Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.
Замечание. Данные теоремы дают обоснование методу интервалов для решения неравенств. (Действительно, знак функции может поменяться только в точках, где нарушается условие непрерывности, или в корнях функции. Метод интервалов как раз в том и состоит, чтобы сначала найти все такие точки, где возможна перемена знака, а затем расставить знаки функции в образовавшихся промежутках.)
Пример оформления решения неравенства методом интервалов.
Задание. Решите неравенство: а) ; б) ;
в) ;
г) ; д) .
Решение.
а) . (На первый раз решаем с объяснением всех действий.)
Метод интервалов обычно применяют при решении неравенств, в которых некоторая функция с конечным числом точек разрыва сравнивается с 0. (Подумайте, а можно ли решать методом интервалов неравенства, где сравнение идет с ненулевым числом?)
Итак, переносим число в левую часть неравенства и вводим функцию
; решаем неравенство методом интервалов.
1. непрерывна на . (Это обязательный комментарий, особенно для функций, не являющихся рациональными, т.е. для тех, для которых метод интервалов не входит в стандартные школьные учебники!)
а) универсальный – «тестирование по произвольной (не граничной) точке»;
б) определяем знак в одном из промежутков либо способом а), либо по знаку предела функции (обычно в одном из крайних промежутков), либо (для рациональных функций) по знаку отношения коэффициентов при старших степенях переменной в числителе и в знаменателе – он совпадает со знаком, стоящим в крайнем правом промежутке (на +);
далее «шагаем» через отмеченные точки из интервала в интервал и определяем, меняется ли при этом знак функции. Осветим некоторые типичные случаи.
Знак при переходе через точку меняется, если или , где , не является ни корнем, ни точкой разрыва функции . Иногда говорят, что - корень нечетной кратности числителя или знаменателя функции (хотя для функций, не являющихся рациональными, это не очень корректно). Пример - .
Знак при переходе через точку не меняется, если или , где , не является ни корнем, ни точкой разрыва функции . (аналогично, - корень четной кратности числителя или знаменателя функции , с той же оговоркой). Пример - .
Знак при переходе через точку не меняется, если или , если или , где , - корень , не является ни корнем, ни точкой разрыва функции .
Совет по оформлению: «для комиссии» записывайте так, как будто Вы честно определяли знак каждого промежутка по знаку значения в произвольно взятой конкретной точке, т.к. этот способ не требует дополнительных объяснений. Кроме того, Вы же не обязаны предъявлять (якобы) найденное значение! Можно ограничиться указанием его знака.
Возвращаемся к решению заданного неравенства. Итак, «для комиссии»:
.
Не забудьте: в случае нестрогого неравенства выносим в ответ не только
промежутки с соответствующими знаками, но и корни функции! Могут
образоваться изолированные точки. Если на экзамене Вы получили ответ
без изолированных точек или промежутков, разделенных точкой разрыва,
проверьте еще раз! Помните: самой грубой ошибкой при решении примеров
методом интервалов является вынесение в ответ точек, не входящих
в область определения функции!
В нашем случае в неравенстве знак «<», т.е. в ответ выписываем промежутки с минусами, и никакие граничные точки не включаем – все скобки круглые.
Ответ. .
Следующие примеры рассматриваем не столь подробно, комментарии будут в скобках.
б) .
.
1. . .
непрерывна на ; в точках и непрерывна справа и слева соответственно.
Решаем неравенство методом интервалов.
2. .
3.
(Знак функции совпадает со знаком квадратного трехчлена . Выпишем «Для комиссии»:)
.
Ответ. .
в)
.
1. .
непрерывна на как отношение непрерывных функций; решим неравенство методом интервалов.
2. ;
(Первая скобка числителя всегда положительна , так что на знак функции она не влияет.)
3.
(На самом деле рассуждения были таковы: 1-я скобка числителя, модуль, 2-я степень и квадратный корень на знак не влияют; знак меняется только при переходе через точки .)
Ответ.
г) .
.
1. . непрерывна на как отношение непрерывных функций; решим неравенство методом интервалов.
2.
3.
.
Ответ. .
д) . «Круговой» метод интервалов!
«Для комиссии»:
Ответ.
Метод замены неравенства на эквивалентное.
Иногда удобно вместо «честного» решения неравенства методом интервалов заменить его на более простое (рациональное) неравенство. Продемонстрируем на примере.
Решить неравенство: .
Решение.
Отметим, что . Попробуем определить точки разрыва и точки перемены знака функции , а затем найдем рациональную функцию с теми же знаками, т.е.
с аналогичными точками разрыва и теми же корнями, а для этого изобразим графики функций:
Найдем точки пересечения, отслеживая взаимное расположение графиков.
Итак, выражение следует заменить на многочлен с корнями 3 и 6 (1-й кратности каждый), а выражение - на многочлен с корнями 3 и 11 (1-й кратности каждый).
Рациональная функция имеет те же корни(нужной кратности) и те же точки разрыва, что и . Значит ли это, что знаки функций и совпадают (на отрезке !) ? Почти, т.е. либо совпадают, либо противоположны. Определим это по любой точке.
. Знаки в точке 4, а, значит, и во всех остальных точках области определения, противоположны.
Вместо исходного неравенства будем решать неравенство
Подробное решение опускаем.
Ответ. .
Пример приближенного решения уравнения.
Задание. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
Найдите его с точностью до 0,1.
Решение.
Рассмотрим функцию . непрерывна на R, а, следовательно, и на . . По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке есть хотя бы один корень .
Разобьем отрезок на отрезки длиной 0,2 и аналогично предыдущим рассуждениям определим, на каком из них есть корень функции.
Начнем с левого конца отрезка.
|
Знак |
+ |
+ |
- |
- |
Перемена знака произошла на отрезке .
Ответ. .
Замечание. Можно было действовать методом половинного деления отрезка, т.е. сначала определить, произошла ли перемена знака на первой его половине или на второй, затем разбить ее пополам и т.д.
Задание. 1) Решите неравенства методом интервалов: а) ; б); в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л);
м) ; н) ; о) ;
п) ; р) .
2) Докажите, что на отрезке уравнение имеет
корень. Найти его с точностью до 0,1.
3) Имеет ли уравнение положительный корень? Почему?