Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема: Висловлення і висловлювальні форми. Елементарні і
складні речення. Логічні операції (кон'юнкція, диз'юнкція,
заперечення,імплікація, еквіваленція).
Мета: ознайомити студентів з основними поняттями
математичної логіки; сформувати поняття висловлення,
висловлювальної форми, елементарних та складних
речень; формувати вміння користуватись логічними
операціями для встановлення істинності висловлень.
План
1.Вступ
Слово «логіка» походить від грецького слова «логос», що означає «слово», «мова», «міркування». Математична логіка – це галузь математики, яка спрямована на вивчення математичних міркувань.
Логіка встановлює, що слідує з прийнятих припущень, при цьому основна увага звертається не на зміст, а на форму. Тому й логіку називають формальною. Наприклад: Фортепіано – це музичний інструмент. У нас є фортепіано. Отже у нас є музичний інструмент(1). Час – це гроші. У нас є час. Отже у нас є гроші(2). Тут є словесний паралелізм, це пояснюється неоднозначністю термінів звичайної мови. Ось чому для логіки виникла потреба в створенні штучної символічної мови, яка точно відповідатиме логічній формі, йтиме за нею. Побудова таких «формалізованих» мов, зокрема є характеристичною рисою математичної логіки, звідси її інша назва «символічна» логіка.
Формальна логіка як наука існує від «Галів», великого грецького мислителя Арістотеля (384 - 322) IV ст. до н. е, який і заклав основи цієї науки. Математична логіка– це сучасна формальна логіка. ЇЇ народження відносять до середини XIX ст., а саме до 1847р., коли англійський математик Джордж Буль (1815 – 1864) видав свою книгу: «Математичний аналіз логіки». Серед попередників Буля слід назвати одного із творців математичного аналізу Лейбніца (1646 – 1716) якому належить ряд провідних ідей в математичній логіці.
Вчений П.Е. Еренфест вказав на можливість застосування апарату логіки висловлювань в техніці. Згодом був встановлений тісний зв’язок математичної логіки з кібернетикою. На сьогоднішній час математична логіка використовується в біології, медицині, лінгвістиці, педагогіці, психології, економіці, техніці.
Дуже важлива роль математичної логіки в розвитку обчислювальної техніки: вона використовується в конструюванні електронно – обчислювальних машин (ЕОМ) і при розробці штучних мов програмування. Великий внесок у розвиток науки дали такі вчені: Гільберт, Пеано, Колмогоров, Шанін. Математична логіка виникла із спроб формалізувати процес логічних міркувань. Але, як виявилось пізніше, вона має досить багато практичних застосувань як в математиці, так і в кібернетиці, теорії програмування, математичній лінгвістиці. Існує багато символічних логік: двозначна (класична), тризначна, n-значна, метрична, топологічна. Ми розглядаємо класичну, яка застосовується в переважній більшості розділів сучасної математики.
2.Означення:
Висловлення – це речення яке істинне, або хибне.
Наприклад.«5 - просте число» є істинне висловлення, а «Рим – столиця Франції» – хибне.
Так до висловлень не належать: математичні означення, питальні і окличні речення, взагалі речення, в яких немає істинної, або хибної інформації.
Наприклад.
Означення:
Речення, яке містить хоча б одну змінну і перетворюється в висловлення при підстановці замість змінних їх значень називається висловлювальною формою (невизначеним висловленням).
Розглядаючи висловлення ми виходимо з 2-х основних припущень:
Розглянемо речення: «Він блондин», «Число ділиться на 7». Ці речення не змістить змінних в явному вигляді, але вони є висловлю вальними формами. В першому, якщо замість слова «він», а в другому «число» поставити конкретні значення отримаємо висловлення.
Наприклад.
«Існує число «у» яке ділиться на 7» (істинне);
«Будь – яке число «у» ділиться на 7» (хибне).
Значення «істинне» будемо позначати символом «1», а «хибне» відповідно «0».
Приклади.
1. Встановіть які з наступних речень є висловленнями, які висловлювальними формами, які ні тим ні іншим.
а) 10+t=15;
б) 3+2;
в) 3х<2;
г) Осінь – найкраща пора року;
д) Чи знаєте ви теорему Фалеса?
е) ;
є) 19 – просте число;
ж) Байрон – німецький поет;
з) 5x+3y=25;
и) В чотирикутнику протилежні сторони рівні.
2. Кожну висловлювану форму перетворіть в істинне висловлення за допомогою слів «існує», «будь - який».
3. Придумайте по два приклади:
а) істинного висловлення;
б) хибного висловлення;
в) висловлю вальної форми з числовими змінними;
г) висловлю вальні форми з нечисловими змінними;
д) речень, які не є ні висловленнями ні висловлюваними формами.
3. З двох даних речень можна створити нове речення за допомогою сполучників: «і», «або», «якщо», «то», «тоді і тільки тоді», «не». Ці сполучники називаються логічними зв’язками.
Речення можуть бути: елементарними (простими) і складними.
Означення:
Елементарні речення – це речення, в яких немає сполучників «і», «або», «якщо», «то»…
Складні речення – це речення утворені з простих речень за допомогою логічних зв’язок.
Так, наприклад з елементарних речень: «Я поїду в Лондон», «Ти поїдеш в Київ», можна створити складні речення: «Я поїду в Лондон і ти поїдеш в Київ; Я поїду в Лондон, або ти поїдеш в Київ; Якщо я поїду в Лондон, то ти поїдеш в Київ».
Чи можна вважати, що складне речення є висловленням, якщо всі його складові прості речення є висловленнями.
Наприклад.
Якщо об’єднати сполучником «або» два простих висловлення, то отримаємо складне висловлення: «Дві прямі на площині паралельні(1), або дві прямі на площині перетинаються(2)».
Приклади.
4.В даних реченнях виберіть прості речення і їх логічні зв’язки:
а) Діагональні ромби взаємно – перпендикулярні і ділять його кути пополам.
б) Я буду вчитись на програмуванні, або комерції.
в) Якщо існує телепатія, то деякі фізичні закони потребують перегляду.
г) Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли всі його сторони рівні.
4. Складні висловлення будуються за допомогою логічних операцій. Логічні операції відповідають таким виразам природньої мови як: «і», «або», «якщо…то», «тоді і тільки тоді, коли», «неправильно що».
Логічних операцій є 5, до них належать: кон’юнкція, диз’юнкція, заперечення, імплікація, еквіваленція.
Нехай А і В – довільні висловлювання.
Означення:
Кон’юнкцією (від латинського слова conjunction – з’єднання) висловлень А і В називається таке складне висловлення А^В, (А і В), яке істинне, тоді і тільки тоді, коли А і В одночасно істинні (в усіх інших випадках висловлення хибне).
Кон’юнкцію «^» ще називають «логічним множенням».
Наприклад.
А – Завтра буде тепла погода; В – Завтра не буде дощу.
А^В: Завтра буде тепла погода і завтра не буде дощу тобто.
А^В – істинне, коли А – істинне, В – істинне.
Згідно з означенням побудуємо таблицю істинності, яка широко використовується в математичній логіці.
|
А |
В |
А^В |
|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 0 0 0 |
де «1», «0» - значення істинності.
В першому стовпці і в другом у - всі можливі набори значень істинності висловлень А і В, а в третьому відповідні значення істинності висловлення А^В.
Означення:
Диз’юнкцією(disjunction – роз’єднання) висловлень А і В називається таке складне висловлення АВ (А або В), яке хибне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення є хибні (в інших випадках – істинне).
Диз’юнкцію «» ще називають «логічним додаванням». Ця операція задається таблицею істинності:
|
А |
В |
АВ |
|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 1 1 0 |
Наприклад: 5∙5=26, або сніг падає влітку (хибна диз’юнкція).
Приклади.
5.Визначте значення істинності в висловленнях:
а) Париж розташований на Емі і 2+3=5
б) 3 – просте число і 4 – просте число
в) 2∙2=4, або білі ведмеді живуть в Африці
г) 2∙2=5, або Київ - столиця Чехії
6. Визначте значення істинності висловлення: А,В,С,D, якщо:
а) А^(2∙2=4) – істинне висловлення ;
б) В^(2∙2=4) – хибне висловлення;
в) С (2∙2=5) – істинне висловлення;
г) D (2∙2=5) – хибне висловлення;
7. Для кожної з даних висловлюваних форм визначте чи може вона стати:
1) Хибним висловленням; 2) Істинним висловленням;
а) Число n – кратне; число n+1 кратне?
б) Число n – кратне, або число n+1 кратне;
8. Сформулюйте і запишіть у вигляді ^ або умови істинності кожного виразу:
1) а∙b≠0; 2) а∙b=0.
Означення:
Заперечним висловленням А називається таке висловлення (не А), яке істинне тоді і тільки тоді, коли А – хибне і задається таблицею:
|
А |
|
|
1 0 |
0 1 |
Наприклад.
3=2 (А), 3≠2 ().
Якщо А – висловлювальна форма, то – також висловлювальна форма. Речення, яке не містить формальних ознак заперечення (слів «не», «неправильно»), але яка має те ж значення, що і заперечення речення А будемо вважати запереченням А.
Наприклад.
«Трикутник АВС – непрямий », «трикутник АВС – косокутний».
Означення:
Імплікацією висловлень А і В називається таке складне висловлення А=>В (якщо А то В), яке хибне тоді і тільки тоді, коли А – істинне, В – хибне (в усіх інших випадках – істинна)
|
А |
В |
А=>В |
|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 0 1 1 |
В імплікації А називають антецедентом (посилкою), В - консеквентом (висновком).
Вперше на певні особливості імплікації звернув увагу Арістотель, вказавши, що з хибного випливає, як істинне, так і хибне і вони називаються парадоксами імплікації.
Наприклад
З означення імплікації випливає, що серед висловлень:
Хибним лише є друге інші істинні.
Означення:
Еквіваленцією висловлень А і В називається таке складне висловлення А~В (А тоді і тільки тоді коли В), яке істинне тоді і тільки тоді, коли А і В набувають однакових значень істинності.
|
А |
В |
А<=>B |
|
1 1 0 0 |
1 0 1 0 |
1 0 0 1 |
Тобто, коли ми говоримо «А тоді і тільки тоді, коли В», то маємо на увазі, що А і В або одночасно істинні, або одночасно хибні.
Наприклад.
2∙2=4 – істинне висловлення (еквіваленція);
2∙2=4 – хибна еквіваленція;
Приклади.
9. Визначте значення істинності наступних висловлень:
а) Якщо 12 ділиться на 6, то 12 3;
б) Якщо 116, то 113;
в) Якщо 156, то 153;
г) Якщо 126 <=> 123;
д) Якщо 157 <=> 153;
10. Нехай А – 9 3, В – 10 3. Визначте значення істинності висловлень:
а) A <=> B
б) B => A
в) A ~ B
г)
Запитання для самоперевірки.
Література