Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Напомним:
Числовой последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания номеров, т.е.
Примерами числовых последовательностей являются известные из школьного курса:
арифметическая прогрессия
,
где а – первый член прогрессии , – разность прогрессии;
а так же бесконечная геометрическая прогрессия
,
где а–первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.
Последовательность считается заданной, если известен закон, по которому можно вычислить любой её член при заданном п.
Например, для арифметической прогрессии п-й член определяется по формуле для любого , для геометрической прогрессии формула общего члена .
Если , то её первый член , второй – , и т.д., а сама последовательность имеет вид:
,…
Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел:
Выражение вида называют числовым рядом и обозначают
=.
Числа называют членами ряда, а выражение – общим или п-ным членом ряда.
Примеры рядов:
Сумма первых п членов числового ряда называется п-ой частичной суммой и обозначается Sn.
.
Таким образом, частичные суммы сами образуют числовую последовательность.
Если существует конечный предел последовательности п-ых частичных сумм числового ряда, равный S, т.е.
,
То числовой ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда.
Пример 1
Используя определение, исследовать сходимость ряда:
а) ,
б) .
Решение.
а) Рассмотрим последовательность частичных сумм данного ряда:
.
Очевидно, Sn принимает значения 1 , если число слагаемых нечетное, и значение 0, если число слагаемых четное. Такая последовательность частичных сумм предела не имеет, следовательно, ряд расходится.
б) Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда :
Для упрощения вычислений таких сумм заметим, что общий член данного ряда
есть правильная рациональная дробь и её можно разложить на простейшие дроби. Выполнив это разложение, получим
,
т.е. каждое слагаемое частичных сумм данного ряда можно записать в виде разности двух дробей:
Тогда
Найдем предел последовательности частичных сумм:
.
Таким образом, последовательность частичных сумм имеет конечный предел, значит, ряд сходится и его сумма равна .
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Данный ряд составлен из членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом а (а0) и знаменателем q.
Из школьного курса математики известно, что сумма первых п членов геометрической прогрессии находится по формуле
.
Найдем предел частичных сумм данного ряда:
.
Величина этого предела зависит от значения q. Действительно:
1) если , то и тогда
,
следовательно, существует предел частичных сумм и значит, ряд сходится, а его сумма равна ;
2) если то и тогда
,
Значит, в этом случае ряд расходится, и суммы не имеет;
3) если q =1, то ряд принимает вид
В этом случае и , следовательно, ряд расходится;
4) если q = –1, то ряд принимает вид
.
При этом
В таком случае не существует и следовательно, ряд расходится.
Итак, можно сделать вывод, что ряд геометрической прогрессии
В качестве примера можно привести ряд , который сходится, поскольку , и ряд , который расходится, так как (в обоих случаях, а=1).
Основные свойства числовых рядов
Ряд называют п-ым остатком ряда и обозначают . Из сходимости остатка ряда следует сходимость самого ряда.
Иными словами, отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда (сумма сходящегося ряда при этом, конечно, меняется)
1) при достаточно большом п ;
2) есть погрешность, допускаемая при замене суммы S ряда его п-ой частичной суммой Sп.
При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Ответить на этот вопрос можно, конечно же, используя определение, но часто это приводит к сложным вычислениям (пример 1,б). Однако существуют условия, при выполнении которых достаточно просто ответить на вопрос о сходимости ряда. Эти условия налагаются на п-й член ряда и называются признаками сходимости. Ниже мы рассмотрим достаточные признаки сходимости, а также рассмотрим необходимый признак сходимости числового ряда (т.е. условие, при невыполнении которого ряд расходится).
Теорема (необходимый признак сходимости)
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при стремлении п к бесконечности, т.е.
.
Доказательство.
По условию теоремы ряд сходится, следовательно, по определению сходящегося ряда .
Легко видеть, что , тогда . Отсюда
,
что и требовалось доказать.
Признак является необходимым для любого ряда, но не является достаточным, т.е. из того, что п-ый член ряда стремится к нулю с увеличением п не следует сходимость самого ряда. Например, известно, что гармонический ряд является расходящимся, хотя для него выполняется условие .
Из необходимого признака сходимости следует достаточный признак расходимости (для всякого ряда):
Если , то ряд расходится.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Найдем предел общего члена ряда при п, стремящемся к бесконечности:
,
Следовательно, ряд расходится.
Замечание. При решении этого примера и в дальнейшем для раскрытия неопределенности полезно помнить, что предел отношения многочленов равен:
При изучении знакопостоянных рядов достаточно рассмотреть ряды с положительными членами, причем возможно и существование членов, равных нулю. Ряды с отрицательными членами будем рассматривать как соответствующие ряды с положительными членами, умноженные на (-1), что по свойству рядов не влияет на их сходимость и расходимость.
Числовой ряд
=,
члены которого неотрицательны, т.е. при всех п, называется знакоположительным рядом.
Теорема (признак ДАламбера)
Если для знакоположительного ряда
=
отношение последующего члена ряда к предыдущему имеет конечный предел при стремлении п к бесконечности, т.е.
,
то
Замечания:
1.В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не даёт, требуются дополнительные исследования.
2. Если , то ряд расходится.
Пример 4.
Исследовать сходимость рядов:
а) ; б).
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос используем признак ДАламбера.
а) Общий член ряда имеет вид, тогда. Так как , то , тогда .
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
.
Тогда
.
Таким образом , следовательно, по признаку ДАламбера, данный ряд сходится.
б) Для ряда имеем: и , откуда
.
Тогда , , следовательно, ряд расходится согласно признака ДАламбера.
Заметим, что признак ДАламбера дает ответ на вопрос о сходимости знакоположительного ряда только в том случае, когда существует и отличен от 1. Если же предел вычислить нельзя или он равен 1, то в этом случае ряд может оказаться и сходящимся, и расходящимся. Для решения вопроса о сходимости таких рядов нужно применить другой признак или определение сходящегося ряда.
Пример 5.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение.
Для данного ряда и , тогда
,
откуда
, следовательно, на основании признака ДАламбера сделать вывод о сходимости ряда нельзя. Заметим также, что не дает ответа и необходимый признак, так как
.
Воспользуемся определение сходящегося ряда, т.е. найдем предел последовательности частичных сумм ряда. Для этого, как и в примере 1,б, преобразуем общий член ряда
.
Тогда п-ая частичная сумма равна
.
По определению имеем
.
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1.
Заметим, что признак ДАламбера целесообразно применять в том случае, когда в общий член ряда входит показательная функция или (и) п! (факториал). В этом случае обычно существует и не равен 1.
Теорема (радикальный признак Коши)
Если для знакоположительного ряда =
величина корня п-ой степени из общего члена имеет конечный предел при стремлении п к бесконечности, т.е.
,
то
Замечания:
1.В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не даёт.
2. Если , то ряд расходится.
Пример 6.
Исследовать сходимость рядов:
а) ;
б) ; в) .
Решение.
Для исследования сходимости будем использовать радикальный признак Коши.
а) Для ряда общий член имеет вид , тогда
, , значит, ряд сходится по признаку Коши.
б) Преобразуем общий член ряда:
.
Исследуем сходимость ряда. По признаку Коши имеем
.
Согласно замечанию 2 к признаку Коши, ряд расходится, а значит, расходится и ряд =.
в) Для ряда имеем:
,
).
Таким образом, , следовательно, ряд расходится.
Очевидно, что радикальный признак Коши целесообразно использовать в том случае, когда общий член ряда представляет степень с показателем, кратным п.
Теорема (интегральный признак Коши)
Пусть члены знакоположительного ряда = не возрастают, т.е.
,
и пусть непрерывная невозрастающая функция такова, что .
Тогда из сходимости (расходимости) несобственного интеграла следует сходимость (расходимость) ряда .
Пример 7.
Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда
в зависимости от р ().
Решение.
Очевидно, члены ряда положительны и убывают, т.е.
Рассмотрим функцию , . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы: не возрастает, непрерывна при , при значения функции равны соответствующим членам ряда.
Рассмотрим несобственный интеграл
.
Изучим сходимость этого интеграла при различных значениях р.
1) Если , получим
следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, и ряд сходится.
2) Если , то
следовательно, несобственный интеграл расходится, и ряд также расходится.
3) Если , то
значит, интеграл расходится, и ряд также расходится.
Таким образом, получили, что обобщенный гармонический ряд
Заметим, что признак ДАламбера и признаки Коши удобны тем, что опираются только на свойства данного ряда. Но часто сходимость или расходимость знакоположительного ряда приходится устанавливать путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В качестве «эталонного» ряда часто используют ряд, составленный из членов геометрической прогрессии или обобщенный гармонический ряд.
Пксть даны два знакоположительных ряда
= и =.
Для них справедливы утверждения:
Признак сравнения
Пусть, начиная с некоторого номера п, выполняется неравенство . Тогда
Предельный признак сравнения
Если существует конечный, не равный нулю предел отношения общих членов двух рядов, т.е. , то ряды и либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.
Пример 8.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Поскольку для всех выполняется условие, то , т.е. заданный ряд – знакоположительный.
Сравним заданный ряд с рядом . Члены этого ряда образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , следовательно, этот «эталонный» ряд сходится. Сравним общие члены рассмотренных рядов. Очевидно, что
для любого *). Таким образом, ряд с большими членами сходится, значит, по признаку сравнения, ряд с меньшими членами также сходится.
Для исследования заданного ряда на сходимость можно также использовать предельный признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда будем использовать тот же ряд членов геометрической прогрессии , который является сходящимся.
Найдем предел отношения общих членов рядов, данного и»эталонного»:
*), получили конечный, не равный нулю предел, значит, заданный ряд ведет себя также, как и выбранный «эталонный» ряд. Следовательно, ряд сходится.
Пример 9.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Сравним данный ряд со сходящимся рядом , составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Сравним общие члены этих рядов. Очевидно, для любого имеет место неравенство , следовательно
.
Таким образом, известно, что ряд с большими членами сходится, значит, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами.
Заметим, что использование предельного признака сравнения в данном случае не дает ответа на вопрос, т.к. предел отношения общих членов равен нулю:
.
Заметим также, что общий член ряда содержит показательную функцию, поэтому, для исследования сходимости ряда может быть применен признак ДАламбера:
,
следовательно, ряд сходится.
Пример 10
Сходится ли ряд ?
Решение.
Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд со сходящимся рядом , составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Найдем предел отношения общих членов рядов
.
Получили конечный, не равный нулю предел, следовательно, заданный ряд ведет себя так же, как и «эталонный» ряд , то есть сходится.
Пример 11.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который, как известно, расходится.
Применим предельный признак сравнения. Имеем:
, ,
, т.е. .
Следовательно, заданный ряд, так же как и «эталонный» гармонический, расходится.
Заметим, что применять предельный признак сравнения удобно в том случае, когда общий член исследуемого ряда представляет собой отношение двух многочленов, т.е.
.
В этом случае в качестве «эталонного» используется обобщенный гармонический ряд с общим членом , где .
Пример 12.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Общий член данного ряда представляет собой отношение многочленов , причем степень числителя , а степень знаменателя . Учитывая сделанное выше замечание, сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом с общим членом , где , т.е. с гармоническим рядом , который расходится. Имеем:
,
следовательно, заданный ряд, как и «эталонный», расходится.
Ряд называется знакопеременным, если его члены имеют произвольные знаки.
Для таких рядов признаки сходимости, рассмотренные в предыдущем пункте, непосредственно не применимы. Однако, кА мы сейчас установим, исследование сходимости знакопеременных рядов во многих случаях может быть сведено к исследованию положительных рядов. Рассмотрим вначале простейшие случаи:
Принципиально новый случай получается тогда, когда ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов. Оказывается, и в этом случае исследование сходимости может быть сведено к исследованию положительных рядов.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Если знакопеременный ряд = таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
=
сходится, то и исходный ряд также сходится.
В этом случае сходимость знакопеременного ряда называется абсолютной.
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существуют сходящиеся знакопеременные ряды, для которых ряды из абсолютных величин их членов являются расходящимися. В этом случае сходимость знакопеременного ряда называют условной.
Таким образом, исследование сходимости знакопеременного ряда следует начинать с исследования ряда из абсолютных величин. Если этот ряд сходится, то исходный знакопеременный ряд сходится, причем абсолютно. Если же ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то исходный ряд может оказаться расходящимся или сходящимся условно.
Пример 13.
Исследовать сходимость ряда
Решение.
Вычислим значения синусов, тогда ряд запишется в виде:
Ряд является знакопеременным, т.к. за каждыми двумя положительными членами следуют два отрицательных члена.
Составим ряд из абсолютных величин членов рассматриваемого ряда:
.
Этот ряд составлен из членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , значит, ряд сходится. Следовательно, заданный ряд также сходится, причем абсолютно.
Следует обратить внимание на тот факт, что свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются. Приведем основные свойства:
Это свойство не справедливо для условно сходящихся рядов.
Для примера рассмотрим знакопеременный ряд
Чуть позже мы докажем, что этот ряд сходится, и значит, существует предел его п-ой частичной суммы
,
где .
Переставим члены ряда так, чтобы за одним положительным следовали два отрицательных члена:
Рассмотрим частичную сумму этого ряда
Но тогда . Таким образом, в результате перестановки членов условно сходящегося ряда его сумма уменьшилась в два раза.
Знакопеременный ряд, знаки членов которого чередуются
называется знакочередующимся рядом.
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда используют признак Лейбница.
Теорема (признак Лейбница)
Если в знакочередующемся ряде
члены таковы, что
1) начиная хотя бы с некоторого номера п0,
2) ,
то знакочередующийся ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда, т.е.
.
Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, то можно оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму S частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с . Но эти отброшенные слагаемые сами образуют сходящийся знакочередующийся ряд, сумма которого, согласно теореме Лейбница, по абсолютной величине не превосходит первого члена этого ряда, т.е. меньше :
, где
Значит, ошибка, допускаемая при замене на , не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов.
Пример 14.
Доказать, что ряд сходится и вычислить приближенно значение его суммы с точностью до =0,01.
Решение.
Данный ряд – знакочередующийся. Для исследования его сходимости используем признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы:
,
получили неравенство, которое верно для любого п, значит, верно и неравенство для любого п.
Таким образом, оба условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится.
Как отмечалось выше, ошибка, допускаемая при замене точного значения суммы ряда на приближенное значение частичной суммы , не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов. Значит, чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью, нужно найти такой член ряда, который по абсолютной величине меньше заданной точности и начиная с этого члена отбросить остаток ряда. Затем вычислить оставшуюся частичную сумму – она и будет равна сумме ряда с заданной точностью =0,01.
Для данного ряда имеем:
,
следовательно, для вычисления суммы ряда с точностью =0,01, достаточно взять первых три члена ряда.
.
При этом допущенная ошибка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.
Пример 15.
Исследовать сходимость ряда и установить характер сходимости (абсолютная или условная).
а) ;
б) ;
в) ;
г)
Решение.
а) Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
.
Получили гармонический ряд – он расходится. Но сделать вывод о сходимости заданного знакочередующегося ряда нельзя. Он точно не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд из абсолютных величин расходится. Но он может сходиться условно или расходиться. Проверим это с помощью признака Лейбница.
– получили неравенство, верное для любого п, значит, для любого п.
Следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. А так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд сходится условно.
б) Для знакочередующегося ряда составим ряд из абсолютных величин его членов:
.
Применим к этому ряду признак ДАламбера.
,
значит, ряд составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, сходится. А это значит, что и заданный ряд сходится, причем абсолютно.
в) К знакочередующемуся ряду применим признак Лейбница.
1) Проверим выполнение условия :
(разделим обе части неравенства на ) – получили неравенство, верное для любого п, следовательно, для любого п выполняется и неравенство.
2) Проверим условие : , т.е. второе условие признака Лейбница не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.
г) Для ряда составим ряд из абсолютных величин его членов:
.
Общий член полученного ряда представляет собой отношение двух многочленов, поэтому для исследования его сходимости целесообразно применить предельный признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем гармонический ряд , который расходится. Найдем предел отношения общих членов этих рядов:
.
Значит, оба ряда ведут себя одинаково и следовательно, ряд расходится.
Таким образом, пока ничего нельзя сказать о сходимости исходного знакочередующегося ряда, он может расходиться или сходиться условно.
Применим к заданному ряду признак Лейбница.
1) Проверим выполнение условия :
.
Очевидно, что при любом значении п знаменатель дроби , значит, числитель дроби тоже больше нуля:
.
Очевидно, полученное неравенство верно для любого , следовательно, для любого п выполняется и неравенство.
2) Проверим условие : , т.е. второе условие признака Лейбница также выполняется, следовательно, данный ряд сходится. А так как ряд из абсолютных величин его членов расходится, то заданный ряд сходится условно.
) Здесь использован второй замечательный предел .
*) Здесь мы воспользовались известным неравенством для всех .
*) Здесь использован первый замечательный предел .
PAGE 25