Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Ответ: .
Справочные сведения
Момент силы относительно неподвижной точки : , - радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки : , - радиус-вектор, проведенный из точки к материальной точке.
Закон изменения момента импульса , - момент внешних сил относительно неподвижной точки .
Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси , где - расстояние от данной точки до оси вращения.
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения , - плотность тела.
Теорема Штейнера , где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, - момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной первой, - расстояние между осями.
Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно некоторой оси имеет вид , где - момент инерции тела относительно оси , - проекция момента внешних сил на эту ось. При уравнение преобразуется к виду .
Момент инерции полого тонкостенного однородного цилиндра (обруча) относительно оси симметрии ; для сплошного однородного цилиндра или диска .
Момент инерции однородного шара относительно произвольной оси, проходящей через его центр .
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину .
Кинетическая энергия вращающегося тела .
Кинетическая энергия плоского движения твердого тела .
Примеры решения задач
При решении задач на динамику твердого тела, как правило, необходимо применять основное уравнение динамики вращательного движения. Часто в подобных задачах твердое тело приводится в движение силами натяжения нитей, к которым подвешены грузы, поэтому необходимо также записывать уравнения движения (второй закон Ньютона) для грузов. Условие, связывающее два типа движения, как правило, заключается в отсутствии проскальзывания нити, что позволяет получить кинематическую связь между линейным ускорением груза и угловым ускорением твердого тела. Рассмотрим конкретные примеры.
Задача 1. Два тела, массы которых и , связаны нитью, переброшенной через блок. Блок массой укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой . Коэффициент трения тела о поверхность стола . С каким ускорением движутся тела и каковы силы натяжения нити по обе стороны от блока? Массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу, трением в подшипниках оси блока пренебречь.
Решение
Применим для грузов второй закон Ньютона, а для блока – основное уравнение динамики вращательного движения. Силы, действующие на грузы, показаны на рис.1.4.1.
Для груза второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления принимает вид
, , (1.4.1)
а по определению сила трения скольжения
.
Для груза уравнение вертикального движения
. (1.4.2)
Наконец, уравнение вращательного движения блока
, (1.4.3)
где - момент инерции блока (обруча), - угловое ускорение блока, - результирующий момент сил натяжения, действующий на блок.
При отсутствии скольжения нити по блоку его угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов по формуле . С учетом приведенных соотношений уравнение (1.4.3) принимает вид
. (1.4.4)
Исключая из (1.4.1) силы трения и реакции опоры, получаем
. (1.4.5)
Наконец, складывая уравнения (1.4.2), (1.4.4), (1.4.5), получаем
,
откуда находим
. (1.4.6)
Подставляя числовые значения, получаем
.
Подставляя (1.4.6) в (1.4.2) и (1.4.5), находим силы натяжения:
,
.
Вычисления приводят к результатам:
, .
Задача 2. В однородном диске массой и радиусом вырезано круглое отверстие диаметром , центр которого находится на расстоянии от оси диска. Найти момент инерции полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.
Решение
Данное тело можно представить как совокупность сплошного диска, изготовленного из материала с некоторой плотностью, и другого диска из материала с такой же по величине, но противоположной по знаку плотностью, расположенного в отверстии первого диска. Тогда результирующий момент инерции этой системы можно найти, вычитая из момента инерции первого диска момент инерции второго диска.
Для первого диска
,
а для второго по теореме Штейнера
,
где , а массу второго диска можно определить из условия пропорциональности массы и площади: .
Тогда , следовательно,
.
Выполняя вычисления, находим
.
.
Задача 3. Однородный тонкий стержень массой и
длиной может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.1.4.2). В верхний конец стержня попадает пластилиновый шарик массой , движущийся со скоростью , и прилипает к стержню. Определить угловую скорость стержня и линейную скорость нижнего конца стержня сразу после удара, если расстояние от верхнего конца стержня до точки О равно .
Решение
Для определения угловой скорости вращения стержня воспользуемся законом сохранения момента импульса. Рассматривая шарик как материальную точку, получаем:
, (1.4.7)
где момент инерции стержня относительно точки О по теореме Штейнера равен
. (1.4.8)
Из (1.4.7) и (1.4.8) находим угловую скорость стержня сразу после удара
.
Вычисления дают
.
Для определения линейной скорости нижнего конца стержня воспользуемся связью линейной и угловой скорости: , где радиус окружности равен . Получаем
.
Задача 4. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две нити с подвешенными к ним грузами массами и (рис.1.4.3). Найти ускорения грузов и силы натяжения нитей. Момент инерции блока , радиусы соответствующих участков блока и .
Решение
Запишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на вертикальное направление
, , (1.4.9)
где и - силы натяжения нитей.
Уравнение вращательного движения блока
. (1.4.10)
В силу отсутствия проскальзывания нитей по блоку можно записать
. (1.4.11)
Из (1.4.9) – (1.4.11) следует
, . (1.4.12)
Подставляя в уравнения движения грузов, получаем систему уравнений для определения сил натяжения нитей
,
. (1.4.13)
Решая систему (1.4.13), находим
, .
Подстановка полученных результатов в (1.4.12) дает
, .
Задача 5. Два диска с моментами инерции и вращаются с угловыми скоростями и вокруг одной и той же оси без трения. Диски пришли в соприкосновение друг с другом. Из-за возникшего между дисками трения через некоторое время проскальзывание одного диска по другому прекращается. Какова станет тогда угловая скорость вращения дисков? Какое количество теплоты выделится?
Решение
Применим закон сохранения момента импульса. Получаем
,
где - момент инерции системы, - угловая скорость системы после прекращения проскальзывания. В результате находим
.
Для определения количества теплоты, выделившегося в результате взаимодействия дисков, воспользуемся законом сохранения энергии, согласно которому
,
где и - кинетические энергии дисков до взаимодействия, - кинетическая энергия системы после взаимодействия. Поскольку
, , ,
получаем
.
Задача 6. Тонкий обруч радиуса раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен ? Сколько оборотов сделает обруч до полной остановки?
Решение
Так как действующая на обруч сила трения постоянна, то вращение обруча будет равнозамедленным, и мы можем применить уравнения равнозамедленного вращения
, .
Если обруч сделает до остановки оборотов, то угол поворота составит . В момент остановки обруча угловая скорость , следовательно,
. (1.4.14)
Воспользуемся законом сохранения энергии, согласно которому работа силы трения равна изменению кинетической энергии обруча
. (1.4.15)
Здесь - момент инерции обруча, - сила трения и - путь, пройденный каждой точкой обруча до его остановки.
Решая систему уравнений (1.4.14), (1.4.15) с учетом выписанных соотношений для пути, силы трения и момента инерции, получаем
, .
Индивидуальные задания
1.4.1. Полый тонкостенный цилиндр массой , катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену , после удара . Определить выделившееся при ударе количество теплоты. Ответ: .
1.4.2. К ободу сплошного диска массой , насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила . Определить кинетическую энергию диска через время после начала действия силы. Ответ: .
1.4.3. Шар радиусом и массой вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению (, ). Определить момент сил, действующий на шар для момента времени . Ответ: .
1.4.4. Вентилятор вращается с частотой . После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав оборотов, остановился. Работа сил торможения равна . Определить: 1)момент сил торможения; 2)момент инерции вентилятора. Ответ: , .
1.4.5. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости с углом при основании . Определить линейное ускорение центра диска. Ответ: .
1.4.6. К ободу однородного сплошного диска радиусом приложена постоянная касательная сила . При вращении диска на него действует момент сил трения . Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно . Ответ: .
1.4.7. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого , вращаясь при торможении равнозамедленно, за время уменьшил частоту своего вращения с до . Определить: 1)угловое ускорение маховика; 2)момент силы торможения; 3)работу торможения. Ответ: , , .
1.4.8. Колесо радиусом и массой скатывается без трения по наклонной плоскости длиной и углом при основании . Определить момент инерции колеса, если его скорость после скатывания составила . Ответ: .
1.4.9. С наклонной плоскости с углом при основании скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на . Ответ: .
1.4.10. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью . Определить путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути. Ответ: .
1.4.11. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой . Груз, разматывая нить, опускается с ускорением . Определить момент инерции вала и массу вала. Ответ: , .
1.4.12. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом и массой намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой . Определить: 1)силу натяжения нити; 2)угловую скорость вала через после начала движения; 3)тангенциальное и нормальное ускорения точек, находящихся на поверхности вала. Ответ: , , , .
1.4.13. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом , момент инерции которого , намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой . До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1)время опускания груза до пола; 2)силу натяжения нити; 3)кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Ответ: , , .
1.4.14. Через блок в виде однородного сплошного цилиндра массой перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами и . Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1)ускорение грузов; 2)отношение сил натяжения нити по разные стороны от блока. Ответ: , .
1.4.15. Тонкая однородная палочка длины и массы лежит симметрично на двух опорах, расстояние между которыми . Одну из опор быстро убирают. Какова сразу после этого сила реакции оставшейся опоры? Ответ: .
1.4.16. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом и массой , туго насаженный на ось радиусом , которая подвешивается в горизонтальном положении на двух предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси. Не учитывая трения и пренебрегая моментом инерции оси определить: 1)ускорение поступательного движения; 2)силу натяжения нити. Ответ: , .
1.4.17. Однородный шар радиусом скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом . Определить угловую скорость шара после отрыва от сферы. Ответ: .
1.4.18. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением . Определить кинетическую энергию маховика через время после начала движения, если через после начала движения момент импульса маховика составлял . Ответ: .
1.4.19. Горизонтальная платформа массой и радиусом вращается с угловой скоростью . В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от до . Ответ: .
1.4.20. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной и массой , расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции и вращается с частотой . Определить частоту вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. Ответ: .
1.4.21. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. Ответ: .
1.4.22. Человек массой , стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом и массой , вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой , переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Ответ: .
1.4.23. Однородный стержень длиной может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень находится в положении устойчивого равновесия. Какую наименьшую скорость надо сообщить свободному концу, чтобы стержень сделал полный оборот вокруг своей оси? Ответ: .
1.4.24. Бревно высоты и массы начинает падать из вертикального положения на землю. Определить скорость верхнего конца и момент импульса бревна в момент падения на землю. Ответ: , .
1.4.25. Карандаш длиной , поставленный вертикально, начинает падать на стол. Какую угловую скорость и линейную скорость будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша? Ответ: , , .
1.4.26. Однородный стержень длиной подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол надо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохождении положения равновесия имел скорость ? .
1.4.27. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом . На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой . Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь за время . Определить момент инерции маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой. Ответ: .
1.4.28. Шарик массой , привязанный к концу нити длиной , вращается, опираясь на горизонтальную плоскость с частотой . Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния . С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. Ответ: , .
1.4.29. К краю стола прикреплен блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой – вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент трения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и блока одинаковы и грузы движутся с ускорением . Проскальзыванием нити по блоку и трением в блоке пренебречь. Блок считать однородным диском. Ответ: .
1.4.30. Однородный стержень длиной может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой , летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу стержня, если в результате попадания пули он отклонился от вертикали на угол . Скорость пули равна . Ответ: .
Справочные сведения
Закон всемирного тяготения , - гравитационная постоянная.
Первый закон Кеплера: все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади.
Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит
.
Сила тяжести , - напряженность поля тяготения (ускорение свободного падения).
Потенциал поля тяготения , потенциальная энергия гравитационного взаимодействия .
Связь между потенциалом и напряженностью гравитационного поля .
Примеры решения задач
Как правило, при решении задач на закон всемирного тяготения требуется применение как самого закона, так и второго закона Ньютона. Если в задаче требуется вычислить работу силы всемирного тяготения необходимо помнить, что эта сила зависит от расстояния между телами и замена ее на постоянную величину оправдана лишь при движениях, масштаб которых мал по сравнению с этим расстоянием. Рассмотрим конкретные примеры.
Задача 1. Космонавт массой находится на поверхности шаровидного астероида радиусом и держит в руках камень массой . С какой максимальной скоростью относительно поверхности астероида космонавт может бросить камень, не рискуя превратиться в спутник астероида? Средняя плотность астероида .
Решение
Чтобы определить скорость космонавта сразу после броска воспользуемся законом сохранения импульса
, (1.5.1)
где - скорость космонавта относительно астероида сразу после броска.
Очевидно, космонавт должен бросать камень по касательной к поверхности астероида и тогда его скорость после броска не должна превышать первую космическую скорость для данного астероида. Определим первую космическую скорость при помощи второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения
, (1.5.2)
где - масса астероида.
Используя формулу связи массы и плотности, а также формулу объема шара, получаем
. (1.5.3)
Подставляя (1.5.3) в (1.5.1), находим
.
Проведем вычисления:
.
Задача 2. Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью и в каком направлении должен перемещаться наблюдатель на Земле, чтобы спутник появлялся над ним каждые пять часов?
Решение
Определим предварительно линейную и угловую скорость движения спутника относительно центра Земли при помощи законов Ньютона и всемирного тяготения
,
где - масса спутника, - масса Земли, - высота спутника над поверхностью Земли, - радиус Земли.
Угловая скорость связана с линейной соотношением
. (1.5.4)
С учетом и из (1.5.4) получаем
.
Угловая скорость вращения Земли , где - период обращения Земли вокруг своей оси. Так как спутник и Земля вращаются в одну сторону, то угловая скорость спутника (относительно поверхности Земли)
. (1.5.5)
Заметим, что за время спутник успеет сделать немногим более одного оборота над фиксированной точкой земной поверхности, так как его угловое перемещение за это время
.
Рассмотрим теперь движение наблюдателя в системе отсчета, жестко связанной с Землей. Если наблюдатель движется со скоростью , то за время он совершает перемещение . Траектория наблюдателя представляет собой дугу окружности радиуса , следовательно, центральный угол, стягивающий эту дугу, равен . Для того, чтобы спутник через время вновь оказался над наблюдателем необходимо, чтобы наблюдатель двигался в направлении движения спутника, так как в противном случае их встреча произойдет раньше.
Очевидно, что в момент встречи разность угловых перемещений спутника и наблюдателя должна составить , что позволяет с учетом (1.5.5) написать уравнение
. (1.5.6)
Выражая из (1.5.6) скорость наблюдателя, находим .
Подставляя числовые значения, получаем ответ
.
Задача 3. Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет скорость . Падая на планету, он приобретает возле ее поверхности скорость . Определить для данной планеты вторую космическую скорость.
Решение
Как известно, второй космической скоростью называется такая скорость, которую нужно сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно удалилось от планеты на бесконечно большое расстояние. Если положить скорость тела на бесконечности равной нулю, то работа силы всемирного тяготения будет равна начальной кинетической энергии тела, т.е.
, (1.5.7)
где - вторая космическая скорость.
С другой стороны работу силы всемирного тяготения можно найти, приравняв ее по теореме о кинетической энергии к изменению кинетической энергии метеорита
. (1.5.8)
Из (1.5.7), (1.5.8) следует
,
откуда находим
.
Индивидуальные задания
1.5.1. Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 ч. Считая его орбиту круговой, определить, на какой высоте от поверхности Земли находится спутник. Радиус Земли . Ответ: .
1.5.2. Определите среднюю плотность Земли, считая известными гравитационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности Земли. Ответ: .
1.5.3. Две материальные точки массами и расположены друг от друга на расстоянии . Определить угловую скорость вращения, с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстояние между ними осталось постоянным. Ответ: .
1.5.4. Свинцовый шар радиусом имеет внутри сферическую полость радиусом , центр которой находится на расстоянии от центра шара. С какой силой притягивается к шару материальная точка массой , находящаяся на расстоянии от центра шара, если линия, соединяющая центры шара и полости, составляет угол с линией, соединяющей центр шара с материальной точкой?. Плотность свинца . Ответ:
.
1.5.5. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора.
Определите расстояние такого спутника до центра Земли.
60
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3