: плоскость симметрии Р, центр симметрии С, оси симметрии L1, L2, L3, L4, L6, инверсионные оси симметрии , , , , или , , , , .
В формуле класса симметрии выписы ваются подряд все элементы симметрии — сначала оси, начиная с высших порядков, затем плоскости, затем центр. Так, например, символ L67PC означает: одна ось L6, 7 плоскостей симметрии, центр симметрии. По теореме 4 вдоль оси L6 может проходить лишь шесть плоскостей, значит, седьмая плоскость симметрии должна отли чаться по расположению от остальных шести; наличие центра сим метрии С () показывает согласно теореме 2, что эта плоскость перпендикулярна к оси L6 (6). Аналогично читаются остальные фор мулы симметрии.
Наглядная и простая символика Браве не является общепринятой в связи с тем, что она громоздка, не привязана к системе координат, не описывает всех особенностей симметричных преобразований (правые или левые повороты и др.)
В символике Шенфлиса применяются следующие обозначения: Сп — одна ось симметрии порядка n; Dn — одна ось симметрии порядка п и п осей 2, перпендикулярных к ней. Единственная ось всегда считается вертикальной, т. е. осью Z. Если осей несколько, то вертикальной считается ось высшего порядка.
Индексы v, h и d обозначают плоскости симметрии, добавленные к вертикальной оси, соответственно: v — вертикальные, h — горизонтальные, d— диагональные. Если имеются оба типа плоскостей, в символ вставля ются только координатные.
Буква Т означает совокупность осей симметрии кубического тетраэдра, О — совокупность осей симмет рии кубического октаэдра.
Таким образом, Сп — одна вертикальная полярная ось порядка n, Cnv — одна вертикальная полярная ось порядка п и п плоско стей симметрии, проходящих вдоль нее, Спh — одна ось п и пло скость симметрии, перпендикулярная к ней, Dn — одна вертикаль ная ось порядка п и п осей 2, перпендикулярных к ней, Dnh — одна вертикальная ось порядка n, плоскость симметрии к ней перпен дикулярная и п осей симметрии 2, а также те плоскости симметрии, которые порождаются при пересечении этих элементов, например, D4h = 4/mmm; Sn — одна вертикальная зеркально-поворотная ось порядка п (иногда применяют знак Cni, где i — знак инверсионной оси: S (S(1)) = , S2 = Сi = , S3 = C3h = , S4 = , S6 = C3i=), – одна вертикальная инверсионная ось порядка п; V = D2 - сочетание трех взаимно перпендикулярных осей второго порядка, Vh = D2h – три взаимно перпендикулярные, оси 2 и плоскости, перпендикулярные к каждой из этих осей; Vd = D2d – три взаимно перпендикулярные оси 2 и диагональные плоскости; Т – оси сим метрии тетраэдра, Тd — оси симметрии тетраэдра и диагональные плоскости, Тh — оси симметрии тетраэдра и координатные плоско сти; О — оси симметрии октаэдра, Oh — оси симметрии октаэдра и координатные плоскости.
5.3. Вывод точечных групп симметрии
Установлено, что возможны 32 комбинации различных группировок элементов симметрии или 32 кристаллографических класса или вида симметрии. Данные 32 класса симметрии были сначала выведены математическим путем в 1830 году И.Гесселем, а затем независимо от него в 1867 году русским академиком А.В.Гадолиным.
Для вывода 32 классов симметрии необходимо рассмотреть все возможные сочетания кристаллографических элементов симметрии, пересекающихся в одной точке. Для этого выбирается исходный порождающий элемент симметрии и к нему добавляются поочередно все остальные элементы симметрии в качестве порождающих.
Рассмотрим кристаллы, имеющие особенные направления т.е., относящиеся к низшей и средней категориям. Выберем в качестве порождающего элемента симметрии ось симметрии, проходящую вдоль особенного направления, и будем добавлять к ней другие элементы симметрии (рис.5.3).
Плоскости симметрии могут проходить лишь вдоль выбранной оси или перпендикулярно к ней, так как при другом расположении ось симметрии, отразившись в плоскости симметрии, повторится, т.е. не будет единственной. По этой же причине оси 2 могут быть только перпендикулярны к выбранной оси. Центр симметрии может располагаться только на выбранной оси. Поэтому никаких сочетаний, кроме представленных на рис.5.3 в кристаллах низшей и средней категорий быть не может.
|
а) |
б) |
в) |
|
г) |
д) |
е) |
|
Рис. 5.3. Порождающие комбинации элементов симметрии в средней и низшей категории |
Примем за начальную порождающую комбинацию простую ось симметрии (рис.5.3, а), получаем 5 примитивных классов симметрии:
|
Символика |
Браве |
L1 |
L2 |
L3 |
L4 |
L6 |
|
Шенфлиса |
С1 |
С2 |
С3 |
С4 |
С6 |
|
|
Германа-Могена |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
|
|
Стереографическая проекция |
К оси симметрии добавляем центр симметрии (рис.5.3, б). В случае осей четного порядка это приводит к формированию плоскости симметрии, перпендикулярной оси. В случае оси нечетного порядка эквивалентно действию инверсионной оси. При этом получаем 5 центральных классов симметрии:
|
Символика |
Браве |
C |
L2PC |
L3C |
L4PC |
L6PC |
|
Шенфлиса |
Сi |
С2h |
С3i |
С4h |
С6h |
|
|
Германа-Могена |
||||||
|
Стереографическая проекция |
Комбинируя поворотную ось и перпендикулярную к ней ось симметрии 2-го порядка (рис.5.2, г) получаем 5 аксиальных классов:
|
Символика |
Браве |
L2 |
3L2 |
L33L2 |
L44L2 |
L66L2 |
|
Шенфлиса |
С2 |
D2 |
D3 |
D4 |
D6 |
|
|
Германа-Могена |
2 |
32 |
422 |
622 |
||
|
Стереографическая проекция |
Добавляя к порождающей оси симметрии проходящую через нее плоскость симметрии (рис.5.3, в), получаем 5 планальных класса:
|
Символика |
Браве |
Р |
L22Р |
L33Р |
L44Р |
L66Р |
|
Шенфлиса |
Сs |
C2v |
C3v |
C4v |
C6v |
|
|
Германа-Могена |
m |
mm2 |
3m |
4mm |
6mm |
|
|
Стереографическая проекция |
Если к порождающей оси симметрии добавить центр, ось 2 и продольную плоскость (рис.5.3, е), то получим 5 планаксиальных класса:
|
Символика |
Браве |
L22РС |
3L23РС |
L33L23РС |
L44L25РС |
L66L27РC |
|
Шенфлиса |
С2h |
D2h=Vh |
D3d |
D4h |
D6h |
|
|
Германа-Могена |
2/m |
mmm |
4/mmm |
6/mmm |
||
|
Стереографическая проекция |
Совмещая единичное направление с осью инверсии, получаем 5 инверсионно-примитивных класса:
|
Символика |
Браве |
С |
Р |
L3С |
L4i |
L3Р |
|
Шенфлиса |
Сi=S2 |
Cs=C1h |
C3i=S6 |
S4 |
C3h |
|
|
Германа-Могена |
||||||
|
Стереографическая проекция |
Если к порождающей инверсионной оси добавить плоскости симметрии, проходящие вдоль оси, то получаем 4 инверсионно-планальных класса:
|
Символика |
Браве |
3L23РC |
L33L23РС |
L42L22Р |
L33 L24Р |
|
|
Шенфлиса |
D2h=Vh |
D3d |
D2d |
D3h |
||
|
Германа-Могена |
mmm |
|||||
|
Стереографическая проекция |
Примечание (см. ссылку)1
Добавление других элементов симметрии приводит к одной из уже имеющихся комбинаций. Таким образом, у кристаллических многогранников, обладающих единичным направлением, имеется всего 27 классов симметрии.
В кристаллах высшей категории нет особенных направлений и может быть несколько осей симметрии порядка более 2, пересекающихся в одной точке. Можно показать, что в этих кристаллах возможны два сочетания осей симметрии: 4, 3, 2 и 3, 3, 2, которые соответствуют осям симметрии октаэдра (или куба) и осям симметрии тетраэдра (рис.5.4).
|
а) |
б) |
|
Рис. 5.4. Возможные сочетания осей симметрии в кристаллах высшей категории: а – октаэдра или куба; б – тетраэдра |
Соответственно получаем два класса симметрии кубической сингонии: примитивный (оси симметрии тетраэдра), аксиальный (оси симметрии тетраэдра или куба).
|
Класс симметрии |
Примитивный |
Центральный |
Аксиальный |
Планальный |
Планаксиальный |
|
|
Символика |
Браве |
4L33L2 |
4L33L23РС |
3L44L36L2 |
3L44L36Р |
3L44L36L2 9РС |
|
Шенфлиса |
Т |
Тh |
О |
Тd |
Oh |
|
|
Германа-Могена |
23 |
m3 |
432 |
m3m |
||
|
Стереографическая проекция |
Добавляя к системе осей группы тетраэдра центр симметрии, получаем центральный класс симметрии.
Добавляя к системе осей группы тетраэдра плоскости симметрии, проходящие через одну ось симметрии 2-го порядка и две оси 3-го порядка, получим планальный класс.
Аксиальный класс получаем, добавляя к системе осей группы тетраэдра оси симметрии 2-го порядка, перпендикулярные осям симметрии 3-го порядка, при этом ранее существовавшие оси 2-го порядка становятся осями симметрии 4-го порядка.
Планаксиальный класс получаем, добавляя к системе осей группы октаэдра центр симметрии.
5.4. Укрупненные группировки кристаллов
Кроме деления на сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным объединениям в зависимости от характерных элементов симметрии.
1. Наличие или отсутствие центра симметрии. В центральных и планаксиальных классах не может быть полярных направлений, поэтому не может быть свойств, характеризуемых полярной симметрией; остальные 21 класс – ацентрические.
2. Энантиоморфизм. Кристаллы, принадлежащие к классам, в которых есть только поворотные оси симметрии, но нет инверсионных осей, поперечных плоскостей и центра симметрии, могут иметь правые и левые разновидности. Энантиоморфными являются примитивные и аксиальные классы.
3. Лауэвские классы симметрии. Согласно закону Фриделя, или закону центросимметричности дифракционного эффекта, из-за симметрии отражения рентгеновских лучей дифракционная симметрия кристалла выше, чем его точечная симметрия. Она отвечает точечной группе плюс центр инверсии и плюс элементы симметрии, порождаемые из-за добавления центра инверсии.
5.5. Предельные группы симметрии (группы Кюри)
В отличие от числа точечных групп симметрии, описывающих кристаллические вещества, число точечных групп симметрии, которыми могут описываться конечные физические системы, бесконечно. Среди этого множества групп большое значение, наряду с кристаллографическими, имеют группы, содержащие оси симметрии бесконечного порядка. Такая симметрия характерна для физических полей, тел вращения и некоторых физических свойств кристаллов.
Точечные группы, содержащие оси симметрии бесконечного порядка, называются предельными группами симметрии, или группами Кюри. Кюри показал, что имеется 7 предельных точечных групп. Симмет рия каждой из них наглядно изобра жается соответствующей геометричес кой фигурой (рис. 5.5).
|
а) |
б) |
в) |
г) |
||
|
д) |
е) |
ж) |
|||
|
Рис. 5.5. Геометрические фигуры, символизирующие группы симметрии П.Кюри: а) ∞, правая и левая; б) ∞m; в) ∞/m; г) ∞2, правая и левая; д) ∞/mтт; е) ∞∞, правая и левая; ж) ∞/∞m |
1. Группа ∞ содержит только од ну ось симметрии бесконечного по ряд ка. Ей соответствует равномерно вра щающийся круговой конус. Группа по лярна и энантиоморфна, потому что конус может вращаться вправо и вле во. Очевидно, группа ∞ является пре дельной для кристаллографических групп 6, 4, 3, 2, 1.
2. Группа ∞m, т. е. имеется ось симметрии бесконечного порядка и беско нечное число продольных плоскостей симметрии. Ее символизирует покоя щийся круговой конус. Группа полярна, но не энантиоморфна. Такова симметрия однородного электрическо го поля: вектор его напряженности Е можно изобразить полярной стрелкой (рис. 5.6, а), положительный и отрица тельный заряды физически различны, поэтому концы стрелки несовмес тимы, нет и не может быть поперечных элементов симметрии. Вдоль стрелки проходит бесконечное число продольных плоскостей симметрии.
|
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
|
Рис. 5.6. Графическое пояснение понятий полярности и аксиальности направлений: а — полярное; б — аксиальное; в, г — биаксиальные; д, е — биполярные |
3. Группа ∞/т, т. е. имеются ось бесконечного порядка, поперечная плос кость симметрии и центр инверсии. Это симметрия вращающегося цилиндра. Торцы цилиндра неодинаковы.
Их можно различить, глядя на цилиндр с торца: с одной стороны мы видим, что вращение совершается по часовой стрелке, с другой — против часовой стрелки. Однако ось симметрии здесь не полярна: оба ее конца можно совместить друг с другом путем отражения в поперечной плоскости сим метрии.
Цилиндр, вращающийся вправо, можно совместить с цилиндром, вра щающимся влево, отражая его в име ющемся центре инверсии или просто перевернув и наложив один на дру гой, без отражения. Поэтому в этой группе нет энантиоморфных форм.
4. Группа ∞2 содержит ось симмет рии бесконечного порядка и бес конеч ное число поперечных осей 2 и может быть представлена цилиндром, концы которого закручены в разные стороны. В этой группе возможен энан тиоморфизм.
Такая симметрия характерна для удельного вращения плоско сти поля ризации в анизотропной среде: неза висимо от того, как смотреть на ци линдр, снизу или сверху, правое вра щение оста ется правым, левое — ле вым.
7. Последняя, седьмая, группа ∞/∞т включает в себя беско нечное множество осей симметрии бес конечного порядка, без плоскостей и центра симметрии. Изображают ее своеоб разным шаром (рис. 5.5, ж), у кото рого все диаметры за кручены по пра вому или левому винту соответствен но правой или левой энантиоморфной формам. Такова симметрия удельного вращения плоскости поляриза ции в изотропной среде.
32 точечные группы симмет рии кри сталлических многогран ников являют ся подгруппами семи предельных групп.
1 В таблицах выделены группы или полученные ранее, или которые относят к другим классам симметрии.